Sets of Lengths of Powers of a Variable
Richard Belshoff, Daniel Kline, Mark W. Rogers
正整数k是多项式的长度，如果该多项式分解为k个不可约多项式的乘积。我们在R[x]中找到x^n形式的多项式的长度集合，其中（R，m）是m ^2 = 0的Artin局部环。
A positive integer k is a length of a polynomial if that polynomial factors into a product of k irreducible polynomials. We find the set of lengths of polynomials of the form x^n in R[x], where (R, m) is an Artinian local ring with m^2 = 0.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Which sets are sets of lengths in all numerical monoids ?
我们明确地确定这些集的非负整数出现的集的长度在所有的数字幺半群。
Systems of sets of lengths of Puiseux monoids
本文研究了非线性生成的原子Puixmonoid（Puixmonoid是$\mathbb{Q}_{\ge 0}$的可加子monoid）的长集系统.我们首先提出了一个BF幺半群$M$的完整系统的长度集，这意味着对于每个子集$S$的$\mathbb{Z}_{\ge 2}$存在一个元素$x \in M$的长度集$\mathsf{L}(x)$是$S$。众所周知，长度集合的系统不刻画数值幺半群。在这里，我们证明了系统的集的长度不表征非生成的原子Puienix幺半群。在最近的一篇论文中，Geroldinger和Schmid发现了数值幺半群长度集系统的交集。受此启发，我们将他们的结果扩展到原子Puiironx幺半群的设置。最后，我们将与集合的长度的Puixix幺半群$P = \langle 1/p \mid p \ \text{is prime} \rangle$与哥德巴赫猜想，特别是，我们表明，$\mathsf{L}(2)$正是一组哥德巴赫数。
A realization result for systems of sets of lengths
设$\mathcal L^*$是$\mathbb N_0$的有限子集族，具有以下性质。（一）. $\{0\}, \{1\} \in \mathcal L^*$和所有其他$\mathcal L^*$集合位于$\mathbb N_{\ge 2}$中。（b）.如果为$L_1, L_2 \in \mathcal L^*$，则为和集$L_1 + L_2 \in \mathcal L^*$。证明了存在一个戴德金整环$D$，它的长度集系统等于$\mathcal L^*$ .
On the structure of length sets with maximal elasticity
研究具有最大弹性的元素的长度集结构，证明其通常为区间。
The structure theorem for sets of length for numerical semigroups
本文针对任意数值半群证明了特化版长度集结构定理，利用由原半群生成元导出的两个数值半群的Apéry集及其间隙刻画大元素长度集的缺失长度，并给出满足定理的元素的明确界值。
On the sets of lengths of Puiseux monoids generated by multiple geometric sequences
本文研究了有理多循环幺半群的因子分解问题，即由多个等比数列生成的非负有理数的可加子幺半群。特别是，我们提供了一个完整的描述的合理的多循环幺半群$M$，是遗传原子（即，$M$的每个子幺半群都是原子的）。此外，我们还证明了某些有理多循环幺半群的长度集是多维等差数列的有限并，而它们的并满足线性集并的结构定理.最后，我们将等差数列实现为非负有理数的某些加法子幺半群的距离集。
On the system of sets of lengths and the elasticity of submonoids of a finite-rank free commutative monoid
设$H$是一个原子幺半群。对于$x \in H$，令$\mathsf{L}(x)$表示$x$分解为不可约元的所有可能长度的集合。$H$的长度集合系统是集合$\mathcal{L}(H) = \{\mathsf{L}(x) \mid x \in H\}$。另一方面，$x$的弹性（用$ρ(x)$表示）是商$\sup \mathsf{L}(x)/\inf \mathsf{L}(x)$，$H$的弹性是集合$\{ρ(x) \mid x \in H\}$的上确界。长度集系统和$H$的弹性都度量$H$离半阶乘有多远，即，每个$x \in H$的$|\mathsf{L}(x)| = 1$。令$\mathcal{C}$表示有限秩自由交换幺半群的所有子幺半群的集合，令$\mathcal{C}_d = \{H \in \mathcal{C} \mid \text{rank}(H) = d\}$。本文研究了$\mathcal{C}$中幺半群的长集系和弹性。首先，我们为每个$d \ge 2$构造了一个在$\mathcal{C}_d$中的幺半群，该幺半群具有长度集的极值系统。以前已经证明，系统的集合的长度不特征（同构）幺半群在$\mathcal{C}_1$。在这里，我们使用我们的构造将这个结果扩展到任何$d \ge 2$的$\mathcal{C}_d$。另一方面，最近又证明了$\mathcal{C}$中任何幺…
Irreducibility of a sum of polynomials depending on disjoint sets of variables
