The classical $β$-ensembles with $β$ proportional to $1/N$: from loop equations to Dyson's disordered chain
在随机矩阵理论的经典$β$ -集合中，设置$β= 2 α/N$并取$N \to \infty$极限给出了依赖于$α$的统计状态。利用经典的$β$系综的循环方程，我们研究了相应的特征值密度，它的矩，单项线性统计量的协方差，以及对密度的首项$1/N$修正的矩.从早期的文献中，极限本征值密度已知与经典函数有关。我们的研究给出了一个统一的机制，这一事实的基础上，确定特别是高斯超几何微分方程确定的斯蒂尔切斯变换的极限密度在雅可比的情况下。单项线性统计量的矩和协方差是通过递推关系刻画的。此外，我们推广了最近的工作，从高温极限下的$β$ -系综开始，构造了一族三对角矩阵，称为$α$ -系综，得到了一个随机反对称三对角矩阵，i.i.d.~伽玛分布随机变量。由此，我们能够补充戴森在研究所谓的I型无序链时得到的分析结果。
2021-07-16 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On mesoscopic equilibrium for linear statistics in Dyson's Brownian Motion
本文用$β=2$研究Dyson布朗运动的介观涨落。戴森证明了高斯酉熵（GUE）是这种随机演化的不变测度，并指出，当从初始点的一般配置开始时，GUE统计量成为主导所需的时间取决于我们所观察的尺度：微观相关性比宏观相关性更快地到达平衡状态。在本文中，我们调查过渡的中间，即介观尺度。我们考虑的时间尺度是这样的，即系统已经处于微观平衡（局部关联的正弦普适性），但我们还没有达到宏观尺度的平衡。我们描述过渡到平衡的所有介观尺度上的中心极限定理的线性统计足够光滑的测试功能。我们考虑两种情况：确定性的初始点和随机选择的初始点。在随机情形下，我们得到了一个从经典的独立随机变量中心极限定理到GUE中心极限定理的过渡。
2013-12-16 math-ph math.MP math.PR
A path property of Dyson gaps, Plancherel measures for $Sp(\infty)$, and random surface growth
我们追求辛Plancherel增长的基础上产生的排斥现象，在其扩散极限和中间表示论的相关结构的应用。在扩散标度下，动力学收敛到交错反射布朗运动与壁，实现戴森非碰撞动力学。我们表现出非退化的约束在这个耦合系统推导出的路径属性，量化粒子之间的排斥符合的限制。然后，我们确定一致的系列Plancherel措施$Sp(\infty)$，反映了奇辛群，尽管他们的非半简单性。作为一个应用程序，我们计算的增长模型的相关内核，并调查其局部渐近性：不完整的β内核出现在批量限制，和新的变种的雅可比和Pearcey内核出现的边缘限制。特别是，我们提供了进一步的证据的普遍性的$1/4$ -增长指数和Pearcey点过程类的各向异性KPZ与壁。
2018-03-27 math-ph math.MP math.PR
On the Limit of the Tridiagonal Model for $β$-Dyson Brownian Motion
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Cornell University（康奈尔大学）
本文研究了β-戴逊布朗运动下三对角模型的极限，推导了动态β-随机Airy算子的结构，并通过数值验证了β=1,2,4的情况。
2026-02-19 cs.NA math-ph math.MP
Schwinger-Dyson and loop equations for a product of square Ginibre random matrices
本文研究了两个复Ginibre矩阵的乘积及其预解式（即关联函数的Stieltjes变换）所满足的循环方程。利用Schwinger-Dyson方程技巧得到了预解式所满足的一般回路方程。为了处理感兴趣的随机矩阵的乘积结构，我们考虑涉及高阶导数积分的随机微分方程。这种技术的优点之一是它绕过了奇异值问题的重新表述。作为本研究的副产品，我们获得了大$N$的$2$ -点关联函数的Stieltjes变换的限制，以及第一次修正的密度的Stieltjes变换，让我们访问修正的平滑密度。为了给拓扑递推公式的建立铺平道路，我们还研究了相应谱曲线的几何性质。本文还包含不同的预解式和他们的修正的明确结果。
2019-06-11 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Dyson's spike for random Schroedinger operators and Novikov-Shubin invariants of groups
研究了具有随机边权的Schroedinger算子及其期望谱测度$μ_H$在零附近的性质.我们证明，该措施表现出尖峰的形式$μ_H(-\varepsilon,\varepsilon) \sim \frac{C}{| \log\varepsilon|^2}$（第一次观察到戴森），不假设独立或任何规则的边缘权重。我们还确定了极限局部特征值分布，这是不同于泊松和通常的随机矩阵统计。然后，我们使用的结果来计算Novikov-Shubin不变量的各种群体，包括点灯组和格的李群溶胶。
2016-02-22 math-ph math.GR math.MP
Limit theorems for moment processes of beta Dyson's Brownian motions and beta Laguerre processes
