A short introduction to Monstrous Moonshine
这篇文章是一个简短的和基本的介绍，以怪物的月光旨在尽可能接近。我首先回顾分类有限单群的怪物自然出现，和功能，后者是需要为了国家的月光猜想的康威和诺顿。然后从复环面的分类出发，以J-不变量及其q-展开式的定义为目标，引出了模函数和模形式。我最终提供了巨大的月光对应的证据，陈述了猜想，然后提出了导致其证明的想法。最后，我简要介绍了该领域的一些最新进展和当前的研究方向。
2021-05-24 hep-th math-ph math.GR
Seiberg-Witten Theory and Monstrous Moonshine
本文研究了$D=4$的Seiberg-Witten预势的瞬子展开、$N_f=0$的$SU(2)$的SUSY规范理论与巨大的月光的关系。本文利用一种新发展的求SW预势的简单方法，证明了$q=e^{2πτ}$的$A^2=\frac{Λ^2}{16 a^2}$（$N_f=0$）或$\frac{Λ^2}{16 \sqrt{2}a^2}$（$N_f=1$）展开式的系数都是模$j$ -函数的月光系数的整系数多项式。本文还提出了moonshine模的AGT $c = 25$ Liouville CFT与$c = 24$顶点算子代数CFT之间的关系.
2022-08-22 hep-th
More on Seiberg-Witten Theory and Monstrous Moonshine
我们继续研究PDMATHAMM的Seiberg-Witten（SW）预势的瞬子展开，${\cal N }= 2$ $SU(2)$ SUSY规范理论和巨大的月光之间的关系。扩展之前的结果，我们针对$N_f=2$和$3$的情况表明，$q=e^{2πiτ}$（其中$τ$是复规范耦合）再次具有展开式，其系数都是模块化$j$函数的月光系数的整系数多项式，就适当的展开变量而言。我们还表明，新的方法来计算SW prepotential开发这里是有用的，通过执行一些明确的计算。
2022-12-10 hep-th
Classical and Umbral Moonshine: Connections and $p$-adic Properties
怪物月光的经典理论描述了怪物群$M$（最大的简单零星群）的表示理论与某些称为Hauptmodln的模函数之间的意想不到的联系。特别地，克莱因$j$函数的$n$阶傅立叶系数是怪物群的特殊无限维表示$V$的等级$n$部分的维数。更一般地，Hauptmoduln的系数是作用于$V$的$g \in M$的分级迹线$T_g$。类似的现象已经被证明适用于马蒂厄群$M_{24}$，但是必须使用模拟模块形式而不是模块函数。这已经被进一步推广到阴影月光，它将23个尼迈耶格中的每一个关联到一个有限群，无限维表示和模拟模形式。我们使用广义的Borcherds产品来联系巨大的月光和阴影月光。也就是说，我们使用模拟模形式的阴影月光通过广义Borcherds产品的有理函数的Hauptmoduln $T_g$从巨大的月光。这使我们能够将每个纯$A$型尼迈耶格与怪物群的共轭类$g$相关联，并产生与从阴影月光到$T_g$的值的表示的维度相关的恒等式。我们还表明，对数衍生物的Borcherds产品$p$ -进模的形式，某些素数$p$和描述的一些由此产生的性质，其系数模$p$。
2015-08-18 hep-th math.NT math.RT
On Rademacher Sums, the Largest Mathieu Group, and the Holographic Modularity of Moonshine
最近有人提出一个猜想，它把（模拟）模形式附加到最大的Mathieu群上。这可以与Monster moonshine相比，其中模函数被附加到Monster组的元素。一个最显着的方面，可怕的月光是以下亏格零性质：模函数原来是发电机的功能领域的不变性群体。特别地，这些不变性组定义上半平面的亏格零导数。因此，很自然地要问，在马蒂厄的情形中是否存在类似的性质，乍一看，答案似乎是否定的，因为并非所有在那里产生的离散群都有亏格零。另一方面，本文证明了Mathieu对应中出现的每一个（模拟）模形式都与由其极部分构造的Rademacher和相一致.这种性质受到物理学中AdS/CFT对应关系的启发，以前被证明相当于怪物月光的零属性质。因此，我们得出结论，这个“Rademacher求和”属性作为自然的类似物的属零性质的马蒂厄的情况下。我们的结果构成了进一步的证据表明，Rademacher方法提供了一个强大的框架，了解模块化的月光，并导致有趣的物理问题的引力场的相关共形域论。
2011-10-18 hep-th math.NT math.RT
Much ado about Mathieu
