Functions of degree 4e that are not APN infinitely often
François Rodier
本文证明了当n较大时，某些4 e次多项式（e为奇数）是APN的一个必要条件，并研究了12次多项式f.
We prove a necessary condition for some polynomials of degree 4e (e an odd number) to be APN over F q n for large n, and we investigate the polynomials f of degree 12.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some More Functions That Are Not APN Infinitely Often. The Case of Kasami exponents
本文证明了当n较大时，某些Kasami次数的多项式是F_{q^n}上的APN的一个必要条件.
Polynomials with maximal differential uniformity and the exceptional APN conjecture
我们的特殊APN猜想的贡献表明，没有多项式的次数m = 2 r（2 { \ell } + 1），其中gcd（r，{ \ell }）2，r 2，{ \ell } 1与一个非零的第二首项系数可以APN无限多扩展的基础领域。更精确地说，我们证明了，对于n足够大，所有多项式的F 2 n [x]的这样一个程度与非零的第二个首项系数有一个微分均匀性等于m - 2。
Quadratic Binomial APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials
证明了特征为2的有限域上的二次二项式函数不一定是APN。这是感兴趣的光最近发现的新家庭的二次二项式APN功能。证明使用了代数几何中的Weil界。
A power APN function CCZ-equivalent to Kasami function in even dimension
令$n$为偶数，使得$n\equiv 0 \pmod{4}$。我们证明了在$\mathbb{F}_{2^n}$上的幂函数$x^d$，带有$d=2^{\frac{n+2}{2}}+2^{\frac{n-2}{2}}-1$，是度$n/2$的APN函数，它与度$n/2$和度$(n+4)/2$的Kasami函数CCZ等价.
Progress Towards the Conjecture on APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials
几乎完全非线性（APN）函数作为S盒在密码学中非常有用，因为它们具有良好的抵抗差分密码分析的能力。APN函数$f:\mathbb{F}_{2^n}\rightarrow\mathbb{F}_{2^n}$称为例外APN，如果它是$\mathbb{F}_{2^n}$的无限多个扩展上的APN。Aubry、McGuire和Rodier指出，唯一例外的APN函数是Gold和Kasami-Welch单项函数。他们建立了一个奇数次的多项式函数不是例外APN，只要它的次数不是Gold数$(2^k+1)$或Kasami-Welch数$(2^{2k}-2^k+1)$。当多项式函数的次数为Gold数时，得到了几个部分结果[1，7，8，10，17]。本文的结果之一是证明了多元APN多项式猜想的相对素性，在黄金度的情况下。这有助于我们充分扩展以前的结果。证明了$x^{2^k+1}+h(x)$形式的Gold次数多项式不能是例外APN，其中$deg(h)$是任意奇数（自然例外）.我们还证明了有限域上几类多元多项式的绝对不可约性，并讨论了它们的应用。
On the absolute irreducibility of hyperplane sections of generalized Fermat varieties in $\Bbb{P}^3$ and the conjecture on exceptional APN functions: the Kasami-Welch degree case
设$f$是有限域$F$上的函数。由多元次数多项式$n$，$ϕ(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)$ in $\Bbb{P}^3(\overline{\mathbb{F}}_2)$定义的广义Fermat簇$X$的分解在几乎完美非线性（APN）函数和例外APN函数的研究中起着至关重要的作用.它们的结构基本上取决于对应于例外度$n=2^k+1$和$n=2^{2k}-2^k+1$（分别为Gold数和Kasami-Welch数）的单项函数的费马簇。Janwa，McGuire和Wilson在[12，13]中得到了非常重要的结果。本文研究了与Kasami-Welch度单项式有关的PDMATHAMO及其分解成绝对不可约分支的问题。我们表明，在这个分解，组件相交横向在一个奇异点。这一结构性事实意味着与Kasami-Welch次数多项式族相关的相应广义Fermat超曲面是绝对不可约的。特别地，我们证明了若$f(x)=x^{2^{2k}-2^k+1}+h(x)$，其中${\rm deg}(h)\equiv 3{\pmod 4}$，则对应的APN多元超曲面是绝对不可约的，因此$f(x)$不是例外APN函数.我们还证明了当${\rm deg}(h)\equiv 5{\pmod 8}$ .由于对于奇数度$f(x)$，该猜想只需要解决黄金度和Kasami-Welch度的情况下，我们的结果大大有助于证明的…
