A tight bound for Green's arithmetic triangle removal lemma in vector spaces
设$p$是一个固定素数。$\mathbb{F}_p^n$中的三角形是满足$x+y+z=0$的点的有序三重$(x,y,z)$。令$N=p^n=|\mathbb{F}_p^n|$。格林证明了一个算术三角形删除引理，它说，对于每个$ε>0$和素数$p$，有一个$δ>0$，使得如果$X,Y,Z \subset \mathbb{F}_p^n$和$X \times Y \times Z$中的三角形数量至多为$δN^2$，那么我们可以从$X$，$Y$和$Z$中删除$εN$元素并删除所有三角形。格林提出了改进算术三角形去除引理的定量界限的问题，特别是，询问多项式界限是否成立。尽管相当大的关注，在本文之前，最有名的界限，由于第一作者，表明$1/δ$可以被视为一个指数塔的高度对数$1/ε$的二。我们解决了格林问题，证明了格林的算术三角形删除引理在$\mathbb{F}_p^n$本质上紧界。我们表明，多项式界举行，并进一步确定最佳可能的指数。也就是说，存在一个可计算数$C_p$，使得我们可以取$δ= (ε/3)^{C_p}$，并且我们必须有$δ\leq ε^{C_p-o(1)}$。特别是，$C_2=1+1/(5/3 - \log_2 3) \approx 13.239$，和$C_3=1+1/c_3$与$c_3=1-\frac{\log b}{\log 3}$，$b=a^{-2/3}+a^{1/3}+a^…
2017-09-08 math.CO
Generalizations of the Crossing Lemma
本文回顾了交叉数领域最重要的不等式Crossing Lemma的若干推广与应用。
2025-09-17 math.CO
An Improvement of the Lovász Local Lemma via Cluster Expansion
希勒的一个旧结果将洛瓦茨局部引理与图上的独立集多项式联系起来，因此，正如斯科特和索卡尔所观察到的，洛瓦茨局部引理与图上硬核晶格气的分拆函数联系起来。我们使用这种联系和最近的结果的解析性的对数的分拆函数的抽象聚合物气体得到一个改进的版本的Lovász局部引理。作为应用，我们得到了拉丁横截矩阵的存在条件和k-SAT形式的可满足性的更严格的界限。
2010-03-26 math.CO
Dynamics of Cycles in Polyhedra I: The Isolation Lemma
一个图$G$的圈$C$是\emph{isolating}，如果$G-V(C)$的每个分支是一个单顶点。我们证明了多面体图中的隔离圈可以扩展到更大的：每个长度为$6 \leq |E(C)| < \left \lfloor \frac{2}{3}(|V(G)|+4) \right \rfloor$的隔离圈$C$都蕴涵着一个包含$V(C)$的更大长度的隔离圈$C'$。通过迭代地“跳”到这样的大周期，我们得到了一个强大的和非常一般的感应电机，用于证明长周期和计算它们（我们将给出一个具有二次运行时间的算法）。这是第一步，到目前为止难以捉摸的追求，找到一个普遍的归纳，捕捉最长的循环多面体图类。我们的电机还提供了一种方法来证明Tutte周期长度的线性下界，因为如果$C$是，则$C'$将是$G$的Tutte周期。此外，我们证明了$|E(C')| \leq |E(C)|+3$，如果$G$不包含面的大小为5，这给了一个新的工具，结果的循环谱，并提供证据表明，面临的大小为5可能会阻碍长循环在许多图类。我们测试我们的电机上的以下猜想基本4连通图。一个平面图是\emph{essentially $4$-connected}，如果它是3-连通的，并且它的每个3-分隔符都是一个顶点的邻域。Jackson和Wormald证明了在$n$顶点上的本质4连通平面图$G$包含一个长度至少为$\frac{2}{5}(n+2…
2020-04-19 cs.DS math.CO
Bounds for graph regularity and removal lemmas
