Weighted Persistent Homology
我们介绍了经典的Čech和Vietoris-Rips复合物的加权版本。我们表明，一个版本的Vietoris-Rips引理持有这些加权复合物，他们享有适当的稳定性。我们也给出了这些加权复形的一些初步应用。
2018-12-06 math.AT
Kunneth Theorems for Vietoris-Rips Homology
证明了半一致空间的Vietoris-Rips同调和上同调的一个Kunneth定理。然后，我们解释这一结果的图形，在那里我们表明，Kunneth定理持有的强图产品的图形。最后，我们计算了具有不同半一致结构的环面的Vietoris-Rips上同调。
2021-08-15 cs.CG math.AT math.CO
Vietoris-Rips Persistent Homology, Injective Metric Spaces, and The Filling Radius
本文提出一种基于空间嵌入与加厚的几何持久同调生成方法，证明在环境度量空间满足内射性时其与 Vietoris-Rips 持久同调范畴论同构，并应用于刻画条形码区间、度量粘合及流形填充半径。
2024-03-29 cs.CG math.AT
Multicore Homology via Mayer Vietoris
在这项工作中，我们探讨了并行计算的同源性使用的迈耶-Vietoris原则。我们提出了一个两阶段的方法并行持久化。在第一阶段中，我们通过重叠子空间来产生输入单元复形的覆盖。在第二阶段中，我们使用这个覆盖来构建Mayer-Vietoris blowup复形，这是一个拓扑空间，它组织了使用Mayer-Vietoris原理所需的各种子空间。接下来，我们并行计算爆破复形中每个子空间的同调，然后将这些结果串联在一起。我们将展示如何使用持久性算法来组织这些计算。在第一阶段，任何算法都可以用来产生输入复形的覆盖。我们描述了一个算法，用于产生一个简单的结构和有界重叠的空间覆盖图分区的基础上。此外，我们提出了一个简单的模型，发现适合并行算法的覆盖问题，并表明，发现这样的覆盖是NP-难的。最后，我们提出了第二个并行同源算法。该算法避免了显式构造爆破复形，节省了空间。我们实现了我们的算法多核计算机，并比较他们对彼此以及现有的串行和并行算法与一套实验。我们实现了大约8倍的加速同源计算的10维复杂的约4600万单形使用11个核心。
2014-07-08 cs.CG math.AT
An effective Mayer-Vietoris Theorem for discrete Morse homology
Institute for Advancing Intelligence (IAI), TCG CREST（智能推进研究所（IAI），TCG CREST）；Academy of Scientific and Innovative Research (AcSIR)（科学与创新研究学院（AcSIR））
本文提出一种利用离散示性理论计算同调群的有效梅耶-维托里斯定理，通过梯度向量场的轨迹信息直接计算空间的同调群，无需依赖子空间的同调群。
2026-03-13 math.AT math.CO
Homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs via group actions
Cleveland State University（克利夫兰州立大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）
利用超八面体群作用，完全描述了超立方体图在 Hamming 距离下 Vietoris-Rips 复形在尺度 r≤3 和 r=n-1 时的同调群分解为不可约表示。
2026-06-23 math.AC math.AT math.CO
Persistent Homology for MCI Classification: A Comparative Analysis between Graph and Vietoris-Rips Filtrations
Centre for Brain Research（脑研究中心）；Indian Institute of Science（印度科学学院）
本研究针对轻度认知障碍（MCI）分类问题，采用持续同调方法对比Vietoris-Rips过滤与图过滤技术，基于两类人群fMRI数据验证了前者在检测脑连接拓扑变化、分类MCI亚型上的更优性能，为认知障碍早期诊断提供了新工具。
2024-10-30 cs.CV math.AT
On $\ell_p$-Vietoris-Rips complexes
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA)（北京数学科学与工程研究院）
本文研究度量空间的$\ell_p$-Vietoris-Rips单纯集与复形，统一经典Vietoris-Rips复形、模糊幅值同调两类理论，证明了持续同调稳定性、小尺度下同伦等价于紧黎曼流形等系列推广结论。
2025-02-27 cs.CG math.AT math.MG
