Worm Structure in Modified Swift-Hohenberg Equation for Electroconvection
本文提出了一个研究电对流中斑图形成的理论模型，该模型以修正的Swift-Hohenberg方程的形式给出。在二维中发现了一个局域态，与实验观察到的"蠕虫”态一致。研究了相应的一维模型，发现了一个新的非绝热定态局域态，并指出一维局域态的存在是二维"蠕虫”态形成的原因.
1997-01-02 nlin.PS patt-sol
Swift-Hohenberg equation with third order dispersion for optical fiber cavity
研究了由光子晶体光纤制成的环形腔在相干光驱动下的动力学行为。通过对高阶色散的Lugiato-Lefever方程的多尺度约化，我们证明了在接近双稳临界点时，该光学器件的动力学行为可以用广义Swift-Hohenberg方程形式的实序参量方程来描述. Swift-Hohenberg方程已被用于非线性科学的多个领域，如化学、生物学、生态学、光学和激光物理学。然而，所得到的光子晶体光纤谐振腔的广义Swift-Hohenberg方程的特殊之处在于它具有三阶色散。基于在调制不稳定性阈值附近的弱非线性分析，我们通过估计耗散结构的传播速度来表征耗散结构的运动。最后，我们数值研究了移动的时间局域结构的形成，通常称为腔孤子。
2018-12-17 nlin.PS
A new resonance mechanism in the Swift--Hohenberg equation with time-periodic forcing
本文利用具有二次-三次非线性项的广义Swift-Hohenberg方程研究了在时间周期参数强迫作用下局域斑图的持续性和衰减。一种新的共振现象之间的强制周期和所需的时间成核的钉扎区域外的图案的一个波长被确定。共振在参数空间中产生不同的区域，其特征在于在一个强迫循环中获得或失去的波长的净数量。这些区域很好地描述了由渐近理论的基础上的波长的成核/湮没时间附近的边界的钉扎区域。由此产生的理论导致的预测是定性正确的，在某些情况下，提供定量协议与数值模拟。
2014-11-06 nlin.PS
Spatiotemporal Stochastic Resonance in the Swift-Hohenberg Equation
我们展示了时空随机共振的Swift-Hohenberg方程的外观。这种现象出现时，控制参数周期性地变化的时间周围的分歧点。通过使用一般的缩放参数并考虑分叉中发生的共同特征，我们概述了该现象在其他模式形成系统中的可能表现。
1997-02-22 adap-org cond-mat nlin.AO
Nonlinear states of the conservative complex Swift-Hohenberg equation
本文研究保守复值Swift-Hohenberg方程的非线性态，揭示其均匀解和周期解的稳定性特征，并建立广义Vakhitov-Kolokolov判据来判定局域态稳定性，同时与耗散模型进行对比。
2025-07-18 nlin.PS
Crystallization Kinetics in the Swift--Hohenberg Model
数值和分析表明，前传播过程中的框架Swift-Hohenberg模型是由周期性的成核事件所引发的爆炸性增长的本地化零特征值模式的相应的线性问题。我们推导出这种模式的演化方程，使用渐近分析，并评估成核事件之间的时间间隔，因此，前面的速度。在噪声的存在下，我们推导出的速度指数的“热激活”前传播（蠕变）超过钉扎阈值。
1999-08-05 nlin.PS patt-sol
Localized and extended patterns in the cubic-quintic Swift-Hohenberg equation on a disk
通过数值延拓和分歧分析研究了圆盘上具有Neumann边界条件的五阶Swift-Hohenberg方程的轴对称和非轴对称模式.从早期的研究中已知的点和环的形式的轴对称局部化的解决方案持续和蛇在通常的方式，直到他们开始与边界的相互作用。根据参数，包括磁盘半径，这些状态可能会或可能不会连接到域填充目标状态的分支。局部轴对称状态的二次不稳定性可能会产生多臂局部结构，这些结构在扩展到域填充状态之前生长并与边界相互作用。还发现了高方位波数壁态，称为雏菊态，这些态的二次分叉包括局域雏菊，即，壁态在半径和角度上都是局域化的。根据参数的不同，这些状态可能会像一维的斯威夫特-霍恩伯格方程一样蜿蜒，或者侵入域的内部，产生被称为蠕虫或域填充条纹的状态。
2021-04-12 nlin.PS
Numerical scheme for solving the nonuniformly forced cubic and quintic Swift-Hohenberg equations strictly respecting the Lyapunov functional
非平衡系统中斑图形成的计算建模是研究生物学、化学、材料科学和工程中复杂现象的基本工具。对其中一些物理问题的理论描述的追求导致了Swift-Hohenberg方程（SH 3），它描述了不稳定性附近的模式选择。本文回顾和推广了一种用于二维三次Swift-Hohenberg方程积分的有限差分格式--稳定化修正格式（Christov&Pontes; 2001 DOI：10.1016/S 0895 -7177（01）00151-0）。原计划的特点广义狄利克雷边界条件（GDBC），强迫与空间斜坡的控制参数，严格执行相关的李雅普诺夫功能，和二阶表示的所有衍生物。我们现在扩展这些结果，包括周期性边界条件（PBC），强迫与高斯分布的控制参数和五次Swift-Hohenberg（SH 35）模型。本方案还具有严格的功能实现的所有测试用例。完成了代码验证，显示出无条件的稳定性，以及在时间和空间上的二阶精度。测试用例证实了单调衰减的李雅普诺夫功能和所有的数值实验表现出的主要物理特征：高度非线性行为，波长滤波器和体积和边界效应之间的竞争。
