Box Dimension and Fractional Integrals of Multivariate Fractal Interpolation Functions
本文对给定的数据点构造了多元分形插值函数，并讨论了定义在$[0,1]\times \cdots \times [0,1](q\text{-times})$上的多元连续函数所对应的$α$ -分形函数的存在性.参数的选择使得相应的分形版本保留了原始函数的一些性质，例如，如果给定的函数是Hölder连续的，那么相应的$α$ -分形函数也是Hölder连续的。此外，我们探讨了$α$ -分形函数在坐标轴上的限制。进一步研究了多元$α$ -分形函数图的盒维数和豪斯多夫维数及其限制。最后证明了分形函数的混合Riemann-Liouville分数次积分满足一个自参考方程。
2022-06-27 math.FA
On Bivariate Fractal Interpolation for Countable Data and Associated Nonlinear Fractal Operator
我们提供了一个通用的框架来构造分形插值曲面（FIS）的规定可数无限数据集上的矩形网格。以此为工具，我们得到了同时插值和逼近给定二元连续函数的二元分形函数的参数族。相关的非线性（不一定是线性的）分形算子的一些基本性质的建立，从而启动的分形插值的概念与非线性算子理论的相互作用。
2020-10-12 cs.NA math.DS math.FA
Complex Powers of the Laplacian on Affine Nested Fractals as Calderón-Zygmund operators
我们给出了第一个自然的例子Calderón-Zygmund运营商的分析理论的后临界有限自相似分形。这是通过证明具有3个或更多边界点的嵌套分形上的纯虚Riesz和Bessel势是这种类型来实现的。因此，这些算子在$L^{p}$，$1<p<\infty$上有界，并且满足弱1-1界.这种分析可以推广到这些分形的无限爆破，也可以推广到基于分形或其爆破的积空间。
2013-10-31 math.AP math.FA
Towards a More General Type of Univariate Constrained Interpolation With Fractal Splines
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
本文提出更一般的单变量约束分形插值方法，通过选择参数使插值曲线严格位于给定线性或二次样条之上，并利用Peano核定理分析近似性质。
2015-03-24 cs.NA math.CA math.FA
The Laplacian on some self-conformal fractals and Weyl's asymptotics for its eigenvalues: A survey of the analytic aspects
本文综述了作者最近关于构造和分析“几何规范”Laplacian的研究的分析方面，Laplacian关于圆填充分形关于某些Kleinian群不变（即，黎曼球面上的莫比乌斯变换的离散群（$\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$），包括经典的阿波罗垫圈和一些圆形的谢尔皮斯基地毯。关于Weyl的特征值渐近性的主要结果与Oh和Shah [Invent. Math.187（2012），1- 35，定理1.4]关于在非常大的一类这样的分形中的圆的渐近分布。
2021-05-06 math.DS math.FA math.PR
Approximation of fractals by discrete graphs: norm resolvent and spectral convergence
我们证明了一类具有任意Borel正则概率测度的后临界有限分形上的Laplacian的范数收敛结果，它可以用具有相应离散概率测度的有限维图Laplacian序列来逼近.作为结果，拉普拉斯算子的其他函数（热算子、谱投影等）在算子范数下也收敛。并推导出谱和本征函数在能量范数下的收敛性。
2018-09-07 math-ph math.FA math.MP
Energy and Laplacian on Hanoi-type fractal quantum graphs
本文研究紧度量空间上的势理论和谱分析，我们称之为分形量子图。这些空间可以表示为一个（可能是无限的）1维区间和一个完全不连通（可能是不可数的）紧集的并集，它粗略地表示连接点的集合。经典的量子图和分形空间，如河内吸引子，其中包括。首先证明了Hanoi吸引子上的阻力形式的存在性，然后建立了Hanoi吸引子上的弱自相似测度对应的Laplacian特征值计数函数的热核估计和上下界.这些估计和边界严重依赖于分形的长度和体积缩放因子之间的关系。然后，我们陈述并证明了一般分形量子图上存在电阻形式的一个充分必要条件。最后，我们将我们的谱结果推广到一大类弱自相似分形量子图。
2015-07-31 math-ph math.FA math.MG
One-dimensional wave equations defined by fractal Laplacians
Georgia Southern University（佐治亚南方大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）；University of Connecticut（康涅狄格大学）
本文研究了一维由一类分形拉普拉斯算子定义的波动方程，通过自相似身份离散化方程并利用有限元和中心差分法得到弱解的数值近似，证明了数值解收敛于弱解并获得收敛率估计。
2014-06-01 cs.NA math-ph math.AP
Laplacians on Julia sets of rational maps
对朱利亚集的研究为我们提供了一种新的自然的方法来看待分形。当数学家调查的特殊类Misiurewicz的理性地图，他们发现，有一个朱利亚集是同胚的一个著名的分形，谢尔宾斯基垫片。本文利用Kigami方法构造了一类新的具有动态不变性质的Sierpinski gasket like朱利亚集上的Laplacian.
