Upper bounds for partial spreads
Sascha Kurz
$\mathbb{F}_q^n$中的部分$t$ -扩展是具有平凡交集的$t$维子空间的集合，使得每个非零向量至多被覆盖一次。我们提出了一些改进的最大尺寸的上界。
A partial $t$-spread in $\mathbb{F}_q^n$ is a collection of $t$-dimensional subspaces with trivial intersection such that each non-zero vector is covered at most once. We present some improved upper bounds on the maximum sizes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On maximal symplectic partial spreads
构造了一类新的极大辛部分展度。
Bent functions generalizing Dillon's partial spread functions
本文给出了Dillon引入的部分扩展Bent函数的推广，以及相应的非交换群中的相对差集。
Constant rank-distance sets of hermitian matrices and partial spreads in hermitian polar spaces
本文通过埃尔米特矩阵的部分扩展集的相关概念和更一般的常秩距离集的概念来研究$H(2n-1,q^2)$的部分扩展。本文证明了有限域上线性常秩距离埃尔米特矩阵集的最大尺寸的一个严格上界，并由此证明了作为$H(2n-1,q^2)$部分扩展的辛半域扩展的极大性.我们证明了上界为常数秩距离集的偶数秩，构建这些大的例子，并构建最大的部分蔓延的$H(3,q^2)$的大小范围。
A new class of maximal partial spreads in PG(4,q)
在这项工作中，我们构造了一类新的最大部分传播$PG(4,q)$，我们称之为$q$添加最大部分传播。我们得到他们通过剥夺一些线的超平面的扩展和添加$q+1$线不是超平面的每一个删除的线。我们这样做，在理论上的方式为每一个值的$q$，并通过计算机搜索$q$的奇素数和$q \leq 13$。更精确地说，我们证明了，对于每个$q$有$q$ -添加的最大部分蔓延的大小$q^2+q+1$的大小$q^2+(q-1)q+1$，而通过计算机搜索，我们得到更大的基数。
New results on maximal partial line spreads in PG(5,q)
本文证明了PG（5，q）中存在大小为q^3+q^2+kq+1的最大部分线扩展，其中1 \leq k \leq（q^3-q^2）/（q+1），k为整数.此外，通过计算机搜索，我们对k的较大值这样做，对于q \leq 7。再次通过计算机搜索，我们找到了最大的最大部分线扩散的大小和许多新的结果q \leq 5。
New Bounds for Partial Spreads of $H(2d-1, q^2)$ and Partial Ovoids of the Ree-Tits Octagon
得到了两个结果，分别给出了部分蔓延和部分卵形的上界。第一个结果是厄米特极空间$\mathsf{H}(3, q^2)$的部分扩展的大小至多是$\left(\frac{2p^3+p}{3} \right)^t+1$，其中$q=p^t$，$p$是素数。对于固定的$p$，此界限在$o(q^3)$中，其渐近优于$(q^3+q+2)/2$的先前最佳已知界限。给出了$\mathsf{H}(2d-1, q^2)$，甚至$d$的部分扩展的类似界限。第二个结果是，Ree-Tits八边形$\mathsf{O}(2^t)$的部分卵形体的大小至多为$26^t+1$。这个界限，特别是，表明Ree-Tits八角形$\mathsf{O}(2^t)$没有一个卵形。
Classification of large partial plane spreads in $PG(6,2)$ and related combinatorial objects
本文对最大可能尺寸为$17$和尺寸为$16$的$PG(6,2)$中的部分平面展开进行了分类。基于这个结果，我们得到了以下密切相关的组合对象的分类：矢量空间划分的$PG(6,2)$类型$(3^{16} 4^1)$，二进制$3\times 4$ MRD码的最小秩距离$3$，和子空间码参数$(7,17,6)_2$和$(7,34,5)_2$。
A computer search of maximal partial spreads in PG(3,q)