本文证明了，对于任意正整数k，存在一个图，它的顶点被均匀划分为k个部分，其中至少有ck^2/ \log^* k对部分不是ε-正则的，其中c，ε>0是绝对常数.这个界限是紧的常数c和地址的问题高尔斯的数量不规则对Szemerédi的规律性引理。为了获得对不规则对的一些控制，另一个正则性引理，称为强正则性引理，由阿隆，费舍尔，Krivelevich和Szegedy开发。对于这个引理，我们证明了一个关于强正则引理中部分个数的Wowzer型下界，它在Ackermann族中比塔函数高一级，本质上与上界相匹配.另一方面，对于导出图移除引理，强正则引理的标准应用，我们找到了一个不同的证明，它产生了一个塔型界。我们还讨论了几个相关的正则性引理的界，包括Frieze和Kannan的弱正则性引理以及最近建立的正则逼近定理。特别地，我们证明了具有近似参数ε的弱划分可能需要多达2^{Ω（ε^{-2}）}个部分。这是紧到隐含常数，并解决了一个问题的研究Lovász和Szegedy。
2011-07-25 cs.DM math.CO
The Local Lemma is asymptotically tight for SAT
局部引理是概率组合学和理论计算机科学的基本工具，但几乎没有任何已知的自然问题，它提供了一个渐近紧的答案。我们的论文的主题是确定这些问题中的几个，其中一对夫妇的广泛研究的极值函数相关的某些限制版本的k-SAT问题，其中的本地引理基本上是最优的答案。作为我们的主要贡献，我们构造了不可满足k-CNF公式，其中每个子句有k个不同的文字，每个变量最多出现在（2/e + o（1））*2^k/k子句中。Lopsided Local Lemma表明这是渐近最佳可能的。这个极值函数的确定是特别重要的，因为它代表了相应的k-SAT问题表现出复杂性硬度跳跃的值：从每个实例都是YES实例开始，只要允许每个变量出现在多一个子句中，它就变成了NP困难的。我们的不可满足CNF-公式的构造是基于[16]的二叉树方法，因此构造的公式属于子句比变量多一个的最小不可满足公式类MU（1）。我们的方法的主要新颖之处在于建立了一个适当的连续近似问题。这将我们引向一个微分方程，我们能够估计它的解。然后，通过离散化这个解决方案的渐近最优二叉树。构造的二叉树的重要性也通过它们在许多其他场景中的出现来强调。特别是，他们给出了渐近精确的答案，看似无关的问题，如欧洲终身制游戏介绍的杜尔[9]和搜索问题，允许有限数量的连续谎言。
2016-04-19 cs.CC cs.DM math.CO
A tight lower bound on the matching number of graphs via Laplacian eigenvalues
设$α'$和$μ_i$分别表示具有$n$顶点的非空简单图$G$与其拉普拉斯矩阵的第$i$最小特征值的匹配数.本文证明了一个紧的下界$$α' \ge \min\left\{\Big\lceil\frac{μ_2}{μ_n} (n -1)\Big\rceil,\ \ \Big\lceil\frac{1}{2}(n-1)\Big\rceil \right\}.$$，这个下界加强了Brouwer和Haemers的结果，他们证明了如果$n$是偶的且$2μ_2 \ge μ_n$，则$G$有完美匹配.一个图$G$是因子关键的，如果对于每个顶点$v\in V(G)$，$G-v$都有完美匹配。我们还证明了一个类似于Brouwer和Haemers的结果，证明了如果$n$是奇的，而$2μ_2 \ge μ_n$，则$G$是因子临界的.我们利用Haemers的分离不等式得到了一个有用的引理，这是证明的关键思想。这个引理有它自己的意义，也有其他的应用。特别是，我们证明了类似的结果气球的数量，甚至子图的生成，以及有界度的生成树。
2021-10-17 math.CO
A Generalized Turán Problem and its Applications
保证一定长度的圈出现的条件的研究是图论中研究得最好的课题之一。在本文中，我们考虑一个问题，这种类型的要求，为固定整数${\ell}$和$k$，有多少份$k$ -循环保证外观的$\ell$ -循环？推广以前的结果Bollobás-Gyamri-李和阿隆-Shikhelman，我们完全解决这个问题，给出紧（或接近紧）的所有值的$\ell$和$k$的界限。我们还提出了一个有点令人惊讶的应用上述估计的研究图删除引理。在此之前的工作，所有的边界删除引理多项式或有一个塔形缺口之间的最知名的上限和下界。我们填补了这一空白表明，对于每一个超多项式函数$f(\varepsilon)$，有一个家庭的图形${\cal F}$，这样的界限${\cal F}$删除引理是精确地给出了$f(\varepsilon)$。因此，我们得到的第一个例子，删除引理紧超多项式的界限。这个结果的一个特例解决了阿隆和第二作者的问题，而另一个特例部分解决了戈德赖希的问题。