Parameterized Vietoris-Rips Filtrations via Covers
计算拓扑学中的一个挑战是处理从点云数据构建的大型过滤几何复合体，例如Vietoris-Rips过滤。这导致了发展计划的并行计算和压缩限制单形躺在开集的覆盖的数据。我们扩展的方法，非循环载体的设置持久的同源性，给详细的界限之间的关系Vietoris-Rips过滤限制覆盖和完整的建设。我们展示了如何使用这些复杂的底空间研究数据，并使用我们的结果来指导数据的覆盖选择。我们证明了这些技术的各种封面，并显示这种建设的效用，在调查高阶的高维图像补丁模型的同源性。
2022-05-03 cs.CG math.AT
Distributing Persistent Homology via Spectral Sequences
本文为分布式计算持久同调建立理论，发展了持久模线性代数与基，提出基于Mayer-Vietoris谱序列的高效同调计算方法，并解决了扩张问题，最后通过PerMaViss方法实现单纯形数据的分布式处理与同调信息合并。
2020-03-05 math.AT
MuRiT: Efficient Computation of Pathwise Persistence Barcodes in Multi-Filtered Flag Complexes via Vietoris-Rips Transformations
多参数持久同源性自然出现在持久拓扑对数据的应用中，所述数据具有取决于附加参数的额外信息，例如时间序列数据。我们引入了Vietoris-Rips变换的概念，这种方法将多过滤标志复形中的路径子复形的单参数持久同调的计算减少到某些半度量空间的Vietoris-Rips持久同调的计算。相应的路径持久性条形码跟踪环境多重过滤复合物的持久性特征，并且特别可用于恢复多参数持久性同源性中的秩不变量。我们提出了MuRiT，一种可扩展的算法，通过Vietoris-Rips变换计算多过滤标志复合物的路径持久性条形码。此外，我们提供了一个有效的软件实现的MuRiT算法诉诸Ripser的Vietoris-Rips持久性条形码的实际计算。为了证明MuRiT对真实世界数据集的适用性，我们将MuRiT建立为CoVtRec管道的一部分，用于监测当前COVID-19大流行中冠状病毒SARS-CoV-2的收敛进化。
2022-07-07 cs.CG math.AT math.GT
On a pair of extensions of Mayer-Vietoris functors
本文的目的是给出Mayer-Vietoris函子（例如空间的同调或上同调理论）到空间的余跨距的一对典范扩张。其中之一，本文称之为余旋延拓，它与交换Dijkgraaf-Witten-Freed-Quinn模型和双交换Turaev-Viro-Barrett-Westbury模型的经典理论部分密切相关.我们得到这些扩展揭示了部分的普遍性的cospan范畴的CW-空间，这是一个同伦理论的模拟cobordism范畴。
2022-10-16 math.AT math.CT
The Homology of Configuration Spaces of Trees with Loops
我们证明了有限树的有圈序位形空间的同调是无挠的。我们引入了具有汇的配置空间，它允许取底空间的导数。进而给出了带圈树的位形空间的所有同调群和一般有限图的位形空间的第一同调群的具体生成集。本文的一个重要技术是识别位形空间的Mayer-Vietoris谱序列的$E^1$ -页和微分。
2018-02-04 math.AT
On the Axiomatic Systems of Steenrod Homology Theory of Compact Spaces
在紧度量空间范畴上定义了一个精确同调论，并研究了它与Vietoris同调论的关系。Steenrod [S].特别地，定义了Steenrod同调群到Vietoris同调群的同态，并证明了所给同态的核是同调群，称之为弱同调群[S]，[E].关于紧度量对范畴的Steenrod同调论是由J.Milnor.在[Mil]的唯一性定理证明使用Eilenberg-Steenrod公理以及相对同胚和clusres公理。J. Milnor在紧Hausdorff对范畴$Top^2_C$上构造了同调论，并证明了在给定的范畴上它满足九个公理--Eilenberg-Steenrod公理、相对同胚公理和簇公理（见[Mil]中的定理5）。此外，J.Milnor利用弱同调论的构造证明了所构造的同调论在子范畴$Top^2_{CM}$上满足部分连续性（见[Mil]中定理4），在范畴$Top^2_C$上满足泛系数公式（见[Mil]中引理5）.在紧Hausdorff对范畴上，N. Berikashvili [B1]，[B2]，H.Inasaridze和L. Mdzinarishvili [IM]，L. [1]和[2]，但没有人研究他们之间的联系。本文正是针对这一问题展开研究的。特别地，本文证明了任何Inasaridze意义上的同调论都是Berikashvili意义上的同调论，而Berikashvili意义上的同调论本身又是…
2017-03-21 math.AT
