非奇异核定义的分数阶导数捕捉反常弛豫和扩散

分数阶Fokker-Planck方程的反常行为

Anomalous Behaviors in Fractional Fokker-Planck Equation

我们引入一个分数阶Fokker-Planck方程，该方程对漂移力场具有时间幂律依赖性。对于这种情况下，从力-力相关的时间依赖性漂移力场的示踪剂的时刻进行了讨论分析。二阶矩的长时间渐近行为由漂移力场的标度指数$ξ$决定。在空间标度值$ν=1$和时间标度值$τ=1$的特殊情况下，我们的结果可以根据大$t$的示踪剂的平均二阶矩的时间标度进行分类：对于正常扩散，$< \bar{x^2(t)} >$ $\propto$ $t$ with $ξ={1/4}$;对于超扩散，$< \bar{x^2(t)} >$ $\propto$ $\propto$ $t^η$ with $η>1$和$ξ>{1/4}$。

反常指数与空间相关的次扩散主方程：“黑天鹅”效应

Subdiffusive master equation with space dependent anomalous exponent: `Black Swan' effects

导出了反常指数与空间相关的分数阶主方程。我们用解析和蒙特卡罗模拟两种方法分析了相应格点模型的渐近行为。我们证明了有界区域$[ 0,L]$中具有常反常指数$μ$的次扩散分数阶方程对于参数$μ$的非齐次变化是不稳定的.特别地，无论指数的空间变化如何，吉布斯-玻尔兹曼分布不再是分数福克-普朗克方程的定态解。我们分析了$% μ$在空间上的随机分布，发现在长时间限制下，概率分布在空间上是高度中间的，行为完全由非常不可能的事件主导。

反常扩散的分数阶Fokker-Planck模型

A Fractional Fokker-Planck Model for Anomalous Diffusion

在本文中，我们提出了一个研究的反常扩散的Fokker-Planck描述与分数速度导数。分布函数是使用不同分数度的数值均值来找到的，观察从高斯分布到莱维分布的过渡。根据Tsallis统计力学的广义期望测度和熵来估计分布函数的统计性质。我们发现，广义熵和期望值的比例是增加的，朝着众所周知的所谓的子扩散域，表示自组织行为的分数减少。

网络上的分数动力学：反常扩散和Lévy飞行的出现

Fractional dynamics on networks: Emergence of anomalous diffusion and Lévy flights

我们介绍了一种形式主义的分数扩散网络的基础上的分数拉普拉斯矩阵，可以直接从特征值和特征向量的拉普拉斯矩阵。这种分数方法允许随机游走与长程动态提供了一个一般的框架，异常扩散和导航，并动态诱导任何网络上的小世界属性。我们获得了稳态概率分布、平均分数返回概率和全局时间的精确结果，表明如果我们使用分数随机游走，则导航网络的效率比正常随机游走更高。对于环的情况下，我们得到了精确的分析结果表明，分数转移和返回概率遵循长程幂律衰减，导致网络上的Lévy航班的出现。我们的一般分数扩散形式主义适用于规则，随机和复杂的网络，可以实现从拉普拉斯矩阵的谱特性，提供了一个重要的工具来分析网络上的异常扩散。

Levy稳定过程反常扩散的非线性Langevin和分数阶Fokker-Planck方程

Non-Linear Langevin and Fractional Fokker-Planck Equations for Anomalous Diffusion by Levy Stable Processes

研究了一类非线性分数阶Fokker-Planck（FFP）方程的广义扩散系数估计的数值解。~的目的是使用FFP描述与分数速度导数和Langevin动力学，其中Lévy波动被引入到模拟由于分数扩散在速度空间中的非局域输运的效果的模型的异常扩散。分布函数被发现使用不同程度的分数的稳定的Lévy分布的FFP方程的解决方案的数值手段。分布函数的统计性质由广义归一化期望测度、熵和修正的输运系数来评价。通过对实验数据的分析，证实了随着分形度的减小，~-输运系数显著增大。

