An Adaptive Sublinear-Time Block Sparse Fourier Transform
快速近似计算矢量$X$的$k$主傅立叶系数并且在时域中使用少量样本的问题被称为稀疏傅立叶变换（稀疏FFT）问题。关于稀疏FFT的一长串工作已经产生了具有$O(k\log n\log (n/k))$运行时间的算法[Hassanieh等人，STOC '12]和$O(k\log n)$样本复杂度[Indyk等人，FOCS '14]。使用非自适应算法证明了这些结果，并且后一个$O(k\log n)$样本复杂度结果基本上是单独在稀疏性假设下的最佳可能结果。本文重新审视稀疏FFT问题，增加了扭曲，稀疏系数近似服从$(k_0,k_1)$块稀疏模型。在该模型中，信号频率被聚集在傅立叶空间中具有宽度$k_1$的$k_0$间隔中，其中$k= k_0k_1$是总稀疏度。在应用中出现的信号通常通过该模型与$k_0\ll k$很好地近似。我们的主要结果是第一个稀疏FFT算法$(k_0, k_1)$块稀疏信号的样本复杂度为$O^*(k_0k_1 + k_0\log(1+ k_0)\log n)$在恒定的信号-噪声比，和次线性运行时间。类似的样本复杂度先前在使用随机高斯测量的基于模型的压缩感测的工作中实现，但是使用了$Ω(n)$运行时。据我们所知，我们的结果是基于模型的压缩感知的第一个次线性时间算法，以及第一个稀疏FFT结果，低于$O(k\log n)$样本复杂度界限。我们的算法至关重要地使用{\em adap…
2017-04-11 cs.DS
Reconstruction under outliers for Fourier-sparse functions
我们考虑的问题学习一个未知的$f$稀疏傅立叶频谱中存在的离群噪声。特别地，该算法可以访问（未知的）$f$的噪声预言，使得（i）$f$的傅立叶谱是$k$ -稀疏的;（ii）在任何查询点$x$，预言返回$y$，使得概率为$1-ρ$，$|y-f(x)| \le ε$。然而，对于概率$ρ$，误差$y-f(x)$可以任意大。我们研究傅立叶稀疏函数的离散立方体$\{0,1\}^n$和环面$[0,1)$和这两个域，我们设计了有效的算法，可以容忍任何$ρ<1/2$分数的离群值。我们注意到，低次多项式的类似问题最近已经在几个作品中进行了研究[AK 03，GZ 16，KKP 17]，并且在该设置中已知类似的算法保证。虽然我们的主要结果涉及的情况下，异常值的位置，即，$x$使得$|y-f(x)|>ε$是随机分布的，我们还研究了异常值位于相反位置的情况。特别是，我们表明，在环面上，假设傅立叶变换满足一定的\emph{granularity}条件，有一个样本有效的算法容忍$ρ=Ω(1)$分数的离群值和进一步，这是不可能的，没有这样的粒度条件。最后，虽然不是主要的推力，但我们的技术还允许我们在存在对抗性离群噪声的情况下在超立方体上学习低次函数$f$。我们的技术结合了压缩感知，稀疏傅立叶变换，链接参数和复杂分析的各种工具。
2019-10-04 cs.DS
Super-resolution and Robust Sparse Continuous Fourier Transform in Any Constant Dimension: Nearly Linear Time and Sample Complexity
分辨被成像物体的细节的能力，以分辨率命名，是成像系统的核心参数。超分辨率是一种能够提高成像系统分辨率，甚至超越系统衍射极限的技术。尽管在应用中取得了巨大的成功，但在理论方面，特别是对于任何维度的$d \geq 2$，超分辨率还没有得到很好的理解。具体地，为了恢复$k$稀疏信号，所有先前的结果受到聚$(k)$样本或运行时间的任一者/两者的影响。我们在发展稀疏傅里叶变换（Sparse FT）中的一些新技术的基础上，设计了强噪声模型下任意（常）维的鲁棒算法，如鲁棒线性系统的反演、“蛋壳”采样方案以及高维的划分和投票方法。这些算法是第一个实现运行时间和样本复杂度（几乎）线性的源点的数量和对数的带宽为任何恒定的维度，我们相信在工作中开发的技术可以找到他们的进一步应用的超分辨率和稀疏FT问题。
2022-10-12 cs.DS
The List-Decoding Size of Fourier-Sparse Boolean Functions
