The Quotient of Milnor Number by Tjurina Number of Hypersurface Singularities in Arbitrary Characteristic
Tsinghua University（清华大学）
本文通过Hilbert-Samuel乘数等工具，建立了任意特征下孤立hypersurface奇异性的广义Milnor数与Tjurina数商的精确上界，并推导出特征零下的上界，证明了孤立表面奇点的μ/τ≤3/2，回应了Almirón猜想并验证了Durfee猜想的弱形式。
2026-10-14 math.AG
Computing the monodromy and pole order filtration on Milnor fiber cohomology of plane curves
本文给出了一种计算任意约化射影平面曲线$C$的Milnor纤维上同调的单值性和极阶滤子的算法。讨论了$C$定义的齐次多项式与Bernstein-Sato多项式零点集的关系。当$C$具有非加权齐次奇点时，为了得到某些结果，我们必须假设一个猜想成立。在迄今为止计算的所有例子中，这个猜想都成立。
2017-09-12 math.AG math.AT
Milnor numbers of projective hypersurfaces with isolated singularities
设V是固定次数和维数的射影超曲面，且只有孤立奇点。我们证明，如果在V的奇点的Milnor数的总和是大的，那么V不能有一个点的大的重数，除非V是一个锥。作为应用，我们对Dimca和Papadima的一个猜想给出了肯定的回答.
2014-05-31 math.AG
Dimension, multiplicity, holonomic modules, and an analogue of the inequality of Bernstein for rings of differential operators in prime characteristic
设$K$是特征$p>0$的{ \em arbitrary}域，$\CD (P_n)$是以$n$为变量的多项式代数$P_n$上的微分算子环.对环$\CD (P_n)$证明了一个期待已久的{ \em类似Bernstein不等式}.同时，在素特征中找到了（Gelfand-Kirillov）{ \em维数，重数，完整模}概念的类似物（回答了寻找类似物的老问题），证明了对于简单的{ \em提出} $\CD (P_n)$ -模，{ \em Quillen引理}的类似物.与特征零情况（其中，非零随机生成的$\CD (P_n)$ -模块$M$的Geland-Kirillov维数可以是来自区间$[n,2n]$的{ \em任何自然}数）相反，在素特征中，（新）维数$\Dim (M)$可以是来自区间$[n,2n]$的\underline{\em any real}数。
2006-05-02 math.AG math.RA
On combinatorial invariance of the cohomology of Milnor fiber of arrangements and Catalan equation over function field
我们讨论的组合不变性的贝蒂数的Milnor纤维的安排线的点的多重性最多为3和描述之间的联系，这个问题和枚举的解决方案的加泰罗尼亚方程的函数域的情况下，其系数是产品的线性型和方程定义的椭圆曲线。
2010-12-02 math.AG
Topological roots of the Bernstein-Sato polynomial of plane curves
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
研究任意平面曲线奇点局部Bernstein-Sato多项式的一组拓扑根，用除子赋值和对数极小分解数值数据刻画，证明对n=2的强单值性猜想的重数部分。
2026-06-05 math.AG
Codimension Two Determinantal Varieties with Isolated Singularities
研究了具有孤立奇点的两个行列式簇的余维数。这些奇异点具有唯一的光滑性，因此我们可以将它们的Milnor数定义为它们的类纤维的中间贝蒂数。对于C^4中的曲面，我们得到了用第二极重数和一般截面的Milnor数表示曲面的Milnor数的Lê-Greuel公式。我们还将Milnor数与Ebeling和Gusein-Zade指数的1-形式给出了一个通用的线性投影定义在表面上的微分。为了说明结果，在最后一节中我们计算了A的一些正规形的Milnor数。Frühbis-Krüger和A. Neumer [2]简单行列式曲面奇点列表。
2011-11-28 math.AG
From Differential Values to Roots of the Bernstein-Sato Polynomial
本文证明了尖点的微分值半模如何决定其Bernstein-Sato多项式根的子集，并在重数$n\leq 4$时给出了更精确的结果。
2024-12-18 math.AG
Pfaffian Intersections and Multiplicity Cycles