2017-12-03 cs.DM math.CO
On the Ramsey-Turán problem for 4-cliques
本文在不使用正则性引理的条件下，给出了4-团Ramsey-Turán问题的紧确界，从而大幅扩展了无$K_4$图边数关于独立数函数的紧确界成立范围。
2025-03-01 math.CO
Upper bounds on the size of covering arrays
覆盖数组在软硬件交互测试中有着重要的应用。对于实际应用，对于参数$t,k$和$v$的给定值，确定或限定覆盖阵列中的最小行数CAN $(t,k,v)$是有用的。CAN $(t,k,v)$的渐近上界已经使用Stein-Lovász-Johnson策略和Lovász局部引理建立。本文对这些界进行了一系列改进。首先，估计的离散Stein-Lovász-Johnson界的推导。然后使用修改来改进Stein-Lovász-Johnson界，从而得到两阶段构造算法。从Lovász本地引理的界限，以不同的方式进行改进，通过检查群作用的一组符号。建立了CAN $(t,k,v)$上的两个渐近上界，它们比已知的上界更紧。一个两阶段的界限推导出采用Lovász局部引理和条件Lovász局部引理分布。
2016-03-25 math.CO
A nearly tight upper bound on tri-colored sum-free sets in characteristic 2
阿贝尔群$H$中的三色无和集是$H^3$中有序三元组的集合，即$\{(a_i,b_i,c_i)\}_{i=1}^m$，使得方程$a_i+b_j+c_k=0$成立，当且仅当$i=j=k$成立。使用一个变种的引理介绍了Crroot，Lev，和Pach在他们的突破性工作算术级数自由集，我们证明了任何三色和自由集$\mathbb{F}_2^n$的大小是有界以上的$6 {n \choose \lfloor n/3 \rfloor}$。这个上界是紧的，直到$n$中的一个次指数因子：对于所有足够大的$n$，存在$\mathbb{F}_2^n$中大小大于${n \choose \lfloor n/3 \rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16 n / 3}}$的三色和自由集。
2016-05-26 math.CO
The Density Formula: One Lemma to Bound Them All
本研究提出关联图绘制中边、顶点、交叉及胞腔的密度公式，为多种超平面图类给出边密度紧上界的简洁证明，部分为首个紧界，还得到部分图类的首个紧下界示例。
2024-09-17 cs.DM math.CO
A Note on Altermatic Number
鉴于Tucker引理（Borsuk-Ulam定理的等价组合形式），本文作者（2013）引入了图G的第k个交替数作为图G的色数的紧下界.本文给出了这个结果的一个纯组合证明。
2015-10-23 math.CO
Isolating a Vertex via Lattices: Polytopes with Totally Unimodular Faces
我们提出了一个几何方法去随机化的隔离引理Mulmuley，Vazirani和Vazirani。特别是，我们的方法产生一个准多项式家庭的权重，其中每个权重是一个整数和准多项式有界的，可以隔离任何0/1多面体的顶点，每个面位于一个仿射空间定义的一个完全么模矩阵。这包括完全么模约束给出的多面体，并推广了最近的去随机化的隔离引理的二分完美匹配和拟阵相交。我们证明了我们的结果相关联的一个格的多面体的每个面，并表明，如果有一个完全么模的核心矩阵，这个格，然后在3/2的最短向量的长度向量的数量是多项式有界的。这后一个几何事实的证明是组合的，并遵循一个多项式约束的电路数量的大小在3/2的最短电路在一个经常拟阵。这是本文的技术核心，依赖于西摩分解定理的一个变种。将Karger关于图的最小割数的一个有影响的结果推广到正则拟阵。