Anomalous Diffusion: Fractional Brownian Motion vs. Fractional Ito Motion

Generalizing Brownian motion (BM), fractional Brownian motion (FBM) is a paradigmatic selfsimilar model for anomalous diffusion. Specifically, varying its Hurst exponent, FBM spans: sub-diffusion, regular diffusion, and super-diffusion. As BM, also FBM is a symmetric and Gaussian process, with a continuous trajectory, and with a stationary velocity. In contrast to BM, FBM is neither a Markov process nor a martingale, and its velocity is correlated. Based on a recent study of selfsimilar Ito diffusions, we explore an alternative selfsimilar model for anomalous diffusion: fractional Ito motion (…

非均匀环境中反常扩散的解析描述：无分数阶导数的Fokker-Planck方程

Analytic description of anomalous diffusion in heterogeneous environments: Fokker-Planck equation without fractional derivatives

提出了一个非均相环境中的扩散模型，定性地反映了含碳纳米管聚合物膜的输运性质。我们从随机方程组出发，推导出Fokker-Planck方程，并对聚合物中的扩散机制和纳米管中的弹道机制进行了响应。我们展示了概率密度函数是如何在纳米管区域的存在下改变的。由此观察到均方位移的非线性时间依赖性，这表明异常扩散制度。因此，该模型解释了扩散弹道制度的反常扩散的出现机制。我们的方法不假设任何类型的分布，并使用分数微分装置。

反常转动弛豫：分数阶Fokker-Planck方程方法

Anomalous Rotational Relaxation: A Fractional Fokker-Planck Equation Approach

本文在随机框架下，基于布朗运动，用旋转关联函数解析地得到了复杂无序系统的弛豫函数。发现复杂无序系统的转动弛豫函数具有分数形式，表明弛豫具有非指数性质，遵循Kohlrausch-William-Watts定律，遵循Mittag-Leffler衰减。

一维反常扩散和分数自相似的观测

Observation of anomalous diffusion and fractional self-similarity in one dimension

实验研究了超冷原子在一维偏振光晶格中的反常扩散。在不同的时间记录原子的空间分布，并分析其动力学和形状。我们发现，云的宽度表现出幂律的时间依赖性与依赖于晶格深度的指数。此外，分布具有分数自相似性，具有相同的特征指数。的自相似形状的分布被发现是很好的拟合的Lévy分布，但与时间的一个不同的特征指数。数值模拟表明，这可能是由于原子的速度和飞行时间之间的相关性。

具有Hilfer分数阶导数的双曲正切函数的反常弛豫

Anomalous relaxation in dielectrics with Hilfer fractional derivative

我们引入了一个新的松弛函数依赖于一个任意的参数作为动力学方程的解，以同样的方式由Debye，Cole-Cole，Davidson-Cole和Havriliak-Negami经验引入的松弛函数，反常松弛在100，这是恢复的特殊情况。我们提出了一个微分方程，它引入了一个分数阶算子，该算子是以n阶Hilfer分数阶导数表示的，其中0<n <1，类型为η，其中0<η<1。讨论分数阶微分方程的解，需要用到拉普拉斯变换的方法。作为副产品，我们提到的解决方案是完全单调的特殊情况。最后，将经验模型作为特例进行恢复。

次扩散反常方程正则化的随机死亡过程

Random death process for the regularization of subdiffusive anomalous equations

次扩散分数方程在反常指数的空间扰动方面不是结构稳定的（Phys.Rev.E85，031132（2012））。问题出现的适用性，这些分数方程模拟现实世界的现象。为了纠正这个问题，我们建议列入随机死亡过程的随机行走计划，我们到达修改后的分数主方程。通过解析和蒙特卡罗模拟分析了该方程的渐近性态，证明了该方程对反常指数的空间变化是结构稳定的.此外，在连续和长的时间限制，我们得到了一个不寻常的对流扩散方程，其中对流和扩散系数依赖于死亡率和异常指数。我们将正则化的分数阶主方程应用于形态梯度形成问题。

空间依赖变阶分数阶扩散方程解的渐近性态：超慢反常聚集

Asymptotic behavior of the solution of the space dependent variable order fractional diffusion equation: ultra-slow anomalous aggregation

