Edges vs Circuits: a Hierarchy of Diameters in Polyhedra
多面体图直径的研究是多面体几何和线性最优化理论中的一个经典公开问题。在本文中，我们继续[4]中发起的研究，对图直径的概念引入了大量的概括层次。这个层次结构为通常的图直径提供了一些有趣的下界。在解释了层次结构并讨论了这些界限之后，我们将重点放在清楚地解释层次结构中许多直径概念之间的差异和相似之处。最后，我们充分刻画了层次结构的二维。它可以分解成更少的类别，我们展示了可以实现为直径的值的范围。
2014-11-26 math.CO math.OC
On piecewise-linear homeomorphisms between distributive and anti-blocking polyhedra
Stanley（1986）引入了偏序集的序多胞形和链多胞形，并证明了它们通过分段线性同胚相联系。在本文中，我们认为秩序和链多面体的分配和反阻塞多面体的实例，分别。这两类多面体都是根据$\mathbb R^n$上的分量偏序定义的。我们推广斯坦利的PL-同胚的一大类分配多面体使用无限行走标记网络。
2019-11-27 math.CO
The diameter of the fractional matching polytope and its hardness implications
多面体$P \subseteq \mathbb R^d$的（组合）直径是$P$的1-骨架上的一对顶点之间的最短路径的最大值，该1-骨架是节点由$P$的$0$维面给出并且边由$P$的1-维面给出的图。多面体的直径已经从许多不同的角度进行了研究，包括计算复杂性的观点。特别地，[Frieze and Teng，1994]证明了计算多面体的直径是（弱）NP-困难的。在本文中，我们表明，问题的计算直径是强NP-困难的，即使是一个非常简单的结构的多面体：即\emph{fractional matching}多面体。我们还表明，计算一对顶点的最大最短路径距离上的1-骨架这个多面体是一个APX困难的问题。我们证明了这些结果，给出了一个\emph{exact characterization}的分数匹配多面体的直径，这是独立的利益。
2018-07-22 math.CO math.OC
The Hierarchy of Circuit Diameters and Transportation Polytopes
多面体图直径的研究是线性规划理论中的一个经典问题。虽然运输多面体是运筹学和统计学的核心，但赫希猜想对一般的$m{\times}n$ --运输多面体是否正确仍然是开放的。在早期的工作中，前三位作者介绍了一个层次的变化的概念，图直径多面体。关键的原因是这种层次结构为通常的图直径提供了一些有趣的下界。本文有三个贡献：第一，我们比较了$m{\times}n$ -运输多面体的直径的层次。我们证明了$m+n-1$的Hirsch猜想界在大多数直径概念中是有效的。其次，我们证明了对于$3{\times}n$ --运输多面体，Hirsch猜想在经典图直径下成立。第三，我们证明了$2{\times}n$ -运输多面体，较强的单调赫希猜想举行，并提高了早期的界限图直径。
2015-04-21 math.CO math.OC
Circuit Walks in Integral Polyhedra
电路在线性规划理论中起着基础性的作用，因为它们与组合优化算法和单纯形法的效率密切相关。我们感兴趣的是更好地理解积分多面体中的回路行走的性质。在本文中，我们介绍了一个层次的积分多面体的基础上表现出不同类型的行为，他们的电路走。组合优化中的许多问题都属于这个层次中最有趣的类别-回路行走的步骤只停在整数点，顶点或沿着实际的边。我们分类的几个经典家庭的多面体的层次，包括0/1-多面体，多面体定义的完全幺模矩阵，更具体的拟阵多面体，运输多面体，分区多面体。最后，我们证明了三个特征的简单的多面体出现在底层的层次结构中，所有的电路走边走，这样的多面体构成了一个推广的单纯形和parallelotopes。
2019-08-30 math.CO
Representing the Sporadic Archimedean Polyhedra as Abstract Polytopes
我们提出的阿基米德多面体（这些多面体只包含一种类型的顶点图形）作为正则抽象多面体的代理的调查结果。生成这些演示文稿的两种方法进行了讨论，其中之一可以应用在一般的设置，另一种是利用与所需的商相同的自同构群的规则多面体。代表的14个零星阿基米德多面体（包括伪hombicuboctahedron）的正抽象多面体的替代品，并总结在一个表中。这些信息用于确定这些多面体中哪些具有无视Petrie方案（即，具有定义良好的Petrie方案）。
2009-10-13 math.CO math.MG
Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations
