Riesz continuity of the Atiyah-Singer Dirac operator under perturbations of the metric
证明了在光滑流形上，${\mathrm L}^2$中的Atiyah-Singer Dirac算子${\mathrm D}_{\mathrm g}$连续依赖于完备度量${\mathrm g}$的${\mathrm L}^{\infty}$扰动.映射${\mathrm g} \to {\mathrm D}_{\mathrm g}(1 + {\mathrm D}_{\mathrm g}^2)^{-\frac{1}{2}}$的Lipschitz界依赖于里奇曲率及其一阶导数的界以及内射半径的下界。我们的证明使用调和分析技术有关卡尔德龙的第一个换向器和加藤平方根问题。我们还证明了一般Dirac型算子在向量丛上的更一般函数的扰动结果。
2017-10-11 math.AP math.DG math.SP
Riesz basicity with parentheses for Dirac system with summable potential
讨论了由微分表达式\begin{gather*} \ell_P(\mathbf y)=B\mathbf y'+P\mathbf y,\quad B = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \qquad P(x) = \begin{pmatrix} p_1(x) & p_2(x) \\ p_3(x) & p_4(x) \end{pmatrix}, \qquad \mathbf y(x)=\begin{pmatrix}y_1(x)\\ y_2(x)\end{pmatrix}, \end{gather*}和正则边界条件$$ U(\mathbf y)=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(0)\\ y_2(0)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{13} & u_{14}\\ u_{23} & u_{24}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(π)\\ y_2(π)\end{pmatrix}=0. $$在$\mathbb H=(L_2[0,π])^2$空间中生成的Dirac算子$\mathcal L_{P,U}$。证明了算子$\mathcal L_{P,U}$具…
2015-02-05 math.SP
Riesz bases consisting of root functions of 1D Dirac operators
对于一维Dirac算子$$ Ly= i \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{dy}{dx} + v y, \quad v= \begin{pmatrix} 0 & P \\ Q & 0 \end{pmatrix}, \;\; y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, $$在周期或反周期边界条件下，给出了根函数系在$L^2 ([0,π], \mathbb{C}^2).$中包含Riesz基的充要条件。特别地，如果势矩阵$v$是斜对称的（即，$\overline{Q} =-P$），或者更一般地，如果对于某个实数$t \neq 0,$，$\overline{Q} =t P$，则存在由算子$L.$的根函数组成的Riesz基
2011-08-22 math-ph math.MP math.SP
Semi-classical asymptotics for the counting functions and Riesz means of Pauli and Dirac operators with large magnetic fields
本文研究了在磁场$μ\mathbf{B}(x)$和电场作用下Pauli和Dirac算子的离散本征值数和Riesz平均作为Planck常数$\hbar\to 0$的渐近行为.允许磁场强度$μ$趋向于无穷大，如$\hbar\to 0$。建立了两种主要类型的结果：在第一$μ\hbar\le constant$作为$\hbar\to 0$，与任意方向的磁场;第二结果是统一的，但相对于$μ\ge 0$的磁场有恒定的方向。Pauli算子的结果补充了Sobolev最近的工作。
1999-11-09 math-ph math.MP math.SP
On the completeness and Riesz basis property of root subspaces of boundary value problems for first order systems and applications
研究了有限区间上常微分方程的$n \times n$一阶系统的一般边值问题的根函数的完备性。与最近的论文[45]相比，我们大大放松了对边界条件的假设，从而保证了根向量的完备性，允许它们是非弱正则的，甚至是退化的。强调在这种情况下，完全性实质上取决于区间端点处的势矩阵的值。本文还证明了一般的$n \times n$ Dirac型系统在一定的边界条件下，其根向量组构成一个带括号的Riesz基.我们还证明了具有可和位势矩阵的Dirac型算子的任意完全耗散边值问题在$L^2([0,1]; \mathbb{C}^n)$中可以进行谱综合。最后，我们应用所得结果研究了空间非均匀阻尼梁模型动力发生器的完备性和Riesz基性质。
2014-01-11 math.SP
The Dirac Operator with Complex-Valued Summable Potential
本文研究了由微分表达式$-B\mathbf{y}'+Q(x)\mathbf{y}$在有限区间$[0,π]$上生成的Dirac算子，其中对于某些$p\geqslant 1$，$$ B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad Q(x)=\begin{pmatrix}q_1(x)&q_2(x)\\q_3(x)&q_4(x)\end{pmatrix}, $$和元$q_j(x)$都属于~ $L_p[0,π]$.根据边界条件，定义了这种形式的正则算子和强正则算子的类。利用依赖于~ $p$的矩阵，得到了这类算子的本征值和本征函数的渐近公式.证明了正则算子的本征函数系在强正则的条件下，在~ $(L_2[0,π])^2$空间和通常的Riesz基中构成一个带括号的Riesz基.