2020-01-12 math.DS math.FA
Multivariate Zipper Fractal Functions
A novel approach to zipper fractal interpolation theory for functions of several variables is proposed. We develop multivariate zipper fractal functions in a constructive manner. We then perturb a multivariate function to construct its zipper $α$ -fractal varieties through free choices of base functions, scaling functions, and a binary matrix called signature. In particular, we propose a multivariate Bernstein zipper fractal function and study its approximation properties such as shape preserving aspects, non-negativity, and coordinate-wise monotonicity. In addition, we derive bounds for the g…
2022-12-07 math.FA
A note on energy forms on fractal domains
J. Kigami通过允许在具有分形特征的图上构造具有拉普拉斯算子相同性质的算子，奠定了现在称为分形分析的基础。Sierpinski垫片就是最著名的例子。从那时起，它被R. S.哈茨拉普拉斯算子是通过一个弱公式获得的，该公式是通过狄利克雷形式获得的，该狄利克雷形式是通过对一系列收敛于所考虑的域的图进行归纳而建立的。正是这些狄利克雷形式，使人们能够获得能量形式在这个领域。然而，事情并没有那么简单。如果，对于像谢尔宾斯基垫片这样的区域，拉普拉斯算子是以一种非常自然的方式获得的，那么我们必须记住，狄利克雷形式只依赖于区域的拓扑结构，而不是它的几何结构。这意味着，如果一个人的目标是建立一个分形域上的拉普拉斯算子，其拓扑结构是相同的，例如，一个线段，一个人必须找到一种方法来考虑一个非常具体的几何形状。我们在研究维尔斯特拉斯函数的图形时遇到了这个问题。因此，解决方案是考虑比经典形式更复杂的能量形式，通过归一化常数，不仅可以承载拓扑结构，而且可以承载非常特定的几何形状，从现在开始，我们将称为W曲线。我们目前的目标是研究能量形式和几何之间的联系。我们选择考虑分形曲线，具体地说，Sierpienski箭头曲线，其极限是Sierpienski垫片。是否得到与三角形相同的拉普拉斯算子？这个问题似乎值得研究。
2017-04-14 math.FA math.GT
Local fractal functions in Besov and Triebel-Lizorkin spaces
在一个新的概念的局部迭代函数系统（本地IFS），我们考虑一类吸引子，这样的IFS，即那些是图的功能。这些新的函数被称为局部分形函数，它们扩展和推广了目前在分形文献中发现的那些函数。对于一类局部分形函数，给出了它们是Besov和Triebel-Lizorkin空间元素的显式条件.这两种尺度的函数空间在插值理论中起着重要的作用，并且对于它们的定义参数的一定范围，描述了许多经典的函数空间（在等价范数的意义下）。我们得出的条件提供了直接的信息，包括当地的分形函数，例如，勒贝格，Sobolev，Slobodeckij，Hölder，贝塞尔潜力，和当地的哈代空间。
2014-08-27 math.FA
Analysis on hybrid fractals
我们引入了混合分形作为一类分形构造的粘合几个分形片在一个特定的方式和研究的能量形式和拉普拉斯算子。我们认为，特别是一个混合动力的基础上的$3$级Sierpinski垫片，我们明确地构建一个能量形式的属性，它不“捕获”的$3$级Sierpinski垫片结构。这种特征类型的能量形式，“错过”的基础空间的结构的一部分进行了研究，在更一般的框架下的crosramified细胞结构。从理论和数值上分析了两种不同杂交算子的谱及其渐近行为。进一步的数字数据分析的网站可在http://www.math.cornell.edu/~harry970804/上查阅。
2018-04-15 math.FA math.SP
On the viscous Burgers equation on metric graphs and fractals