Reduced APN permutations and a disproof of the Galois-ring lifting conjecture
本文阐明了伽罗瓦环上的APN提升猜想，证明了有效非APN界，给出了偶次数推论，并证明三次置换多项式满足修正后的提升猜想。
On the Classification of Dillon's APN Hexanomials
本文研究了Dillon六项式在有限域上的分类，通过代数方法推导APN条件并排除大量六项式，发现其代数障碍限制了差分均匀性，并通过计算验证了APN六项式的CCZ等价性。
Infinitely many twin prime polynomials of odd degree
本文在有限域框架下，构造了一类新的无穷多奇数次孪生素数多项式组，并探讨其与Wieferich素数存在性及Bell数算术性质的关联，拓展了有限域上孪生素数问题的构造性研究。
Intermediate modular curves with infinitely many quartic points
本文确定了所有在有理数域上具有无穷多个四次点的中间模曲线 $X_Δ(N)$，并开发了计算其到椭圆曲线的有理态射次数的方法。
Monogenic fields with odd class number Part II: even degree
1801年，高斯证明了存在无穷多个类数为奇数的二次域。我们推广这一结果表明，有无穷多个$S_n$领域的任何给定的偶数度和签名，有奇数类数。此外，我们证明了有无穷多个领域的任何偶数度至少$4$和至少有一个真正的嵌入，有单位的每个签名。为此，我们使用Wood的参数化来约束均匀度的单齐化域的类群、窄类群和定向类群中的$2$ -扭元的平均数（并精确地计算这些平均值以尾部估计为条件）。这些平均值是第一个计算的$p$ -挠平均值，用于$p$不与度互质（在度上至少$3$），阐明了在“坏”素数下类群和窄类群的Cohen-Lenstra-Martinet-Malle型概率问题。
Modular curves $X_0(N)$ of density degree $5$
本文确定了所有密度次数为5的模曲线$X_0(N)$，并指出仅剩30个水平$N$的问题仍未解决。
Rank gain of Jacobians over finite Galois extensions
设$\mathcal{X}$是定义在数域$K$上的亏格为$g>0$的黎曼曲面，该数域是$\mathbb{P}^1_K$的度$d$ -覆盖.本文证明了存在无穷多个线性不交度$d$ -扩张$L/K$，在这些扩张上$\mathcal{X}$的Jacobian获得秩.在0，1和$\infty$是唯一的分支点的情况下，并且存在$\mathcal{X}$的自同构$σ$循环置换这些分支点，我们得到了$\mathcal{X}/σ$的雅可比矩阵的相同结果。特别地，如果$\mathcal{X}$是克莱因四次曲线，则该构造提供了在$\mathbb{Q}$的无限多次$7$ -扩展上获得秩的椭圆曲线。作为一个应用，我们证明了存在无穷多个椭圆曲线，这些曲线在$\mathbb{Q}$的无穷多个循环三次扩展上获得秩。
Simple zeros of degree 2 L-functions
证明了经典全纯新形式的完备L函数具有无穷多个单零点。
The Differential and Boomerang Properties of a Class of Binomials
本文研究了有限域上一类二项式函数的差分与回旋镖性质，确定了其差分均匀度、差分谱及回旋镖均匀度，并推翻了关于存在无穷多 APN 函数实例的猜想。
Function Fields with Class Number Indivisible by a Prime $\ell$
已知无限多个任意次数的数域和函数域$m$具有可被给定整数$n$整除的类数。然而，很少有人知道这类字段的类号的不可分割性。虽然已知存在无穷多个二次数域，其类数与给定素数不可分，但这些域并没有明确构造，并且似乎对更高程度的扩展一无所知。在\cite{Pacelli-Rosen}中，Pacelli和Rosen明确地构造了一个无限类的函数域的任何程度$m$，$3 \nmid m$，在$\F_q(T)$与类数不可分的3，推广了一个结果的Ichimura二次扩张。在这里，我们推广的结果，建设，为任意素数$\ell$，和正整数$m > 1$，无穷多个功能领域的程度$m$的有理函数域，与类数不可分的$\ell$。
Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic, octic and nonic fields
本文确定了在七、八、九次数域上，无限多条椭圆曲线（在Q̅同构意义下）的挠群集合Φ^∞(n)，通过模曲线X_1(m,n)的低次点约化、模单位构造、有限域上属数计算及低属模曲线映射等方法证明。
On Fourier coefficients and Hecke eigenvalues of Siegel cusp forms of degree 2