It's All About Covers: Persistent Homology of Cover Refinements
Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）；Inria-Saclay（法国国家信息与自动化研究所萨克雷中心）
本文提出通过覆盖关系构建持续同调框架，简化了覆盖细化过程，实现更高效的同调计算，为 Vietoris-Rips 过滤提供更小的鲁棒近似。
2026-05-14 math.AT
Singular homology of roots of unity
本文将拓扑空间奇异同调理论的基本结果推广到Čech闭包空间，证明相关定理类似结果，计算非拓扑空间例子的奇异同调群，重点研究单位根的奇异同调，为复杂闭包空间同调计算提供基础。
2025-02-19 math.AT math.CT math.GN
Lower bounds on the homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs
本文研究了超立方体图Vietoris-Rips复形的同调下界，利用交叉多面体生成元和同调传播机制，为各维度和尺度的同调群秩提供了新下界及紧下界。
2023-09-12 math.AT math.CO
Singular persistent homology with geometrically parallelizable computation
持久同源性是拓扑数据分析中的一个常用工具。它提供了反映全球几何属性的数据集的数字特征。为了在实践中有用，例如用于机器学习中的特征生成，它需要是有效可计算的。经典同调是一个可计算的拓扑不变量，因为空间的覆盖有Mayer-Vietoris正合序列和谱序列。我们的国家和证明版本的迈尔-Vietoris定理持久的同源性温和和常见的假设下。这是通过使用一个新的理论，奇异持续同源性，更适合处理覆盖的数据集。作为一个应用程序，我们创建了一个分布式的计算工作流程，其优势不仅是甚至主要是在速度的提高，但在大数据集的纯粹可行性。
2019-06-22 cs.CG math.AT math.MG
Quantales, persistence, and magnitude homology
我们构建了一个神经函子参数化的Quantale的选择，表现出的Vietoris-Rips复杂的和幅度神经的实例，这种神经的monoidal结构$\mathbb{R}$的不同选择。此外，持续同源性如何处理Vietoris-Rips复合体和幅度同源性如何处理幅度神经之间的差异被视为是否在精确意义上沿着$\mathbb{R}$“定位”相应神经的选择。最后，我们提到一些面向应用的意见，自然建议上述观点。
2020-03-09 math.AT math.CT math.MG
The reachability homology of a directed graph
本文研究有向图的谱序列目标——可达性同调，证明其满足同伦不变性、Künneth、切除及Mayer-Vietoris定理，且性质强于量级同调与路径同调。
2025-03-26 math.AT math.CO math.CT
Gromov Hyperbolicity, Geodesic Defect, and Apparent Pairs in Vietoris-Rips Filtrations
出于对Vietoris-Rips滤子的持久同调的计算方面的考虑，我们推广了Eliyahu Rips关于测地空间的Vietoris-Rips复体的可收缩性的一个结果，该复体的收缩性取决于空间的双曲性。我们考虑测地线亏损的概念，将这个结果推广到一般的度量空间的方式，也是兼容的过滤。我们进一步表明，有限树度量的Vietoris-Rips复合体崩溃到其相应的子森林。我们将我们的结果与现代计算方法相关联，表明这些崩溃是由表观对梯度引起的，表观对梯度被用作Ripser中的算法优化，解释了其在树状度量数据上特别强大的性能。
2022-03-22 cs.CG math.AT math.GT
Semi-coarse Spaces, Homotopy and Homology
本文研究半粗空间的代数拓扑，构造同伦等价下不变的同调群，并证明无向图诱导的半粗同调与 Vietoris-Rips 同调同构，导出同伦不变性定理。
2024-09-28 math.AT math.GN math.GT
Vietoris-Rips Complexes of Split-Decomposable Spaces
该研究针对圆形可分解空间等分裂可分解空间，刻画了Vietoris-Rips复形恒为循环的空间类并计算其同伦型，还推导了相关同调递推公式与紧支集分块下的同调直和分解，为持续同调高效计算提供支持。
2025-05-18 math.AT math.MG
Topological data analysis using persistent discrete homology
提出持久离散同调用于拓扑数据分析，讨论其优势，通过实证表明它在非度量数据中比Vietoris - Rips复形的持久同调更抗噪。
2026-07-07 cs.LG math.AT math.CO