2018-05-07 cs.CC cs.DS math.CO
The Turán problem for a family of tight linear forests
设$\mathcal{F}$是一族$r$ -图.图兰数$ex_r(n;\mathcal{F})$定义为$r$ -图中无$\mathcal{F}$的$n$阶的最大边数.著名的Erdés匹配猜想证明了\[ ex_r(n,M_{k+1}^{(r)})= \max\left\{\binom{rk+r-1}{r},\binom{n}{r}-\binom{n-k}{r}\right\}, \]，其中$M_{k+1}^{(r)}$表示由$k+1$不相交边组成的$r$ -图.基于这个猜想，我们考虑了紧线性森林的图兰问题。紧线性森林是$r$ -图，它的连通分支都是紧路或孤立点.设$\mathcal{L}_{n,k}^{(r)}$是$r$ -图中所有具有$k$边的$n$阶紧线性森林的族.本文证明了对于足够大的$n$，\[ ex_r(n;\mathcal{L}_{n,k}^{(r)})=\max\left\{\binom{k}{r}, \binom{n}{r}-\binom{n-\left\lfloor (k-1)/r\right \rfloor}{r}\right\}+d, \]，其中$d=o(n^r)$和如果$r=3$和$k=cn$与$0<c<1$，如果$r\geq 4$和$k=cn$与$0<c<1/2$ .证明是基于超图的弱正则引理。我们还推测，对于满足$k \equiv 1\ (mod\ r)$…
2018-12-10 math.CO
Truncated versions of Dwork's lemma for exponentials of power series and $p$-divisibility of arithmetic functiens
（Dieudonné and）Dwork引理给出了系数在$Q_p$中的形式幂级数$S(z)$的指数在$Z_p$中的一个充要条件.我们建立了关于$S(z)$的指数系数的$p$ -adic赋值定理，假设$S(z)$的系数条件比Dwork引理中的条件弱.作为应用，我们给出了几个关于有限生成群的置换表示个数的$p$ -adic赋值下界的结果.特别是，我们给相当紧的下界的情况下，任意有限阿贝尔$p$ -组，从而推广了许多结果，在特殊情况下，已经出现在文献中。进一步的应用包括充分条件的最终周期性的子群号码模$p$的自由产品有限阿贝尔$p$ -群，结果$p$ -整除置换数的限制，其循环结构，和一个奇怪的“超同余”为一定的二项式和。
2015-08-02 math.CO math.GR math.NT
Parallel algorithms and concentration bounds for the Lovasz Local Lemma via witness DAGs
本文提出一种基于见证DAG的并行LLL算法，在相同条件下仅用一次MIS计算，将运行时间降至$O(\log^2 n)$，并给出重采样算法的更紧运行时间界。
2017-09-28 cs.DM cs.DS math.CO
Ramsey--Turán Factors of Non-directed Oriented Cycles in Oriented Graphs
School of Mathematics and Statistics, Ningxia University（宁夏大学数学与统计学院）
该研究针对有向图，证明满足最小半度阈值及独立数条件的足够大的有向图包含指定长度的反有向环因子，其最小半度阈值渐近紧，采用了Ramsey-Turán型格吸收引理完成证明。
2026-09-03 math.CO
Erdos-Hajnal conjecture for graphs with bounded VC-dimension
