重心重分的离散Morse理论

Morse shellings and compatible discrete Morse functions

We introduce a notion of Morse shellings (and tilings) on finite simplicial complexes which extends the classical one and its relation to discrete Morse theory.Skeletons and barycentric subdivisions of Morse shellable (or tileable) simplicial complexes are Morse shellable (or tileable). Moreover, every triangulated closed surface is Morse shellable while every closed three-manifold carries Morse shellable triangulations. Finally, any shelling encodes a class of discrete Morse functions whose critical points are in one-to-one correspondence, preserving the index, with the critical tiles of the …

离散Morse函数的上升区和下降区

Ascending and descending regions of a discrete Morse function

我们提出了一个算法，它产生一个离散的Morse函数类似的Morse-Smale分解的一个光滑流形关于一个光滑的Morse函数的一个规则的细胞复杂的分解。我们的算法相比，类似的现有结果的优点是，它的作品，至少在理论上，在任何维度。实际上，由于更高维度的细胞复合体的大小，存在维度限制。我们证明，该算法是正确的，在这个意义上，它总是产生一个分解成下降和上升区域的关键细胞在有限数量的步骤，并且，经过有限数量的细分，所有的区域是拓扑光盘。算法的效率进行了讨论，并证明了它的性能上的几个例子。

基于球面德劳内三角化的CW复形的单纯形近似

Simplicial approximation to CW complexes with spherical Delaunay triangulations

本文提出基于球面德劳内三角化的细分方法，改进了传统单纯形近似在计算中的不足，通过将星条件分解为几何和组合问题，显著减少顶点数量，成功构造出与Grassmannian和Stiefel流形同调等价的单纯复形。

可塌缩复形的极值例子与随机离散莫尔斯理论

Extremal examples of collapsible complexes and random discrete Morse theory

我们提出了极值结构与单纯可扩展性的属性。(1)对于每一个$d \ge 2$，有可折叠的（和可壳的）单纯$d$ -复合体，只有一个自由面。此外，还有只有两个自由面的非回避$d$ -复合物。(Both结果在所有方面都是最佳的。）(2)最佳离散Morse向量不需要是唯一的。我们明确地构造了一个可收缩的，但不可折叠的$3$维单纯复形的面向量$f=(106,596,1064,573)$，承认两个不同的最佳离散莫尔斯向量，$(1,1,1,0)$和$(1,0,1,1)$。事实上，我们表明，在每一个维度$d\geq 3$有收缩，非折叠单纯$d$ -复合物，有$(1,0,\dots,0,1,1,0)$和$(1,0,\dots,0,0,1,1)$作为不同的最佳离散莫尔斯矢量。(3)我们给出了一个（非PL）$5$ -流形的第一个显式例子，面向量为$f=(5013,72300,290944,$ $495912,383136,110880)$，这是可塌缩的，但不是同胚的球。此外，我们讨论了随机方法的可扩展性和离散莫尔斯理论可能的改进和缺点。我们将分别介绍\cite{BenedettiLutz2014}的\texttt{lex-first}和\texttt{lex-last}离散莫尔斯策略的随机化版本\texttt{random-lex-first}和\texttt{random-lex-last}-我们将看…

细胞复形的分层Morse理论

Stratified Morse Theory for Cell Complexes

本文提出了一种针对细胞复形的分层离散Morse理论，通过halo和shadow的概念，结合过滤坍缩和受控附加，实现了局部Morse数据的分解。

带边界流形的离散莫尔斯理论

Discrete Morse Theory for Manifolds with Boundary

我们介绍一个版本的离散莫尔斯理论具体的流形边界。我们的想法是考虑Morse函数的所有边界细胞是至关重要的。我们得到的“相对Morse不等式”的同源性的流形的内部临界细胞的数量。我们还推导出一个球定理，类似于福尔曼的球面定理。我们的工作的主要推论是：-对于每个d \ge 3和每个k \ge 0，有一个PL d-球上的任何离散莫尔斯函数有超过k个关键（d-1）-细胞。(This解决了一个问题，由查理。）--对于固定的d和k，有指数级的许多组合类型的单纯d-流形（相对于面的数量计数），允许离散莫尔斯函数与最多k个临界内部（d-1）-细胞。(This将离散莫尔斯理论与枚举组合学/离散量子引力联系起来。）--任何可构造d球的重心重分都是可折叠的。(This“几乎”解决了Hachimori的问题。--每个可构造的球都坍缩到它的边界减去一个小平面。(This改进了作者和齐格勒的结果。）--任何3球与打结跨越边缘不能崩溃到其边界减去一个小平面。(This加强了Bing的一个经典结果以及作者和Ziegler最近的一个结果。

m-连续性距离

m-Contiguity Distance

本文系统发展了单纯映射间的m-连续性距离，作为simplicial复形中同调复杂度的离散近似框架，构建了逼近连续性距离的递增不变量序列，并建立了其在巴列中心细分、组合和积不等式下的基本性质，定义了m-单纯 Lusternik-Schnirelmann范畴和m-离散拓扑复杂度。

Improved Approximate Rips Filtrations with Shifted Integer Lattices and Cubical Complexes

Rips complexes are important structures for analyzing topological features of metric spaces. Unfortunately, generating these complexes is expensive because of a combinatorial explosion in the complex size. For $n$ points in $\mathbb{R}^d$, we present a scheme to construct a $2$-approximation of the filtration of the Rips complex in the $L_\infty$-norm, which extends to a $2d^{0.25}$-approximation in the Euclidean case. The $k$-skeleton of the resulting approximation has a total size of $n2^{O(d\log k +d)}$. The scheme is based on the integer lattice and simplicial complexes based on the baryce…