$p$ -adic分形弦的Minkowski维数和显式管公式

分形和任意紧集的距离和管Zeta函数

Distance and tube zeta functions of fractals and arbitrary compact sets

最近，第一作者扩展了与分形字符串的zeta函数的定义，以任意有界子集$A$的$N$维欧氏空间${\mathbb R}^N$，任何整数$N\ge1$。它由$ζ_A(s)=\int_{A_δ}d(x,A)^{s-N}\,\mathrm{d} x$定义，适用于所有$\operatorname{Re}\,s$足够大的$s\in\mathbb{C}$，我们称之为$A$的距离zeta函数。这里，$d(x,A)$表示从$x$到$A$的欧几里德距离，$A_δ$是$A$的$δ$邻域，其中$δ$是固定的正实数.证明了$ζ_A$绝对收敛的横坐标等于$A$的上盒维数（或Minkowski维数）$\overline\dim_BA$.特别注意的是支付的主要复杂尺寸的$A$，定义为一组极点的$ζ_A$位于临界线$\{\mathop{\mathrm{Re}} s=\overline\dim_BA\}$，提供$ζ_A$具有亚纯扩展的临界线附近。我们还介绍了一个新的，密切相关的zeta函数，$\tildeζ_A(s)=\int_0^δ t^{s-N-1}|A_t|\,\mathrm{d} t$，称为管zeta函数的$A$。假设$A$是Minkowski可测的，我们证明了在一些温和的条件下，在$D=\dim_BA$（$A$的盒维数）上计算的$\tildeζ_A$的剩余等于$A$的Minkowski容度.更一般地说，没有…

无穷远处的准周期集合及其分形zeta函数的亚纯延拓

Quasiperiodic sets at infinity and meromorphic extensions of their fractal zeta functions

本文研究无穷远处相对分形鼓的复维数，建立管状与距离zeta函数的函数方程，给出亚纯延拓、Minkowski可测性条件及上容度界，并证明无穷远处准周期集合复维数的代数或超越准周期结构。

分形的复维数与分形 zeta 函数的亚纯延拓

Complex dimensions of fractals and meromorphic extensions of fractal zeta functions

本文研究分形距离、管及分形弦几何 zeta 函数的亚纯延拓，利用管函数渐近展开界定延拓域并联系留数与 Minkowski 容度，还构造了具高阶主复维数和无穷本质奇点的分形弦。

复维数、可测性和格/非格二分法综述

A survey of complex dimensions, measurability, and the lattice/nonlattice dichotomy

Lapidus和van Frankenhuijsen提出的分形弦的复维数理论已被证明是研究实数线分形子集的Minkowski可测性的有力工具。在一个非常一般的设定中，这些集合的闵可夫斯基可测性的特征在于对应的复维数的结构。此外，这个工具是特别有效的设置自相似分形子集的$\mathbb{R}$已被证明是Minkowski可测的当且仅当他们是非格。本文介绍了Lapidus和van Frankenhuijsen的相关结果，并将复维数理论初步推广到欧氏空间的子集，重点是满足各种分离条件的自相似集。这种扩展是在盒计数可测性的背景下发展起来的，这是闵可夫斯基可测性的一种模拟，其特征在于在某些温和的条件下具有复杂的尺寸。

关于Adelic弦

On Adelic Strings

考虑到不仅世界单而且闵可夫斯基时空和弦动量都可以是p-adic和adelic的，提出了一种新的p-adic弦和adelic弦的方法。p-Adic和adelic弦振幅被认为是在费曼的路径积分形式主义。计算了阿德利克·韦内齐亚诺振幅。得到弦动量的某些离散性。此外，阿德利克耦合常数等于1。

关于SUSY-QM，分形弦和黎曼假设的证明步骤

On SUSY-QM, fractal strings and steps towards a proof of the Riemann hypothesis

本文用谱分析的方法证明了Riemann zeta函数的零点只有s=1/2+iλ n的Riemann假设（RH）。一个超对称量子力学模型被提出作为证明黎曼猜想的另一种方法，灵感来自希尔伯特-波利亚提案;它使用与p-adic谐振子系统相关的逆本征值方法。本文把黎曼基本关系Z（s）= Z（1-s）解释为从一个分形串L到另一个对偶分形串L'的对偶关系。

通过支撑测度与复维数回顾分形几何中的Steiner公式

Review of Steiner formulas in Fractal Geometry via Support measures and Complex Dimensions

本文回顾了分形几何中连接一般Steiner型公式与复分形维数理论的框架，引入基于支撑测度的新几何泛函族，其标度指数可提取更多几何信息并关联复维数，搭建了测度论与解析方法的桥梁。

相对分形鼓的Zeta函数与复维数：理论、实例与应用

Zeta Functions and Complex Dimensions of Relative Fractal Drums: Theory, Examples and Applications