Approximating persistent homology for a cloud of $n$ points in a subquadratic time
$n$ -点度量空间的Vietoris-Rips滤子是一个大单纯复形序列，它在不连通的空间上增加了一个拓扑结构。持续同源性是拓扑数据分析的重要工具，它研究在多尺度上持续存在的数据的拓扑特征。计算滤子的持久同调的最快算法有时间$O(M(u)+u^2\log^2 u)$，其中$u$是更新（单形的添加或删除）的数量，$M(u)=O(u^{2.376})$是$u\times u$矩阵相乘的时间。对于由两两距离给出的$n$点的空间，我们用一个由$u=o(n)$更新组成的锯齿形过滤来逼近Vietoris-Rips过滤，该过滤在$n$中是次线性的.常数取决于给定的近似误差和度量空间的双倍维数。然后，该次线性尺寸过滤的持久同调可以在时间$o(n^2)$中计算，其在$n$中是次二次的。
2017-09-16 cs.CG cs.CV math.AT
Künneth Formulae in Persistent Homology
代数拓扑学中的经典Künneth公式描述了一个积空间的同调与它的因子的同调的关系。本文证明了滤子空间的范畴积和张量积的持续同调的Künneth型定理。也就是说，我们描述了持久的同源性，这些产品过滤组件。除了比较这两种产品，我们提出了两个应用程序中设置的Vietoris-Rips复合物：一个更有效的算法，产品度量空间的最大度量，和其他恢复持久的同源计算的$n$ -环面。
2019-10-12 cs.CG math.AT
Another look at recovering local homology from samples of stratified sets
从样本中恢复空间的同调特征已成为拓扑数据分析的中心主题之一，并取得了许多成功的应用。该领域的许多结果都集中在欧几里得空间子集的全局同调特征上。在这种情况下，同源性恢复的前提是在基础集合上施加很好理解的几何条件。通常，这些条件保证集合的足够小的邻域与集合本身具有相同的同调。从样本中恢复空间的局部同调特征的现有工作在局部采用类似的条件。然而，这样的局部几何条件可以从点到点变化并且可能潜在地退化。例如，跨所有感兴趣点的局部同源性保持邻域的大小可能不远离零。在本文中，我们介绍了更一般和强大的条件，局部同源性恢复和驯服同源分层集，包括惠特尼分层集，满足这些条件远离地层边界，从而获得控制的区域，局部同源性恢复可能是不可行的。此外，我们表明，真正的局部同调，这样的集合可以计算从足够好的样本使用Vietoris-Rips复合物。
2019-06-26 math.AT
Stratified Formal Deformations and Intersection Homology of Data Point Clouds
交同调是一个拓扑不变量，它比普通同调能探测空间中更精细的信息。利用经典的简单同伦理论的思想，我们构造了单纯复形上的局部组合变换，使得交同调保持不变。特别是，我们得到的概念分层的形式变形和分层的脊椎的复杂，导致减少复杂的交叉同源性计算之前。我们实现了这种变换的算法执行，以及交叉同源性的计算，并应用这些算法来调查的交叉同源性的分层脊椎Vietoris-Rips型复合物与点集附近采样给定的，可能是奇异的，空间。
2020-05-25 cs.CG math.AT
RedZeD: Computing persistent homology by Reduction to Zero Differentials
提出一种基于归约到零微分（RedZeD）框架的新算法，通过主动枚举技术加速Vietoris–Rips过滤的持续同调计算。
2026-09-14 cs.CG cs.MS math.AT
Stability of 0-dimensional persistent homology in enriched and sparsified point clouds
本文提出了一种在增强和稀疏点云中分析超体积的拓扑方法，通过持久图的精确界限和立方体复杂度的对偶恒等式，提供拓扑保证的分析工具。
2025-12-03 cs.CG math.AT
Correspondence Modules and Persistence Sheaves: A Unifying Perspective on One-Parameter Persistent Homology
我们开发了一个统一的框架，用于治疗各种持久的同源架构使用的概念对应模块。在这个公式中，向量空间之间的态射由部分线性关系给出，而不是线性映射。在一维的情况下，除其他外，这允许我们：（i）将持久化模块和zigzag模块视为相同类型的代数对象;（ii）给出连续参数上zigzag结构的分类公式;以及（iii）构造与几何信息更丰富的空间和映射相关联的条形码。单参数持久性的结构分析进行了对应模块，产生层状结构，称为持久性层的部分的水平。在一定的驯服性假设下，我们证明了持久层和对应模的区间分解定理，以及从区间分解得到的持久图的等距定理。应用包括：（a）一个Mayer-Vietoris序列，它将子水平集滤子和超水平集滤子的持续同调与实值函数的水平集同调模联系起来;（b）沿负斜线构造2-参数持续模的切片。
