How to choose a completion method for pairwise comparison matrices with missing entries: An axiomatic result
针对成对比较矩阵缺失项补全方法的选择难题，本文提出字典序最优补全结合加权方法可避免序数违规，为实际应用提供公理化依据。
2023-11-02 math.OC
On reducing inconsistency of pairwise comparison matrices below an acceptance threshold
最近的工作的作者分析成对比较矩阵，可以通过修改几个元素的一致性是继续和扩展。定义了不一致性指数，用于表示两两比较矩阵的总体质量。预计汇总表中的严重矛盾意味着高度不一致，反之亦然。然而，在成对比较矩阵应用的35年历史中，只有一个指数，即由Saaty提出的CR，通过众所周知的百分之十规则与一般接受水平相关联。在本文中，我们考虑了广泛的一类不一致性指标，包括CR，CM提出的Koczkodaj和Duszak和CI Peláez和Lamata。假设给定了可接受的不一致性的阈值（对于CR，其可以是0.1）。其目的是找到最少数量的矩阵元素，适当的修改，使矩阵可接受。另一方面，给定可修改的矩阵元素的最大数量，目的是找到可以实现的最小程度的不一致性。在这两种情况下的解决方案是从一个非线性的混合整数最优化问题。结果是适用于决策支持系统，允许实时互动的决策者，以审查成对比较矩阵。
2013-11-04 math.OC
The (logarithmic) least squares optimality of the arithmetic (geometric) mean of weight vectors calculated from all spanning trees for incomplete additive (multiplicative) pairwise comparison matrices
完全和不完全的加/乘两两比较矩阵被应用于偏好建模、多属性决策和排序。本文证明了这两种方法的等价性。从所有生成树计算的权向量的算术（几何）平均值被证明对（对数）最小二乘问题是最优的，不仅对于完全的，正如最近在Lundy，M.，Siraj，S.，Greco，S.（2017年）：“生成树”和行几何平均偏好向量的数学等价性及其对偏好分析的影响，欧洲运筹学杂志257（1）197-208，但也适用于不完全矩阵。不像完整的情况下，一个明确的公式，即行算术/几何平均的矩阵元素，存在（对数）最小二乘问题，不完整的情况下，需要一个完全不同的和新的证明。最后，基尔霍夫定律的计算潜力的电路连接到我们的结果。
2019-04-04 math.OC
A lexicographically optimal completion for pairwise comparison matrices with missing entries
本文提出一种基于字典序逐次最小化三元组不一致性的成对比较矩阵缺失项补全算法，并证明补全唯一当且仅当已知项构成的无向图连通。
2023-07-17 math.OC
A clustering approach for pairwise comparison matrices
针对群体决策中基于成对比较矩阵的意见聚类问题，提出k-medoids模型（具线性规划表述且目标函数基于矩阵不相似性），应用于大规模数据集可检测决策者错误及识别不一致来源，为决策支持提供工具。
2024-09-30 math.OC stat.AP
Inconsistency thresholds for incomplete pairwise comparison matrices
Corvinus University of Budapest (BCE)（布达佩斯考文纽斯大学）；Institute for Computer Science and Control (SZTAKI)（计算机科学与控制研究所）；Eötvös Loránd Research Network (ELKH)（厄特沃什·罗兰研究网络）
成对比较矩阵越来越多地用于缺少某些对的设置。然而，存在一些类似的不完整的数据集的不一致性指标，并没有合理的措施有一个相关的阈值。本文概括了著名的经验法则的可接受程度的不一致性，提出了Saaty，不完整的两两比较矩阵。扩展是基于选择丢失的元素，使得不完整矩阵的最大特征值最小化。因此，建立良好的随机指数的值不能被采用：随机矩阵的不一致性被发现是矩阵的大小和缺失元素的数量的函数，在后一个变量的情况下，几乎线性相关。我们的研究结果可以直接内置到决策软件中，并由从业者作为接受或拒绝不完整的成对比较矩阵的统计标准。
2021-12-03 cs.AI math.OC math.ST
A gradient method for inconsistency reduction of pairwise comparisons matrices
本文研究了一种数学上鲁棒的最小化方法--梯度法--在成对比较（PC）矩阵的一致性问题中的应用。我们的方法揭示了新的优先向量的概念，并导致自然的即时优先向量的定义。我们描述了一个样本家庭的不一致性指标的基础上采取的平均值，扩展了不一致性指标的基础上的“$\sup$“规范的各种方式。我们应用这个家庭的不一致性指标的加法和乘法PC矩阵的选择，各种不一致性指标导致不等价的consistencization程序。
2022-07-16 cs.NA math.NA math.OC
Size independence of consistency index for pairwise comparison matrices in analytic hierarchy process
Faculty of Science and Engineering, Otemon Gakuin University（帝塚山学院大学理工学部）；Faculty of Applied Information Science, Hiroshima Institute of Technology（广岛工业大学应用信息科学部）