研究了2次、权$k$和水平$N$的标值Siegel尖点形式$F$的傅里叶系数和Hecke特征值的一些关键分析性质.首先，假设$F$是一个Hecke特征形，不是Saito-Kurokawa型，我们证明了一个改进的界在$k$ -方面的最小素数，在其Hecke特征值是负的。其次，我们证明了在等差数列中的素数处，$F$的Hecke特征值之间存在无穷多个符号变化。第三，我们表明，有无穷多个积极的，以及无穷多个负的傅里叶系数在任何"径向”序列组成的素数倍的一个固定的基本矩阵。最后，我们考虑的情况下，$F$是斋藤-黑川型，在这种情况下，我们证明了（本质上是尖锐的）绑定$| a(T) | ~\ll_{F, ε}~ \big( \det T \big)^{\frac{k-1}{2}+ε}$的傅里叶系数的$F$时，$\gcd(4 \det(T), N)$是squarefree，证实了一个猜想（在案件$N=1$）由达斯和Kohnen。
Further Results on Sum-Freedom of Binary and $q$-ary Functions
本文推广二元和$q$元函数和自由性的已有结果，给出Welch函数二阶和自由性的新证明，并研究三阶和自由性，提出有数值支持的猜想。
Infinitely wildly ramified arboreal representations for postcritically finite polynomials with potential good reduction
本文证明了对于数域上后临界有界且具有潜在良好约化的多项式，其树状表示在满足整除次数条件的有限位上方要么有限，要么无限野分歧。
Number fields without universal quadratic forms of small rank exist in most degrees
该研究证明，凡次数可被2或3整除时，均有无穷多个全实数域使其通用二次型的秩必须任意大。
A rational map with infinitely many points of distinct arithmetic degrees
设$f \colon X \dashrightarrow X$是定义在$\overline{\mathbb Q}$上的光滑射影簇的支配有理自映射.对于前向$f$ -轨道明确定义的每个点$P\in X(\overline{\mathbb Q})$，Silverman引入了算术度数$α_f(P)$，它测量点$f^n(P)$高度的增长率。Kawaguchi和Silverman指出，$α_f(P)$是明确定义的，并且随着$P$的变化，由$α_f(P)$获得的值集是有限的。基于Bedford-Kim和McMullen的构造，我们给出了当$X=\mathbb P^4$ .
Square-free values of random polynomials
本文在平均意义上研究了任意度数整系数多项式是否取无穷多个无平方因子值的问题，突破了以往仅无条件解决度数不超过3多项式的限制。
A construction of polynomials with squarefree discriminants
对任意整数n >= 2和任意非负整数r，s（其中r+2s = n），给出了无穷多个整数系数具有无平方判别式且恰有r个实根的一元n次不可约多项式的无条件构造.这就产生了n次数域、签名（r，s）、伽罗瓦群S_n和无平方判别式;我们也可以强制判别式与任何给定的整数互质。在[-N，N]范围内用判别式产生的场的数目至少为c N^（1/（n-1））。一个推论是，对于每个n \geq 3，无穷多个二次数域处处容许其正规闭包具有伽罗瓦群A_n的非分歧n次扩张.这推广了Yamamura的结果，他处理了n = 5的情况，以及Uchida和Yamamoto的结果，他们允许一般的n，但不控制真实的地方。
An infinite collection of quartic polynomials whose products of consecutive values are not perfect squares
利用一个初等恒等式，证明了对无穷多个四次多项式$P(x)\in \mathbb{Z}[X]$，方程$\prod\limits_{k=1}^{n}P(k)=y^2$在$\mathbb{Z}$中有无穷多个解.我们还给出了一个四次多项式的例子，它的第一个连续值的乘积往往是一个完满平方。
On Ranks of Jacobian Varieties in Prime Degree Extensions
在Dokchitser（2007）中，证明了给定定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，则存在无穷多个3阶扩展$L/K$，其中$E(L)$的秩大于$E(K)$。在本文中，我们表明，同样的情况下，如果我们取代3的任何素数。这个结果来自一个更一般的结果，该结果为与由形状为$g(y) = f(x)$的方程定义的曲线相关联的雅可比簇建立了类似的性质，其中$f$和$g$是互质次数的多项式。
The Hasse norm principle for some extensions of degree having square-free prime factors
本文研究全局域有限可分扩张的Hasse范数原理，在特定正规西罗子群条件下给出两类扩张的部分分类，并构造无限多个使原理失效的扩张及非素数幂指数的例子。