2021-05-31 math.AT
Persistent Homology with k-nearest-neighbor Filtrations reveals Topological Convergence of PageRank
点云数据的基于图的表示广泛用于数据科学和机器学习，包括包含数据点对之间的边的ε-图，这些数据点对比ε-图更接近，以及将每个点连接到其k-最近邻居的kNN-图。近年来，拓扑数据分析已经成为一种利用单纯复形研究数据拓扑特征的数学和计算技术。这些是图的高阶推广，许多技术，如Vietoris-Rips（VR）过滤也由距离参数化。在这里，我们开发kNN复合物作为kNN图的推广，导致基于kNN的持久同源性技术，我们开发的稳定性和收敛性结果。我们应用这种技术来表征的收敛性能PageRank，突出的角度离散拓扑补充传统的基于几何的收敛性分析。具体来说，我们表明，相对位置的收敛（即，秩）被kNN持续同源捕获，而具有VR过滤的持续同源与向量范数收敛一致。除了PageRank之外，基于kNN的持久同源性预计对其他数据科学应用也很有用，在这些应用中，数据点的相对定位比它们的精确位置更重要。
2022-06-09 math.AT
The rational homology of independence complexes of Kneser graphs on triples
Auburn University（奥本大学）
该研究针对三元组上的Kneser图独立复形，在有理数域上肯定回答了Feng和Wang提出的同调非平凡维度问题，确定了其非零Betti数，通过多种同调工具完成了证明。
2026-10-14 math.AT math.CO
The Vietoris-Rips complexes of a circle
给定一个度量空间X和一个距离阈值r>0，Vietoris-Rips单纯复形有X的直径小于r的有限子集作为它的单纯形。Jean-Claude Hausmann的一个定理指出，如果X是一个黎曼流形且r足够小，则Vietoris-Rips复形同伦等价于原始流形。关于Vietoris-Rips复合物在较大r值下的行为知之甚少，即使这些复合物在使用持久同源性的应用中自然出现。我们证明了随着r的增加，圆的Vietoris-Rips复形得到圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，...，直到最后它可以收缩。作为我们的主要工具，我们引入了一个有向图不变量，缠绕分数，这在某种意义上是对偶的循环色数。使用缠绕分数，我们分类的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的任意（可能是无限的）子集的圆，我们研究的预期同伦类型的Vietoris-Rips复杂的均匀随机样本从圆。此外，我们还证明了随着距离参数的增加，圆的环境Cech复形也得到了圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，.直到最后它可以收缩。
2017-02-05 cs.CG math.AT math.CO
Metric thickenings and group actions
设$G$是一个在度量空间$X$上通过等距作用的群，则商空间或轨道空间$X/G$也是一个度量空间。我们研究了$X/G$的Vietoris-Rips和Čech络合物。度量空间的（co）同调论让Vietoris-Rips或Čech复形的尺度参数趋于零，而几何群论要求尺度参数足够大，我们考虑中间的尺度参数（既不趋于零也不趋于无穷大）。作为一个特殊情况，我们研究了同伦类型发生变化的第一个尺度参数处的射影空间的Vietoris-Rips和Čech稠化。
2020-07-12 math.AT math.GT math.MG
An Approximate Nerve Theorem
神经定理将一个适当的好空间的拓扑型与该空间的好覆盖的神经联系起来。它有许多变体，例如考虑非循环覆盖和拓扑学中的许多应用，包括应用和计算拓扑学。本文的目的是放松的概念，一个良好的覆盖到一个近似良好的覆盖，或更准确地说，我们引入的概念，$\varepsilon$ -非循环覆盖。我们使用持久的同源性，使这个严格的和证明之间的严格界限的持久的同源性赋予一个功能的空间和持久的同源性的神经的$\varepsilon$ -非循环覆盖的空间。利用Mayer-Vietoris谱序列，我们得到了局部非环性对整体同调性影响的上界.为了证明最好的可能界限，我们必须引入持久化模块之间的交错的特殊情况，称为左交错和右交错。最后给出了达到该界的例子，证明了结果的下界和紧性。
2017-04-18 math.AT
Persistent interaction topology in data analysis
针对经典拓扑模型难以描述复杂系统局部交互与单个元素的问题，提出持久交互同调与持久交互拉普拉斯算子，证明其稳定性并给出Vietoris-Rips复形构造，可用于异质交互数据分析，已在分子领域验证效用。
2024-04-17 math.AT
