Kardar-Parisi-Zhang Universality
Ivan Corwin
这是2016年3月号AMS公告上发表的同名文章。由于篇幅所限，此处所载的一些参考资料在出版版本中没有提供。本文中的数字是与William Casselman合作完成的。
This is the article by the same name which was published in the March 2016 issue of the AMS Notices. Due to space constraints, some references contained here were not provided in the published version were not provided. The figures in this article were made collaboratively with William Casselman.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
$1/f^α$ power spectrum in the Kardar-Parisi-Zhang universality class
对$(1+1)$维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类中界面涨落的功率谱进行了实验和数值研究。通过一组功率谱的“临界指数”发现并表征了$1/f^α$型谱。最近制定的“老化维纳-欣钦定理”占所观察到的指数。有趣的是，在KPZ类的$1/f^α$频谱原来包含一个普遍的分布函数的信息，表征的渐近状态的KPZ接口，即Baik-Rains普遍方差。它确实是观察到在所提出的数据，无论是实验和数值，并为圆形和平面接口，在很长的时间限制。
Kardar-Parisi-Zhang Interfaces with Curved Initial Shapes and Variational Formula
本文研究了Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类中具有弯曲初始条件的界面涨落。通过对团簇生长模型的模拟和液晶湍流实验，我们确定了描述从环向外生长的界面高度分布和空间相关性的普适标度函数。由一个单一的无量纲的时间参数控制的标度函数，表现出交叉的统计性质的平面接口的圆形接口。此外，采用KPZ变分公式来描述的情况下，环的初始条件，我们发现，该公式，我们数值评估，再现的数值和实验结果精确地没有可调参数。这表明，精确的数值计算的变分公式是可能的，并强调了实用的重要性的公式，这是能够预测一点分布的KPZ接口一般的初始条件。
Kardar-Parisi-Zhang Universality in First-Passage Percolation: the Role of Geodesic Degeneracy
我们已经描述了两种类型的离散网络，规则的正方形晶格和无序的Delaunay晶格上的第一次通过渗流（FPP）模型的标度行为，从而解决底层拓扑结构的影响。几个分布函数的链接时间被认为是。的渐近行为的波动的最小到达时间和横向偏差的测地线路径是在完美的协议与Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的链接时间分布和格拓扑的类型无关。前渐近行为，另一方面，被发现依赖于唯一的测地线在没有混乱的地方交叉时间，拓扑性质的晶格方向，我们术语测地线退化。这个属性对模型有重要的影响，例如众所周知的规则晶格中的各向异性生长。在这项工作中，我们提供了一个框架，以了解其影响，以及表征其程度。
Kardar-Parisi-Zhang Interfaces with Inward Growth
利用液晶电对流中湍流态的生长和非格子Eden模型，分别对$(1+1)$维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）界面从环形初始条件向内生长进行了实验和数值研究.为了实现环的初始条件实验，我们介绍了一种基于全息的技术，允许我们任意设计的初始条件。然后，我们发现，向内生长的圆形接口的波动特性是不同的弯曲或圆形KPZ子类，而不是由平坦子类的特点。更准确地说，我们找到了一个渐近的方法来Tracy-Widom分布的高斯正交系综和$\text{Airy}_1$空间相关性，只要时间是远远短于由初始曲率确定的特征时间。在这个特征时间附近，发现偏离平坦的KPZ子类，这可以用相关长度和周长来解释。我们的结果表明，初始曲率的符号在确定KPZ类的普适分布和关联函数中起着至关重要的作用。
Random metric geometries on the plane and Kardar-Parisi-Zhang universality
这篇文章的标题相同，预计将出现在2022年1月号的AMS通告中，由于空间限制，无法在接受的版本中提供额外的参考。本文中的数字是与Milind Hegde合作制作的。
Direct Evidence for Universal Statistics of Stationary Kardar-Parisi-Zhang Interfaces