2022-02-05 nlin.PS
Exact soliton solutions of the one-dimensional complex Swift-Hohenberg equation
利用Painlevé分析、Hirota多重线性方法和直接数值方法，研究了（1+1）维三次和五次复Swift-Hohenberg方程的解析解.我们考虑这些方程的标准和广义版本。我们已经发现，这些方程中的每一个都存在许多精确解，只要系数受到某些关系的约束。这组解包括椭圆Jacobi函数和Weierstrass $\wp$函数的特定类型的孤波解、空穴（暗孤子）解和周期解。虽然这些解决方案只代表了一个小的子集的各种可能的解决方案承认复杂的三次和五次斯威夫特-霍恩伯格方程，这些在这里提出的是第一个例子，迄今发现的精确解析解。
2003-03-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Non-linear Stability of Modulated Fronts for the Swift-Hohenberg Equation
我们考虑Swift-Hohenberg方程$\partial_t u= -(1+\partial_x^2)^2 u +ε^2 u -u^3$的前沿解。这些是行波，在实验室坐标系中，在其尾流中留下周期性图案。利用重整化技术和Bloch波分解，我们显示了这些解决方案的非线性稳定性。结果表明，该问题与具有$p>3$的模型问题$\partial_t u(x,t) = \partial_x^2 u (x,t)+(1+\tanh(x-ct))u(x,t)+u(x,t)^p$的平凡解的稳定性问题密切相关.特别是，我们表明，前面的扰动的不稳定性是完全补偿的扩散稳定设置在一旦扰动已经击中了前面后面的大部分。
2000-04-17 nlin.PS
Proof of the marginal stability bound for the Swift-Hohenberg equation and related equations
证明了如果Swift-Hohenberg方程$\partial_t u(x,t)=\bigl(ε^2-(1+\partial_ x^2)^2\bigr) u(x,t) -u^3(x,t)$的初始条件是$Ce^{-βx}$作为$x\to+\infty $模有界的，则解不能以大于$\sup_{0<γ\leβ}γ^{-1}(ε^2+4γ^2+8γ^4).$的速度向右传播.证明不使用最大值原理，并且足够简单，可以很容易地推广到其他方程。我们说明了这一点的一个例子，修改后的金斯堡-朗道方程，其中的最小速度不是由线性化单独确定的。
2000-05-12 math-ph math.MP nlin.PS
Pattern dynamics of the nonreciprocal Swift-Hohenberg model
Chiba University（千叶大学）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Oujiang Laboratory（瓯江实验室）；Tokyo Metropolitan University（东京都立大学）
本文研究了非 reciprocal Swift-Hohenberg 模型的模式动力学，通过分析分支结构揭示了不同相之间的转变机制。
2024-11-15 nlin.PS
Continuation and Bifurcation of Grain Boundaries in the Swift-Hohenberg Equation
我们研究了典型的Swift-Hohenberg方程中条纹相之间的晶界。我们提出了一个分析和数值远场核心分解，使我们能够研究晶界的存在和分叉的分析和数值连续技术。这种分解克服了在具有相位条件的大型双周期盒中计算晶界的问题。利用与时间无关的Swift-Hohenberg方程的空间守恒量，我们证明了对称晶界必须选择边缘锯齿形稳定条纹。我们发现，作为条纹之间的角度减小，对称晶界经历了宇称破缺干草叉分叉处的位错在晶界分裂成向错对。大量的非对称晶界（边界两侧的远场条纹具有不同的角度）被发现和研究。然后绘制出晶界的能量。我们发现当条纹间的夹角大于临界角时，对称晶界是能量优先的，而当夹角小于临界角时，一侧条纹平行于界面的晶界是能量优先的。最后，我们提出了一个分类的晶界，使我们能够预测各种非标准的非对称晶界。
2016-09-02 nlin.PS
Oscillon-type Structures and Their Interaction in a Swift-Hohenberg Model
受垂直振动颗粒层（P.B. Umbanhowar，F.梅洛和H. L. Swinney，Nature 382（1996）793），我们数值研究了Swift-Hohenberg模型的扩展，该模型表现出亚临界转变为方形图案。在足够的亚临界条件下，我们发现了稳定的声子结构，局域化机制是相当普遍的，是由于非绝热效应。束缚结构的相等和相反的极性的电子被发现与束缚态的极性相同的是不太强大。大部分的现象是一致的实验观察，并建议，粒子是不是特定的粒状介质或参数驱动系统的模式。实验测试建议，将确定这个最小的框架是否足以描述的现象。
