研究了空间调制的所谓“参数”振荡器的行为，该振荡器由具有偶宇称空间调制函数的模型表示。给出了稳定性判据和离散能级的解析表达式。在（振幅，相位）空间中使用积分因子和Van der Pol表示，给出解的近似隐式封闭形式。从给定的初始条件进入稳定振荡区的概率计算在符号形式。这些结果允许系统的稳定性和分岔的分析方法。它们还允许评估发生持续大幅度振荡的风险，当这种现象是要避免的，并评估的条件适用于获得振荡时，这种现象是必要的。
英文摘要：
The behaviour of a space-modulated, so-called "argumental" oscillator is studied, which is represented by a model having an even-parity space-modulating function. Analytic expressions of a stability criterion and of discrete energy levels are given. Using an integrating factor and a Van der Pol representation in the (amplitude, phase) space, an approximate implicit closed-form of the solution is given. The probability to enter a stable-oscillation regime from given initial conditions is calculated in symbolic form. These results allow an analytic approach to stability and bifurcations of the system. They also allow an assessment of the risk of occurrence of sustained large-amplitude oscillations, when the phenomenon is to be avoided, and an assessment of the conditions to apply to obtain oscillations whenever the phenomenon is desired.
Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones
我们提出了两个耦合的非自治van der Pol振荡器系统中混沌吸引子的双曲性质的数值验证（Kuznetsov，Phys.Rev.Lett.，95，144101，2005）。在一定的参数值下，在庞加莱映射的四维相空间中，确定了一个环形域（一个圆和一个三维球的直积），它被映射到自身，并包含我们分析的吸引子。根据计算，在这个吸收域中，双曲性的条件是有效的，这是制定在收缩和扩张锥的切空间（小状态扰动的向量空间）。
Smale-Williams Solenoids in a System of Coupled Bonhoeffer-van der Pol Oscillators
提出了构造一类新的双曲型混沌吸引子系统的原理。它基于使用振荡器，由于小振荡和大振荡的频率差的整数倍，伴随着根据伯努利捕捉的相位变换，谐振地提供振荡器之间的激励传递。考虑了一个具有Smal-Williams吸引子的系统，该系统是由两个耦合的Bonhoven-van der Pol振子构成的.振荡器依次表现出活动和抑制。通过适当地选择调制，在每个活动阶段结束时发生弛豫振荡，其频率比小振荡的频率小一个整数因子$M = 2,3,4,\ldots$。当伙伴振荡器进入活动阶段时，振荡开始被弛豫振荡的M次谐波激励，使得调制期间的相位变换对应于M倍伯努利映射。在庞加莱映射的状态空间中，这对应于Smale-Williams吸引子，该吸引子是通过映射的每一步绕组圈数M倍增加而构造的。数值研究的结果确认发生在某些参数域的双曲吸引子，包括画像的吸引子，图说明根据伯努利映射的相变，李雅普诺夫指数，和图表的制度参数平面。的吸引子的双曲性质进行了验证，通过数值试验，确认没有切线的稳定和不稳定的流形上的吸引子的轨迹（标准的角度）。提出了一种电子电路，实现这一原则，获得双曲型混沌和它的功能是使用软件包Multisim演示。
The effect of noise on a hyperbolic strange attractor in the system of two coupled van der Pol oscillators
我们研究了在庞加莱截面中具有Smale - Williams型双曲混沌吸引子的物理可实现的流动系统的噪声效应[S. P. Kuznetsov，Phys. Rev. Lett. 95，2005，144101]。数值结果表明，只要稍微改变吸引子的初始条件，就可以得到无噪声系统的轨迹对噪声轨道的一致逼近，即所谓的“阴影”轨迹。我们提出了一种算法，用于定位的阴影轨迹在系统中考虑。使用该算法，我们表明，噪声轨道和近似的一个之间的平均距离基本上不依赖于观察的时间间隔的长度，但只对噪声强度。这种依赖性在噪声强度的宽范围内几乎是线性的。研究发现，对于弱噪声，李雅普诺夫指数对噪声强度的依赖性不明显。而在强噪声情况下，系统的最大李雅普诺夫指数减小，甚至变为负值，表明外界噪声对混沌有抑制作用。