2009年，第一作者介绍了一类新的zeta函数，称为“距离zeta函数”，与任意维数的欧几里得空间的任意紧致分形子集相关。它代表了一个自然的，但非平凡的扩展理论的几何zeta函数的有界分形字符串。在这本回忆录中，我们介绍了类的“相对分形鼓”（或RFDs），其中包含类的有界分形字符串和紧凑的分形子集的欧几里得空间作为特殊情况。此外，RFD的相关（相对）距离zeta函数（在适当的意义上）扩展了上述分形zeta函数类。这个概念是非常普遍和灵活的，使我们能够查看几乎所有以前研究的分形zeta函数理论的各个方面，从一个统一的角度，以及远远超出了以前的理论。任何相对分形鼓的（绝对）收敛横坐标等于RFD的相对盒维度。我们特别注意的问题是构造RFD的距离zeta函数的亚纯扩张，以及构造超越$\infty$ -拟周期RFD（即，粗略地说，RFD有无穷多个准周期，所有这些都是代数独立的）。我们还描述了一类RFD（特别是一类新的有界集），称为{ \em最大超分形}，使（绝对）收敛的临界线仅由相关的相对距离zeta函数的不可移除的奇点。最后，我们还描述了一类Minkowski可测RFD，它具有任意重数$m\ge1$的复维数的无限序列，甚至沿临界线的本质奇点的无限序列。

弦模型中的非定域瞬子和孤子

Nonlocal instantons and solitons in string models

研究了一类可以用在辅助径向维上扩散的局域标量场描述的非局域系统。作为例子p进，开放和边界弦场论被认为是闵可夫斯基，弗里德曼-罗伯逊-沃克和欧几里德度量背景。从几乎处处为常数的类分布初始场出发，构造了非局部解的精确解和近似解。欧几里德p-adic块被解释为孤子膜，而超对称开弦场论的欧几里德扭结被解释为瞬子。不同的弦论的解决方案之间的一些关系也突出了由于重新制定的非局部系统作为一个重整化群流的不动点。

分形Zeta函数与相关分形鼓的复维数

Fractal Zeta Functions and Complex Dimensions of Relative Fractal Drums

The theory of 'zeta functions of fractal strings' has been initiated by the first author in the early 1990s, and developed jointly with his collaborators during almost two decades of intensive research in numerous articles and several monographs. In 2009, the same author introduced a new class of zeta functions, called `distance zeta functions', which since then, has enabled us to extend the existing theory of zeta functions of fractal strings and sprays to arbitrary bounded (fractal) sets in Euclidean spaces of any dimension. A natural and closely related tool for the study of distance zeta f…

Counting-Based Effective Dimension and Discrete Regularizations

Fractal-like structures of varying complexity are common in nature, and measure-based dimensions (Minkowski, Hausdorff) supply their basic geometric characterization. However, at the level of fundamental dynamics, which is quantum, structure does not enter via geometry of fixed sets but is encoded in probability distributions on associated spaces. The question then arises whether a robust notion of fractal measure-based dimension exists for structures represented in this way. Starting from effective number theory, we construct all counting-based schemes to select effective supports on collecti…

临界高斯自由场符号分形的分形维数

Fractal dimension of critical Gaussian free field sign clusters

本文研究低维瞬态加权图上临界高斯自由场符号分形的宏观等价性，证明其尺度极限的豪斯多夫维数为 $1+d/2$，并给出二点穿越估计。

SPDE奇异时间的分形维数：能量界、临界性与弱-强唯一性

Fractal dimension of singular times for SPDEs: Energy bounds, criticality, and weak-strong uniqueness

针对半线性SPDE，定义奇异时间集，证明其豪斯多夫/闵可夫斯基维数不超过1-ℓ·Exc，且对应测度为零，并应用于带噪声的3D NSE，推广Leray-Scheffer的1/2维数界到随机情形。

多分数维时空中的几何与场论

Geometry and field theory in multi-fractional spacetime

我们构建了一个理论的领域生活在连续几何与分数Hausdorff和光谱尺寸，专注于一个平坦的背景类似闵可夫斯基时空。在回顾了具有固定维数的分数空间的性质之后，在一篇配套论文中，我们推广到了受多重分形几何启发的多重分数场景，其中维数随尺度而变化。这与分数场论的重整化群性质有关，可以用标量场的例子来说明。根据拉格朗日量的对称性，可以定义两个模型。在其中一个中，有效维度在紫外线（UV）中从2开始流动，并且几何结构将红外线限制为四维。在UV临界值处，模型呈现为功率计数可重正化。然而，这并不是最根本的制度。分形几何的令人信服的论点需要扩展的分数行动措施复杂的秩序。在这样做时，我们得到一个层次的尺度特征不同的几何制度。在非常小的尺度上，离散对称性出现，连续时空的概念开始模糊，直到达到基本尺度和超微观分形结构。这种精细的几何层次结构对非对易理论和离散量子引力有着重要的意义。在后一种情况下，本模型可以被视为量子离散到经典连续过渡的自上而下的实现。