1998-04-30 nlin.PS patt-sol
Numerical Continuation and Bifurcation in Nonlinear PDEs: Stability, invasion and wavetrains in the Swift-Hohenberg equation
本文以三次 Swift-Hohenberg 方程为例，介绍 PDE 数值延拓与分岔方法在波列、稳定性及入侵过程研究中的应用，旨在为教学和初学者提供入门指南。
2025-02-06 math.DS nlin.PS
Localised patterns in a generalised Swift--Hohenberg equation with a quartic marginal stability curve
在一些图案形成系统中，对于一些参数值，图案形成有两个波长，而对于其他参数值，仅存在一个波长。这些之间的过渡可以通过余维三点来组织，在该余维三点处，边际稳定性曲线具有四次最小值。我们开发了一个模型方程来探索这种情况下，基于斯威夫特-霍恩伯格方程，该模型包含，除其他事项外，蜿蜒分支的图案的一个波长本地化的背景图案的另一个波长。在小振幅限制下，模型的振幅方程是具有四阶空间导数的广义Ginzburg-Landau方程，其可以采用具有实系数的复杂Swift-Hohenberg方程的形式。振幅方程的局部解有助于解释模型中的局部模式。这项工作扩展了最近的努力，调查蛇形行为的模式形成系统中，两个不同的稳定的非平凡模式存在于相同的参数值。
2020-11-03 math.DS nlin.PS
Geometric Stability Analysis for Periodic Solutions of the Swift-Hohenberg Equation
本文描述了Swift-Hohenberg方程在其周期定态邻域内相空间的不变几何结构。我们表明，尽管这些国家只是勉强稳定（即，关于这些状态的线性化问题具有一直延伸到零的连续谱），在该方程的相空间中存在有限维不变流形，这些不变流形决定了这些定态解附近的解的长时间行为。特别是，使用这个观点，我们获得了一个新的演示施耐德最近的证明，这些国家是非线性稳定的。
1996-12-20 chao-dyn funct-an math.FA
Exploring Spiral Defect Chaos in Generalized Swift-Hohenberg Models with Mean Flow
研究了两类广义Swift-Hohenberg模型方程在长距离漂移速度和平均流作用下的螺旋缺陷混沌现象。我们使用空间扩展域和积分方程很长一段时间来研究的格局动态的平均流量的大小是不同的。平均流量的大小是通过一个真实的和连续的参数，占对流层中的水平表面上的流体边界条件进行调整。对于弱值的平均流量，我们发现，图案表现出一个缓慢的粗化的状态为主的大，非常缓慢移动的目标缺陷。对于足够强的平均流，我们确定的时空混沌的存在，这是由一个积极的领导阶李雅普诺夫指数。我们比较了平均流场的空间特征与Rayleigh-Bénard对流，并量化了它们在螺旋缺陷附近的差异。
2011-07-27 nlin.CD nlin.PS
Integral Asymptotics, Coalescing Saddles, and Multiple-scales Analysis of a Generalised Swift-Hohenberg Equation
本文用积分渐近与汇合鞍点法求解异质广义Swift-Hohenberg方程的空间局域解，并验证多尺度分析可替代该法，强化了积分渐近在四阶微分方程近似中的重要性。
2025-03-29 math.AP nlin.PS
The Swift-Hohenberg equation with a nonlocal nonlinearity
众所周知，一维Swift-Hohenberg方程中局域态的形成可以用Ginzburg-Landau型包络方程来描述。本文扩展这些多尺度分析的情况下，一个额外的非线性积分项，卷积的形式，是本。核函数的存在引入了一个新的长度尺度的问题，这导致额外的复杂性在两个包络方程的推导和分叉结构。当核函数为短程函数时，弱非线性分析得到标准型包络方程，但其系数被非线性非局部项以复杂的方式修正。然而，这些计算可以根据核函数的傅里叶变换的性质来相当一般地公式化。当与内核相关的长度尺度较长时，我们的方法自然会导致两个不同的，新颖的，包络方程，描述这些新制度的动态方面的推导。其中第一个包含额外的分叉，以及分叉图中的意外回路。其中第二个捕捉到了由于非局部项而产生的同宿蛇行曲线的拉伸性质。
2013-12-20 nlin.PS
Dynamical Scaling Behavior of the Swift-Hohenberg Equation Following a Quench to the Modulated State
本文利用二维Swift-Hohenberg方程研究了Rayleigh-Benard系统对流开始后的相变动力学。一个初始的均匀态演化为一个其基态是空间周期性的。我们证实了以前的结果，即在介质猝灭（$ε= 0.25$）处发生动力学标度，在零噪声和有限噪声下标度指数分别为1/5和1/4。我们发现对数标度行为的深度淬火（$ε= 0.75$）在零噪声。设计了一种简单的测量磁畴壁长代理的方法。我们发现，能量和畴壁长度表现出相同指数的标度行为。对于$ε= 0.25$，标度指数在零噪声和有限噪声下分别为1/4和0.3。
1998-08-03 cond-mat.soft nlin.PS patt-sol
