关于平滑曲线邻域内代数共轭坐标点的分布
On distribution of points with algebraically conjugate coordinates in neighborhood of smooth curves
摘要：
设$φ:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是区间$J\subset\mathbb{R}$上的连续可微函数，$\boldsymbolα=(α_1,α_2)$是具有代数共轭坐标的点，使得$α_1,α_2$的极小多项式$P$的次数为$\leq n$，高度为$\leq Q$。用$M^n_φ(Q,γ, J)$表示这样的点的集合$\boldsymbolα$，使得$|φ(α_1)-α_2|\leq c_1 Q^{-γ}$。我们证明了，对于一个真正的$0<γ<1$和任何足够大的$Q$存在正值$c_2<c_3$，其中$c_i=c_i(n)$，$i=1,2$，这是独立的$Q$，使$c_2 Q^{n+1-γ}<\# M^n_φ(Q,γ, J)< c_3 Q^{n+1-γ}$。
英文摘要：
Let $φ:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ be a continuously differentiable function on an interval $J\subset\mathbb{R}$ and let $\boldsymbolα=(α_1,α_2)$ be a point with algebraically conjugate coordinates such that the minimal polynomial $P$ of $α_1,α_2$ is of degree $\leq n$ and height $\leq Q$. Denote by $M^n_φ(Q,γ, J)$ the set of such points $\boldsymbolα$ such that $|φ(α_1)-α_2|\leq c_1 Q^{-γ}$. We show that for a real $0<γ<1$ and any sufficiently large $Q$ there exist positive values $c_2<c_3$, where $c_i=c_i(n)$, $i=1,2$, which are independent of $Q$, such that $c_2 Q^{n+1-γ}<\# M^n_φ(Q,γ, J)< c_3 Q^{n+1-γ}$.
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