本文研究了参数beta与系统尺寸倒数成正比时，beta Dyson Brown运动和beta Laguerre过程矩过程的动态极限定理，建立了相应的LLN和CLT。
2023-05-19 math.PR
Hydrodynamic Limit of Multiple SLE
最近，摩纳哥和Schleißinger解决了一个有趣的问题，是否可以采取限制多个Schramm-Loewner演化（SLE）的狭缝数$N$走向无穷大。当$N$狭缝从实直线${\mathbb{R}}$上的点同时增长并在上半平面${\mathbb{H}}$内到达无穷远时，在$N \to \infty$极限下，导出了描述共形映射$g_t(z)$随时间演化的常微分方程，在无粘极限下，该方程与复Burgers方程耦合.众所周知，复Burgers方程决定了在随机矩阵理论中研究的${\mathbb{R}}$上定义的Dyson模型的流体力学极限，当所有粒子从原点出发时，该Burgers方程的解由遵循Wigner周期律的含时版本的测度的Stieltjes变换给出。在本文中，我们首先研究了所有狭缝都从原点开始的多重SLE的流体动力学极限。我们表明，依赖于时间的维格纳的周期律的版本确定的SLE船体，$K_t \subset {\mathbb{H}} \cup {\mathbb{R}}$，在这个水动力极限的时间演变。接下来，我们考虑这样的情况，即一半的狭缝从$a>0$开始，另一半的狭缝从$-a < 0$开始，并确定在流体动力学极限的多个SLE。在报告这些精确解之后，我们将讨论多重SLE及其壳$K_t$在水动力极限下的普遍长期行为。
2018-03-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Interacting, running and tumbling: the active Dyson Brownian motion
本文引入了一维主动 Dyson Brownian motion 模型，解析与数值研究了两种相互作用版本，发现大 $N$ 极限下稳态密度的奇异性消失，且模型 I 偏离 Wigner 半圆形状，模型 II 则保持该形状。
2023-11-23 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math-ph
A new approach for the unitary Dyson Brownian motion through the theory of viscosity solutions
CMAP, Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）
本文通过粘度解理论研究单位元Dyson布朗运动，证明其极限谱测度的原函数是粘度方程的唯一解，并探讨了解的正则化和长时间行为。
2026-02-06 math.AP math.PR
Fine-Graining and Continuous Space Scaling Limit of the $H^{2|2}$ Model on the Hierarchical Lattice
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
研究$H^{2|2}$模型在分层晶格上的细粒化与连续空间缩放极限，揭示其随机测度的奇异性和绝对连续性与顶点增强跳过程的复发性相关。
2025-12-02 math-ph math.MP math.PR
Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations for Dyson's Model
本文证明了一个无限维随机微分方程对应于Dyson布朗运动（DBM）的整体极限的强存在性和路径唯一性，对于所有的$β\geq 1$ .我们的建设适用于一个明确的和一般类的初始条件，包括晶格配置$\{x_i\}=\mathbb{Z}$和正弦过程。我们进一步证明了有限维到无限维矩阵的收敛性。这种收敛性得出了Katori和Tanemura（2010）在$β=2$上求解该方程的行列式公式。
2015-10-28 math.PR
Central limit theorems for the large-spin asymptotics of quantum spins
本文利用Dyson自旋波理论的推广形式证明了相干态量子自旋大自旋渐近性的几个中心极限定理。
2003-10-15 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of branching Loewner evolutions and the Dyson superprocess
结合分支过程与弦Loewner演化，提出以Dyson布朗运动粒子系统为驱动测度的共形过程构造，证明图嵌入定理并表征其标度极限为Dyson超过程。
2025-06-12 math.PR
Dynamical Bulk Scaling limit of Gaussian Unitary Ensembles and Stochastic Differential Equation gaps
高斯酉系综的$ N $ -粒子系统的分布在整体标度极限下收敛于正弦$_2$点过程.这些缩放由支持周期分布的宏位置$ θ$参数化。极限总是正弦$_{2}$点过程，并且与宏观位置$ θ$无关，直到行列式核的膨胀。我们证明了这一事实的动力学对应部分。证明了由随机微分方程（SDEs）给出的$ N $ -粒子系统的解收敛于无限维Dyson模型的解.我们证明了极限无限维微分方程（ISDE），简称Dyson模型，与宏观位置$ θ$无关，而$ N $ -粒子微分方程依赖于$ θ$，并且在极限上不同于ISDE，只要$ θ\not= 0 $ .