一维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的非平衡稳态通过精确解得到了深入的研究，但迄今为止还没有直接的实验证据证明其特征统计性质.这是有争议的，因为对于一个无限大的系统，需要无限长的时间才能达到这样一个稳态，并收敛到预测的普遍行为。在这里，我们绕过这个问题，在实验系统中的液晶湍流的增长，通过产生一个初始条件，具有预期的KPZ定态的长程属性。由此产生的界面波动清楚地显示了一维固定KPZ界面的特性，包括收敛到Baik-Rains分布。我们还确定有限时间修正的KPZ标度律，这反过来发挥了重要作用，在直接测试的固定KPZ接口。这为在实验上探索固定KPZ界面的未解性质铺平了道路，使其与非线性波动流体力学和量子自旋链的联系成为可能，因为最近的研究揭示了与固定KPZ的关系。
Characteristic Sign Renewals of Kardar-Parisi-Zhang Fluctuations
跟踪由$(1+1)$维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适性类支配的波动的符号，我们表明，无论是实验还是数值模拟，它的演变与一个简单的随机模型有着意想不到的联系，称为更新过程，在老化和遍历性破坏的背景下研究。虽然KPZ和更新过程在许多方面有本质的不同，但我们发现在一些时间相关性质上，如递归时间分布和持续概率，这两个系统可以在其他性质上不同。此外，我们发现在一个特定的符号的KPZ类波动所占用的时间的一部分，长时间和合奏平均值之间的不等价性。其长期平均值的分布收敛到非平凡的广泛的功能，这被发现显着不同的更新过程，而是KPZ的特性。这样，我们得到了一类新的多体相互作用系统的遍历破缺。我们的分析还检测到定性差异的时间相关性的圆形和平坦的KPZ类接口，这是建议从以前的实验和模拟，但仍然在理论上无法解释。
Population dynamics simulations of large deviations for three subclasses of the Kardar-Parisi-Zhang universality class
本文提出一种基于人口动力学算法的方法，用于研究KPZ类中三种子类的大偏差现象，揭示了深度负大偏差的鲁棒性及其形成机制。
Universal aspects of curved, flat & stationary-state Kardar-Parisi-Zhang statistics
受最近\it & Sasamoto（Phys. Rev. Lett. { \bf 108}，190603（2012）），以及由Takeuchi（Phys. Rev. Lett. { \bf 110}，210604（2013）），我们在这里建立了这些现象的普适性，检查定向聚合物在随机介质中的标度行为，具有乘性噪声的随机热方程，以及动力学粗糙化的KPZ生长模型。我们强调跨KPZ类的普遍性的价值，揭示交叉效应的实验相关性。最后，我们通过对随机排列的Ulam问题的优化数值分析，说明了KPZ标度理论的巨大效用。
Macdonald processes, quantum integrable systems and the Kardar-Parisi-Zhang universality class
可积概率已经成为概率论/数学物理/统计力学和表示论/可积系统的一个活跃的研究领域。非正式地，可积概率系统有两个性质：1）可以写出系统的各种有趣的可观测量（或函数）的期望的简洁和精确的公式。2)系统的渐近性和相关的精确公式提供了对无序系统的大普适类和普适标度极限的性质和统计的精确描述。在这里，我们专注于可积的概率系统的例子有关的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）的普遍性类，并解释他们的可积性源于连接与对称函数理论和量子可积系统。
Large deviations for the height in 1D Kardar-Parisi-Zhang growth at late times
研究了Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的$1+1$维增长模型中原点高度$H \sim {\cal O}(t)$在后期的极大偏差.我们提出的离散单步生长模型的速率函数，以及连续KPZ方程在液滴几何形状的精确结果。基于我们精确计算的速率函数，我们认为，在KPZ类的模型进行了三阶相变从强耦合到弱耦合相，在晚的时候。
When fast and slow interfaces grow together: connection to the half-space problem of the Kardar-Parisi-Zhang class
我们研究了$(1+1)$维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）类中界面的高度涨落，在空间的左半部分和右半部分以不同的速度增长.进行模拟的离散多核生长模型与两种不同的增长率，结合标准设置的液滴，平面，和固定的几何形状，我们发现，在边界处和附近的波动特性所描述的KPZ半空间问题的理论文献。特别地，在液滴的情况下，边界处的分布由高斯辛系综中随机矩阵的最大特征值分布给出，通常称为GSE Tracy-Widom分布。我们还描述了从全空间统计到半空间统计的交叉，这是当两个增长速度之间的差异很小时出现的。
Renormalizing the Kardar-Parisi-Zhang equation in $d\geq 3$ in weak disorder
研究了在空间小卷积的高斯时空白噪声驱动下的3维或更高维的Kardar-Parisi-Zhang方程。当噪声强度较小时，已知当平滑参数关闭时，解收敛到随机极限。我们确定这一限制，在一般的初始条件下，从平面到液滴。我们提供了严格遵守极限定律的解的强近似。我们证明了这个极限有次高斯下尾，这意味着存在所有的负（和正）时刻。