凸集、多面体、组合拓扑等基本数学工具在几何建模、网格划分、计算机视觉、医学成像、机器人等应用领域中有着广泛的应用。这份报告可以看作是一个教程和一套说明凸集，多面体，多面体，组合拓扑，Voronoi图和Delaunay三角剖分。它是为广大数学爱好者准备的。我对V-多面体和H-多面体的等价性以及V-多面体和H-多面体的等价性进行了相当全面的处理，这有点难。特别是，傅立叶-Motzkin消元法（一个版本的高斯消去法的不等式）进行了详细讨论。我还包括一些材料的射影空间，射影地图和极对偶w.r. t。一个非退化的二次曲面，以定义一个适当的概念“投影多面体”的基础上锥。据我们所知，这种射影多面体的概念是新的。我们还认为，我们的一些证明建立等价的V-多面体和H-多面体是新的。
2008-05-02 math.CO math.GM
Classifying Regular Polyhedra and Polytopes using Wythoff's Construction
Wythoff的构造将一致多面体与Coxeter图相关联，Coxeter图的顶点用十字装饰，十字表示稳定泛点的子群。Champagne、Kjiri、Patera和Sharp指出，通过将更多的信息与Coxeter图相关联，人们可以进一步确定这种多面体的面的类型和数量。本文证明了这一结果，并利用它对正则多面体进行了分类。
2021-12-19 math.CO math.MG
Semiregular abstract polyhedra with trivial facet stabilizer
本文构造了具有平凡面稳定化子的半正抽象多面体，展示了其可拥有无界的旗轨道数，同时仅有一个面轨道，并通过操作高阶正则和非正则多面体实现交替半正多面体的构造。
2025-12-16 math.CO
On dominating set polyhedra of circular interval graphs
循环区间图的C结点矩阵和闭邻域矩阵都是循环矩阵。因此，这些图上的独立集多面体和控制集多面体与圆矩阵上的集填充多面体和集覆盖多面体密切相关。Eisenbrand等人利用这种关系提出了循环区间图上独立集多面体的完全线性描述。在本文中，我们遵循类似的想法，得到了一个完整的描述，控制集多面体上的同类图。在包装的情况下，我们的结果是建立了一个更大的覆盖多面体的形式Q*（A，b）：= conv{x \in \Z^n_+：Ax >= b}，与A的循环矩阵和b的整数向量。这些结果也提供了与圆形区间图上的控制集问题的几个变种相关的多面体的线性描述。
2018-02-20 math.CO
On the facial structure of Symmetric and Graphical Traveling Salesman Polyhedra
对于固定数量的城市$n$，对称旅行商多面体$S_n$是对应的图形旅行商多面体$P_n$的面。这已被用于研究方面的$S_n$使用$P_n$作为一个工具。本文研究了$S_n$有效不等式的“旋转”（或“提升”）运算，得到了$P_n$的一个有效不等式.作为一个应用，我们描述了一个令人惊讶的关系（a）之间的简约属性松弛的对称旅行推销员多面体和（b）的连通性的脊图的图形旅行推销员多面体。
2009-04-10 math.CO math.OC
Diameter Polytopes of Feasible Binary Programs
可行的二进制程序通常有多个最优解，这在应用中是令人感兴趣的，因为它们允许用户在备选最优解之间进行选择，而不会恶化目标函数。在这篇文章中，我们提出了一个可行的二元规划的最优直径作为度量的多样性之间的所有最优解。此外，我们提出的直径二进制程序，其最优包含两个最优解的给定的可行的二进制程序是尽可能不同的最佳直径。我们的主要兴趣是研究直径多面体，即，diameter二进制程序的多面体。在适当的条件下，我们表明，大部分的直径多面体的结构是继承给定的二进制程序的多面体。最后，我们应用我们的结果直径二进制程序和直径多面体的情况下，给定的二进制程序对应的线性排序问题和对称流动推销员问题。
2020-08-16 cs.DM math.CO math.OC
A note on the diameter of convex polytope
这个简短的说明将由整数矩阵定义的凸多胞体的直径的上界的最近结果（Bonifas等人，On sub-determinants and the diameter of polyhedra，Discrete Computational Geometry，52，2014）扩展到由实矩阵定义的凸多胞体的直径的类似上界。并通过一个例子说明了新的界可能比Bonifas等人的界更好。
2020-11-04 math.CO math.MG math.OC
More indecomposable polyhedra