研究了Sierpinski垫片上Burgers方程的一种形式，该垫片是p.c.f.的原型。自相似分形一种可能性是将Burgers方程实现为与标量函数的Laplacian相关联的半线性热方程，就像在单位区间上一样。在这里，我们提出了第二个，不同的配方如下从科尔-霍普夫变换，并与拉普拉斯算子的向量场。这两个方程之间的差异可以理解为度量图上拉普拉斯算子的不同顶点条件。对于第二个公式，我们证明了解的存在唯一性，并验证了对初始条件的连续依赖性。我们还证明了Sierpinski垫片上的解决方案可以近似在一个弱意义上的近似度量图的相应方程的解决方案。这些结果是一个更大的程序讨论分形空间上的非线性偏微分方程的一部分。
2017-12-14 math-ph math.AP math.FA
The growth of eigenfunction extrema on p.c.f. fractals
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文研究了p.c.f.分形上拉普拉斯特征函数局部极值的增长问题，通过建立Sierpinski雪糕的精确双侧估计，揭示了谱维数d_S对特征函数复杂性的支配作用，与欧几里得空间中的增长规律形成鲜明对比。
2026-05-19 math.FA
Gaps in the spectrum of the Laplacian on $3N$-Gaskets
本文对分形$3N$-垫片进行了分析，这是一类后临界有限分形，其中包括$N=1$的Sierpinski三角形，特别是拉普拉斯$Δ$在这些垫片上的性质。我们首先证明了存在一个自相似的测地度量这些垫片，并证明热核估计这个拉普拉斯算子的测地度量。我们还计算元素的光谱抽取的方法，用于确定后临界有限分形的频谱的技术。这些垫片上的频谱抽取产生于比先前示例中更复杂的动力学，即所涉及的函数是有理数而不是多项式。由于这些动力学的性质，我们能够证明频谱中存在间隙。
2015-03-22 math-ph math.FA math.MG
Some Properties of the Derivatives on Sierpinski Gasket Type Fractals
本文主要研究p.c.f.上包含正规导数在内的一类导数，即Mashartz导数。(post临界有限）分形，其定义在近似分形的图中的顶点处。得到了Laplacian域上函数导数的一个弱连续性性质。对于一个在任意固定顶点处法向导数为零的函数，其导数，包括相邻顶点的法向导数，将衰减为零。最佳速率的近似描述和几个非平凡的例子来说明我们的估计是尖锐的。我们还研究了拉普拉斯算子域上函数导数的有界性。给出了函数在顶点有一阶弱切线的一个必要条件。此外，我们还给出了一个反例，证明了Schmidhartz关于高阶弱切线存在性的一个猜想。
2016-02-12 math.CA math.FA
Approximation of fractals by manifolds and other graph-like spaces
利用拟酉等价的概念，在类图度量测度空间和离散加权图上定义了能量形式之间的距离。我们将这个结果应用于度量图和图状流形（例如嵌入度量图的小邻域）作为度量测度空间，其能量形式与规范拉普拉斯算子相关联，例如，度量图上Kirchhoff Laplacian在流形（有边界）上的（Neumann）Laplacian，用几何量表示相关能量形式的距离。我们在arXiv：1704.00064中表明，在pcf分形上的能量形式的定义中使用的加权图上的能量形式的近似序列在准酉等价中的距离趋于0的意义上收敛。利用拟酉等价的传递性，我们得到了度量图和图流形上的能量形式序列可以逼近pcf分形上的能量形式的结论。特别是，我们表明，有一个序列的域收敛到PCF分形，使相应的（诺依曼）能量形式收敛到分形能量形式。能量形式的拟酉等价蕴涵了相应Laplace算子的预解式之差的范数估计。因此，适当的函数的拉普拉斯是接近的。收敛以及运营商的范数，例如相应的热运营商和频谱投影。对于上述所有例子中的谱和本征函数也是如此。
2018-02-08 math-ph math.FA math.MP
Distribution theory on p.c.f. fractals
我们构建了一个理论的分布在分析的设置后临界有限自相似分形，分形和产品的基础上，这样的分形。结果包括检验函数和分布的基本性质，一个结构定理表明，分布是局部有限的应用于连续函数的Laplacian的权力和，并与点支持的分布的分析。最后，对亚椭圆型偏微分算子的研究提出了一些建议。
2009-03-24 math.CA math.FA
The resolvent kernel for PCF self-similar fractals
对于定义在p.c.f.上的拉普拉斯算子$Δ$，在自相似分形的基础上，给出了Dirichlet边界条件和Neumann边界条件下Laplacian算子的预解核的显式表达式.也就是说，我们构造一个对称函数$G^{(λ)}$，它求解$(λ\mathbb{I} - Δ)^{-1} f(x) = \int G^{(λ)}(x,y) f(y) dμ(y)$。该方法类似于Kigami在\cite [ \S 3.5]{Kig 01}中构建的绿核，并表示为某个函数$ψ^{(λ)}$的缩放和“平移”副本的总和，该函数可被视为预解方程的基本解。给出了单位区间、标准Sierpinski垫片和3层Sierpinski垫片$SG_3$的显式预解核公式的例子.