本文给出了复数域上一元以上多项式不可约的两个不同的充分条件，该多项式可表示为两个相依于互不相交的变量集的多项式之和。这些条件是通过分析这样一个多项式的牛顿多面体，然后应用高引入的“不可约准则”而得出的。
Sets of lengths of factorizations of integer-valued polynomials on Dedekind domains with finite residue fields
设$D$是一个具有无穷多个极大理想的Dedekind整环，其极大理想都是有限指标的，$K$是它的商域.设$\operatorname{Int}(D) = \{f\in K[x] \mid f(D) \subseteq D\}$是$D$上的整数值多项式环。给定任何大于$1$的整数的有限多集$\{k_1, \ldots, k_n\}$，我们在$\operatorname{Int}(D)$中构造一个多项式，该多项式在$\operatorname{Int}(D)$中具有完全不同的分解为不可约的$n$，这些分解的长度为$k_1$，\ldots，$k_n$。我们还证明了从$\operatorname{Int}(D)$的乘法幺半群到块幺半群不存在迁移同态。
Sets of Lengths of Integer-Valued Polynomials on Prime Ideals of Principal Ideal Domains
研究整数值多项式环Int(M,D)中长度集的构造与非转移克鲁尔域性质，探讨其在不同环结构下的应用。
Union of sets of lengths of numerical semigroups
设$S=\langle a_1,\ldots,a_p\rangle$是一个数值半群，$s\in S$和${\sf z}(s)$是它的分解集.长度集由${\mathcal L}(s)=\{{\tt L}(x_1,\dots,x_p)\mid (x_1,\dots,x_p)\in{\sf Z}(s)\}$表示，其中${\tt L}(x_1,\dots,x_p)=x_1+\ldots+x_p$。根据这些定义，可以将以下集合定义为${\textsf W}(n)=\{s\in S\mid \exists x\in{\sf z}(s) \textrm{ such that } {\tt{L}}(x)=n\}$、$ν(n)=\cup_{s\in {\textsf W}(n)} {\mathcal L}(s)=\{l_1<l_2<\ldots< l_r\}$和$Δν(n)=\{l_2-l_1,\ldots,l_r-l_{r-1}\}$。本文证明了集合$Δν(S)=\cup_{n\in{\mathbb{N}}}Δν(n)$是概周期的，周期为${\rm lcm}(a_1,a_p)$ .
A realization theorem for sets of lengths in numerical monoids
本文证明了对任意大于或等于2的整数的有限非空集L，存在一个数值么半群H和一个无平方元a $\in$ H，其长度集L（a）等于L.
Some recent results and open problems on sets of lengths of Krull monoids with finite class group
讨论了有限类群Krull幺半群的长度集的一些基本概念，并对最近的一些结果进行了综述。这些包括弹性和相关的概念，距离集，以及长度集的结构定理。几个开放的问题被提到。
Systems of sets of lengths: Transfer Krull monoids versus weakly Krull monoids
转移Krull幺半群是允许弱转移同态到交换Krull幺半群的幺半群，因此转移Krull幺半群的长度集系统与相关的交换Krull幺半群的长度集系统重合。我们揭示了有限阿贝尔群G上的转移Krull幺半群的集长系统的一些新特征，并对所有Davenport常数D（G）= 5的群G（这些群是迄今为止还没有这样的描述的最小群）提供了系统的完整描述.在合理的代数有限性假设下，转移Krull幺半群和弱Krull幺半群的长度集满足线性集的结构定理。尽管这个共同的特点，我们证明了系统的集合的长度为各种类别的弱Krull幺半群是不同的系统的集合的长度的任何转移Krull幺半群。
The system of sets of lengths in Krull monoids under set addition
设$H$是一个Krull幺半群，其类群为$G$，且每个类包含一个素除子.那么每个元素$a \in H$都有一个分解为不可约元的分解，所有可能的分解长度的集合$\mathsf L (a)$就是$a$的长度的集合。我们认为系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$的所有集的长度，我们的特点（在类组$G$）时，$\mathcal L (H)$是添加关闭下集添加。
A characterization of Krull monoids for which sets of lengths are (almost) arithmetical progressions
设H是具有有限类群G的Krull幺半群，且每类都含有一个素除子.则H中的长度集有一个明确定义的结构，它只依赖于类群G。从添加剂组合学的方法，我们建立了一个特征，这些类组G保证所有集的长度是（几乎）算术级数。
Long sets of lengths with maximal elasticity
我们引入了一个新的不变量描述原子幺半群和域的长度集的结构。对于原子幺半群$H$，令$Δ_ρ (H)$是所有正整数$d$的集合，这些正整数作为包含在具有最大弹性的长度集合$ρ(H)$中的任意长算术级数的差而出现。利用加法组合学的方法研究了有限型转移Krull幺半群（包括具有有限类群的交换Krull域）的$Δ_ρ (H)$，并利用理想理论方法研究了一类弱Krull域（包括代数数域中的阶）的$Δ_ρ (H)$.