我们应用组合方法的几何问题：分类的多面体，在闵可夫斯基分解。各种性质的骨架的多面体展出，每一个足以保证不可分解的一个显着的一类多面体。我们进一步说明了这些技术的力量，与传统的方法相比，检查三角面，与几个应用程序。在任何维度$d\neq 2$，我们表明，所有的多面体与$d^2+\frac{d}{2}$或更少的边缘，只有一个是可分解的。在3维中，我们完成了分类，在可分解性方面，260个组合类型的多面体与15个或更少的边缘。
2016-07-03 math.CO math.MG
Recent progress on the combinatorial diameter of polytopes and simplicial complexes
赫希猜想，提出于1957年，说明图的$d$维多面体或多面体的$n$方面不能有直径大于$n - d$。这个猜想本身已被证明是错误的，但我们对这个根本问题的了解却相当少。最值得注意的是，没有多项式的上界是已知的直径被证明是线性的。相反，没有多面体违反猜想超过25%是已知的。本文综述了近年来在这一问题上的一些尝试和进展。有些人在多面体或（更常见的）有界多面体的世界中工作，但有些人试图通过将其推广到单纯复形来阐明这个问题。特别是，我们在这里包括我们最近和以前未发表的证明，即任意单纯复形的最大直径是在$n^{Theta(d)}$中，我们总结了polymath 3项目中的主要思想，这是一个基于网络的集体努力，试图证明多面体和更一般对象（包括，e）的直径的nd类型的上界。例如，在一个实施例中，单形流形）。
2013-07-22 math.CO math.OC
Diameter and Automorphisms of Gelfand-Tsetlin Polytopes
我们确定了与整数划分$λ.$相关联的任何Gelfand-Tsetlin多面体GT $_λ$的1-骨架的直径和组合自同构群
2016-11-21 math.CO
On the Combinatorial Diameters of Parallel and Series Connections
多面体的组合直径的研究是线性规划中的一个经典课题，因为它与单纯形法的有效主元规则的可能性有关。我们感兴趣的多面体的直径形成从所谓的平行或串联连接定向拟阵：定向拟阵是自然的方式连接表示拟阵理论与线性规划的组合，这些连接是基本运算的建设更复杂的拟阵从基本拟阵块。我们证明了，多面体的组合直径满足赫希猜想界，无论右手边在一个标准形式的描述，其并联或串联连接的直径仍然很小的赫希猜想界。这些结果是一个实质性的一步，设计一个直径界的所有多面体定义通过完全幺模矩阵的基础上西摩的著名的分解定理。我们的证明技术和结果表现出一些有趣的功能。虽然并联连接导致一个界限，只是增加了一个常数，对于串联连接，一个线性地考虑在任何顶点的特定坐标的最大值。我们的证明也需要仔细处理非重访边走在退化多面体，以及建设边走，可能会采取“绕道”的方面，满足非重访猜想时，底层多面体可能不会。
2023-03-13 math.CO math.OC
Diameters of the Characteristic Imset Polytopes
它已被证明，特征嵌入多面体的边缘结构是密切相关的因果发现的问题。多面体的直径是多面体连接程度的指标，此外还为我们提供了多面体上边行走的假设最坏情况。我们提出了低次多项式的直径上的界限$\operatorname{CIM}_n$，对于任何给定的无向图$G$，面对$\operatorname{CIM}_G$。
2023-03-06 math.CO
An improved upper bound on the diameters of subset partition graphs
1992年Kalai和Kleitman证明了凸多面体直径的第一个次指数上界。Eisenbrand等人证明了这一界限对连通层族成立，这是一种分析多面体直径的新方法。最近，Todd将多面体的Kalai-Kleitman界改进为$(n-d)^{1+\log_2d}$。本文证明了满足连通层族的连通性性质的子集划分图的直径的一个类似的上界。
2014-12-18 math.CO math.OC
Monotone Diameters of Lattice Polytopes
Bowdoin College（鲍登学院）
该研究证明格多胞体的单调直径在 $k=3$ 时呈指数增长，否定了多项式上界，并表明 Naddef 结果无法推广至无界情形。
2026-09-09 math.CO math.OC
The Diameters of Network-flow Polytopes satisfy the Hirsch Conjecture
本文用网络单纯形法解决了多面体组合学中的一个问题。我们证明了Hirsch猜想对所有网络流多面体的图的直径成立，特别是对具有$n$节点和$m$弧的网络，网络流多面体的直径永远不超过$m+n-1$ .证明这一点的一个关键步骤是证明经典运输多面体的相同结果。
2016-09-21 math.CO
On the number of integer points in translated and expanded polyhedra