图的Vapnik-Chervonenkis维数（简称VC维数）定义为集合系统由其顶点邻域所诱导的VC维数。我们证明了每个VC维数有界的$n$ -顶点图都包含一个大小至少为$e^{(\log n)^{1 - o(1)}}$的团或独立集。对VC维的依赖性隐藏在$o(1)$项中。这提高了一般的下界，$e^{c\sqrt{\log n}}$，由于Erdos和Hajnal，这是有效的，在满足任何固定的非平凡的遗传性质的图类。我们的结果几乎是最优的，几乎匹配著名的Erdos-Hajnal猜想，根据该猜想，人们总是可以找到一个集团或一个独立的集的大小至少为$e^{Ω(\log n)}$。我们的结果部分地解释了为什么大多数几何交图出现在离散和计算几何有非常有利的拉姆齐型性质。我们的主要工具是由Lovász-Szegedy和Alon-Fischer-Newman发现的划分结果，该结果被称为具有有界VC-维数的图的“超强正则引理”。我们将这个引理推广到$k$ -一致超图，证明了在图的设置下，划分的部分数可以取为$(1/\varepsilon)^{O(d)}$，从而改进了原来的$(1/\varepsilon)^{O(d^2)}$的界.我们表明，这个界是紧的指数的一个绝对常数因子。此外，我们给出了一个$O(n^k)$的时间算法找到一个分区满足要求。最后，我们建立了具有有界VC-维数的图的Ramsey-Tu…
2017-10-10 math.CO
Improved Shortest Path Restoration Lemmas for Multiple Edge Failures: Trade-offs Between Fault-tolerance and Subpaths
本文改进多边故障下的最短路径恢复引理，将容错性与子路径数的加性权衡提升为乘性权衡，并给出匹配下界、带权图扩展及高效分解算法。
2024-03-05 cs.DS math.CO
Extremal Independent Set Reconfiguration
独立集重构问题是问一个人是否可以将一个给定的图的独立集转换成另一个，通过改变顶点一个接一个的方式，中间集保持独立。独立集上的极值问题被广泛研究：例如，众所周知，$n$ -顶点图最多有$3^{n/3}$最大独立集（并且这是紧的）。研究了所有$n$ -顶点图中$k$大小的独立集的最短重构序列的最大可能长度的渐近性态。我们给出了$k=2$的一个紧界。我们还提供了一个次二次上界（使用超图删除引理），以及一个几乎紧$k=3$的建设。通过证明一个$n^{2\lfloor k/3 \rfloor}$下界，我们推广了我们的结果为更大的$k$值。
2023-01-05 cs.DM math.CO
Stable Regularity Lemmas: Efficient Algorithms and Essentially Tight Littlestone Bounds
本文确定了稳定正则划分的渐近部分数，匹配 Littlestone 维数的上下界，并给出高效算法，包括随机和确定性时间及对数空间算法。
2026-09-23 cs.DS math.CO math.LO
Nearly Tight Lower Bounds for Relaxed Locally Decodable Codes via Robust Daisies
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；University of Cambridge（剑桥大学）；Georgetown University（乔治城大学）
该研究通过引入鲁棒 Daisy 和扩展引理，证明了放松局部可解码码长度的近似最优下界，与已知上界紧密匹配。
2025-11-26 cs.CC cs.IT math.CO
Variable Version Lovász Local Lemma: Beyond Shearer's Bound