在这项工作中，我们为PG $(3,q)$、$q=8,9,16$和每个$q$的最大部分价差找到了新的最小尺寸，使得$25\leq q\leq 101$。此外，对于$q=8,9,16,25$和27，我们找到了我们的最小值和值$q^{2}-q+2$之间的所有未知大小。此外，我们还在已经研究但尚未完成的$q=19$和$q=23$的情况下获得密度结果。最后，我们找到了$q=7$的已知异常大小45。
Partial spreads and vector space partitions
具有最大可能最小距离的常维码在有限几何中以部分扩展的名义研究了几十年。毫不奇怪，对于这个子类，通常最大代码大小的最大界限是已知的。Beutelspacher和Drake \& Freeman关于部分价差的开创性作品分别可以追溯到1975年和1979年。从那时到最近，除了一些基于计算机的构造和分类之外，几乎没有任何进展。事实证明，向量空间划分提供了适当的理论框架，并可用于在相当多的情况下改善长期存在的边界。在这里，我们提供了一个历史帐户的部分蔓延和解释的经典结果从现代的角度来看。为此，我们介绍了所有必要的方法，从理论的向量空间分区和有限几何在教程风格。我们引导读者到目前的前沿研究领域，包括最近的改进的详细描述。
The maximum size of a partial spread II: Upper bounds
设$n$和$t$是正整数，且$t<n$，$q$是素数幂。${\rm PG}(n-1,q)$的部分$(t-1)$ -扩展是${\rm PG}(n-1,q)$的一组成对不相交的$(t-1)$ -维子空间.设$r\equiv n\pmod{t}$与$0\leq r<t$，并设$θ_i=(q^i-1)/(q-1)$。我们基本上证明，如果$2\leq r<t\leq θ_r$，那么${\rm PG}(n-1,q)$的部分$(t-1)$ -扩展的最大大小是由$(θ_n-θ_{t+r})/θ_t+q^r-(q-1)(t-3)+1$从上面有界的。当满足某些整除条件时，我们实际上给出了更严格的界限。这些界限改善了先前已知的${\rm PG}(n-1,q)$的最大尺寸部分（$t-1$）-扩散的上限;例如，当$\lceil\frac{θ_r}{2}\rceil+4\leq t\leq θ_r$和$q>2$。本文作者最近确定了$t>θ_r$的最大尺寸部分$(t-1)$ -扩展的确切值（参见Ningestase-Sissokho [21]）。
The maximum size of a partial spread in a finite projective space
设$n$和$t$是正整数，且$t<n$，$q$是素数幂。${\rm PG}(n-1,q)$的$\textit{partial $（t-1）$-spread}$是${\rm PG}(n-1,q)$的成对不相交的$(t-1)$维子空间的集合.设$r=n\mbox{ mod } t$和$0\leq r<t$。我们证明，如果$t>(q^r-1)/(q-1)$，那么最大尺寸，即，${\rm PG}(n-1,q)$的部分$(t-1)$扩展的基数是$(q^n-q^{t+r})/(q^t-1)+1$。这基本上解决了这一领域的一个主要未决问题。在此结果之前，该最大尺寸仅为$r\in\{0,1\}$和$r=q=2$所知。
Neighbour-Transitive Codes and Partial Spreads in Generalised Quadrangles
广义四边形${\mathcal Q}$中的码$C$被定义为${\mathcal Q}$的点线关联图$\varGamma$的顶点集的子集。$C$的最小距离$δ$是$C$的一对不同元素之间的最小距离。图度量产生距离划分$\{C,C_1,\ldots,C_ρ\}$，其中$ρ$是$\varGamma$的任何顶点与其最近的$C$的元素之间的最大距离。由于$\varGamma$的直径为$4$，因此$ρ$和$δ$至多为$4$。如果$δ=4$，则$C$是${\mathcal Q}$的部分卵形或部分展开，并且如果另外是$ρ=2$，则$C$是卵形或展开。${\mathcal Q}$中的码$C$是邻域传递的，如果它的自同构群传递地作用在集合$C$和$C_1$中的每一个上。我们的主要结果i）分类所有的邻居传递码承认一个不溶性组的自同构在厚的经典广义四边形，对应于卵形或蔓延，和ii）给两个无限的家庭和六个零星的例子邻居传递码的最小距离$δ=4$在经典的广义四边形${\mathsf W}_3(q)$是不是卵形或蔓延。
Improved upper bounds for partial spreads