本文证明了$\mathbb{R}^6$中有理凸多胞体平行平移的整数点数最小化问题是NP困难的。我们应用这一结果表明，给定一个有理凸多胞体$P \subset \mathbb{R}^6$，找到最大整数$t$ s. t。扩展$tP$包含少于$k$的整数点也是NP难的。我们得到了有理多面体的Ehrhart拟多项式可以有任意涨落的结论。
2019-12-01 cs.CC math.CO
Small Shadows of Lattice Polytopes
由于Kleinschlaun和Onn的工作，已知$d$维晶格多面体$P \subseteq [0,k]^{n}$的图的直径至多为$dk$。然而，在$d$和$k$中，$d$维格多面体$P = \{\mathbf{x}: A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}\} \subseteq [0,k]^{n}$的单调直径（单调路径的最短保证长度）是否受多项式约束是一个悬而未决的问题.这个问题在线性最优化中特别有趣，因为单纯形方法跟踪的路径必须是单调的。在这个方向上，我们介绍了部分结果，包括一个单调的$3d$的$k = 2$，$(d-1)m+1$的$d$ -维$(m+1)$ -水平多面体的单调直径界，枢轴规则，这样的单纯形方法是保证采取最多$dnk||A||_{\infty}$非退化的步骤，以解决LP $P$，和一个界的$dk$的路径长度从某些固定的起点。最后，我们提出了一个建设性的方法，直径界的$(3/2)dk$，并描述了如何将这个最终的界限转化为一个算法，解决了线性规划跟踪这样的路径。
2022-04-19 math.CO math.OC
Improved bounds on the diameter of lattice polytopes
我们证明了当$k\geq3$时，其顶点的整数坐标在$0$和$k$之间的$d$维多面体的最大可能直径$δ(d,k)$至多为$kd-\lceil2d/3\rceil$.此外，我们还证明了$δ(4,3)=8$ .这证实了$δ(d,k)$至多是$\lfloor(k+1)d/2\rfloor$的猜想，并且通过格向量的Minkowski和来实现。
2016-10-02 math.CO math.MG math.OC
Complexity of polytope diameters via perfect matchings
本文证明计算多胞体电路直径是强NP-hard问题，通过二部图完美匹配多胞体直径的NP-hard性实现，并给出单调直径的图论描述。
2025-01-21 cs.DM cs.DS math.CO
A quasi-polynomial bound for the diameter of graphs of polyhedra
具有$n$小平面的$d$维多面体的图的直径至多为$n^{\log d+2}$
1992-04-01 math.CO math.MG
On the diameter of lattice polytopes
本文证明了[0，k]^n中d维格多面体的直径至多为（k - 1/2）d.这个结果意味着d维半整多胞形的直径至多为3/2d。我们还表明，对于半整多面体，后者的界限是紧的任何d。
2015-12-24 cs.CG math.CO
Newton Polytopes Of Nondegenerate Quadratic Forms
本文讨论了非退化二次型的牛顿多面体和Morse奇点的牛顿多面体。
2019-10-14 math.AG math.CO
On the diameter of the polytope of the stable marriage with ties
带纽带的稳定婚姻问题是博弈论中一个研究得很好的有趣问题。我们有一组男人和一组女人。每个人都有一个相对群体的偏好排序，其中可能包含关系。一个稳定的婚姻是由男人和女人之间的匹配，没有阻止对，即，一个男人和一个女人，他们在配对中严格地喜欢对方而不是他们现在的伴侣。本文研究了稳定婚姻的特征向量的凸包所给出的多胞形在有结的情况下的直径。我们证明了直径上的$\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$的上界，其中$n$是男性和女性的总数，并给出了一个家庭的情况下，该界持有紧。我们的结果推广了标准稳定婚姻多面体直径的界限（即，众所周知的多面体，描述了没有关系的设置），以前在文献中开发的。
2020-03-23 cs.DM math.CO math.OC
Causal cells: spacetime polytopes with null hyperfaces