定义在布尔超立方体上的函数是$k$ -傅立叶稀疏的，如果它至多具有$k$非零傅立叶系数。对于一个函数$f: \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{R}$和参数$k$和$d$，我们证明了一个强上界的数量$k$傅立叶稀疏布尔函数，不同意$f$在最多$d$输入。我们的界意味着学习$n$变量上的$k$ -傅立叶稀疏布尔函数类所需的均匀和独立的随机样本的数量最多为$O(n \cdot k \log k)$。作为一个应用，我们证明了一个上界的查询复杂性测试布尔傅立叶稀疏函数。我们的边界是紧对数因子和二次改善的结果，由于古尔和Tamuz（芝加哥J. Theor. Comput.科学，2013年）的报告。
2015-04-07 cs.CC cs.DS
Improved Reconstruction for Fourier-Sparse Signals
针对傅里叶稀疏信号重建，提出统一框架，实现无维度依赖的样本最优恢复及高精度插值，突破先前近似障碍。
2023-11-17 cs.DS
Traversing the FFT Computation Tree for Dimension-Independent Sparse Fourier Transforms
我们认为，研究稀疏傅立叶变换问题，其中一个目的是快速恢复近似傅立叶$k$ -稀疏向量$\widehat{x} \in \mathbb{C}^{n^d}$从观察其时域表示$x$。在精确的$k$ -稀疏情况下，最好的已知的维度无关算法在$k$中以接近立方时间运行，并且不清楚是否可能有更快的算法，如在低维度中。除此之外，所有已知的方法要么遭受对维度$d$的指数依赖性，要么只能容忍微不足道的噪声量。这与Cooley和Tukey的经典FFT形成鲜明对比，后者是稳定的，对输入向量的维数完全不敏感：它的运行时间是$O(N\log N)$，在任何维数$d$中，对于$N=n^d$。我们的工作旨在解决上述问题。首先，我们提供了一个翻译/减少正是$k$稀疏FT问题的具体树探索任务，要求恢复$k$叶在一个完整的二叉树在一定的探索规则。随后，我们提供了（a）一个几乎二次的$k$时间算法的这项任务，和（b）证据表明，通过这种方法的稀疏FT的强次二次时间可能是不可能的。我们通过证明稀疏多项式多点评估（经典的非等间距稀疏FT）的条件二次时间下限来实现后者，这是上述翻译中的核心例程。因此，我们的结果相结合，可以看作是一个几乎完整的理解这种方法，这是唯一已知的方法，产生次线性时间维无关的稀疏FT算法。随后，我们提供了我们的算法的鲁棒性，产生一个强大的立方时间算法下有界$\ell_2$噪声。这就需要证明新的结构特性，最…
2023-01-22 cs.DS
Robust Sparse Fourier Transform Based on The Fourier Projection-Slice Theorem
最先进的汽车雷达采用多维离散傅里叶变换（DFT）来估计各种目标参数。DFT使用快速傅里叶变换（FFT）来实现，采样复杂度和计算复杂度分别为$O(N)$和$O(N \log N)$，其中$N$是信号空间中的采样数。我们最近提出了一种基于傅立叶投影切片定理（FPS-SFT）的稀疏傅里叶变换，它适用于在频域中稀疏的多维信号。FPS-SFT对于多维、$K$稀疏信号实现了$O(K)$的样本复杂度和$O(K \log K)$的计算复杂度。虽然FPS-SFT考虑了理想场景，即，在本文中，通过将FPS-SFT扩展为鲁棒版本（RFPS-SFT），我们强调解决包含离网频率的噪声信号;这些信号来自雷达应用。这是通过采用窗口技术和基于投票的频率解码过程来实现的;前者将离网频率的频率泄漏降低到低于噪声水平以保持信号的稀疏性，而后者显著降低了源自噪声的频率定位误差。所提出的方法的性能从理论上和数值上证明。
2017-12-11 cs.DS eess.SP
(Nearly) Sample-Optimal Sparse Fourier Transform in Any Dimension; RIPless and Filterless