本文研究了一个代数簇与一个Pfidian叶理在簇的每一点上的交重数的估计问题。我们表明，这种多重性可以优化在每一个点$p$的局部代数多重性在$p$适当构造的代数循环。这个结构是基于Gabrielov对Rolle-Khovanskii引理的复杂模拟。我们说明的主要结果，通过推导出类似的一致估计的复杂性的Milnor纤维的变形（光滑假设下）和代数超曲面和任意非奇异一维叶理之间的接触顺序。我们还使用的主要结果给出了一个替代的几何证明的背景下，交换群簇的经典的多重性估计。
2015-08-13 math.AG
Equisingularity, Multiplicity, and Dependence
本文是Gaffney，Massey和作者最近工作的一个报告，描述了一类具有函数的ICIS芽的条件A_f和W_f。首先，我们非正式地介绍工作。然后回顾了A_f和W_f的形式定义，并给出了用Milnor数的恒常性刻画它们的定理。接下来我们回顾了Buchsbaum-Rim重数的定义，并通过某些Buchsbaum-Rim重数的恒定性重新表述了定理。最后，我们回顾了元素对自由模的子模的积分依赖理论，并应用它证明了改进的定理。
1998-05-13 math.AG
On some indices of foliations and applications
Federal University of Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）；Universidad de La Laguna（拉各斯大学）；Pontificia Universidad Católica del Perú（秘鲁天主教邦定大学）
本文研究了叶的某些指标及其应用，推导了Tjurina数的局部公式，并提供了关于叶乘数和不变曲线Milnor数的新的全局结果证明。
2025-12-25 math.AG math.CV
The Multiplicity Polar Theorem and Isolated Singularities
利用交换代数中的不变量对几何对象进行计数是奇点理论中的一个基本思想。例如，理想的重数可以用来计算两个解析集在非横截相交点的交点。理想或模的重数的一个问题是，它只定义于有限长度的模和理想。在本文中，我们使用对模块和他们的多重性作为一种方法，围绕这个困难。一个关键的工具是多重性极定理，适用于家庭对的模块，链接的多重性在一般对家庭的多重性对在特殊纤维。我们研究的具体问题是：设X，0是C^n中的一个等维复解析集，T^*_X（C^n）是X，s的光滑部分的余法向量的闭包，S是T^*（C^n）的一部分，C^n的余切丛限制在X上。假设s的像（记为im（s））与T^*_X（C^n）的交集是孤立的。然后我们利用对的重数计算交重数im（s）\cdot T^*_X（C^n）。很容易看出，如果X=C^n且s（x）=df（x），其中f在原点有一个孤立奇点，那么这个数就是f的米尔诺尔数。这个数字的变化出现在几个不同的情况下，如，理论的微分形式的奇异空间，理论的D-模，Milnor纤维的功能与孤立奇点，A_f分层条件的托姆，和理论的欧拉不变量。我们讨论我们的结果的应用到所有这些情况。
2005-09-13 math.AC math.AG
Bernstein-Sato polynomials of hyperplane arrangements
我们表明，Bernstein-Sato多项式（即，b-函数）的超平面安排与一个简化方程是可计算的Malgrange公式的推广相结合的理论，Aomoto复杂由于埃斯诺特，Schechtman，Terao，Varchenko，和Viehweg在某些情况下。我们一般地证明了根大于-2，且根-1的重数等于周围空间的（有效）维数。我们还给出了根的重数的估计在稠密的边缘的安排的重数，并提供了一种方法来计算Bernstein-Sato多项式至少在3个变量的情况下，度最多为7和通用的重数最多为3。利用我们的论证，我们可以终止Denef和Loeser关于拓扑zeta函数与约化超平面排列的Bernstein-Sato多项式之间关系的一个猜想的证明。
2016-06-11 math.AG
The Complete Intersection Discrepancy of a Curve II: Families of Curves
Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）；Department of Mathematics Northeastern University（东北大学数学系）；Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche Centre national de la recherche scientifique (CNRS)（巴黎左岸苏邦数学研究所 法国国家科学研究中心）
本文研究了曲线族的等奇异性和完全交差异，证明了魏特奇等奇异性和强同时解析性的等价性，并展示了米尔诺数的上半连续性及其在拓扑等奇异中的应用。
2026-11-03 math.AC math.AG math.CV
The Bernstein-Sato Polynomial of the Hankel Determinant
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学学院）
本文确定通用对称Hankel矩阵行列式的整体Bernstein--Sato多项式，通过近旁循环、阿基米德zeta积分及Gauss--Radau参数化等方法，证明了极点与根的关系及单值类的唯一性。
2026-09-18 math.AG
On the multiplicity of isolated roots of sparse polynomial systems