The Kardar-Parisi-Zhang equation as scaling limit of weakly asymmetric interacting Brownian motions
我们考虑一个系统的无穷多个相互作用的布朗运动模型的高度之间的两个散装相的一维界面。我们证明了在弱非对称的微观相互作用下，KPZ方程的解可以很好地近似系统的大尺度涨落。证明是基于Goncalves和Jara的鞅解以及Gubinelli和Perkowski相应的唯一性结果。
The inverse scattering of the Zakharov-Shabat system solves the weak noise theory of the Kardar-Parisi-Zhang equation
通过引入一种结合场论、概率论和可积技术的方法，在短时间内求解一维Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程的大偏差问题。我们扩展了弱噪声理论的程序，将大偏差映射到非线性流体力学问题上，并通过与Zakharov-Shabat系统的可积性的联系揭示了其完全可解性。精确的解决方案，取决于初始条件的KPZ方程，获得使用逆散射方法和Fredholm行列式框架最近开发的。这些结果，明确的液滴几何形状的情况下，打开路径，以获得完整的大偏差一般的初始条件。
Inverse scattering solution of the weak noise theory of the Kardar-Parisi-Zhang equation with flat and Brownian initial conditions
本文给出了一维Kardar-Parisi-Zhang方程在平坦初始条件下的短时弱噪声理论解。通过与Zakharov-Shabat（ZS）系统的连接，利用其经典可积性，解析求解WNT的非线性流体动力学方程。这种方法是基于最近开发的Fredholm行列式框架先前应用于液滴IC。平坦IC提供了ZS系统的非零边界条件的情况，并且产生了包括Lambert函数的多个分支的外观的更丰富的孤子结构。作为一个副产品，我们得到了明确的解决方案的WNT的布朗IC，它经历了一个动态的相变。我们阐明了它的机制表明，相关的自发破缺的空间对称性产生的两个孤子之间的相互作用具有不同的rapidities。
Kardar-Parisi-Zhang equation and large deviations for random walks in weak random environments
研究了$1+1$维时空随机环境中随机游动的转移概率。对于临界调谐弱无序，我们证明了一个尖锐的大偏差的结果：经过适当的重新标度，转移概率的RWRE评估在大偏差制度，收敛到随机热方程（SHE）与乘性噪声（对数是KPZ方程）的解决方案。我们将其应用到完全可解的Beta RWRE，并提出了一个正式的推导，该模型的某些时刻公式的收敛性的SHE。
Coupled Kardar-Parisi-Zhang Equations in One Dimension
在过去的几年里，我们的理解的标度性质的一维KPZ方程的解决方案有很大的进步，无论是理论和实验。在我们的贡献，我们出口这些见解耦合KPZ方程的情况下，在一维。我们建立了等价的非线性波动流体动力学的多组分驱动的随机格子气体。为了检验理论的预测，我们进行蒙特卡罗模拟的两个组件AHR模型。它的稳定状态是使用矩阵积的计算。从而从微观模型推导出耦合KPZ方程中的所有系数。模拟了稳态下的时间关联，不仅确定了标度指数，而且确定了标度函数和非普适系数。
Weakly Asymmetric Non-Simple Exclusion Process and the Kardar-Parisi-Zhang Equation
通过推广GaertnersCole-Hopf变换，分析了一类非简单排斥过程及其相应的增长模型.我们确定了主要的非线性，并通过施加梯度型条件来消除它。对于跳变范围不超过3的情形，利用广义变换证明了排它过程收敛于Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程.这是在KPZ普适性类中关于相互作用粒子系统的第一个普适性结果。虽然这类排斥过程不是显式可解的，但我们利用Amir et al.（2011）的结果和我们的收敛性结果得到了阶跃初始条件的精确单点极限分布。
Kardar-Parisi-Zhang Equation from Long-Range Exclusion Processes
本文证明了具有任意跳跃长度的非简单排斥过程的高度函数在适当的标度和重整化条件下收敛于Kardar-Parisi-Zhang SPDE的解.这扩展了Dembo-Tsai'16对任意跳跃长度的工作和Goncalves-Jara '17对非平稳状态的工作。因此，我们回答了一个“大图片问题”从AIM研讨会上KPZ，也扩大了几乎空集的不可积和非平稳粒子系统的弱KPZ的普遍性被证明。我们使用一个近似的微观Cole-Hopf变换在Dembo-Tsai'16，但我们开发的工具，通过局部平衡和Goncalves-Jara '17的工作来分析粒子系统的局部统计。局部平衡是通过Guo-Papanicolaou-Varadhan '88中的单块步骤进行的，用于路径空间/动态统计。
Partial yet definite emergence of the Kardar-Parisi-Zhang class in isotropic spin chains