研究层次分析法中两两比较矩阵一致性指标与矩阵大小的关系，通过分析评估项目子集构建的矩阵，提出与大小无关的一致性指标应满足的属性，改进指标并证明其与现有指标一致，还用随机矩阵直观展示两者关系。
2026-07-10 cs.GT math.OC stat.ME
Geometry of efficient weight vectors
本文研究 4×4 成对比较矩阵的 Pareto 有效权重向量集合的几何结构，证明其为三个四面体的并集，并确定了 Blanquero-Carrizosa-Conde 图中 4-环的定向。
2025-07-19 math.OC
Pairwise comparisons meet optimal transport theory
University of Trento（特伦托大学）；University of Perugia（佩鲁贾大学）
本文建立成对比较矩阵与最优传输理论间的联系，提出基于Sinkhorn的一致性刻画、优先级排序方法及熵不一致性指标，并经分析与数值验证。
2026-09-18 math.OC
An asymptotic existence result on compressed sensing matrices
The University of Queensland（昆士兰大学）
对于任意有理数$h$和充分大的$n$，给出了具有$(\ell_1,t)$ -可恢复性的$n\times \lfloor hn\rfloor$压缩感知矩阵的确定性构造，其中$t=O(\sqrt{n})$ .我们的方法使用成对平衡设计和复杂的Hadamard矩阵的建设$ε$ -等角框架，我们介绍作为一个推广的等角紧框架。该方法是通用的，并产生良好的压缩传感矩阵从任何适当选择的成对平衡设计。$(\ell_1,t)$ -可恢复性性能被指定为设计参数的简单函数。为了获得我们的渐近存在性结果，我们证明了新的结果存在的成对平衡设计，其中的每个大小的块的数量是指定的。
2015-02-09 math.CO math.FA math.OC
Application of log-Chebyshev approximation and tropical algebra to multicriteria problems of pairwise comparisons
Faculty of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学数学力学系）
本文提出利用对数切比雪夫逼近与热带代数解决多准则成对比较问题，通过多目标优化方法获得一致矩阵，并与经典方法进行对比。
2026-01-25 math.OC
Efficient tensor bases for pairwise comparisons
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）；Military University of Technology（军事技术大学）
本研究构建了成对比较理论中首个加性一致子空间的正交基，建立了对数一致投影，与Saaty型和SVD型加窗比较得出新复合公式，附有大量示例。
2026-08-27 cs.CE econ.EM math.OC
The column number for 3-modular matrices
本文研究了3-模矩阵的列数问题，证明了当秩r足够大时其两两不平行列的最大数量，从而解决了相关猜想，并推广了关于不同构向量拟阵矩阵数量的结论。
2025-09-16 math.CO math.OC
Filling in pattern designs for incomplete pairwise comparison matrices: (quasi-)regular graphs with minimal diameter
针对成对比较集合可自主选择的多准则决策问题，研究在正则与准正则图中寻找最小直径的图，为不完备成对比较矩阵的填充模式提供建议，以减少中间比较带来的累积误差。
2020-05-31 cs.DM math.OC
Geometric mean method for judgement matrices: Formulas for errors
几何平均方法（GMM）和特征向量方法（EM）是在决策过程中从成对比较矩阵中获得信息的公知方法。然而，这些方法的原始算法是逻辑上不完整的，有显着的缺点：他们的实际数值误差是未知的，他们的可靠性是怀疑不同的秩反转现象，包括GMM-EM的。最近（Tomashevskii 2015：Eur J Oper Res 240：774-780），发现了EM的实际数值误差，并且表明所有EM秩反转现象具有相同的原因，并且当考虑误差时被消除。本文对GMM也采用了类似的方法：将GMM与一些标准的测量过程联系起来，从测量理论的角度对这一过程进行分析，找出GMM的实际误差。我们表明，GMM和GMM-EM秩反转现象被消除时，GMM和EM误差被考虑。GMM决策支持工具具有标准测量工具的所有组件，由成对比较作为初始测量程序、GMM作为数据处理器以及所获得的GMM误差公式作为误差指标组成。该工具类似于上述论文前面提到的EM决策支持工具。它示出的EM和GMM版本的工具是同样适合于测量和排名任何可比的元素与积极的数值。我们还分析了几何一致性指数通常用于在原来的GMM来衡量的不一致性和接受或拒绝不一致的成对比较矩阵，并表明，该指数是不是一个可接受的GMM错误指标。
2014-10-03 math.OC
Using tropical optimization techniques to evaluate alternatives via pairwise comparisons
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文提出基于热带优化技术的新方法，通过成对比较数据评估替代方案，采用对数切比雪夫意义下的近似方法，构建单位秩的对称矩阵，并统一处理乘法和加法比较尺度，提供紧凑向量形式的解，并通过数值示例展示新方法的优势。
2016-08-28 cs.SY eess.SY math.OC
On the Derivation of Weights from Incomplete Pairwise Comparisons Matrices via Spanning Trees with Crisp and Fuzzy Confidence Levels