Elliptic surfaces over $\mathbb{P}^1$ and large class groups of number fields
给定一个非等平凡椭圆曲线在$\mathbb{Q}(t)$与大Mordell-Weil秩，我们解释了如何可以建立，适当的小素数$p$，无限多个域的度$p^2-1$的理想类群有一个大的$p$ -扭子群。作为一个例子，我们证明了存在无穷多个三次域，其理想类群包含一个同构于$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{11}$的子群。
Almost-prime values of polynomials at prime arguments
我们考虑几乎素数的形式$f(p)$，其中$f$是一个不可约多项式在$\mathbb Z$和$p$运行在素数。本文改进了Richert关于多项式次数至少为$3$的一个结果.特别是，我们表明，当程度是大的，有无穷多个素数$p$的$f(p)$有至多$°f+O(\log°f)$素因子。
Triquadratic p-Rational Fields
在他的工作约伽罗瓦表示，格林伯格obturtured存在，任何奇素数p和任何正整数t，一个多二次p-有理数域的程度2 t。本文证明了存在无穷多个素数p使得三次域Q（p（p + 2），p（p - 2），i）是p-有理数的.为了做到这一点，我们使用了一个分析结果，在第\S 4节中单独证明，为我们提供了无穷多个素数p，使得p + 2 et p - 2有“大"平方因子。因此，相关的虚二次域Q（i $\sqrt$ p + 2），Q（i $\sqrt$ p - 2）和Q（i（p + 2）（p - 2））对于无穷多个素数p都有“小"判别式.根据Brauer-Siegel估计的精神，证明了这些虚二次域的类数与p是互素素的，从而证明了它们的p-合理性.
On the zeros of functions in the Selberg class
证明了在适当的条件下，Selberg类中的二次函数在临界线上有无穷多个零点。
Rational points on K3 surfaces of degree 2
本文研究了数域上次数为2的K3曲面有理点扩张次数的界，并构造了一个几何Picard数为1且有无穷多有理点的显式族，该族在模空间中Zariski稠密。
Dirichlet's Theorem for polynomial rings
证明了多项式环的Dirichlet定理：设F是伪代数闭域.则对所有互素多项式a（X），b（X）\in F[X]和对每个充分大的正整数n存在无穷多个多项式c（X）\in F[X]使得a（X）+ b（X）c（X）是n次不可约的，只要F有n次可分扩张.
Universal quadratic forms over multiquadratic fields
对所有正整数$k$和$N$，证明了存在无穷多个$\mathbb Q$上的$2^k$度的全实多重二次域$K$，使得$K$上的每个泛二次型至少有$N$变量.
Diophantine equations in semiprimes
半素数是两个（不一定是不同的）素数的乘积的自然数。设$F(x_1, \ldots, x_n)$是具有整系数的次数$d$齐次形式.我们提供了充分条件，类似于那些开创性的工作B。J. Birch提出的方法，方程$F (x_1, \ldots, x_n) = 0$有无穷多个半素坐标的整数解。以前，它是已知的，由一个结果的。Magyar和T. Titichetrakun，在相同的假设下，存在无穷多个整数解的坐标方程，有至多$384 n^{3/2} d (d+1)$素因子。
On Torsion Subgroups of Elliptic Curves over Quartic, Quintic and Sextic Number Fields
本文研究四次、五次和六次数域上椭圆曲线挠子群的实现问题，针对已知可无限次实现的群 G∈Φ∞(d)，给出在给定数域 K 上有限次或无限次实现的明确判据，并研究最小判别式数域及 Mordell-Weil 秩的上界。
Smooth values of polynomials
给定正次数的$f\in \mathbb{Z}[t]$，我们研究了辅助多项式$g\in \mathbb{Z}[t]$的存在性，其中$f(g(t))$因子是小相对次数多项式的乘积.这项工作的一个结果表明，对于任何二次多项式$f\in\mathbb{Z}[t]$和任何$ε> 0$，有无穷多个$n\in\mathbb{N}$，其中$f(n)$的最大素因子不大于$n^ε$。
On the Squarefree Values of Degree-$2q$ Polynomials
本研究证明满足特定伽罗瓦条件的2q次首一不可约整系数多项式有无穷多整数n使其值为无平方因子数，并据此构造了单位形状收敛到六边形格的非伽罗瓦全实三次域无穷子族。
Infinitely $p$-divisible points on abelian varieties defined over function fields of characteristic $p>0$
在这篇文章中，我们考虑F. Benoist，E. Bouscaren和A.皮莱证明了有限域上超越度为1的函数域上定义的阿贝尔簇上的无穷PDMATHAMM-可分点必然是扭点。证明了当阿贝尔簇的自同态环为$\mZ$时，不存在$p$的幂次的无限$p$-可除点.