本文结合数值模拟与 KPZ 普适类精确研究框架，证实可积各向同性自旋链中两点量符合 KPZ 标度律，确立了 KPZ 类的部分涌现，并发现能量流下该标度律在 Galilean 变换中保持不变。
An appetizer to modern developments on the Kardar-Parisi-Zhang universality class
Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适性类描述了广泛的非平衡波动，包括生长界面，定向聚合物和粒子输运等。自2000年以来，基于精确解的数学物理方法使我们对一维KPZ类的理解得到了更新。从那时起，数学物理就发挥了核心作用，导致了无数新的发展，但它们的影响显然不仅限于数学--事实上，它也可以通过实验来研究。这些讲义的目的是提供一个介绍该领域是访问非专业人士，审查KPZ类的基本属性和突出的主要物理成果的数学发展自2000年以来。它是写在一个简短和自足的方式，重点放在物理直觉和影响，而只有一小部分（大多数不是最新的）数学发展可以涵盖。本文还介绍了作者和同事的液晶实验。
The crossover from the Macroscopic Fluctuation Theory to the Kardar-Parisi-Zhang equation controls the large deviations beyond Einstein's diffusion
研究了从描述一维随机扩散系统的宏观涨落理论（MFT）到描述Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程的弱噪声理论（WNT）的交叉问题。我们专注于扩散的例子中的时间依赖的随机场，观察到在一个非典型的方向，诱导的不对称性。交叉是由一个非线性系统，该系统的衍生物和标准的非线性薛定谔方程之间的虚时间内插。我们解决这个系统使用的逆散射方法的混合时间边界条件，我们介绍了解决WNT。我们得到的速率函数，它描述了大的偏差的样品到样品的示踪剂位置的累积分布的波动。它表现出交叉的不对称性是不同的，恢复MFT和KPZ限制。我们素描它是如何与提取的Fredholm行列式公式，最近推导出粘性布朗运动的渐近性一致。这里研究的交叉机制应该推广到MFT描述的更大一类模型。我们的结果适用于研究超越爱因斯坦理论的极值扩散。
Finite temperature free fermions and the Kardar-Parisi-Zhang equation at finite time
本文研究了在有限逆温度$β= 1/T$下，一维自由费米子被谐振子阱$V(x) = mω^2 {x^2}/{2}$束缚的系统。导出了费米子$ρ_N(x,T)$在$x$位置的平均密度。对于$N \gg 1$和$β\sim {\cal O}(1/N)$，$ρ_N(x,T)$由在高温下的高斯（对于$β\ll 1/N$）和低温下的维格纳半圆定律（对于$β\gg N^{-1}$）之间插值的标度函数给出。在后一种制度中，我们揭开了一个缩放限制，$β{\hbar ω}= b N^{-1/3}$，其中的波动接近边缘的支持，在$x \sim \pm \sqrt{2\hbar N/(mω)}$，描述了一个限制内核$K^{\rm ff}_b(s,s')$，不断依赖于$b$和艾里内核的推广，发现在高斯酉包络的随机矩阵。值得注意的是，完全相同的内核$K^{\rm ff}_b(s,s')$出现在1+1维的Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程在有限时间$t$的精确解中，对应$t= b^3$。
Aging for the stationary Kardar-Parisi-Zhang equation and related models
研究了KPZ普适类中平稳模型的老化性质。特别是，我们显示老化的固定KPZ不动点，Cole-Hopf解决方案的固定KPZ方程，高度函数的固定TASEP，最后一次通过渗流边界条件和固定定向聚合物在中间无序制度。所有这些模型都显示出普遍的老化行为，其特征在于它们的相关性的衰减率。作为比较，我们显示老化模型在爱德华-威尔金森普适性类中获得不同的衰减指数。我们证明的一个关键因素是时空平稳性的一个特征-协方差到方差的减少-它允许通过一个点的方差来推导两个时空点的相关性的渐近行为。我们提出了几个开放的问题。
Ergodicity and synchronization of the Kardar-Parisi-Zhang equation
Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程是已知的，它承认具有线性漂移的布朗运动为平稳分布（模可加常数）.我们发现，这些解决方案是有吸引力的，结果被称为一个力-一个解决方案（1F 1 S）的原则或同步：解决方案的KPZ方程开始在遥远的过去从一个初始条件与给定的斜率将几乎肯定收敛到布朗运动的漂移，这表明特别是这些不变测度是完全遍历的。我们的证明构造了方程的Busemann过程，它给出了所有这些定态解的自然联合定态耦合。同步，然后同时举行（在一个单一的全概率事件），但最多可数随机集的渐近斜率。这组导致同步失败的异常不稳定斜率要么几乎肯定是空的，要么几乎肯定是稠密的。一路上，我们证明了一个形状定理，这意味着几乎必然随机均匀化的KPZ方程，其中的Busemann过程给出了过程的校正。我们还表明，向前和向后的点到点和点到线的连续聚合物收敛到半无限连续聚合物，其过渡是Doob变换通过Busemann函数的有限长度聚合物的过渡。
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