Slow-moving pattern interfaces in general directions for a two-dimensional Swift-Hohenberg-type equation
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；University of Hohenheim（霍恩海姆大学）
本文研究了二维Swift-Hohenberg型方程中慢速模式界面的分岔问题，通过空间动力学和非标准中心流形理论，证明了在接近Turing不稳定性时，非线性项的大类中慢速界面的存在，揭示了斑纹和六边形模式向均匀态入侵的机制。
2026-04-10 math.AP nlin.PS
Spatially Extended Dislocations Produced by the Dispersive Swift-Hohenberg Equation
本研究提出色散Swift-Hohenberg方程（DSHE），证明其阈值附近振幅方程为各向异性复Ginzburg-Landau方程特例，解析推导了相关缺陷运动规律，并通过数值积分验证了结论。
2022-12-07 math.AP nlin.PS
Hexagon Invasion Fronts Outside the Homoclinic Snaking Region in the Planar Swift-Hohenberg Equation
在具有二次-三次非线性的斯威夫特-霍恩伯格方程中，连接平凡态和细胞（扭曲）六边形图案的固定阵面已知会随着参数的变化而经历无限多次折叠的过程，称为同宿蛇形，其中新的六边形细胞被添加到核心，导致无限多个共存的局域态的区域。在同宿蛇行区域之外，六边形锋可以以爆发的方式侵入平凡态。本文利用远场核分解建立了一个数值路径跟踪程序，追踪了胞腔六边形斑图两个主要方向相对于界面的六角阵面分叉图。我们发现，对于一个方向的六边形前线可以不稳定的扭曲的六边形在横向方向上拉伸导致缺陷发生在沉积的蜂窝图案。然后，我们绘制图表显示，当选定的两个主要方向，相互垂直对齐，是兼容的六边形波数选择预测的六边形补丁上的平面。最后，我们验证了具有二次-三次非线性项和大的非变分扰动的Swift-Hohenberg方程中六边形曲面片的相容性准则。本文提出的数值算法适用于一般的反应扩散系统。
2021-01-04 math.DS nlin.PS
Turing bifurcation in the Swift-Hohenberg equation on deterministic and random graphs
该研究针对确定性图与随机图上的离散Swift-Hohenberg方程，结合中心流形约化与范式分析分岔解的数量和稳定性，并给出相关数值结果，揭示离散化后对称性缺失导致分岔行为与连续极限存在差异。
2023-12-15 nlin.PS
Localized states in the conserved Swift-Hohenberg equation with cubic nonlinearity
具有立方非线性的守恒Swift-Hohenberg方程提供了从流体状态到结晶状态的热力学转变的最简单的微观描述。所得到的相场晶体模型描述了各种空间局部化的结构，除了不同的空间扩展的周期性结构。这些结构在温度与平均序参量平面上的位置是使用一维数值延拓和二维和三维直接数值模拟的组合来确定的。局域化的状态被发现在该区域的热力学共存的均匀和结构化的阶段之间，并可能位于这些国家的双节点之外。结果是相关的倾斜蛇形现象，但采取标准的同宿蛇形时，平均序参量的化学势的函数绘制的形式，并预计结转到相关的模型与保守的序参量。
2013-01-18 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft nlin.PS
Description of mesoscale pattern formation in shallow convective cloud fields by using time-dependent Ginzburg-Landau and Swift-Hohenberg stochastic equations
本文提出了含时的Ginzburg-Landau方程和Swift-Hohenberg方程，两者都加入了随机项，用来描述在中尺度系统中组织的浅对流云的斑图形成和云态相变。起点是热带降水的Hottovy-Stechmann线性时空随机模型，用于描述水汽和热带对流的动态。考虑到浅层层状云接近于自组织临界状态，水汽含量是序参量，可以观察到，源必须在方程中具有非线性项，以包括由于降水和蒸发的动力学反馈。包含这种非线性导致一种依赖于时间的Ginzburg-Landau随机方程，最初用于描述超导相。通过进行数值模拟，观察到斑图形成，特别是细胞对流相。这些模式是更好地与真实的卫星观测比纯线性模型。这是通过比较真实和数值云场的空间傅里叶变换来完成的。最后，通过考虑湍流涡旋扩散的涨落项，我们得到了一个Hohenberg-Swift方程。得到的模式是更有组织的金-朗道方程在封闭的细胞和滚动对流的情况下获得的模式。
2020-11-11 nlin.PS physics.ao-ph
Pattern-forming fronts in a Swift-Hohenberg equation with directional quenching - parallel and oblique stripes