在本文中，我们考虑了广泛研究的问题，计算一个$k$稀疏近似的$d$维傅立叶变换的长度$n$信号。我们的算法使用$O(k \log k \log n)$样本，是无量纲的，适用于任何宇宙大小，并实现了最强的$\ell_\infty/\ell_2$保证，同时运行时间可与快速傅立叶变换相媲美。与以前的算法，无论是通过限制等距属性或通过过滤功能进行对比，我们的方法提供了一个新的视角稀疏傅立叶变换问题。
2019-09-24 cs.DS cs.IT math.IT
Learning Fourier-Sparse Signals and Multiband Signals
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）
该研究提出了无需先验频带位置的多频带信号高效恢复与插值算法，并证明k傅里叶稀疏信号存在多频带近似，给出了采样复杂度达统计上界量级的插值算法。
2026-11-04 cs.DS
A High-dimensional Sparse Fourier Transform in the Continuous Setting
在本文中，我们从理论上提出了一种新的哈希方案，建立稀疏傅立叶变换在高维空间。算法复杂度的估计表明，这种稀疏傅里叶变换可以克服维数灾难。据我们所知，这是第一个恢复高维连续频率的多项式时间算法。
2021-06-09 cs.DS cs.IT cs.NA
Sample Efficient Estimation and Recovery in Sparse FFT via Isolation on Average
快速计算其频谱由少量$k$频率支配的信号的傅立叶变换并且在时域中使用信号的少量样本的问题（稀疏FFT问题）最近受到了极大的关注。已知如何在$\approx k\log^2 n$时间中近似计算$k$ -稀疏傅立叶变换[Hassanieh等人的“STOC”12]，或者在时域中使用样本的最佳数量$O(k\log n)$ [Indyk等人的“FOCS”14]，或者同时进入这两个界限的$(\log\log n)^{O(1)}$因子内，但是没有已知在次线性时间中实现最佳$O(k\log n)$界限的算法。在本文中，我们提出了一种新的技术来分析噪声散列方案中出现的稀疏FFT，我们称之为隔离平均。我们将这种技术应用于稀疏FFT中的两个问题：使用少量样本估计频率列表的值和计算稀疏FFT本身，在$k\log^{O(1)} n$时间内实现样本最优结果。我们认为，我们的方法可能会在设计傅立叶采样方案更一般的设置（例如，基于模型的稀疏FFT）的兴趣。
2017-08-17 cs.DS
On the Design of Deterministic Matrices for Fast Recovery of Fourier Compressible Functions
我们提出了一个一般类的压缩感知矩阵，然后证明有相关的次线性时间稀疏近似算法。然后，我们开发的方法来构建专门的矩阵，从这一类是稀疏的乘以离散傅里叶变换矩阵。最终，这些考虑改进了先前的确定性稀疏傅里叶变换方法的采样要求。
2011-05-30 cs.DS cs.NA math.NA
Sample-Optimal Average-Case Sparse Fourier Transform in Two Dimensions
本文提出了二维sqrt{n} x sqrt {n}网格上稀疏离散傅里叶变换的第一个样本最优次线性时间算法。我们的算法分析/平均情况/信号。对于频谱完全稀疏的信号，我们的算法使用O（k）样本并在O（k log k）时间内运行，其中k是信号的预期稀疏度。对于频谱近似稀疏的信号，我们的算法使用O（k log n）个样本，运行时间为O（k log^2 n）;后一种算法适用于k=Theta（sqrt{n}）。我们的算法所使用的样本数与相应信号模型的已知下限相匹配。通过已知的约简，当n是小合数的幂（例如，n = 6（t）。
2013-03-05 cs.DS cs.IT math.IT
Nearly Optimal Quantum Sample Complexity of Learning Fourier-Sparse Boolean Functions
College of Computer and Data Science, Fuzhou University（福州大学计算机与数据科学学院）