$\operatorname{PG}(n-1,q)$中的部分$(k-1)$ -扩展是具有平凡交集的$(k-1)$维子空间的集合，即，每个点最多覆盖一次。到目前为止，对于病例$n\equiv 0\pmod k$、$n\equiv 1\pmod k$和$n\equiv 2\pmod k$，已知$\operatorname{PG}(n-1,q)$中部分$(k-1)$ -扩散的最大尺寸，以及$q=2$和$k=3$的额外要求。我们完全解决了二元情况$q=2$的情况$n\equiv 2\pmod k$。
New lower bounds for partial $k$-parallelisms
由于在网络编码中的应用，子空间编码及其设计受到了广泛的关注。设$k\mid n$和$V(n,q)$是有限域$\mathbb{F}_{q}$上的$n$维空间. $k$ -扩展是$V(n,q)$的$k$ -维子空间的$\frac{q^n-1}{q^k-1}$ -集合，使得每个非零向量被恰好覆盖一次. $V(n,q)$中的部分$k$并行性是一组成对不相交的$k$扩展.由于$V(n,q)$中$k$维子空间的个数为${n \brack k}_{q}$，所以在部分$k$ -并行中至多存在${n-1 \brack k-1}_{q}$扩展.通过研究$V(n,q)$中一类特殊的部分$k$ -平行性所对应的Cayley图的独立数，得到了部分$k$ -平行性的新的下界.特别是，我们表明在$V(n,q)$中至少存在$\frac{q^{k}-1}{q^{n}-1}{n-1 \brack k-1}_q$成对不相交的$k$ -传播。
Partial k-Parallelisms in Finite Projective Spaces
在本文中，我们考虑以下问题。PG（n，q）中存在的成对不相交$k$ -扩散的最大数量是多少？证明了若k+1整除n+1且n>k，则PG（n，q）中至少存在两个不相交的k-散布，PG（n，2）中至少存在$2^{k+1}-1$两两不相交的$k$ -散布.我们还推广了已知的结果平行的射影几何，从一个给定的子空间的点被删除。
On spectral spread of generalized distance matrix of a graph
对于简单连通图$G$，设$D(G)$、$Tr(G)$、$D^{L}(G)$和$D^{Q}(G)$分别是图$G$的距离矩阵、顶点传递的对角矩阵、距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵.将$Tr(G)$和$D(G)$的凸线性组合$D_α(G)$定义为$D_α(G)=αTr(G)+(1-α)D(G)$，$0\leq α\leq 1$ .作为$D_{0}(G)=D(G), ~~~ 2D_{\frac{1}{2}}(G)=D^{Q}(G), ~~~ D_{1}(G)=Tr(G)$和$D_α(G)-D_β(G)=(α-β)D^{L}(G)$，该矩阵简化为距离谱、距离Laplacian谱和距离无符号Laplacian谱理论的合并。设$\partial_{1}(G)\geq \partial_{2}(G)\geq \dots \geq \partial_{n}(G)$为$D_α(G)$的特征值，$D_αS(G)=\partial_{1}(G)-\partial_{n}(G)$为图$G$的广义距离谱扩展。本文给出了广义距离谱扩展$D_α(G)$的一些界。我们还得到了广义距离谱扩展$D_α(G)$和距离谱扩展$S_{D}(G)$之间的关系。进一步，我们得到了包含不同图参数的二部图的$D_αS(G)$的下界，并刻画了某些情况下的极图。我们还得到了$D_αS(G)$的团数和独立数的下界，并在某些情况下刻…
Bent Functions in the Partial Spread Class Generated by Linear Recurring Sequences
提出了一种利用线性递归序列（LRS）生成的子空间构造部分扩展Bent函数的方法。我们首先证明了由两个LRS定义的线性映射的核有平凡交的充要条件是它们的反馈多项式是互质的。然后，我们的特点是适当的参数为一个家庭的成对互质多项式生成一个部分扩展所需的支持的弯曲功能，显示这样的家庭存在的当且仅当程度的基础多项式是$1$或$2$。然后，我们计算得到的多项式集，并证明，对于程度$1$，我们的LRS建设符合Deskiesian部分扩展。最后，我们执行计算机搜索的所有$\mathcal{PS}^-$和$\mathcal{PS}^+$弯曲功能的$n=8$变量产生我们的建设和计算其2-秩。结果表明，由$b=2$次数多项式定义的这些函数中的许多函数都不与任何Maiorana-McFarland或Deskiesian部分扩展函数EA等价.