我们研究了Swift-Hohenberg方程中畴生长对条纹相取向的影响。畴生长被编码在一个阶梯状的参数依赖，允许条纹形成在半平面，并抑制图案的补充，而图案形成区域的边界是以固定的正常速度传播。我们构建前的解决方案，留下条纹的图案形成区域是平行的，或在一个小的倾斜角的边界。从技术上讲，平行于边界的条纹构造依赖于不适定的无限维空间动力学。条纹形成在一个小的斜角构造使用功能分析，微扰的方法。在这里，主要的困难是存在的连续谱和小斜角出现作为一个奇异摄动行波问题的事实。我们解决了前一个困难，在加权空间中使用远场核分解和Fredholm理论。奇异摄动问题的解决，使用预条件和自举。
2017-08-12 math.AP math.DS nlin.PS
Pattern formation in a Swift-Hohenberg equation with spatially periodic coefficients
研究大空间周期系数的Swift-Hohenberg方程，在Bloch空间中分析由O(1)阶强迫引发的Turing分岔，揭示共振与非共振区域下斑图的丰富结构，该框架可推广至干旱区植被等复杂系统。
2025-06-27 math.AP math.DS nlin.PS
Invasion Fronts Outside the Homoclinic Snaking Region in the Planar Swift-Hohenberg Equation
在本文中，我们进行了数值分岔分析的同宿蛇行区域附近的前锋脱钉，涉及一个空间条纹的细胞图案嵌入在一个静态的，在二维Swift-Hohenberg方程的二次-三次或五次非线性。我们专注于退钉锋，涉及条纹的取向是平行的，倾斜的和垂直的前接口，几乎平面退钉锋。我们发现，入侵平行退钉锋选择一个远场波数和传播波速，而撤退平行退钉锋来在家庭中的波速是一个函数的远场波数。采用远场核心分解，我们提出了一个边界值问题的入侵depinning前线，我们数值求解，并使用路径跟踪例程描绘出分岔图。然后，我们进行了彻底的数值调查的平行，斜，垂直条纹，几乎平面的入侵锋。我们发现，几乎平面的入侵锋在五阶Swift-Hohenberg方程分叉平行的入侵锋和共存的同宿蛇行区域附近。足够远的1D同宿蛇行区域，几乎没有平面的入侵前线存在，我们发现，平行的入侵条纹前线可能会恢复横向稳定，如果他们传播超过临界速度。最后，我们表明，脱钉锋揭示了完全本地化补丁的条纹在飞机上的时间模拟。文中给出的数值算法对一般的调制波前和反应扩散系统有较广泛的应用。
2019-08-22 math.DS nlin.PS
Modulating traveling fronts in a dispersive Swift-Hohenberg equation coupled to an additional conservation law
我们考虑一维Swift-Hohenberg方程耦合到一个守恒律，其中两个方程都包含额外的色散项打破反射对称性$x \mapsto -x$。该系统具有图灵不稳定性，我们研究的动态接近发病的不稳定性。首先，我们表明，周期行波分叉从一个均匀的基态。其次，固定的分歧参数接近的不稳定性的开始，我们构建调制的行波阵面，它捕获的模式形成的过程中，通过模拟从均匀的基态的过渡到周期性行波通过一个入侵的前锋。存在性证明是基于中心流形减少到一个有限维系统。这里，中心流形的维数取决于侵入调制锋的传播速度与系统的线性群速度之间的关系。由于反射对称性破缺，简化方程中的系数是真正复杂的。因此，主要的挑战是在中心流形上构建持久的异宿连接，这对应于整个系统中的调制行进前沿。
2021-10-20 math.AP math.DS nlin.PS
Delay-Induced Depinning of Localized Structures in a spatially inhomogeneous Swift-Hohenberg Model
本文研究了非均匀Swift-Hohenberg模型中局域结构的动力学行为，该模型描述了光学腔横向平面中的斑图形成。这个实序参量方程在接近与双稳性相关的二阶临界点处是有效的。光腔由非均匀空间高斯泵浦光照明，并进行延时反馈。高斯注入光束通过对局域结构施加吸引力打破了系统的平移对称性。我们发现，本地化的结构可以被钉扎到中心的不均匀性，抑制延迟诱导的漂移分叉，已报告在特定的情况下，注入是均匀的，smilming连续波操作。在非均匀空间泵浦光的作用下，我们对局域解进行了稳定性分析，以确定由时滞反馈引起的不同的不稳定区域。特别是，我们预测的双臂螺旋的形成，以及振荡和脱钉动力学引起的相互作用的吸引的不均匀性和不稳定的时间延迟反馈。通过数值延拓技术研究了从振荡解到脱钉解的过渡。在分析上，我们使用两种方法的基础上，无论是一个序参量方程，描述的动力学的本地化结构附近的霍普夫分岔或过阻尼动力学的粒子在一个潜在的不均匀性所产生的。在后一种方法中，时间延迟反馈充当驱动力。
2016-11-30 nlin.PS
Exact theory of localized and periodic structures in active optical cavity
在高菲涅耳数的限制下，非线性光学谐振腔的非局域序参量方程用Swift- Hohenberg方程近似。得到了具有薄片增益元件的光学谐振腔中Swift- Hohenberg方程的精确孤子解和周期解。结果表明，双曲“平坦”正割，“啁啾”正割和雅可比椭圆函数解在一个横向维度上是平面平行，共焦和准共焦几何的非线性本征模。
2007-02-27 nlin.CD nlin.PS physics.optics
Rolls and Snaking in a Swift-Hohenberg Equation with Non-smooth Nonlinearity
University of Hamburg（汉堡大学）