Sets of lengths in atomic unit-cancellative finitely presented monoids
对于幺半群$H$的元素$a$，它的长度集$\mathsf L (a) \subset \mathbb N$是所有正整数$k$的集合，对于这些正整数，存在分解$a=u_1 \cdot \ldots \cdot u_k$为$k$原子。我们研究系统$\mathcal L (H) = \{\mathsf L (a) \mid a \in H \}$，重点是工会$\mathcal U_k (H) \subset \mathbb N$，这是工会的所有集的长度包含一个给定的$k \in \mathbb N$。并集的结构定理--指出对于所有足够大的$k$，集合$\mathcal U_k (H)$几乎是具有相同差和全局界的算术级数--在交换幺半群和域中引起了广泛的关注。我们证明，它适用于不一定交换幺半群的标题满足适当的代数有限性条件。此外，我们给出了一个明确的描述系统的长度集的幺半群$B_{n} = \langle a,b \mid ba=b^{n} \rangle$为$n \in \N_{\ge 2}$。在此基础上，我们证明了幺半群$B_n$不是传递Krull幺半群，这意味着它们的系统$\mathcal L (B_n)$不同于交换Krull幺半群等的长度集系统.
On Sets of Lengths in Monoids of plus-minus weighted Zero-Sum Sequences
本文研究加法阿贝尔群上 plus-minus 加权零和序列幺半群中的长度集合，证明了当群有限时长度集合高度结构化，而当群无限时 $\mathbb N_{\ge 2}$ 的任意有限非空子集均可作为某序列的长度集合。
On the incomparability of systems of sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子.本文研究了$H$的所有长度集的系统$\mathcal L (H)$，并研究了当$\mathcal L (H)$包含或包含在具有有限类群$G'$、所有类中的素因子和Davenport常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$的Krull幺半群$H'$的系统$\mathcal L (H')$中时，系统$\mathcal L (H)$的性质.其中，我们表明，如果$G$是循环的顺序$m \ge 7$或一个小学$2$ -组秩$m-1 \ge 6$，和$G'$是任何一个组，这是不同构的$G$，但达文波特常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$，那么系统$\mathcal L (H)$和$\mathcal L (H')$是不可比的。
A characterization of finite abelian groups via sets of lengths in transfer Krull monoids
设$H$是有限Ablian群$G$（例如整数环、代数函数域中的全纯环和这些域中的正则同余幺半群）上的转移Krull幺半群。那么每个非单位$a \in H$可以写成不可约元素的乘积，比如说$a = u_1 \ldots u_k$，因子$k$的个数称为因子分解的长度。所有可能的因式分解长度的集合$\mathsf L (a)$是$a$的长度的集合。经典的是，所有长度集的系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$仅取决于群$G$，并且一个长期存在的猜测指出，相反，系统$\mathcal L (H)$是群$G$的特征。设$H'$是有限Ablian群$G'$上的又一个转移Krull幺半群，并假定$\mathcal L (H)= \mathcal L (H')$ .我们证明了，如果$G\cong C_n^r$与$r\le n-3$或（$r\ge n-1\ge 2$和$n$是素数幂），则$G$和$G'$是同构的.
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。