Hyperbolic attractor of Smale-Williams type in a system of two coupled non-autonomous amplitude equations
最近，已经提出了具有Smal-Williams型的一致双曲吸引子的系统[Kuznetsov，Phys. Rev. Lett.，95，144101，2005]。该系统由两个耦合的非自治van der Pol振子组成，物理实现简单。本文引入了该系统的振幅方程，并证明了振幅方程组的吸引子也是一致双曲的。此外，我们表示定性说明以及定量特征的混沌动力学在这个吸引子。
Effective Fokker-Planck Equation for Birhythmic Modified van der Pol Oscillator
我们提出了一个明确的解决方案的基础上的相位振幅近似的Fokker-Planck方程与朗之万方程的birrhmatic修改的van der Pol系统。该解决方案使我们能够推导出概率分布分析以及激活能之间的切换共存的不同吸引子的特征的birhythmic系统。比较分析和数值结果，我们发现很好的协议时，两个吸引子的频率是相等的，而预测的分析估计恶化时，两个频率离开。在噪声的影响下，表征生物节律系统的两个状态可以合并，因为当噪声强度增加时，生物节律解的参数平面被发现收缩。Fokker-Planck方程的解表明，在双节律区域，两个吸引子的特征在于发现系统处于这种状态的概率非常不同。只有在控制参数范围很窄的情况下，概率才变得可比，因此这两个极限环具有与热力学相类似的性质。
Delay Effects on Amplitude Death, Oscillation Death, and Renewed Limit Cycle Behavior in Cyclically Coupled Oscillators
研究了分布的弱一般核时滞对循环耦合极限环和混沌振子的影响。对于耦合的Van der Pol振子（实际上，其他振子也是如此），延迟可以产生从振幅死亡（AD）或振荡死亡（OD）到Hopf分岔诱导的周期行为的转变，延迟极限环分别随着延迟朝向或远离分岔点而收缩或增长。从AD到OD的转变在这里是通过干草叉分叉介导的，正如前面在其他耦合中所看到的那样。此外，这里的循环耦合无延迟van der Pol系统已经处于AD/OD状态，并且引入延迟允许振荡和AD/OD，因为延迟参数变化。这与其他极限环系统相反，在其他极限环系统中，单独的扩散耦合不会导致AD/OD的发生。对于单个振子是混沌的系统，例如Sprott振子系统或具有参数强迫的耦合van der Pol-Rayleigh系统，延迟可能会产生AD/OD（如Sprott情况），AD到OD的转变现在通过跨临界分叉发生。然而，这可能是不可能的，延迟可能只是改变吸引子的形状。然而，在这两种情况下，增加的延迟强度往往会导致系统具有更简单的行为，简化吸引子的形状，或者在振荡的情况下缩小它。
Global stability analysis of birhythmicity in a self-sustained oscillator
我们分析了具有随机激励的自维持系统的双节律性的全局稳定性。该模型是一个多极限环的变化的van der Pol方程引入分析酶底物反应的脑电波。我们表明，这两个频率的强烈影响的非线性系数$α$和$β$。在随机激励下，如高斯白噪声，吸引子的全局稳定性由从一个极限环逃逸的平均时间$τ$来度量。通过逃逸时间$τ$与噪声强度的倒数1/D的线性变化部分的斜率得到有效的激活能垒。我们发现，这两个频率的陷阱障碍可以是非常不同的，从而离开系统在同一个吸引子压倒性的时间。然而，我们也发现，该系统是近对称的参数范围内很窄。
Bifurcations and Amplitude Death from Distributed Delays in Coupled Landau-Stuart Oscillators and a Chaotic Parametrically Forced van der Pol-Rayleigh System
在著名的耦合Landau-Stuart系统以及具有参数强迫的混沌van der Pol-Rayleigh系统中引入了由“弱通用核”建模的分布时滞。这些系统通过“线性链技巧”而接近。研究了系统的线性稳定性分析和产生Hopf分岔的条件，包括分岔时的规范形和极限环吸引子的稳定性。在所有三个系统中，在Hopf分叉处的延迟参数$a=a_{Hopf}$的值挑选出振幅死亡（AD）的开始，具有较大值的振荡（对应于较弱的延迟）。在Landau-Stuart系统中，$a>a_{Hopf}$的Hopf极限环在系统参数的极大变化下是非常稳定的，并且不发生进一步的对称破缺、循环折叠、翻转、跨临界或Neimark-Sacker分叉.这是可以预期的，因为相应的无延迟系统在其各自的参数的宽范围内是鲁棒振荡器。数值模拟揭示了当参数被推入后霍普夫区域时，相空间中极限环的强烈扭曲和旋转，并揭示了其他特征，例如极限环吸引子上物理变量的振荡幅度和时间周期如何变化。延迟和其他参数的变化。对于混沌系统，非常强的延迟仍然可能导致振荡的停止和AD的开始（即使对于倾向于对抗这种现象的相对大的系统强迫值）。另一个重要的系统参数的变化，参数激励，导致一个丰富的序列的动力学行为，从一个政权（或类型的吸引子）到下一个被仔细跟踪的分叉。