Large degree primitive points on curves
本文证明：若曲线 $X$ 上存在次数 $d>2g$ 的因子，则 $X$ 有无穷多个次数为 $d$ 的本原点，补充了低次数点非本原的已知结果。
Unramified alternating extensions of quadratic fields
本文证明了，对于n（至少为5），无穷多个二次数域允许具有指定签名的非分歧n次扩张，其正规闭包具有伽罗瓦群A_n.这推广了Uchida和Yamamoto的结果，其中不包括限制签名的能力，以及Yamamura的结果，这是n=5的情况。
Definability and Decidability in Infinite Algebraic Extensions
我们使用一个推广的建设齐格勒表明，任何领域$F$和任何可数集合的可数子集$A_i \subseteq F, i \in \calI \subset \Z_{>0}$有无限多个领域$K$的任意正超越度$F$和无限代数度，使每个$A_i$是一阶定义的$K$。我们还使用的建设，以显示，许多无穷公理化的理论领域，这是不兼容的理论代数闭域是遗传不可判定的。
Torsion for CM elliptic curves defined over number fields of degree 2p
对于素数p，我们刻画了在2p度数域上定义的具有复乘的椭圆曲线的扭子群。特别是，我们的工作表明，最强意义上的分类是联系在一起的，以确定是否存在无限多个苏菲·热尔曼素数。
On the Number of Places of Convergence for Newton's Method over Number Fields
设f是数域K中系数至少为2次的多项式，x_0是K的充分一般元素，α是f的根.本文给出了从点x_0开始的Newton迭代法对K的无穷多个位置v v-渐近收敛于根α的精确条件。作为一个推论，我们表明，如果f是不可约的K度至少为3，那么牛顿迭代收敛v-adically任何给定的根f的无穷多个地方v。我们还推测，一组的地方牛顿迭代发散有全密度，并给出一些启发式和数值证据。
Rational Periodic Points for Degree Two Polynomial Morphisms on Projective Space
本文讨论了射影空间的态射的$\Q$ -有理周期点的存在性。特别是，我们构建了一个无限家庭的态射$¶^N$每个组件是一个度2齐次形式的$N+1$变量，其中有一个$\Q$ -周期点的原始周期$\frac{(N+1)(N+2)}{2} + \lfloor \frac{N-1}{2}\rfloor$。这个结果然后被用来表明，$N$足够大，存在态射的$¶^N$与$\Q$ -合理的周期点的本原周期大于$c(k)N^k$的任何$k$和一些常数$c(k)$。
Points of low degree on curves over function fields
本文研究函数域上光滑射影曲线存在无限多个低次数点的分类问题，通过专门化方法将问题转化为数域情形，扩展了数域上的分类结果。
Families of polynomials of every degree with no rational preperiodic points
设$K$为数字字段。给定一个次数为$d\ge 2$的多项式$f(x)\in K[x]$，证明了$f$的预周期点的个数受一个只依赖于$d$和$[K:\mathbb Q]$的一致界的约束.然而，只有当$d$可被$2$或$3$和$K=\mathbb Q$整除时，才知道没有预周期点的多项式的参数族的例子。在这篇文章中，给定任何整数$d\ge 2$，我们显示无穷多个参数族的多项式的形式$f_t(x)=x^d+c(t)$，$c(t)\in K(t)$，没有合理的预周期点的任何$t\in K$。
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