该研究针对至多有k个非零傅里叶系数的布尔函数，提出了样本复杂度为\\(\widetilde{O}(k)\\)的量子学习算法，改进了此前的上界，并推导得到紧的经典样本复杂度\\(\Theta(nk)\\)。
2026-10-14 cs.CC cs.DS quant-ph
Fourier Sparse Leverage Scores and Approximate Kernel Learning
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；UMass Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；New York University（纽约大学）
我们证明了新的明确的上界的杠杆分数的傅立叶稀疏函数下的高斯和拉普拉斯措施。特别是，我们研究$s$ -稀疏函数的形式$f(x) = \sum_{j=1}^s a_j e^{i λ_j x}$的系数$a_j \in \mathbb{C}$和频率$λ_j \in \mathbb{R}$。在各种度量下的傅立叶稀疏杠杆分数在近似理论中具有纯数学意义，我们的工作扩展了统一度量的现有结果[Erd 17，CP 19 a]。实际上，我们的边界是由两个重要的应用在机器学习的动机：1。核近似他们产生一个新的随机傅立叶特征算法近似高斯和柯西（有理二次）核矩阵。对于低维数据，我们的方法使用一个接近最佳数量的功能，其运行时间是多项式的近似核矩阵的$statistical\ dimension$。这是第一个“不经意的素描方法”，除了多项式核之外，任何核都具有此属性，解决了[AKM+17，AKK+20 b]的公开问题。2.主动学习。当数据服从高斯或拉普拉斯分布时，它们可以用作鲁棒主动学习的非均匀采样分布。使用[AKM+19]的框架，我们为带限和多带插值以及高斯过程回归提供了基本上最优的结果。这些结果推广了现有的工作，只适用于均匀分布的数据。
2021-07-08 cs.DS cs.LG math.CA
Optimal Extrapolation Bounds for Sparse Fourier Sums
Purdue University（普渡大学）
研究任意实频率上\(k\)稀疏傅里叶和的最优外推界，给出相关不等式改进前人结果。作为算法结果，提高了聚类频率恢复算法的聚类中心分辨率，还获得稀疏傅里叶特征空间的外部杠杆得分和转移界。
2026-07-14 cs.DS cs.NA math.CA
An in-place truncated Fourier transform
我们表明，简单的修改范德胡芬的正向和逆截断傅立叶变换允许的算法进行到位，只有一个线性开销的复杂性。
2021-01-22 cs.CC cs.DS
Deterministic Sparse Fourier Transform with an ell_infty Guarantee
在本文中，我们重新审视稀疏傅立叶变换问题的确定性版本，它要求只读取$x \in \mathbb{C}^n$的几个条目，并设计一个恢复算法，使算法的输出近似于$\hat x$，$x$的离散傅立叶变换（DFT）。随机情况已经很好地理解，而确定性情况下的主要工作是Merhi等人的工作。（J Fourier Anal Appl 2018），它获得了$O(k^2 \log^{-1}k \cdot \log^{5.5}n)$示例和具有$\ell_2/\ell_1$保证的类似运行时。我们专注于更强的$\ell_{\infty}/\ell_1$保证和密切相关的问题的非相干矩阵。我们的贡献如下。1.我们发现一个确定性的收集$O(k^2 \log n)$样本的$\ell_\infty/\ell_1$恢复时间$O(nk \log^2 n)$，和一个确定性的收集$O(k^2 \log^2 n)$样本的$\ell_\infty/\ell_1$稀疏恢复时间$O(k^2 \log^3n)$。2.我们给出了新的确定性结构的非相干矩阵的DFT矩阵的行采样子矩阵，通过derandomization的伯恩斯坦不等式和边界上的指数和分析数论中考虑。我们的第一个构造与Nelson，Nguyen和Woodruff（RANDOM'12）以前的随机构造相匹配，其中对非相干矩阵的形式没有约束。我们的算法几乎是样本最优的，因为$Ω(…