Shearer在几十年前给出了抽象版本的Lovász局部引理（abstract-LLL）成立的严格准则。然而，很少有人知道的可变版本LLL（可变LLL）的事件是由独立的随机变量产生的，虽然这种模型的事件是适用于几乎所有的应用程序的LLL。我们引入了一个必要和充分的标准可变LLL，在事件的概率和事件变量图指定事件之间的依赖关系。基于这一新的准则，我们得到了两个家庭的事件变量图，即循环和树型偶图的边界。这是变量LLL边界完全确定的前两种非平凡情况。作为一个副产品，我们还提供了一个通用的建设性的方法来找到一组事件，其工会有最大的概率，给定的概率向量和事件变量图。虽然确定可变LLL边界通常是P-困难的，但我们可以在一定程度上确定可变LLL边界和相应的抽象LLL边界之间是否存在间隙。特别是，我们表明，间隙的存在可以决定不解决希勒的条件或检查我们的变量LLL标准。配备了这个强大的定理，我们表明，没有间隙，如果事件变量图的基图是一棵树，而间隙出现，如果基图有一个长度至少为4的诱导圈。这个问题几乎完全解决，除了当基图只有3-团时，在这种情况下，我们也得到部分解。一组约简规则的建立，便于推断间隙存在的事件变量图从已知的。作为应用，各种事件变量图，特别是组合的，被证明是gapful/gapless。
2017-09-15 cs.DM math.CO
An Optimal Sauer Lemma Over $k$-ary Alphabets
Purdue University, USA（美国普渡大学）；Technion, Israel and Google Research（技术学院（以色列）和谷歌研究）
本文提出了一种针对多类和列表预测的最优Sauer不等式，通过DS维度和扩展的列表DS维度，改进了多类学习和列表预测的样本复杂度上界。
2026-04-14 cs.LG math.CO stat.ML
On the number of sets with a given doubling constant
研究了给定阿贝尔群$G$的$s$ -元子集$J$的个数，使得$|J+J|\leq K|J|$ .证明了Alon、Balogh、Morris和Samotij的猜想，并改进了Green和Morris的结果（他们证明了$K$的猜想是固定的），我们提供了当$G=\mathbb{Z}$和$K=o(s/(\log n)^3)$时此类集合数量的上界，该上界接近$2^{o(s)},$的因子。我们还提供了一个推广的任意阿贝尔群，这是紧到一个因素的$2^{o(s)}$在许多情况下。证明中使用的主要工具是最近由Morris，Samotij和Saxton引入的非对称容器引理。
2019-05-03 math.CO math.NT
Deterministically Isolating a Perfect Matching in Bipartite Planar Graphs
我们提出了一个确定性的方式分配小（日志位）的权重的二分平面图的边缘，使最小重量完美匹配成为唯一的。隔离引理（Mulmuley et al. 1987）中所描述的实现了相同的一般图使用随机加权方案，而我们可以做到这一点时，确定性限制到二分平面图。因此，我们减少了决策和建设版本的匹配问题，以测试是否矩阵是奇异的，根据承诺，其行列式是0或1，从而获得一个高度并行的SPL算法的二分平面图。这改进了先前已知的非均匀SPL的界限（Allender et al. 1999）和$NC^2$的界限（Miller and Naor 1995，Mahajan and Varadarajan 2000）。这也重新点燃了希望，获得一个确定性的并行算法，构造一个完美的匹配在非二部平面图，这已经开放了很长一段时间。我们的技术是基本和简单的。
2008-02-20 cs.DS math.CO
On the Monotone Upper Bound Problem
单调上界问题要求有n个小平面的简单d-多胞形的严格增边路上的顶点的最大数目M（d，n）。更具体地说，它询问由McMullen（1970）上界定理提供的上界M（d，n）<= M_{ubt}（d，n）是否是紧的，其中M_{ubt}（d，n）是具有n个刻面的对偶到循环d-多面体的顶点数。最近表明，上界M（d，n）<= M_{ubt}（d，n）对于小维度（d<=4：Pfeifle，2003）和小corank（n<=d+2：Gärtner等人，2001年）。在这里，我们证明，它不是紧一般：在维数d=6时，n=9的多面体可以有M_{ubt}（6，9）=30个顶点，但不超过26 <= M（6，9）<= 29个顶点位于严格增的边路上，证明涉及到相邻多面体的分类结果，Kalai（1988）的抽象目标函数的概念，Holt-Klee条件（1998），显式枚举，Welzl（2001）扩展的Gale图，实例的随机生成，以及通过Farkas引理版本的不可实现性证明。
2003-08-20 math.CO math.MG