Persistent Sullivan Minimal Models of Metric Spaces
本文提出持久 Sullivan 极小模型将经典有理同伦论扩展至拓扑数据分析，证明了其在 CDGAs 同伦范畴中的交错距离稳定性，并提供了比持久同调更具辨别力的不变量及更尖锐的 Gromov-Hausdorff 距离下界。
2025-04-07 math.AT
Persistence stability for geometric complexes
本文研究了建立在预紧空间上的不同几何滤子复形（如Vietoris-Rips、Cech和witness复形）的同调性质。利用最近的发展，在拓扑持久性理论，我们提供了简单和自然的证明，这种复合物的持续同源性的稳定性相对于Gromov-Hausdorff距离。我们还展示了一些值得注意的性质的同源性的RIP和切赫复杂的紧空间的顶部。
2013-11-15 cs.CG math.AT
Homology groups for particles on one-connected graphs
我们提出了一个数学框架来描述单连通图上粒子的位形空间的拓扑。特别地，我们计算了不同类型的单连通图的整数上的同调群。我们的方法是基于一些基本的组合性质的配置空间，Mayer-Vietoris序列的不同部分的配置空间和一些有限的使用离散Morse理论。作为结果之一，我们给出了树图上不可区分粒子的同调群秩的封闭公式。我们还详细讨论了可区分粒子和不可区分粒子的位形空间的第二同调群。我们的动机是寻找新的量子统计。
2016-06-30 math-ph math.AT math.MP
The Persistent Topology of Optimal Transport Based Metric Thickenings
本文引入了配备最优传输度量的 $p$-Vietoris-Rips 和 $p$-Čech 度量加厚，证明了其持续同调的稳定性定理，并在 $p=2$ 时推导出 $n$-球面加厚的完整同伦类型。
2022-05-07 math.AT math.MG
Discrete Homology Theory for Metric Spaces
本文定义并研究了度量空间的离散同调论。而不是单纯的同源性工作，我们的链复形的Lipschitz映射从一个$n$维立方体到一个固定的度量空间。我们证明，由此产生的同调论验证了一个离散的模拟Eilenberg-Steenrod公理，并证明了离散的模拟迈耶-Vietoris的确切序列。此外，这个离散的同调论是相关的离散同伦理论的度量空间通过离散模拟的Hurewicz定理。我们研究了可以作为离散同调群出现的群类，并且在这种情况下，我们证明了光滑、连通、可度量化、紧致流形的基本群同构于流形的“足够精细”矩形化的离散基本群。最后，我们表明，这种离散的同调论可以粗化，导致一个新的非平凡的粗不变的度量空间。
2013-12-20 math.AT math.CO math.MG
Universal Coefficients and Mayer-Vietoris Sequence for Groupoid Homology
Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg（埃朗根-纽伦堡弗里德里希-亚历山大大学）
本文研究了 ample 群oid 的同调，通过神经的紧支撑 Moore 复形，建立了群oid 同调的通用系数短正合序列，并推导了 Mayer-Vietoris 长正合序列。
2026-03-23 cs.LG math.AT math.OA
Curvature Sets Over Persistence Diagrams
本研究结合Gromov曲率集与Vietoris-Rips持久同调提出持久集不变量，证明其计算高效、区分力强且具稳定性，还给出二次时间复杂度的Vietoris-Rips持久图几何算法。
2023-07-24 math.AT math.MG
The Topological "Shape" of Brexit
持久同调是一种计算代数拓扑的方法，可用于研究数据的“形状”。我们说明了两个过滤-权重等级集团过滤和Vietoris-Rips（VR）过滤-这是常用的持久同源性，我们将这些过滤应用于一对数据集，这两个数据集都与2016年欧盟“脱欧”公投在英国。这些例子考虑了一个热门的情况，并提供了有用的说明这些方法的优点和缺点。
2016-09-15 cs.CG math.AT physics.soc-ph
Discrete Coefficients and Open Invariant Covers in the Homology of Ample Groupoids
Department of Mathematics Friedrich-Alexander Universit\"at Erlangen--N\"urnberg Erlangen, Germany
本文建立了 ample 群体摩尔同调的广义系数定理和梅耶-维托里斯长正合列，通过链级证明提供了有效计算工具，强调系数群离散性的重要性。
2026-08-12 cs.LG math.AT math.KT