On distance Laplacian spread and Wiener index of a graph
设$G$是一个阶为$n$的简单连通简单图.距离拉普拉斯矩阵$D^{L}(G)$定义为$D^L(G)=Diag(Tr)-D(G)$，其中$Diag(Tr)$是顶点传输的对角矩阵，$D(G)$是$G$的距离矩阵。$D^{L}(G)$的特征值是$G$的距离拉普拉斯特征值，并由$\partial_{1}^{L}(G), \partial_{2}^{L}(G),\dots,\partial_{n}^{L}(G)$表示。连通图$G$的\textit{ distance Laplacian spread} $DLS(G)$是最大和第二小距离拉普拉斯特征值之间的差，即$\partial_{1}^{L}(G)-\partial_{n-1}^{L}(G)$。我们得到的Wiener指标$W(G)$，$n$阶和$G$的最大传输度$Tr_{max}(G)$的$DLS(G)$的界限和特征的极值图。我们得到了$DLS(G)$的两个下界，第一个下界是关于图的阶数、直径和Wiener指数的，第二个下界是关于图的阶数、最大度和独立数的.对于连通$ k-partite$图$G$，$k\leq n-1$，其中$n$的顶点具有不连通补，我们证明了$ DLS(G)\geq \Big \lfloor \frac{n}{k}\Big \rfloor$具有相等性当且仅当$G$是一个$complete ~ k-partite$图，它…
Bounds for Different Spreads of Line and Total Graphs
本文研究了关于给定图的线的展度和全图的展度的一些结果。特别地，证明了对于一个具有$m > n \geq 4$的$(n,m)$连通图$G$，$G$的展度小于或等于它的线图的展度，其中等式成立当且仅当$G$是正则二部图.对一类非二部非正则图，证明了图的展度不大于无符号拉普拉斯展度的一个充分条件.此外，我们得到了一个上界的传播的线图的$n$顶点的顶点（边）连通度小于或等于一个正整数$k$。结合特征值交错的技巧，我们得到了连通图的全图的Laplacian和无符号Laplacian扩展的下界。此外，对于正则图，给出了它的全图的扩散度的上下界。
New Bounds for the Signless Laplacian Spread
设$G$是一个单图. $G$的无符号拉普拉斯扩展被定义为其无符号拉普拉斯特征值对的最大距离。本文建立了一些新的无符号拉普拉斯扩散的上下界。这些界限中的几个依赖于图的不变参数。我们还使用极大极小原理找到这个谱不变量的几个下界。
Upper bounds for the number of substructures in finite geometries from the container method
该研究利用代数与极值组合中的容器方法，为有限几何产生的多类（超）图独立集给出渐近精确上界，并研究随机射影空间中的 cap。
Projective divisible binary codes
对于哪些正整数$n,k,r$，存在$\mathbb{F}_q$上的线性$[n,k]$码$C$，其中所有码字权重都可被$q^r$整除，并且使得$C$的生成矩阵的列是投影不同的？研究这个问题的动机来自于部分扩展的理论，或者具有最高可能的最小距离的子空间码，因为在$\operatorname{PG}(v-1,\mathbb{F}_q)$中的$r$ -平坦部分扩展的孔的集合对应于具有$k\leq v$的$q^r$ -可除码。在本文中，我们提供了一个介绍这个问题，并报告新的结果$q=2$。
Optimizing Spread of Influence in Weighted Social Networks via Partial Incentives
在社交网络中，一个被广泛研究的影响力扩散过程假定影响力扩散的动态演化如下：给定一个代表网络的图$G=(V,E)$，最初\emph{only}，给定$S\subseteq V$的成员受到影响;随后，在每一轮，受影响的节点集被网络中具有足够多的已受影响的邻居的所有节点所增加。一般的问题是找到一个小的初始节点集，影响整个网络。本文对上述基本模型进行了如下扩展：首先，假设每个节点$v\in V$都有非负值$c(v)$，度量初始影响节点$v$的代价，算法问题是寻找影响整个网络的\emph{minimum total cost}的一组节点;接着，我们研究了将\emph{incentives}给予网络成员的后果，并且我们量化了这如何影响（即，减少）影响整个网络的启动过程的总成本。对于上述两个问题，我们提供了硬度和算法的结果。我们还通过在现实生活中的网络上进行广泛的模拟来实验验证我们的算法。
Containing Viral Spread on Sparse Random Graphs: Bounds, Algorithms, and Experiments
大型图上的病毒传播有许多实际应用，例如计算机网络中的恶意软件传播和类似Twitter的在线社交网络中的谣言（或错误信息）传播。尽管在传统的易感-传染-扩散模型上已经对大图上的病毒传播进行了深入的分析，但是在实践中仍然缺乏有效的方法来控制一旦超过临界阈值的流行病传播。在此背景下，我们探讨了在大型网络中遏制病毒传播的方法，重点是稀疏随机网络。病毒遏制策略是将大型网络划分为小组件，然后确保跨不同组件传递的所有消息的健全性。有了这样的防御机制，从任何节点开始的流行病传播都只限于与初始感染节点属于同一组件的那些节点。我们建立了检查组件间消息的成本的下限和上界。我们进一步提出了基于几何的方法来划分大的输入图成小的组件。最后，我们研究了我们提出的算法在不同的网络拓扑结构和不同的边权重模型下的性能。
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