我们考虑闵可夫斯基时空中的多面体和4-多面体-特别是体积为零的零多面体和以这种多面体作为超面的4-多面体。本文给出了几类零面4-多面体的基本性质：4-单形、“四面体菱形”和4-平行多面体。我们建议每个班级都有一个“最经常”的代表。最正则的平行六面体是特别有趣的：它的边、面和超面都是全等的，并且它具有零超平面和零段。一个由这个多面体的副本组成的时空平铺可以被看作是一个具有零边的晶格，这样每个点都位于四面体模式中四个光托盘的交点上。我们推测的相关性，这个结构的离散弯曲时空和量子引力。
2013-01-08 gr-qc math.CO math.DG
The number of extreme points of tropical polyhedra
著名的McMullen上界定理确定了多面体的最大极值点个数，它是由多面体的维数和定义它的约束数决定的，表明最大值是由循环多面体的极线决定的。我们表明，同样的约束是有效的热带设置，一个平凡的修改。然后，我们研究了最大化多面体的自然候选者，这是一个家庭的循环多面体配备了一个符号模式的极。我们构造双射之间的极值点，这些极性和格路径的符号模式，从中我们推导出明确的界限的极值点的数量，特别是显示的上界是渐近紧的尺寸趋于无穷大，保持固定的约束数量。当转置到经典的情况下，以前的建设产生一些格路径推广盖尔的均匀性标准。
2009-06-18 math.CO math.OC
Bounds on the diameters of $r$-stacked and $k$-neighborly polytopes
本文改进了Larman关于多面体直径的界，证明了如果$Δ$是一个正规单纯复形，其所有缺失面的大小至多为$r$，则$Δ$的面脊图的直径不大于$2^{r-2}n$，其中$n$是$Δ$的顶点数.然后，我们使用这个结果提供新的上界的$k$ -邻球，$r$ -堆叠的球体，多面体与小$g_r$的小面脊图的直径。具体地说，我们的边界意味着具有$r=O(\log n)$的$r$ -堆叠球满足多项式Hirsch猜想.
2013-03-27 math.CO
A note on the diameter of transportation polytopes with prescribed source degrees
Brightwell，van den Heuvel和Stougie证明了一个$m \times n$输运多面体的直径至多是$8(m+n-2)$，离赫希猜想相差八倍。Hurkens将该结合改进为$3(m+n-1)$。我们研究某些类别的运输多面体的直径。注意事项：本文完成后，我们发现本文所研究的运输多面体类在Michel L.巴林斯基关于两类特殊的运输多面体。数学编程学习，1：43-58，1974.米歇尔湖Balinski和Fred J. Rispoli。运输多面体的签名类。数学规划，60（2，Ser.A）：127-144，1993.这些文件都包含我们的结果和推广到更一般的类运输问题的改进。鉴于这些文件，本说明将不提交出版。
2012-05-12 math.CO
Arbitrarily Large Neighborly Families of Congruent Symmetric Convex 3-Polytopes
对于任意正整数n，我们在R^3中构造一族n个全等凸多面体，使得每对凸多面体相交于一个公共小平面。以前，最大的此类族仅包含八个多面体。我们的多面体是螺旋线上均匀分布的点的Voronoi区域（t，cos t，sin t）。通过一个简单的修改，我们可以确保族中的每个多面体都有一个点、一条线和一个对称面。我们还推广我们的建设更高的维度，并介绍了一个新的家庭循环多面体。
2001-06-12 math.CO math.MG
Polynomial time vertex enumeration of convex polytopes of bounded branch-width
在过去的几年里，多面体的顶点计数问题已经看到了复苏的研究代谢网络，这增加了需求的高效顶点计数算法的高维多面体的不等式。由一组线性约束描述的多面体（有界多面体）的顶点能否在总多项式时间内计数是多面体理论和计算几何中一个著名而长期存在的问题。本文将分枝分解的概念应用于多面体$P = \{x : Ax = b, x \geq 0\}$的顶点计数问题。为此，我们引入了$k$ -模的概念，并展示了它与由$A$的列生成的线性拟阵的分离子的关系。然后，我们用这个提出了一个总的多项式时间算法多面体$P$的$A$生成的线性拟阵的分支宽度是有界的常数$k$。
2016-07-09 cs.CC cs.CG math.CO
Diameter, decomposability, and Minkowski sums of polytopes
我们研究如何Minkowski和两个多面体影响他们的图，特别是，他们的直径。我们表明，闵可夫斯基和的直径是有界的每个被加数的直径和以上，粗略地说，一个被加数的直径和顶点数的其他之间的产品。我们还证明了这两个边界是尖锐的。此外，我们还得到了关于多胞形可分解性的一个结果。更精确地说，给定两个多面体P和Q，我们证明了P可以写为一个与Q有位异名的和的Minkowski和当且仅当P与Q的Minkowski和有相同的顶点数。
