On "two important theorems" in canonical duality theory
在这篇短文中，我们通过反例证明了在最近的文章[Y，Yuan，Global optimization solutions to a class of non-convex quadratic minimization problems with quadratic constraints，in Canonical Duality Theory，D.Y. Gao等人(eds)，（AMMA，第37卷），Springer，2017]是假的。
2018-08-15 math.OC
Analytic solutions for the approximation of $p$-Laplacian problem
本文主要研究了$p$ -Laplacian问题的逼近的分析解。通过一种逼近机制，将带Dirichlet边值问题的非线性偏微分方程转化为一系列极小化问题。应用正则对偶理论，可以得到一个解析极小元序列。此外，非线性正则变换给出了一系列完美的对偶最大（最小）问题，并进一步讨论了原始和对偶问题的全局极值。
2016-08-10 math.OC
Canonical dual theory applied to a Lennard-Jones potential minimization problem
简化的Lennard-Jones（LJ）势最小化问题是$f(x)=4\sum_{i=1}^N \sum_{j=1,j<i}^N (\frac{1}{τ_{ij}^6} -\frac{1}{τ_{ij}^3}) {subject to} x\in \mathbb{R}^n,$，其中$τ_{ij}=(x_{3i-2}-x_{3j-2})^2 +(x_{3i-1}-x_{3j-1})^2 +(x_{3i} -x_{3j})^2$，$(x_{3i-2},x_{3i-1},x_{3i})$是原子$i$在$\mathbb{R}^3$中的坐标，$i,j=1,2,...,N(\geq 2 \quad \text{integer})$，$n=3N$和$N$是原子的整数。目标函数的非凸性和大量的局部极小值，随着$N$呈指数增长，引起了许多数学优化专家的兴趣。在本文中，经典的对偶理论优雅地解决了这个问题，淀粉样蛋白纤维分子模型的建立。保留字：数学正则对偶理论$\cdot$数学优化$\cdot$ Lennard-Jones势最小化问题$\cdot$全局优化。
2012-12-11 math.OC physics.bio-ph q-bio.BM
Four strategies to develop canonical dual algorithms for global optimization problems
正则对偶理论为一系列离散和连续的全局优化问题提供了统一的分析解，它可以将非凸原问题转化为凸区域上的凹极大化对偶问题，而不需要对偶间隙。本文证明了在一定条件下，该正则对偶问题等价于标准半定规划（SDP）问题，并利用成熟的软件包进行求解。为了避免使用SDP方法的某些困难，基于无约束方法提出了四种策略，可以用来开发解决一些具有挑战性的问题的算法。四阶多项式基准最优化问题的应用说明。
2012-10-03 math.OC
On modeling and global solutions for d.c. optimization problems by canonical duality theory
本文提出了一个正则d.c.（正则与凸函数之差）规划问题，它可以用来模拟复杂系统中的一般全局最优化问题。结果表明，利用正则对偶理论，可以将一类非凸极小化问题等价地转化为凸区域上的统一凹极大化问题，并在一定条件下易于求解.此外，还对试探性理论进行了详细的证明，证明了试探性理论可用于识别局部极值解。应用举例说明和开放的问题。
2016-07-12 math.OC
Inverse coefficient problem for cascade system of fourth and second order partial differential equations
本文研究四阶双调和算子与二阶热方程级联系统中耗散参数的系数反问题，通过拟解优化框架证明极小化元存在性并推导必要最优性条件，利用共轭梯度法验证了方法的有效性。
2023-09-24 math.AP math.OC
Canonical duality approach in the approximation of optimal Monge mass transfer mapping
本文主要研究一维情况下的Monge传质问题。通过巧妙的逼近机制，将Monge问题转化为一系列极小化问题，再用变分方法将其转化为一系列带约束的非线性微分方程.每个方程解的存在性和唯一性可以通过应用正则对偶方法来证明。此外，对偶方法给出了一系列完美的对偶最大化问题。最后，根据理论结果构造了Monge问题的最优映射的近似。
2016-07-22 math.OC
Global Solutions to Nonconvex Optimization of 4th-Order Polynomial and Log-Sum-Exp Functions
本文给出了一个求解由四阶多项式和对数和指数函数所控制的非凸全局最优化问题的正则对偶方法。这样的问题在工程和科学中广泛存在。基于规范对偶-三重性理论，将该非凸问题转化为等价的对偶问题，在一定条件下，该对偶问题可以很容易地求解。我们证明了原问题的全局极小值和最大局部极值都可以从规范对偶解中解析地得到。作为两种特殊情况，讨论了一个四次多项式极小化问题和一个极大极小问题。导出了存在性条件，可用于分类容易和相对困难的情况。应用程序说明了几个非凸和非光滑的例子。
2014-01-29 math.OC
Analytic solutions for the approximated Kantorovich mass transfer problems by $p$-Laplacian approach