2018-03-28 math-ph math.MP math.PR
Global fluctuations for 1D log-gas dynamics. (2) Covariance kernel and support
我们考虑耦合系统的随机微分方程，$ dλ_t^i=\frac{1}{\sqrt{N}} dW_t^i - V'(λ_t^i) dt+ \fracβ{2N} \sum_{j\not=i} \frac{dt}{λ^i_t-λ^j_t}, \qquad i=1,\ldots,N, $与$β>1$，有时被称为广义戴森布朗运动，描述的耗散动力学的对数气体的$N$相等的电荷与平衡测度对应的$β$ -合奏，充分定期凸势$V$的宏观制度的流体力学极限。已知极限$N\to\infty$满足平均场Mc Kean-Vlasov方程。波动在这一限制已被证明由作者定义一个高斯过程解决一些明确的鞅问题书面方面的一个广义的运输方程。我们证明了一系列的结果，无论是Mc Kean-Vlasov方程的密度$ρ_t$，特别是规律性的结果和时间演化的支持，或相关的流体动力学波动过程，其时空协方差核，我们明确计算。
2019-03-03 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Hydrodynamic limit of the Kob-Andersen model
Kob-Andersen模型是物理学家为了解释玻璃态行为而引入的一种相互作用粒子系统，自1980年以来，该模型得到了广泛的研究。我们将看到密度分布在流体动力学极限下根据非退化流体动力学方程演化，并看到扩散系数如何随着密度的增加而衰减。
2022-09-27 math-ph math.MP math.PR
Hydrodynamic limit for a zero-range process in the Sierpinski gasket
我们证明了一个零程过程的流体动力学极限的图形近似的Sierpinski垫片是由一个非线性热方程。我们还证明了存在性和唯一性的流体动力学方程考虑有限差分格式。
2008-05-03 math-ph math.MP math.PR
Geometric Dyson Brownian Motions and the Free Log-Normal Limit for a Non-Square Gaussian Matrix Product
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Vector Institute（Vector研究所）；New York University（纽约大学）；University of Guelph（圭尔夫大学）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）；University of Toronto（多伦多大学）
研究非方随机矩阵乘积的平方奇异值谱，通过比例深度-宽度极限和平均场极限，得到自由对数正态律，并应用于随机特征回归风险预测。
2026-07-27 math.PR stat.ML
On the Law of Large Numbers for the empirical measure process of Generalized Dyson Brownian motion
研究了具有对数库仑相互作用和广义势$V$的$N$ -粒子系统的广义Dyson布朗运动（GDBM）.在$V$上的合理条件下，证明了广义DBM方程组解的存在唯一性.证明了GDBM的经验测度族在$\mathcal {C}([0,T],\mathscr{P}(\mathbb{R}))$上是紧的，并且所有的大$N$极限满足非线性McKean-Vlasov方程.受Biane和Speicher，Carrillo，McCann和Villani等人的启发，我们证明了McKean-Vlasov方程确实是$\mathbb{R}$上概率测度的Wasserstein空间上Voiculescu自由熵的梯度流.利用最优输运理论，证明了当$V"\geq K$对某个常数$K\in \mathbb{R}$成立时，McKean-Vlasov方程存在唯一的弱解.这证明了GDBM的经验测度的大数定律和混沌传播。最后，我们证明了$C^2$ -凸势$V$的McKean-Vlasov方程的长收敛性。
2015-07-29 math.PR
Infinite-dimensional Dyson Brownian motion(s)
本研究研究无限维Dyson布朗运动，构造行列式过程并证明收敛性，推广了Katori-Tanemura和Tsai-Osada的结果，并推导了Burgers型随机偏微分方程。
2026-09-23 math.PR
Tracy-Widom limit for free sum of random matrices
我们考虑随机矩阵模型$A+UBU^{*}$的最大特征值的波动，其中$A$和$B$是$N \times N$确定性埃尔米特（或对称）矩阵和$U$是一个哈尔分布酉（或正交）矩阵。在对$A$和$B$的温和假设下，我们证明了模型的最大特征值弱收敛于Tracy-Widom分布，以保证模型的态密度在上边缘附近按平方根衰减.我们的证明是基于从矩阵$A + UBU^{*}$开始到时间$N^{-1/3+χ}$结束的戴森布朗运动的格林函数的比较。作为我们的证明的副产品，我们还证明了一个最佳的戴森布朗运动的本地法律的恒定的时间尺度。
2023-03-06 math.PR
Hydrodynamic limit of quantum random walks
本文证明了Z上独立量子随机游动的流体动力学极限。
2013-09-04 math.PR
Hydrodynamic limit of Exclusion Processes with slow boundaries on hypercubes
研究了二维超立方体上慢边界SSEP的流体动力学极限。根据边界动力学的慢度，证明了流体动力学极限方程是一个具有三种不同边界条件的热方程，并利用丘尔金的相对熵方法进行了证明。
2021-09-29 math.PR