2018-06-20 math.CO math.MG
Petrie-Coxeter Maps Revisited
本文给出了一种从秩为4的抽象手征多面体构造新的手征多面体或正多面体（或映射）的方法。从不适当的自对偶手征多面体，我们得到的“Petrie-Coxeter型”多面体（经典的Petrie-Coxeter多面体的抽象手征类似物），并调查他们的自同构群。
2005-12-07 math.CO math.MG
The Face Structure and Geometry of Marked Order Polyhedra
研究了一类与标记偏序集相关的多面体。这些多面体的例子是Gelfand-Tsetlin多面体和锥，以及Berenstein-Zelevinsky多面体，所有这些都出现在半单李代数的表示论中。这些多面体的面对应于底层偏序集的某些分区，我们给出了这些分区的组合特征。我们指定了一类标记偏序集，从而产生多面体的刻面对应的偏序集的覆盖关系。在凸几何方面，我们描述了多面体的回收锥，讨论了乘积，并给出了一个Minkowski和分解。我们简要地讨论了与仿射子空间的交集，这些交集也出现在表示论和最近的有限希尔伯特空间框架理论中。
2017-11-29 math.CO math.MG
Edge-Graph Diameter Bounds for Convex Polytopes with Few Facets
证明了6维12面多面体的边图的直径至多为6，从而在d=6的情况下验证了Klee和Walkup的d步猜想.这意味着对于所有具有n-d \leq 6的对（d，n），具有n个刻面的d-多胞形的边图的直径以6为界，这证明了对于所有n-d \leq 6的Hirsch猜想。我们表明，这一结果表明，这一界的一个更一般的结构-所谓的拟阵多面体-减少到一个小数目的可满足性问题。
2009-07-15 math.CO math.MG
Polytope Extensions with Linear Diameters
本文构造扩展公式证明Hirsch猜想的松弛版本，并证明若单纯形算法存在步数由多面体直径与面数之和的多项式界定的选主元规则，则线性规划可在强多项式时间内求解。
2024-09-24 math.CO
Chiral Polyhedra from AGL(1,q)
Northeastern University（东北大学）
本文研究了从AGL(1,q)子群构造手性与正则多面体的方法，并证明了AGL(1,q)作为特定类型多面体的自同构群的条件。
2026-03-03 math.CO
A Spectral Approach to Polytope Diameter
我们证明了在两个设置的图直径的多面体的上界。首先是一个最坏情况下的整数约束定义的多面体的高度和某些子行列式的约束矩阵，在某些情况下，这改善了以前已知的结果。第二个是一个平滑的分析界限：给定一个适当的规范化多面体，我们添加小高斯噪声到每个约束。我们考虑一个自然的几何措施上的顶点扰动多面体（对应于中曲率措施，其极），并表明，有很高的概率存在一个“巨人组成部分”的顶点，措施$1-o(1)$和多项式直径。这两个界限依赖于谱间隙-在第一种情况下，一个特定的薛定谔算子，和一个特定的连续时间马尔可夫链在第二-这是从一个简单的多面体的体积的对数，它的松弛变量。
2022-09-15 cs.DM math.CO math.FA
Metric combinatorics of convex polyhedra: cut loci and nonoverlapping unfoldings
本文研究任意维凸多胞体边界的组合学与其度量几何之间的相互作用。设S是维数为d+1的凸多胞体的边界，或更一般地，设S是“凸多面体伪流形”。我们证明了S在R^d中有一个多面体非重叠开折，因此度量空间S是由R^d中的一个闭（通常是非凸的）多面体球通过等距识别边界面对而得到的。我们的存在性证明利用测地流远离源点v在S中，这是指数映射到S从切空间在v.我们的特点是“割迹”（封闭的一组点在S中有一个以上的最短路径v）作为一个多面体复杂的Voronoi图方面。分析波前的无穷小展开，该波前由S上与v保持恒定距离的点组成，产生了一种算法方法，用于在每个小平面上构造Voronoi图，从而展开S。该算法，我们提供了伪代码，解决了离散测地线问题。它的主要结构是将3-多面体边界的源开折推广到R^2。本文给出了凸多面体边界上最短路的个数和凸多面体的连续开折的一些结果。我们还评论了非凸多面体流形的内在非多项式复杂性。
2003-12-12 math.CO math.MG
Algebraic polytopes in Normaliz
我们描述了在Normaliz中实现代数多面体。除了凸包计算/顶点枚举之外，还可以计算三角剖分、体积、格点、面格和自同构群。该算法基于V.~的e-antic包。德莱克鲁瓦
2020-05-02 math.CO