2014-12-21 math.SP
1D Dirac operators with special periodic potentials
对于一维Dirac算子Ly= iJy ' + vy，其中J是一个中心为1，-1的对角2 × 2矩阵，v（x）是一个中心为L^2 [0，π]-的非对角矩阵，P（x），Q（x），我们刻画了π-周期势函数v的类X，使得：（i）势函数v的光滑性仅由相关谱隙γ（n）的衰减率决定=| λ（n，+）- λ（n，-）|，其中λ（..）是L=L（v）在[0，π]上具有周期（偶数n）或反周期（奇数n）边界条件（bc）的特征值;（ii）存在一个Riesz基，它由周期（或反周期）特征函数和（至多100个）相关函数组成.特别地，X包含对称势X_{sym}（\overline{Q} =P）、斜对称势X_{skew-sym}（\overline{Q} =-P），或者更一般地，对于实非零t由\overline{Q} =t P定义的族X_t。再举一个例子：若P（x）= aexp（2 ix）+bexp（-2ix），Q（x）=Aexp（2 ix）+Bexp（-2ix），复a，b，A，B \neq 0，则L的根函数系最终由本征函数组成.对于反周期bc，如果|aA| = |bB|（则v \in X），则该系统是Riesz基，如果|aA| \neq |bB|，则它不是基。对于周期bc，根函数系总是Riesz基（并且v \in X）。
2010-07-19 math.SP
Unconditional convergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions
一维Dirac算子$$ L_{bc}(v) \, y = i \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{dy}{dx} + v(x) y, \quad y = \begin{pmatrix} y_1 y_2 \end{pmatrix}, \quad x\in[0,π],$$被考虑为$L^2$ -势$ v(x) = \begin{pmatrix} 0 & P(x) Q(x) & 0 \end{pmatrix} $，并服从正则边界条件（$bc$），具有离散谱.对于严格定期$bc,$它表明，每一个特征值的自由运营商$L^0_{bc}$是简单的，并具有形式$λ_{k,α}^0 = k + τ_α$其中$ \; α\in \{1,2\}, \; k \in 2 \mathbb{Z} $和$τ_α=τ_α(bc);$，如果$|k|>N(v, bc) $每个光盘$D_k^α= \{z: \; |z-λ_{k,α}^0| <ρ=ρ(bc) \} , $ $α\in \{1,2\}, $包含恰好一个简单的本征值$λ_{k,α} $的$L_{bc} (v) $和$(λ_{k,α} -λ_{k,α}^0)_{k\in 2\mathbb{Z}} $是一个$\ell^2 $ -序列。此外，还证明了根投影$ P_{n,α} = \frac{1}{2πi}…
2010-08-24 math.SP
On transformation operators and Riesz basis property of root vectors system for $n \times n$ Dirac type operators. Application to the Timoshenko beam model
本文研究有限区间$[0,\ell]$上的$n\times n$ Dirac型方程$$Ly=-iB(x)^{-1}(y'+Q(x)y)=λy, \quad B(x)=B(x)^*,\quad y={\rm col}(y_1,\ldots,y_n),\quad x\in[0,\ell],$$.这里$Q$是一个可和的势$n\times n$矩阵函数，$B$是一个可逆的自伴对角有界矩阵函数。若满足$n=2m$和$B(x)={\rm diag}(-I_m,I_m)$，则该方程等价于$n$阶Dirac方程.在矩阵函数$B$的项上附加一致分离条件下，证明了该方程的三角变换算子的存在性。在这里，我们应用这一结果来研究与上述方程的一般边界条件$U(y)=Cy(0)+Dy(\ell)=0,{\rm rank}(C\ D)=n$相关的边值问题（BVP）的直接谱性质。我们应用这一结果表明，该边值问题和未扰动边值问题（PDMATHAMV）的特征行列式的偏差是一个傅里叶变换的一些可求和函数，这反过来又产生渐近行为的频谱的情况下，经常边界条件。即，$λ_m=λ_m^0+o(1)$为$m\to\infty$，其中$\{λ_m\}_{m\in\mathbb{Z}}$和$\{λ_m^0\}_{m\in\mathbb{Z}}$分别是扰动和未扰动（$Q=0$）边值问题的特征值序列。进一步，我们证明了上述边值问题的根向量系…