我们给出了公式的多重性的任何仿射孤立零的一般多项式系统的n个方程在n个未知数与规定的单项式。首先，我们考虑的支持，使原产地是一个孤立的根相应的一般系统，并证明其多重公式。然后，我们应用这些公式来解决问题的一般情况下，通过显示的多重性的任意仿射孤立零的一般系统与给定的支持等于重性的起源作为一个公共零的一般系统与相关的家庭的支持。所获得的公式是在经典的伯恩斯坦定理的精神，在这个意义上，它们依赖于系统的组合结构，即，几何数值不变量相关联的支持，如凸集的混合体积，或者，混合积分的凸函数。
2018-08-14 math.AC math.AG
Fibonacci numbers and self-dual lattice structures for plane branches
考虑光滑复解析曲面上的平面分支，即曲线的不可约芽。我们将其爆破复杂度定义为实现其最小嵌入分辨率所需的点的爆破数量。我们证明了爆破复杂性$n$存在$F_{2n-4}$拓扑型，其中$F_{n}$是$n$的Fibonacci数.我们引入复杂性保持操作的拓扑型，增加的多重性，我们推导出的最大多重性的平面分支的爆破复杂性$n$是$F_n$。它是通过两种拓扑型来实现的，其中一种被认为是唯一能使米尔诺尔数最大化的拓扑型。我们还证明了在爆破复杂性$n$的平面分支的拓扑型集合上存在一个自然的偏序关系，使这个集合成为一个分配格，即它的任何两个元素都有一个下确界和一个上确界，这些运算中的每一个相对于第二个都是分配的.我们证明了这个格允许一个唯一的反序双射。由于这个双射是对合的，它定义了平面分支的拓扑型的对偶。最大化Milnor数的类型也是这个格的极大元，它的对偶是唯一具有最小Milnor数的类型。存在爆破复杂性$n$的$F_{n-2}$自对偶拓扑型。我们的证明是通过编码的拓扑型相关联的恩里克图。
2013-03-14 math.AG math.CO
F-Holonomic F-Modules
本文在 Frobenius 算子环上定义有限生成 F-模的 Bernstein 维数与重数，刻画其 great filtration，并建立 F-holonomic 模的 Abel 范畴及 Lyubeznik 酉 F-模的 holonomic 性。
2023-08-20 math.AC math.AG
Multiplicity estimates, analytic cycles and Newton polytopes
我们考虑的问题，估计多项式的多重性时，限制到光滑的解析轨迹（可能是奇异的）多项式向量场在一个给定的点或点，在一个假设下被称为D-属性。Nesterenko发展了一种消去理论方法来解决这个问题，这种方法在超越数理论中得到了广泛的应用。我们提出了一种替代方法来解决这个问题的基础上更多的本地分析的考虑。特别是，我们得到更简单的证明，许多最知名的估计，并给出更一般的配方，牛顿多面体，类似于伯恩斯坦-Kushnirenko定理。我们还提高了估计的依赖环境尺寸从双指数到基本上是最佳的单指数。
2014-11-19 math.AG math.CA math.NT
Bernstein--Sato polynomials of locally quasi-homogeneous divisors in $\mathbb{C}^{3}$
本文研究$\mathbb{C}^{3}$中局部拟齐次多项式的Bernstein--Sato多项式，构造$\mathscr{D}_{X}[s]$-模复形扩展已有结果，推导零点性质，给出超平面排列情形下零点公式及非组合候选根的等价刻画。
2024-11-29 math.AC math.AG math.CO
How many zeroes? Counting the number of solutions of systems of polynomials via geometry at infinity (Draft III)
在这本书中，我们描述了一种方法，通过复曲面几何以下问题：“估计的数量（计算适当的多重性）孤立的解决方案的n个多项式方程在n个变量超过一个代数闭域k。这种方法的结果是“通用”系统的解决方案的数量，根据他们的“牛顿多面体”，以及一个明确的特征是什么使系统“通用”。这一领域的开创性工作是在20世纪70年代由Kushnirenko，Bernstein和Khovanskii完成的，他们完全解决了“torus”（k\0）^n上的一般系统的解的计数问题。然而，在我们的问题的上下文中，解的自然域不是环面，而是仿射空间k^n。有一些工作的延伸伯恩斯坦定理的情况下，仿射空间，最近已完全解决，最后的步骤已进行了作者。本书的目的是以一种连贯的方式呈现这些结果。我们从一开始，即伯恩斯坦的美丽的定理，它表示的数量的解决方案的一般系统的混合体积的牛顿多面体。在任意代数闭域上，我们给出了Bernstein定理及其在仿射空间上的最新推广的完整证明，并描述了一些公开问题.我们还应用发达的技术，推导和推广Kushnirenko的结果Milnor数的超曲面奇点，在20世纪70年代作为一个先驱的发展环面几何。这本书尽可能简单易懂。特别是，它开发了所有必要的代数几何（模一些明确陈述的基本结果）与大量的例子和练习，并可以作为一个快速介绍基本代数几何。
2021-11-05 math.AG
Generalized Brieskorn Modules I: Convergent (a,b)-modules
Institut Elie Cartan UMR 7502 Université de Lorraine, CNRS（洛林大学埃利·嘉当联合研究实验室）；Institut Universitaire de France（法国高等研究院）