Dimension Detection with Local Homology
从点样本中检测隐流形的维数已成为当前数据驱动时代的一个重要问题。事实上，估计形状尺寸通常是研究与数据相关的过程或现象的第一步。在各个领域提出的众多维数检测算法中，有少数能对估计维数的正确性提供理论保证。然而，正确性通常需要输入的一定规律性：输入点在统计设置中均匀随机采样，或者它们形成所谓的$(\varepsilon,δ)$ -样本，其既不能太密集也不能太稀疏。在这里，我们提出了一个纯粹的拓扑技术来检测尺寸。我们的算法可证明是正确的，并且在更宽松的采样条件下工作：我们不要求均匀性，并且我们还允许Hausdorff噪声。我们的方法通过确定局部同源性来检测维度。这种拓扑结构的计算对点的局部分布不太敏感，这导致了采样条件的放松。此外，通过利用各种发展计算拓扑，我们表明，这种局部同源点$z$可以计算\emph{exactly}流形使用Vietoris-Rips复合物的顶点被限制在一个局部邻域内的$z$。我们实现我们的算法，并证明我们的方法使用合成和真实的数据集的准确性和鲁棒性。
2014-05-14 cs.CG math.AT
Persistence and Topological Complexity
Rutgers University（罗格斯大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文将拓扑复杂度及其上同调下界推广到持久拓扑空间，建立稳定性，并证明其能比持久同调更有效地区分某些空间。
2026-10-15 math.AT
Motif-based filtrations for persistent homology: A framework for graph isomorphism and property prediction
Center for Complex Networks and Systems Research, Luddy School of Informatics, Computing, and Engineering, Indiana University（印第安纳大学卢迪信息、计算与工程学院复杂网络与系统研究中心）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；Institute of Complex Systems (UBICS), Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学复杂系统研究所）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）
本文提出基于motif的过滤方法用于持久同调，通过跟踪结构特征的持久性来区分非同构图，在四个严格图家族中表现优异，且在计算成本较低的情况下优于其他方法，适用于图比较和性质预测。
2026-04-16 math.AT physics.soc-ph
Universal topological statistics on triangulated singular spaces
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
该研究针对一类可三角化空间证明了随机持续同调的普适性定理，得到与空间及概率密度无关的期望持续比测度普适极限，还将方法推广至尺度不变泛函，适用于多种非欧空间。
2026-07-31 math.AT math.PR
Homotopy theories via the magnitude-path spectral sequence
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
引入基于量级-路径谱序列的广义度量空间同伦理论族，定义r-拟同构并证明每页满足Eilenberg-Steenrod公理的度量类比，建立Brown范畴结构以计算同伦余极限。
2026-06-08 math.AT math.CT
A McCord-type theorem for pseudotopological spaces and directed graphs
The University of Texas at El Paso（德克萨斯大学埃尔帕索分校）；Ursinus College（厄辛学院）
本文为伪拓扑空间及有向图建立McCord型定理，构造有向Vietoris-Rips复形与底层有向图间的弱同伦等价，从而通过有限组合结构高效计算有限有向图的奇异同调群，并推广经典同伦与同调结果。
2026-09-29 math.AT math.CT math.GN
Causal order complex and magnitude homotopy type of metric spaces
本文通过时空因果偏序构造度量空间的幅度同伦型，建立从度量空间范畴到带基点拓扑空间范畴的协变函子，并利用离散 Morse 理论重新证明 Mayer-Vietoris 型定理及有限度量空间在 sycamore twist 下的幅度不变性。
2023-05-26 math.AT math.CO math.CT