2021-12-14 math.AP math.FA math.SP
On Absence of Threshold Resonances for Schrodinger and Dirac Operators
利用共振函数满足的齐次Lippmann-Schwinger型方程和关于里斯位势的基本事实，我们讨论了在一般空间维中具有足够短程相互作用的Dirac和Schrodinger算子不存在阈值共振的问题.更具体地说，假设势的幂律衰减是充分的，我们推导出无质量狄拉克算符在空间维度$n \geq 3$中不存在零能共振，有质量狄拉克算符（有质量$m > 0$）在空间维度$n \geq 5$中不存在$\pm m$处的共振，并回忆起薛定谔算符在空间维度$n \geq 5$中不存在零能共振的著名例子。
2021-06-14 math.SP
Equiconvergence of spectral decompositions of 1D Dirac operators with regular boundary conditions
一维Dirac算子$$ L_{bc}(v) y = i 1 & 0 0 & -1 \frac{dy}{dx} + v(x) y, \quad y = y_1 y_2, \quad x\in[0,π]$$，用$L^2$ -势$ v(x) = 0 & P(x) Q(x) & 0$考虑，在正则边界条件下（$bc$），具有离散谱.对于严格正则的$bc,$，自由算子$ L_{bc}(0) $的谱是简单的，而$ L_{bc}(v) $的谱最终是简单的，相应的正规化根函数系是Riesz基.对于有界变差函数关于这些Riesz基的展开式，我们证明了闭区间$[0,π].$上的一致等收敛性和逐点收敛性。对于正则但非严格正则的$bc.$，也得到了类似的结果
2011-08-01 math-ph math.CA math.MP
Eigensystems of Dirac operators with singular potentials
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
该研究针对有界区间上带狄利克雷边界条件的一维狄拉克算子，采用幂衰减傅里叶系数的奇异势进行扰动，证明了该扰动算子的本征系生成里斯基基，拓展了狄拉克算子的相关谱理论结果。
2026-08-04 math-ph math.FA math.MP
Completeness property of one-dimensional perturbations of normal and spectral operators generated by first order systems
本文研究了由特殊边值问题（BVP）生成的未扰动算子秩1扰动的完备性，其中假定势矩阵$Q$是可和的，并讨论了有限区间上的$2 \times 2$系统\begin{equation} L y = -i B^{-1} y' + Q(x) y = λy , \quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \end{equation}和$b_1 b_2^{-1} \notin \mathbb{R}$（本质上非Dirac型情形）.我们假设由边值问题生成的未扰动算子属于谱算子类的以下三个子类之一：（a）正规算子;（b）与正规或几乎正规相似的算子;（c）满足Riesz基性质（带括号）的算子。我们表明，在这三种情况下，存在（在一般情况下，非唯一的）运营商所产生的拟周期边值问题和它的某些秩1扰动（在预解式意义下）所产生的特殊边值问题是完整的，而他们的伴随不是。结合情形（b），我们在一定的假设下研究了位势矩阵$Q$上拟周期边值问题的Riesz基性质.我们还找到了一个简单的公式，用于计算对应于$n \times n$系统的两个边值问题的算子的预解式差的秩，该秩由边界线性型的系数表示。
2018-07-14 math.SP
On the Dirac spectrum on degenerating Riemannian surfaces
本文针对沿非平凡自旋闭测地线退化的紧黎曼曲面，构造适配的 b-型伪微分演算统一处理曲面族与极限尖点曲面的 Dirac 算子及预解式，证明谱投影光滑性和相对预解式尖点手术迹的 $t^2\log t$ 正则性。
2024-09-09 math.DG math.SP