Geometric Combinatorics of Transportation Polytopes and the Behavior of the Simplex Method
本论文主要研究凸多面体的几何组合学及其与线性规划单纯形法的关系。我们把我们的注意力集中在运输多面体，这是所有表的非负实数满足一定的求和条件的集合。运输问题在许多方面是最简单的一类线性规划，因此具有丰富的组合结构。首先，我们给出了某些运输多面体的直径的新结果，并讨论了它们与Hirsch猜想的关系，Hirsch猜想认为每个具有$n$小面的$d$维凸多面体的直径都有$n-d$的上界.特别地，我们证明了由$1$ -边缘定义的$3$ -路轴向运输多面体的直径的一个新的二次上界.我们还表明，赫希猜想成立的$p \times 2$经典运输多面体，但有无限多的赫希夏普经典运输多面体。其次，我们给出了关于运输多面体的子多面体的新结果。我们调查，例如，一个非正则三角剖分的子多面体的第四伯克霍夫多面体$B_4$。这意味着所有Birkhoff多面体$B_n$为$n \geq 4$的非正则三角剖分的存在。我们还研究了某些类别的网络流多面体，并证明了新的线性上界的直径。
2010-06-11 math.CO
Intermediate Sums on Polyhedra: Computation and Real Ehrhart Theory
本文研究了A. Barvinok [Computing the Ehrhart quasi-polynomial of a rational simplex，Math.Comp.75（2006），1449- 1466].对于给定的半有理多胞形P和有理子空间L，我们对给定的多项式函数h在平行于子空间L的多胞形P的所有格片上积分，并求和。我们首先发展了一个算法理论的参数中间生成函数。然后，我们研究了这些中间和的Ehrhart理论，即，结果的依赖性作为一个函数的膨胀的多面体。我们提供了一个算法来计算所得到的Ehrhart拟多项式的形式显式的步骤多项式。这些公式对于实膨胀（而不仅仅是整数膨胀）自然有效，因此提供了一个直接的方法来研究实埃赫哈特理论。
2010-11-27 cs.CG math.CO
On the Circuit Diameter Conjecture
从最优化的观点来看，一个关键的问题是将多面体的组合直径与多面体的面数$f$和维数$d$联系起来。在Klee和Walkup的开创性论文[KW 67]中，关于$f-d$的上界的Hirsch猜想被证明等价于几个看起来更简单的陈述，并且通过构造一个特殊的具有8个面的四维多面体$U_4$而被证明是不成立的。有界多面体的赫希界直到最近才被桑托斯证明是错误的。我们认为类似的属性的组合直径称为电路直径的变体。在这个变体中，行走是从多面体的回路方向构建的，这是定义多面体的系统的最小非平凡解。我们能够证明所谓的不可重访猜想和$d$ -步猜想的电路变体都蕴涵着Hirsch猜想的电路模拟。对于[KW 67]中的等价性，楔形构造是一种基本的证明技术。我们展示了为什么它在电路设置中不可用，以及失去它作为工具的影响。此外，我们显示电路模拟的非重访猜想意味着一个线性约束的电路直径的所有无界多面体-在对比是什么已知的组合直径。最后，我们给出了$4$ -步猜想的一个电路版本的两个证明。这些结果为赫希猜想的电路版本在一般情况下成立提供了一些希望。电路设置中的挑战是相同组合结构的多面体的不同实现可能具有不同的直径。我们适应的概念，简单的工作与电路的形式，C-简单的和楔形简单的多面体。我们表明，它足以考虑这样的多面体。
2018-04-17 math.CO
On sub-determinants and the diameter of polyhedra
本文给出了多面体P = {\in R^n：Ax <= b}的直径的一个新的上界，其中\in Z^{m \timesn }.该界是n中的多项式，并且是A的子行列式的最大绝对值，用Δ表示。更精确地说，我们证明了P的直径有O（Δ^2 n^4 log nΔ）的界。如果P是有界的，则我们证明了P的直径至多为O（Δ^2 n^3.5 log nΔ）。对于A是全幺模矩阵的特殊情形，其界分别为O（n^4logn）和O（n^3.5logn）.这比Dyer和Frieze之前的O（m^16 n^3（log mn）^3）的最佳界有所改进。
2014-04-29 cs.CG math.CO
Asymptotic Bounds on the Combinatorial Diameter of Random Polytopes