本文提出一种基于所有生成树和专家置信水平（清晰或三角模糊数）聚合优先级向量的不完全成对比较矩阵权重推导方法，并给出生成树数量上界公式以评估计算复杂度。
2023-05-30 cs.DM math.OC
Refined thresholds for inconsistency: The effect of the graph associated with incomplete pairwise comparisons
Corvinus University of Budapest (BCE), Institute of Operations and Decision Sciences, Department of Operations Research and Actuarial Sciences（布达佩斯考文纽斯大学）；Institute for Computer Science and Control (SZTAKI), Hungarian Research Network (HUN-REN)（匈牙利国家研究网络计算机科学与控制研究所）
本文针对不完备成对比较矩阵，发现不一致性阈值不仅依赖于矩阵大小和缺失条目数，还依赖于表示已知比较的无向图，并展示了阈值与图谱半径的强关联，可用于实时监测不一致性。
2026-05-22 math.OC stat.ME
Rating alternatives from pairwise comparisons by solving tropical optimization problems
Faculty of Mathematics and Mechanics, Saint Petersburg State University（圣彼得堡国立大学数学力学系）
本文基于配对比较在不同假设下对替代方案进行评分，利用热带数学框架将配对比较矩阵近似为单位秩的递归矩阵，并提出解决无约束和有约束近似问题的新方法，减少计算量。
2015-11-28 cs.SY eess.SY math.OC
Completions of pairwise comparison data that minimize the triad measure of inconsistency
研究不完全两两比较矩阵的补全问题，以最大3环乘积度量不一致性，证明弦图条件下可实现不增加不一致性的补全，并开发了相应方法。
2025-10-14 math.CO math.OC
Application of tropical optimization for solving multicriteria problems of pairwise comparisons using log-Chebyshev approximation
研究多准则成对比较决策问题，通过log-Chebyshev逼近转化为受约束多目标优化，在热带代数框架下提出新方法，获得多种最优性原则下的完全解。
2024-03-20 cs.SY eess.SY math.OC
On the column number and forbidden submatrices for $Δ$-modular matrices
整数矩阵$\mathbf{A}$是$Δ$-模的，如果$\mathbf{A}$的每个$\text{rank}(\mathbf{A}) \times \text{rank}(\mathbf{A})$子矩阵的行列式最多有$Δ$的绝对值.对$Δ$-模矩阵的研究出现在整数规划理论中，其中一个公开的猜想是：当$Δ$为常数时，由$Δ$-模约束矩阵定义的整数规划能否在多项式时间内求解.这个猜想只有在$Δ\in \{1,2\}$.根据这个猜想，一个自然的问题是理解$Δ$-模矩阵的结构性质。我们考虑列数问题--一个秩-$r$ $Δ$-模矩阵可以有多少个非零的、成对的非平行列？证明了对任意正整数$Δ$和充分大的整数$r$，任意秩-$r$-$Δ$-模矩阵至多有$\binom{r+1}{2} + 80Δ^7 \cdot r$非零的两两不平行列，这与项$80Δ^7$紧密相关.这是形式$\binom{r+1}{2} + f(Δ)\cdot r$的第一个上界，其中$f$是多项式函数。在我们的结果的基础是一个部分列表的矩阵，不能存在于一个$Δ$-模矩阵。我们相信这部分列表可能是独立的兴趣在未来的研究$Δ$模块矩阵。
2022-12-07 math.CO math.OC
Algebraic solution to box-constrained bi-criteria problem of rating alternatives through pairwise comparisons
我们考虑一个决策问题，以评估的绝对评级的替代品，根据两个标准进行比较，受框约束的评级。该问题被表述为两个成对比较矩阵的log-Chebyshev逼近由一个共同的一致矩阵（单位秩的对称互反矩阵），以最小化两个矩阵的逼近误差同时。我们重新安排的近似问题作为一个有约束的双目标最优化问题找到一个向量，确定的近似一致矩阵，然后表示的热带代数方面的问题。我们应用热带优化的方法和结果，推导出的约束问题的解析解。该解决方案包括在引入两个新的变量，描述的值的目标函数，并允许减少问题的解决方案的一个系统的参数化不等式构造的未知向量，其中新的变量起参数的作用。我们利用系统的解决方案的存在条件，以获得这些值的参数，属于帕累托前固有的问题。然后，我们解决了未知向量的系统，并采取对应于帕累托前沿的所有解决方案，作为双目标问题的完整解决方案。我们将所得结果应用于所考虑的双准则判定问题，并给出了说明性的例子。
2023-01-22 cs.SY eess.SY math.OC
Methods of tropical optimization in rating alternatives based on pairwise comparisons
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文提出利用热带优化方法解决基于配对比较矩阵的排序问题，推导出闭形式解并探讨非唯一解的情况，找出最能代表整体解的评分向量。
2017-08-14 cs.SY eess.SY math.OC