2020-05-07 cs.DS cs.IT math.IT
Computing a k-sparse n-length Discrete Fourier Transform using at most 4k samples and O(k log k) complexity
给定$n$长度的输入信号$\mbf{x}$，众所周知，其离散傅立叶变换（DFT）$\mbf{X}$可以使用快速傅立叶变换（FFT）以$O(n \log n)$复杂度计算.如果谱$\mbf{X}$恰好是$k$ -稀疏的（其中$k<<n$），我们能做得更好吗？当$k$在$n$中是次线性时，我们证明了在$k$和$n$中是渐近的（精确地，$k \propto n^δ$，其中$0 < δ<1$），并且非零DFT系数的支持是均匀随机的，我们可以以两种基本方式利用这种稀疏性（i）{ \bf {样本复杂度}}：我们仅需要$M=rk$确定性地选择的输入信号$\mbf{x}$的样本（其中当$0 < δ< 0.99$时为$r < 4$）;以及（ii）{ \bf {计算复杂度}}：我们可以使用$O(k \log k)$运算来可靠地计算DFT $\mbf{X}$，其中大Oh中的常数很小，并且与计算长度近似等于稀疏参数$k$的少量DFT中所涉及的常数有关。我们的算法成功的概率很高，与失败的概率渐近消失到零的样本数量，$M$。
2015-01-26 cs.DS cs.IT cs.MM
Sub-string/Pattern Matching in Sub-linear Time Using a Sparse Fourier Transform Approach
我们考虑查询长度为$N$位的字符串（或数据库）的问题，以确定长度为$M$的子串（查询）出现的所有位置，或者恰好在$K$与查询的汉明距离内。我们假设原始信号的草图可以离线计算并存储。使用稀疏傅立叶变换计算为基础的方法介绍了Pawar和Ramchandran，我们表明，所有这样的匹配可以确定在次线性时间的高概率。具体来说，如果查询长度$M = O(N^μ)$和匹配$L=O(N^λ)$的数量，我们表明，$λ< 1-μ$的所有匹配的位置可以确定的概率接近1的$N \rightarrow \infty$为$K \leq \frac{1}{6}M$。更重要的是，我们的方案具有仅为$O\left(\max\{N^{1-μ}\log^2 N, N^{μ+λ}\log N \}\right)$的最坏情况的计算复杂度，这意味着对于$λ<1-μ$，我们可以在{ \it次线性}时间内恢复所有匹配位置。这是对Andoni { \em et al.}的用于恢复一个匹配位置的$O\left(N^{1-0.359 μ} \right)$的最佳已知计算复杂度的实质性改进。\cite{andoni2013shift}。此外，需要计算、存储和访问的傅立叶变换系数的数量，即，该算法的绘制复杂度仅为$O\left(N^{1-μ}\log N\right)$。几个扩展的主要主题也进行了讨论。
2017-04-25 cs.DS cs.IT math.IT
Discrete and Fast Fourier Transform Made Clear
快速傅里叶变换被《科学与工程计算》列入20世纪十大算法。本文用初等线性代数的方法给出了离散傅立叶变换和快速傅立叶变换的一种新的简便推导方法。我们通过引入向量的卷积积开始论述，由循环矩阵表示，并推导出离散傅立叶变换作为对角化循环矩阵的基矩阵的变化。我们还推广我们的方法，以获得任何有限阿贝尔群上的傅立叶变换，在布尔立方体上的傅立叶变换的情况下，在理论计算机科学中的许多应用是特别重要的。
2019-08-17 cs.DM cs.DS math.CO
The Fourier Transform of Restrictions of Functions on the Slice
本文研究布尔超立方体切片上的傅里叶变换。证明了切片上函数的傅里叶系数与其限制条件的傅里叶系数之间的关系。作为应用，我们证明了一个Goldreich-Levin定理的切片上的函数的基础上的Kushilevitz-Mansour算法的布尔超立方体。
2021-11-05 cs.CC cs.DS math.CO