首次找到了空间相依变阶分数阶扩散方程和Fokker-Planck方程解的渐近表示。我们确定了一个新的平流项，导致超慢的空间聚集subdiffusive粒子由于主导地位超过标准的平流和扩散条款，在长时间的限制。这揭示了不均匀分布可能发生的异常机制。我们进行细胞内溶酶体分布和蒙特卡罗模拟实验，并发现渐近解，粒子直方图和实验之间的良好协议。

描述反常扩散的分数阶Langevin方程

Fractional Langevin equation to describe anomalous diffusion

考虑了一类具有特殊类型可加随机源的Langevin方程。这种随机力呈现白噪声的分数阶导数，并导致粒子的均方位移的幂律时间行为，幂指数为非整数。本文还提出了用分数阶时间微分算子代替通常的分数阶时间微分算子的更一般的方程来描述反常扩散过程。这样的方程可以被看作是对应于不完全哈密顿混沌系统，并根据粒子的速度和坐标之间的关系的类型，产生通常或分数的长时间扩散行为。与分数Fokker-Planck方程的相关性进行了分析。此外，还讨论了该方程在反常扩散中的可能应用。

有限平均停留时间的分数时间随机游走亚扩散和反常输运：更快，而不是更慢

Fractional time random walk subdiffusion and anomalous transport with finite mean residence times: faster, not slower

连续时间随机游走（CTRW）的子扩散以及与之相关的分数阶Fokker-Planck方程（FFPE）传统上是以平均周期发散的随机钟为前提的。这项工作考虑了另一种CTRW和FFPE描述的特点是有限的平均停留时间（MRT）在任何空间域的有限大小。瞬态亚扩散输运可以发生在一个非常大的时间尺度$τ_c$，它可以大大超过平均停留时间在任何陷阱，$τ_c\gg <τ>$，甚至不相关。渐近地，在宏观尺度上的运输成为正常的$t\ggτ_c$。然而，介观输运是反常的。从粘弹性subdiffusion没有长程反相关的位置增量是必需的。此外，我们的研究表明，瞬态亚扩散和输运比宏观尺度上的正态渐近极限所期望的要快。由于细胞质的宏观粘度是有限的，这一观察对生物细胞中的异常介观输运过程具有深远的意义。

具有反常扩散的反应扩散系统中的波前传播

Front propagation in reaction-diffusion systems with anomalous diffusion

对反应扩散系统中反常扩散在波前传播中的作用进行了数值研究。三种模型的异常扩散被认为是：分数扩散，回火分数扩散，并结合分数扩散和定期扩散的模型。反应动力学符合Fisher-Kolmogorov非线性方程。数值方法是基于有限差分算子分裂算法与显式欧拉步骤的时间推进的反应动力学，和Crank-Nicholson半隐式时间步长的运输运营商。异常扩散算子离散使用迎风，通量守恒，Grunwald-Letnikov有限差分格式适用于正则分数阶导数。对于$α$阶的分数扩散，前沿呈现指数加速$a_L(t) \sim e^{γt/α}$，并发展出代数衰减尾部$ϕ\sim 1/x^α$。在回火分数扩散的情况下，这种现象普遍存在于中间渐近制度$\left(χt \right)^{1/α} \ll x \ll 1/λ$，其中$1/λ$是回火的尺度。在这个区域之外，即对于$x > 1/λ$，尾翼表现出回火衰减$ϕ\sim e^{-λx}/x^{α+1}$，前缘速度接近终端速度$v_*= \left(γ-λ^αχ\right)/ λ$。特别感兴趣的是定期和分数扩散的相互作用的研究。结果表明，规则扩散的主要作用是推迟锋加速的开始。特别地，过渡到加速分数状态的交叉时间$t_c$表现出$t_c \sim \log \left(χ_d/χ_f\right)$形式的对数标度，其中$χ_d$和$χ_f$是规则扩散率和分数扩…

一维系统中反常热输运的非局部分数阶扩散方程描述

Anomalous heat transport in one dimensional systems: a description using non-local fractional-type diffusion equation