2009-04-30 math.AP math.FA
Spectral analysis on infinite Sierpinski fractafolds
一个分形折叠，一个空间，是局部建模在一个指定的分形，是分形等价的流形。对于基于Sierpinski垫片的紧致分形，第一作者证明了如何用有限图拉普拉斯算子的谱来计算拉普拉斯算子的离散谱。第二作者解决了一个类似的问题的情况下，无限爆破的Sierpinski垫片，其中频谱是纯点的无限重数。这两个作品使用的谱抽取的方法，以获得明确的描述的特征值和特征函数。在本文中，我们结合这些早期的作品的想法，得到一个描述的谱分解的拉普拉斯算子的非紧fractafolds。我们的主要抽象结果使我们能够获得一个完全明确的描述的谱分解的分形拉普拉斯算子。对于一些具体的例子，我们把谱分解转化为“Plancherel公式”。我们还提出了3-正则树上的图拉普拉斯算子的一个公式，这似乎是一个新的结果的独立利益。最后讨论了周期分形褶皱和分形场。
2010-11-04 math-ph math.AP math.FA
Existence of a Meromorphic Extension of Spectral Zeta Functions on Fractals
利用Kigami和Lapidus（基于更新理论）的经典结果和Hambly和Kajino基于热核估计和其他概率方法的新结果，研究了自相似分形上Laplacian的谱zeta函数的亚纯扩张的存在性.我们还制定了在现有文献中已分析的例子中成立。
2013-08-05 math-ph math.CV math.FA
A Fractal Operator on Some Standard Spaces of Functions
分形插值方法通过适当地选择迭代函数系中的元素，使得人们能够将实紧区间上的连续自指函数族与给定的实值连续函数联系起来。这个过程在$\mathcal{C}(I)$上推出了所谓的$α$ -分形算子，$\mathcal{C}(I)$是定义在紧区间$I$上的所有实值连续函数的空间。为了将分形函数与其他数学分支联系起来，本文继续研究了更一般的空间中的分形算子，如所有有界函数空间$\mathcal{B}(I)$和Lebesgue空间$\mathcal{L}^p(I)$，以及一些光滑函数的标准空间，如$k$ -次连续可微函数空间$\mathcal{C}^k(I)$，Hölder空间$\mathcal{C}^{k,σ}(I)$和Sobolev空间$\mathcal{W}^{k,p}(I)$ .利用$α$ -分形算子的性质，证明了由自指函数构成的Schauder基的存在性.
2015-05-19 math.DS math.FA
Analysis of non-linear fractal functions on PCF self-similar sets
本文利用Edelstein压缩建立PCF自相似集上非线性分形插值函数的一般构造框架，分析其能量、法向导数与图像盒维数界，并通过Sierpinski垫、von-Koch曲线及多组数值示例验证。
2025-05-15 math.DS math.FA
Generating fractal functions associated with Suzuki iterated function systems
本文提出利用 Suzuki 型广义 $φ$-压缩映射构造 $α$-分形插值函数，并通过新德里菠菜价格案例分析及盒维数分析验证其在价格波动预测中的应用价值。
2025-01-28 math.DS math.FA math.GN