本研究通过将Swift-Hohenberg方程的非线性替换为非光滑项，发现非光滑性改变分岔临界性，导致roll分岔亚临界，并在$\alpha=1$时破坏同宿snaking，其随$\alpha$增加非光滑地出现。
2026-09-22 math.DS nlin.PS
Stripe patterns orientation resulting from nonuniform forcings and other competitive effects in the Swift-Hohenberg dynamics
复杂系统的时空斑图形成呈现出丰富的非线性动力学特征，导致周期性非平衡结构的出现。这些纹理的演化的理论和数值研究的最突出的方程之一是斯威夫特-霍恩伯格（SH）方程，它提出了一个分叉参数（强迫），通过改变系统的能量景观控制的动态，并已被大量采用相场模型。虽然大部分关于斑图形成的文献都是针对均匀受力的系统，但在一些自然系统中也观察到了非均匀受力，例如，在发育生物学和软物质应用中。在这些情况下，由于强迫梯度的取向效应是一个新的因素，发挥作用的发展模式，特别是在类条纹图案，我们调查通过非均匀强迫SH动力学。目前的工作地址的振幅不稳定性的条纹纹理引起的强制梯度，和竞争之间的梯度和其他体积，边界和几何效应的取向效应参加选择的新兴模式。弱非线性分析表明，条纹是稳定的，相对于小幅度扰动时，与梯度对齐，并成为不稳定的这种扰动时，垂直于梯度对齐。这种分析是大大补充了一个数值工作，占其他影响，确认强制梯度驱动条纹对齐，甚至重新定位他们从预先存在的条件。然而，我们观察到的方向效应并不总是占上风，在面对竞争的影响，其层次结构建议取决于强迫梯度的大小。
2021-08-28 nlin.PS physics.comp-ph
Collisions of localized patterns in a nonvariational Swift-Hohenberg equation
本文研究非变分 SH35 方程中局域结构的传播与碰撞，发现碰撞结果取决于束缚态稳定性而非 Maxwell 点，并提出简化模型高精度重现碰撞轨迹。
2023-03-01 nlin.PS
Rotating Convection in an Anisotropic System
本文利用一个修正的Swift-Hohenberg方程研究了弱各向异性系统中旋转对流模式的稳定性。各向异性，无论是系统的内源性特征或由外部强迫引起的，可以稳定在Küppers-Lortz混沌制度的周期性辊。对于旋转对流与时间调制旋转的特殊情况下，最近，在实验中，手性模式已被观察到，否则Küppers-Lortz不稳定制度，我们显示了如何基本的基流打破各向同性，从而影响对流卷的线性增长率，以这种方式，以稳定螺旋和目标。在整个过程中，我们比较分析结果的数值模拟的斯威夫特-霍恩伯格方程。
2001-10-22 nlin.PS
Pattern Localisation in the Swift-Hohenberg Equation via Slowly Varying Spatial Heterogeneity
Durham University（杜伦大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；University of Bristol（布里斯托大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文利用 WKB 渐近方法和数值延拓，研究 Swift-Hohenberg 方程中缓慢空间异质性驱动的图案局域化，提出基于 Maxwell 点的预测方法，并与同宿缠绕局域化机制进行比较，探讨了区分不同局域化机制及外生与内禀异质性相互作用的途径。
2025-07-19 nlin.PS
Growing stripes, with and without wrinkles
我们目前的结果条纹形成的Swift-Hohenberg方程与定向淬火项。条纹是“成长”在一个移动的参数步行街的唤醒，我们分析如何根据淬火线的速度和横向纵横比的条纹的方向变化。我们观察到与淬火线垂直的条纹，但也观察到以倾斜角度产生的条纹，以及以其他倾斜条纹图案产生的周期性褶皱。从技术上讲，我们研究条纹形成的行波解决方案中的斯威夫特-霍恩伯格方程和减少Cahn-Hilliard和Newell-Whitehead-Segel模型，解析，通过数值延拓，并在直接模拟。
2018-10-19 math.DS nlin.PS
Patterns and quasipatterns from the superposition of two hexagonal lattices
当二维图案形成问题提出的周期域，经典的技术（李雅普诺夫-施密特，等变分岔理论）给出了相当多的信息，什么样的周期图案形成的过渡，其中无特征的状态失去稳定性。当问题在整个平面上提出时，这些周期性图案仍然存在。Swift-Hohenberg方程（一个典型的模式形成偏微分方程）的最近工作证明了准模式的存在，这不是空间周期性的，但仍然有长程序。准斑图可能具有8倍、10倍、12倍和更高的旋转对称性，这排除了周期性。也有准模式与6重旋转对称的叠加由两个等振幅的六边形图案旋转几乎任何角度$α$相对于对方。在这里，我们重温Swift Hohenberg方程（二次和三次非线性），并证明存在几个新的quasipatures。最令人惊讶的是六辊：周期性和准周期性图案，由六边形和辊（条纹）叠加而成，它们几乎相互朝任何方向，并且具有任何相对平移;这些直接从无特征的解决方案中分叉。此外，我们发现准模式的叠加六边形具有不等的振幅（提供的二次非线性系数是小的）。我们考虑周期的情况下，以及，并扩展类已知的解决方案，包括叠加的六边形和轧辊。虽然我们已经集中在斯威夫特-霍恩伯格方程，我们的工作有助于一般的问题，什么周期性或准周期性的模式应该被发现一般在平面上的图案形成的问题。