本文引入收敛 (a,b)-模（广义 Brieskorn 模）并建立其理论基础，通过半单滤过为后续定义高阶 Bernstein 多项式及证明分布 |f|^{2λ} 的多重极点存在性奠定基础。
2026-05-26 math.AG math.CV
The{N/D}-Conjecture for Nonresonant Hyperplane Arrangements
Tsinghua University（清华大学）；Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Fudan University（复旦大学数学与交叉科学研究院）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）
本文通过Walther的结果验证了满足非共振条件的加权超平面排列的n/d猜想，并推导出强拓扑单叶猜想。
2026-01-19 math.AC math.AG math.CO
Algorithms for Checking Rational Roots of $b$-functions and their Applications
超曲面的Bernstein-Sato多项式是一个重要的研究对象，有着广泛的应用。众所周知，通过计算获得它是复杂的，因为许多开放的问题和挑战表明。本文提出了一个算法族\texttt{checkRoot}，用于优化检验给定的有理数是否是Bernstein-Sato多项式的根及其重数的计算。该算法用于计算完整理想关于权的整体或局部Bernstein-Sato多项式和$b$-函数。它们被应用在许多情况下，其中有可能计算多项式的上界。也就是说，它可以通过嵌入分辨率，拓扑等价的奇点或使用A'Campo公式和谱数来实现。我们还提出了对数比较问题和相交同调D-模的方法。几个应用程序以及解决方案的一些挑战，这是棘手的经典方法。其中一个主要的应用包括计算的仿射空间的分层与当地的$b$-功能是恒定的每一层。值得注意的是，我们提出的算法不采用准素分解。我们也将我们的结果应用于计算Bernstein-Sato多项式的品种。本文中的方法已在{\sc Singular：Plural}中作为库{\tt dmod. lib}和{\tt bfun.lib}实现。本文中的所有例子都是用这种方法计算的。
2010-03-17 cs.SC math.AG math.RA
A higher-dimensional Van den Essen type formula for projective foliations and applications
该研究针对射影空间中沿光滑完全交奇异的一维全纯叶状结构，推导了高维Van den Essen型Milnor数变化公式，给出Milnor数下界，证明沿光滑曲线奇异叶状结构可经有限次曲线中心爆破化为重数1且一般点为初等奇点的叶状结构，并得到解消所需爆破次数的界。
2025-01-17 math.AG math.CV math.DS
Polynomial Bound on the Local Betti Numbers of a Real Analytic Germ
利用实解析芽的重数的多项式函数证明了实解析芽的局部贝蒂数和的有界性。这个结果可以解释为经典的Oleinik-Petrovsky界（也称为Oleinik-Milnor界）在半代数集的贝蒂数和上的局部化。证明依赖于几何和代数参数之间的相互作用，其关键元素是芽的切锥，Mather拓扑平凡化定理，Oleinik-Petrovsky界，以及D. Mumford和J. Heintz用一个多项式函数来界定一个理想的生成元的次数，这个多项式函数是它的相关变种的几何次数。我们的结果，然后应用到产量的界限上的不变量从奇点理论，如Lipschitz-Killing曲率不变量和Vitushkin变化（其中包括局部密度的胚芽）。
2016-07-08 math.AG math.MG
Remarks on contact structures and vector fields on isolated complete intersection singularities
设$(X,0)$是一个孤立的完全相交复奇点（$(X,0)$在0处也是光滑的）.令$K$是它的链接，$\cal X$是它的规范接触结构，$\D_X$是与$\cal X$相关联的复向量丛。证明了丛$\D_X$是平凡的当且仅当$X$的Milnor数满足$μ(X,0) \equiv (-1)^{n-1}$模$(n-1)!$ .这是从一个一般定理得出的，该定理指出，在$X$中具有孤立奇点0的向量场的复正交补是平凡的，当且仅当$v$的GSV指数是$(n-1)!$的倍数。我们也有一个应用叶理理论：一个全纯叶理$\cal F$在一个球$\B_r$周围的起源在$\C^3$，孤立的奇点在0，承认$C^\infty$正常的部分（远离0）当且仅当它的重数（或当地指数）是偶数，这发生当且仅当其正常丛在$\B_r \setminus \{0\}$是拓扑平凡的。
2006-09-15 math.AG math.AT
Breaking the symmetry in excess intersection and counting solutions of systems of polynomials
本文提出一种非对称相交重数方法，给出有序相交重数的显式描述，并借助牛顿图与 Bernstein-Kushnirenko 型估计逐步计数多项式方程组的孤立解，以 4 个一般球面的 12 条公切线为例验证了方法。
2025-07-01 math.AG