本文用$p$ -Laplacian方程的方法讨论了Kantorovich传质问题的全局最大值的逼近。使用近似机制，原始最大化问题可以转化为一系列最小化问题。应用正则对偶理论，可以导出极小化问题的一系列分析解。在最后的分析中，序列的收敛到一个全局最大化的原始Kantorovich问题将被证明。
2016-09-09 math.OC
Analytic solutions for the approximated 1-D Kantorovich mass transfer problems
本文主要研究一维Monge-Kantorovich传质问题的整体最大值的逼近问题，采用带Dirichlet边界的非线性微分方程方法。使用近似机制，原始最大化问题可以转化为一系列最小化问题。应用正则对偶理论，可以导出极小化问题的一系列分析解。在最后的分析中，序列的收敛到一个全局最大化的原始蒙格-康托洛维奇问题将被证明。
2016-08-11 math.OC
Estimation of Graphical Models through Structured Norm Minimization
从高维数据中估计马尔可夫随机场和协方差模型是一个典型的问题，在文献中得到了很多关注。广泛采用的一个关键假设是基础模型的{ \em稀疏性}。在本文中，我们研究的问题，估计这样的模型表现出更复杂的结构，同时包括{ \em稀疏，结构稀疏}和{ \em密集}组件。这样的结构自然出现在几个科学领域，包括分子生物学、金融学和政治学。我们引入了一个新的结构化规范，使我们能够估计这样的复结构从高维数据的基础上的一般框架。由此产生的最优化问题是凸的，我们引入了线性化的多块交替方向法的乘法器（ADMM）算法来有效地解决它。我们说明了所提出的框架上的一些随机和结构化网络生成的合成数据集的优越性能。此外，我们将该方法应用到一些真实的数据集，并讨论了结果。
2018-05-13 math.OC
On the Triality Theory for a Quartic Polynomial Optimization Problem
本文给出了一类四阶多项式最优化问题的试探性定理的详细证明。该方法是基于线性代数，但它解决了一个开放的问题上的双闵对偶在2003年离开。结果表明，当原问题与其标准对偶具有相同维数时，三重性理论在三重对偶形式下强成立;当原问题与其标准对偶具有相同维数时，标准极大极小对偶和双极大对偶仍然强成立，但双极小对偶在对称形式下弱成立.四个算例表明，该理论不仅可以识别全局极小值，而且可以识别最大的局部极小值和局部极大值。
2011-10-03 math.OC
Global Optimal Trajectory in Chaos and NP-Hardness
本文提出了一种求解一般非线性动力系统的正则对偶方法。与传统的迭代法不同，离散化的非线性系统首先通过最小二乘法被表示为全局最优化问题。正则对偶理论表明，如果满足全局最优性条件，这个非凸极小化问题可以在多项式时间内确定性求解。Runge-Kutta型线性迭代产生的伪混沌主要是由于固有的数值误差积累引起的。否则，全局最优化问题可能是NP难的，而非线性系统可能是混沌的。提出了一个猜想，揭示了非线性动力学中的混沌与计算机科学中的NP难之间的联系。通过对著名的逻辑方程、强迫忆阻电路和Lorenz系统的应用，验证了方法和猜想。计算结果表明，正则对偶理论可用于非线性动力系统的混沌系统辨识和全局最优解的求解。
2015-12-28 math.OC
Canonical Duality Theory for Topology Optimization
本文提出了求解一般非线性弹性结构拓扑优化问题的正则对偶方法。利用有限元法，将这一最具挑战性的问题转化为混合整数非线性规划问题（MINLP），即对于给定的变形，第一级优化问题是典型的线性约束0-1规划问题，而对于给定的结构，第二级优化问题是计算非线性弹性力学中的一般非线性连续极小化问题。研究发现，线弹性结构的一级优化是一个典型的背包问题，在计算机科学中被认为是NP完全问题。然而，通过使用典型的对偶理论，这个著名的问题可以解析地解决，获得精确的整数解。提出了一种扰动正则对偶算法（CDT），并以拓扑优化中的基准问题为例进行了说明。数值结果表明，所提出的CDT方法产生所需的最优结构没有任何灰色元素。大大减少了传统方法中的棋盘格问题。
2017-06-28 cs.DM math.OC
A $\operatorname{prox}$-Based Semi-Smooth Newton Method for TV-Minimization
University of Freiburg（弗赖堡大学）；George Mason University（乔治梅森大学）；Technical University of Berlin（柏林工业大学）
本文提出了一种基于$\operatorname{prox}$的半光滑牛顿法，用于求解非光滑的TV最小化问题。通过将对偶-原问题最优性条件转化为具有牛顿-型可微结构的非线性算子方程，研究了在无限维情况下所得到的半光滑牛顿方案的良定性，并识别了相关牛顿型导数的结构特性。对于符合的有限元离散化，证明了所得到的半光滑牛顿方法在全局上是良定的，并且在局部上具有超线性收敛性。该方法可以推广到一大类凸最小化问题，与已知的半光滑牛顿方法在障碍问题中一致，满足对偶-原不变性，并在适当附加假设下在无限维情况下是良定的。数值实验表明所提出的方法具有稳健的实用性能，包括可靠地将离散对偶-原间隙估计器减少到机器精度，对近邻参数选择的鲁棒性，与经典原半光滑牛顿方法相比的改进收敛域，以及仅使用网格无关初始化准则时对二次梯度网格的有效性能。
2026-05-21 cs.NA math.NA math.OC
Beyond Maximum Likelihood: Variational Inequality Estimation for Generalized Linear Models
H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院 H. 米尔顿·斯图尔特工业与系统工程学院）
本文提出基于变分不等式的估计框架，用于解决广义线性模型中非典型或非光滑链接函数带来的计算挑战，通过操作符平衡条件替代最大似然估计，提升数值稳定性与有限样本性能。
2026-03-01 math.OC math.ST stat.ME