2022-05-05 nlin.PS
Pattern forming pulled fronts: bounds and universal convergence
我们分析了传播到不稳定状态的图案形成锋的动力学，其动力学是拉型的，因此它们的渐近速度等于线性传播速度v^*。我们讨论了一种方法，允许推导出的前速度的界限，因此可以用来证明，除其他外，斯威夫特-霍恩伯格方程，扩展的费舍尔-柯尔莫戈罗夫方程和立方复杂的金斯堡-朗道方程，动态相关的前线是拉型。此外，我们推广推导的普遍幂律收敛的动力学的一致平移拉前相干和非相干模式形成前。该分析是基于匹配分析的动态在前缘的前面，它后面的非线性区域所施加的行为。数值模拟的前Swift-Hohenberg方程是完全符合我们的分析预测。
2003-12-05 nlin.PS
Defect-like structures and localized patterns in SH357
数值研究了一维有界区域上的五次分裂Swift-Hohenberg（SH 357）方程.在适当的条件下，波数为$k\approx 1$的条纹从零态超临界分叉，形成S形分支，导致小振幅条纹和大振幅条纹之间的双稳态。在这个双稳态范围内，我们发现固定异宿连接或小振幅和大振幅条纹之间的战线，并证明相关的空间局部缺陷状结构的蛇或落在孤立点。在其他参数制度，我们也发现异宿连接到空间均匀的状态，和众多的动态稳定的稳定状态组成的补丁的小和大幅度的条纹与不同的波数或空间均匀的补丁。因此，SH 357方程在它所展示的图案类型方面非常丰富。通过数值延拓得到的分岔图的一些特征可以用守恒量，即系统的空间哈密顿量来理解。
2019-06-17 nlin.PS
Global bifurcation of localised 2D patterns emerging from spatial heterogeneity
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Fachrichtung Mathematik, Universität des Saarlandes（萨尔兰州立大学数学系）；School of Mathematics and Physics, University of Surrey（萨里大学数学与物理学院）
研究通过一般方法证明偏微分方程中全局部化多维图案在幅度上的存在性，以二维Swift-Hohenberg方程为例，展示空间异质性对图案稳定性的影响。
2026-05-01 math.AP nlin.PS
Domain formation in transitions with noise and time-dependent bifurcation parameter
当模型偏微分方程中的分岔参数缓慢地增加到临界值时，空间结构的特征尺寸在数学上取决于附加噪声的大小。给出了实Ginzburg-Landau方程和Swift-Hohenberg方程的数值解和分析。
1997-06-26 adap-org cond-mat nlin.AO
Transversal interface dynamics of a front connecting a stripe pattern to a uniform state
二维系统中的界面表现出不可预料的复杂动力学行为，研究了连接条纹图案和均匀状态的边界的动力学行为。对亚临界Swift-Hohenberg方程的数值模拟表明，该界面具有横向空间周期结构、曲折动力学和复杂的粗化过程.接近空间分叉，修正的振幅方程和一维接口模型，使我们能够表征这个接口所表现出的动态。
2008-06-05 nlin.PS
Spatio-temporal dynamics induced by competing instabilities in two asymmetrically coupled nonlinear evolution equations
斑图形成经常发生在空间扩展的物理、生物和化学系统中，这是由于均匀定态的不稳定性。不稳定性的类型通常规定所产生的时空模式和它们的特征长度尺度。然而，由不稳定性的同时发生所产生的模式不能被期望为与所考虑的不稳定性相关联的模式的简单叠加。为了解决这个问题，我们设计了两个简单的模型组成的两个非对称耦合方程的非保守（Swift-Hohenberg方程）或保守（Cahn-Hilliard方程）序参量具有不同的特征波长。在这些系统中出现的图案范围从不同波长的共存静态图案到行波。一个线性稳定性分析可以得到一个两个参数的相图所研究的模型，特别是揭示Swift-Hohenberg方程的图灵和波的不稳定性和一个区域的共存的共存维两个分歧点的静止和移动模式。通过精确的数值模拟研究了耦合演化方程的非线性动力学行为。这些揭示了更复杂的模式，从嵌入图灵模式域的行波到时空混沌，以及波或图灵模式共存的宽滞后区域。对于耦合的Cahn-Hilliard方程，弱耦合的存在足以阻止粗化过程并导致纯周期图案的出现。最终状态的特征在于域的特征长度，发散与耦合振幅的几何。
2014-08-22 cond-mat.mes-hall nlin.PS
Localized states with non-trivial symmetries: localized labyrinthine patterns