多面体$P$的组合直径$\operatorname{diam}(P)$是任意一对顶点之间的最大最短路径距离。在本文中，我们提供了一个随机的“球形”多面体，这是紧的一个因素的尺寸时，不等式的数量是大的尺寸相比，组合直径的上界和下界。更确切地说，对于由$n$ i.i.d.\半空间，其法线是从球均匀选择，我们证明了$\operatorname{diam}(P)$是$Ω(n m^{\frac{1}{n-1}})$和$O(n^2 m^{\frac{1}{n-1}} + n^5 4^n)$的高概率时，$m \geq 2^{Ω(n)}$。对于上界，我们首先证明，在任何固定的二维投影的顶点数急剧集中在其期望时，$m$是大的，我们依赖于$Θ(n^2 m^{\frac{1}{n-1}})$界的期望，由于Borgwardt [数学。结果：1999年]。为了获得直径上限，我们使用最坏情况的直径界限将这些“阴影路径”缝合在一起，以将顶点连接到最近的阴影。对于下界，我们首先减少到下界的对偶多面体$P^\circ$，对应于一个随机凸包的直径，通过显示关系$\operatorname{diam}(P) \geq (n-1)(\operatorname{diam}(P^\circ)-2)$。然后证明了$P^\circ$的任意“nearly”对映对顶点之间的最短路径的长度为$Ω(m^{\frac{1}{n-1}})$…
2021-12-24 cs.DM math.CO math.MG
The matching polytope does not admit fully-polynomial size relaxation schemes
Rothvovich的开创性工作[arxiv：1311.2369]建立了表示匹配多面体的每个线性规划都有指数数量的不等式（形式上，匹配多面体具有指数扩展复杂度）。我们推广了这一结果，得出强界的多面体不可逼近的匹配多面体：对于固定的$0 < \varepsilon < 1$，每个多面体$(1 + \varepsilon / n)$ -近似需要指数数量的不等式，其中$n$是顶点的数量。这在给定由大小高达$ρ/(ρ-1)$的奇集提供的大小$O(\binom{n}{ρ/(ρ-1)})$的公知的$ρ$近似的情况下是尖锐的。因此，匹配是$P$中的第一个问题，其自然线性编码不允许完全多项式大小的松弛方案（FPTAS的多面体等效物），这提供了与例如获得的多项式大小的松弛方案的尖锐分离，通过上面提到的恒定大小的奇数集。我们的方法重复使用了Rothvovich [arxiv：1311.2369]的思想，但是主要的下界技术是不同的。虽然原始证明是基于超平面分离界（也称为矩形腐败界），但我们采用了Braun和Pokutta [http：//eccc.hpi-web.de/report/2013/056/]中引入的公共信息的信息论概念，这允许分析松弛矩阵的扰动。事实证明，匹配多面体的高扩展复杂性源于与相关多面体相同的硬度来源：直和结构。
2015-08-05 cs.CC math.CO
On volumes of hyperbolic right-angled polyhedra
本文给出了双曲空间$\mathbb{H}^3$中三种不同情形下直角多面体体积的新上界：顶点都在理想双曲边界上的理想多面体，顶点只有有限个（或通常）的紧多面体，以及顶点同时具有这两种类型的有限体积多面体.
2022-01-04 math.CO math.DG math.GT
Extremal spherical polytopes and Borsuk's conjecture
本文通过数值梯度流生成反自极球面多胞形，研究其临界点与组合性质，并探讨与Borsuk猜想的联系。
2024-11-11 math.CO math.MG
Constructing Extended Formulations from Reflection Relations
有许多最优化问题的例子，它们的相关多面体可以通过高维多面体的投影比在原始空间中可能的投影更好地描述，并且不平等性更少。然而，目前没有许多通用的工具来构建这样的扩展公式是可用的。在本文中，我们开发了一个框架的多面体关系，通过投影推广归纳结构的扩展配方，我们特别阐述了反射关系的特殊情况。后者提供了多项式大小的几个多面体，可以被构造为（指数）通过在超平面上的反射序列获得的输入多面体的许多副本的工会的凸包扩展配方。我们证明了使用的框架，通过推导小的扩展配方的G-置换面体的所有有限反射群G（推广两个戈曼的扩展配方的置换面体的大小为O（n log n）和本塔尔和Nemirovski的扩展配方与O（k）不等式的正规2^k-边形）和霍夫曼多面体（凸包的霍夫曼码的重量向量）。
2010-11-16 math.CO
Geometric Realizations with Strong Self-Duality Part II: Diameter Graphs, Reuleaux Polyhedra, and Thrackles
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ELTE Eötvös Loránd University, Budapest（布达佩斯罗兰大学）
本文在三维空间中构造新的直径图和鲁洛多面体，证明任意2-连通强对合自对偶图均可作为鲁洛多面体骨架，并证实及加强相关猜想，应用涉及常宽体、Steinitz定理和Borsuk猜想。
2026-10-06 math.CO