已经在许多数值模拟、实验和各种理论处理中观察到，相互作用粒子的一维系统中的热传输不能用唯象傅立叶定律来描述。从过去几年的研究中出现的图像是傅立叶定律被空间非局部线性方程所取代，其中一点的电流来自系统其他部分的温度梯度。相应地，通常的热扩散方程被非局部分数阶扩散方程所取代。在这篇综述中，我们描述了导致这个框架的各种理论方法，并讨论了这个问题的最新进展。

分数阶时间导数算子在反常扩散中的作用

The role of fractional time-derivative operators on anomalous diffusion

具有分数阶导数的广义扩散方程已被证明是描述复杂系统中扩散的非常有效的方法，其优点是能给出基本扩散性质的精确表达式。最近，研究人员提出了不同的分数时间算子（即：Caputo-Fabrizio和Atangana-Baleanu），与著名的Riemann-Liouville算子不同，它们由非奇异记忆核定义。在这里，我们建议使用这些新的运营商推广通常的扩散方程。通过分析连续时间随机游走框架下相应的分数阶扩散方程，得到了具有指数、拉伸指数和幂律函数特征的等待时间分布，以及两种行为之间的交叉.对于均方位移，我们发现通常和受限扩散之间的交叉，通常和子扩散之间。我们得到的概率分布，其中出现非高斯和平稳分布的精确表达式。前一个特征是显着的，因为分数扩散方程是在没有外力的情况下求解的，并且受到自由扩散边界条件的约束。我们进一步证明了这些新的分数阶扩散方程与具有随机重置的扩散过程和具有分布阶导数的分数阶扩散方程有关。因此，我们的研究结果表明，这些新的运营商是一个简单而有效的方法，将不同的结构方面的系统，开辟新的可能性建模和调查异常扩散过程。

开放反常热传导系统的分数阶扩散方程描述

Fractional diffusion equation description of an open anomalous heat conduction set-up

我们提供了一个随机分数扩散方程描述的能量传输通过一个有限的一维链的谐振子与随机动量交换和连接到Langevian型热浴的边界。通过建立一个明确的有限域表示的分数算子，我们表明，该方程可以正确地再现平衡性质，如格林-久保公式以及非平衡性质，如稳态温度和电流。此外，该方程提供了温度分布的精确时间演变。从扩散系统和数值模拟的见解，我们提出了一个猜想，这些长期的相关性在稳态下的分数阶算子的逆。我们还指出了分数阶算子谱的一些有趣的性质。我们所有的分析结果补充了广泛的数值模拟的微观系统。

反常随机飞行与时间分数阶跑动-翻滚方程

Anomalous random flights and time-fractional run-and-tumble equations

本文将d维随机飞行的一般性分析扩展至由动力学方程非局部广义化产生的时间分数阶过程，通过时间分数阶方程解的概率解释导出原始输运过程的时间变换版本，并重点研究了一维电报过程的时间分数阶方程及其随机解。

耦合黏弹性介质中的异常扩散：基于分数 Langevin 方程的方法

Anomalous diffusion in coupled viscoelastic media: A fractional Langevin equation approach

本文提出基于分数 Langevin 方程的模型，研究耦合黏弹性介质中粒子的异常扩散现象，揭示记忆异质性和机械耦合对生物扩散的影响。

反常扩散的首次通过时间分布

First Passage Time Distribution for Anomalous Diffusion

研究了Levy型反常扩散的首次通过时间问题。使用最近制定的分数Fokker-Planck方程，我们得到的FPT分布，在大的通过时间限制，其特征在于由一个普遍的幂律的解析表达式。对比这个幂律与渐近FPT分布从另一种类型的反常扩散的例子是分数布朗运动，我们发现，这两种类型的反常扩散引起两个不同的标度行为。

加速和抑制反常扩散

Accelerating and Retarding Anomalous Diffusion

本文考虑了延迟和加速反常扩散的高斯模型。引入由单个或多个分数高斯噪声项驱动的分数阶随机微分方程来描述延迟和加速亚扩散和超扩散。研究了与这些方程的解有关的随机过程均方位移的短时和长时渐近极限。这些方程的具体情况下，提供可能的描述，延缓或加速异常扩散。