自组织模式和局域态的形成在自然界中是普遍存在的。包含诸如条纹、六边形或正方形等平凡对称性的局域态已经被大量研究。具有非平凡对称性的无序模式，如双曲模式，在不同的物理环境中被观察到。在这里，我们报告稳定的本地化无序模式在空间扩展耗散系统。这些2D和3D局部结构由嵌入均匀稳态的孤立迷宫组成。他们的部分分叉图使我们能够解释这一现象作为一个钉扎-脱钉过渡的表现。我们说明我们的研究结果Swift-Hohenberg型方程和其他完善的模型，植物生态学，非线性光学，和反应扩散系统。
2021-10-15 nlin.PS
Spiral defect chaos in a model of Rayleigh-Benard convection
对二维广义Swift-Hohenberg方程的数值解揭示了由大量旋转螺旋线组成的时空混沌态的存在。对于减少的瑞利数$ε=0.25$，观察到这种状态。该状态的功率谱是各向同性的，空间关联函数呈指数衰减，估计衰减长度为$ξ\approx 2.5 λ_{c}$，其中$λ_{c}$是对流开始附近的临界波长。我们的研究表明，这种螺旋缺陷状态发生在低普兰特数和大纵横比的情况下。
1993-05-17 nlin.PS patt-sol
Wavenumber selection via spatial parameter jump
Swift-Hohenberg方程描述了一种不稳定性，它在发病附近形成有限波数模式。我们研究这个方程的空间不均匀性，跳跃型参数，使零解稳定的$x<0$和不稳定的$x>0$。使用规范形式和空间动力学，我们证明了存在的一个家庭的稳定状态的解决方案，代表在空间中的过渡，从一个均匀的状态到条纹图案状态。这些条纹的波数包含在一个狭窄的频带中，其宽度随跳跃的大小线性增长。这代表了对通常的恒定参数情况的严格限制，在通常的恒定参数情况下，允许的频带随着参数的平方根增长。我们证实了我们的预测，使用数值延拓和说明的影响，在直接模拟的增长模式的稳定性。
2017-11-14 nlin.PS
Universal Algebraic Relaxation of Velocity and Phase in Pulled Fronts generating Periodic or Chaotic States
我们调查的渐近松弛所谓的拉前传播到一个不稳定的状态。运动方程的"前沿表示“揭示了它们传播机制的普遍性质，并使我们能够将均匀平移前沿的普遍代数速度松弛推广到前沿，从而产生周期性甚至混沌状态。此外，这种前线表现出普遍的代数相位松弛。我们数值验证我们的分析预测的斯威夫特-霍恩伯格和复杂的金斯堡-朗道方程。
1999-08-16 cond-mat nlin.PS patt-sol
Theoretical Model for Faraday Waves with Multiple-Frequency Forcing
提出了一个简单的推广的Swift-Hohenberg方程作为一个模型的图案形成动力学的二维场与两个不稳定的长度尺度。该方程用于研究由两个频率的线性组合驱动的流体中的表面波的动力学。该模型表现出稳态解与两个，四个，六个，和十二倍对称图案，类似于在最近的实验中观察到的周期和准周期图案。
1998-01-29 chao-dyn cond-mat.soft nlin.CD
Analytical results for front pinning between an hexagonal pattern and a uniform state in pattern-formation systems
在模式形成系统中，局部模式是完全扩展有序模式和完全不规则模式之间的中间复杂状态。它们是由静止的锋面在均匀的背景中包围着有序的图案而形成的。在二维中，有序的图案通常是六边形的，并且锋稳定的条件仍然未知。在这封信中，我们展示了这些前线的锁定如何取决于它们相对于图案的方向。该理论依赖于一般的渐近参数有效的前的空间尺度是缓慢的相比，六边形图案。我们的分析结果证实了数值模拟与Swift-Hohenberg方程，相关的流体动力学和屈曲不稳定性，和非线性光学腔模型。
2013-08-05 nlin.PS
Phase Slips and the Eckhaus Instability
我们考虑具有复振幅$u(x,t)$的Ginzburg-Landau方程$ \partial_t u= \partial_x^2 u + u - u|u|^2 $.我们首先分析了相位滑移的现象作为结果的{ \it本地}形状的$u$。接下来，我们证明了一个{ \it全球}定理的演变从Eckhaus不稳定的状态，所有的方式，以限制稳定的有限状态，为周期性扰动的Eckhaus不稳定的周期性初始数据。利用这些结果，我们进一步证明了四阶Swift-Hohenberg方程的相应现象，其中Ginzburg-Landau方程是其振幅近似。这揭示了应该如何处理这个和许多其他类似系统的相位滑移的局部和全局方面。
1995-03-08 nlin.PS patt-sol
Large-Scale Pattern Formation in the Presence of Small-Scale Random Advection
尽管存在强烈的波动，许多湍流系统，如Rayleigh-Bénard对流和Taylor-Couette流显示自组织的大尺度流动模式。小尺度湍流波动如何影响这种大尺度流型的出现和稳定性？在这里，我们接近这个问题的概念，通过调查一类图案形成系统中存在的随机平流的Kraichnan-Kazantsev速度场。结合工具，从斑图形成与统计理论和模拟，我们表明，随机平流转移的发病和波数的紧急模式。作为对流中斑图形成的一个简单模型，用一个包含随机平流的广义Swift-Hohenberg方程证明了这种影响。我们还讨论了我们的结果的影响，湍流瑞利-贝纳德对流的大尺度流动。
2019-09-24 nlin.PS physics.flu-dyn