江口、大栗和立川观察到，K3曲面上的II型弦理论的椭圆亏格似乎拥有最大马蒂厄群的月光。随后几个人的工作建立了一个候选的椭圆亏格扭曲的每一个元素的M24。本文证明了所得到的类函数序列是M24的真特征标，从而证明了江口-大栗-立川猜想。我们证明了均匀性的多重性，如几位作者所述。我们还确定的作用组上同调在K3-Mathieu月光和Moncler月光中发挥作用，特别是这给出了一个上同调的解释诺顿的广义Moncler月光猜想中的非Bronke元素。我们调查了有趣的建议Gaberdiel-Hohenegger-Volpato，K3-Mathieu Moonshine升降机康威集团Co 1。
2013-03-15 hep-th math.NT math.RT
Moonshine
Monastery Moonshine将杰出的模函数与怪物的表示论联系起来。著名的观测结果196884=1+196883和21493760=1+196883+21296876等，举例说明模函数j-744的情况，其系数是怪物的194个不可约表示的维数之和。这样的公式是由分级的怪物月光模块的结构决定的。最近在月光下的工作表明了数论和物理学之间的深刻关系。数论中的Kloosterman和在量子引力中重新出现，而模拟的模形式也成为计算黑洞简并的候选者。本文综述了月光研究的历史和现状。我们还计算了怪物orbifold的量子尺寸，并获得精确的公式的不可约组件的月光模块的多重性。这些公式意味着这样的多重性与维数渐近成比例。
2015-04-05 hep-th math.NT math.RT
Rademacher sums, moonshine and gravity
在1939年拉德马赫推导出一个有条件的收敛级数表达式的椭圆模不变，并使用这个表达式-第一拉德马赫总和-以验证其模不变性。通过推广Rademacher的方法，我们构造了任意偶数权的自守积分空间的基，对于所有可与模群交换的群。我们使用这些Rademacher和照亮自守积分的空间结构的各个方面，包括行动的赫克运营商。我们获得了一个新的表征的离散群体的怪物月光在Rademacher总结，我们开发Rademacher总结和一个家庭的怪物李代数最近推出的卡纳汉之间的连接。我们的结构建议相关的怪物月光的手征三维量子引力的一个杰出的家庭，和相关的怪物李代数和他们的韦尔马模的手征三维量子引力的家庭的第二次量子化。
2012-04-12 hep-th math-ph math.MP
Umbral Moonshine
我们描述了令人惊讶的关系之间的自守形式的各种，虚二次数域和一定的系统的6个有限群的参数化自然的因子为12。作为特例恢复了江口-大栗-立川最近发现的Mathieu群对应。本文引入极值Jacobi型的概念，证明了它刻画了权为2的模形式上的狄利克雷级数的临界值所对应的Jacobi型.这些极值Jacobi形式与Dabholkar-Murthy-Zagier最近在弦理论中量子黑洞物理学中研究的某些向量值模拟模形式密切相关。以一种类似于巨大的月光的方式，我们确定的自守形式构成了我们系统中六个组的无限维分次模存在的证据。我们制定了一个阴影月光猜想，这是在直接类比的怪物月光猜想的康威-诺顿。奇怪的是，我们发现一些Ramanujan的模拟θ函数出现的麦凯-汤普森系列。一个新的功能不明显的可怕的情况下是一个属性，使我们能够预测领域的定义某些同质子模块的团体。对于我们系统中的四个组，我们发现经典的McKay对应和McKay的可怕的Dynkin图观察同时表现出兼容性的类似物。
2013-10-17 hep-th math.RT
Monstrous moonshine and the classification of CFT
在这些笔记中，基于在伊斯坦布尔的讲座，我们介绍了Montezen Moonshine和有理共形域论的分类，以此为借口探索几个相关的结构，并对现代数学进行了一次小小的游览。我们将讨论李代数，模函数，有限单群分类，顶点算子代数，费马大定理，范畴论，（广义）卡茨-穆迪代数，分母身份，A-D-E元模式，仿射代数，伽罗瓦论等表示，这项工作是非正式的和教学，主要针对研究生在数学或数学物理，但我希望许多感兴趣的非专家会发现一些有价值的东西在这里-像任何好的迪斯尼电影，我尽量不完全忽视“成年人”。我的重点是思想和动机，所以这些笔记旨在补充其他论文和书籍，这些材料提供了更多的技术细节。难度水平因主题而异。这两个部分--实际上是任何一节--都可以独立阅读。
1999-08-10 hep-th math.QA
BPS Algebras, Genus Zero, and the Heterotic Monster
在这篇文章中，我们扩展了作者在\cite{PPV}中提出的一些技术问题，并对我们以前的工作进行了友好的介绍和总结。我们构造了一组0+1维的杂种优势弦紧化，它与Frenkel，Lepowsky和Meurman的Monstellar moonshine模（及其orbifolds）密切相关。使用这个模型，我们回顾了我们的属零属性的蒙纳斯月光的物理解释。此外，我们表明，（二次量化）的BPS-状态的空间形成一个模块上的Monstellar李代数$\mathfrak{m}_g$ --的一些第一个和最突出的例子广义卡茨-穆迪代数-由Borcherds和Carnahan构建。特别是，我们澄清了第二量子化的弦论中存在的模块的结构。我们还为感兴趣的数学家用顶点算子代数的语言概述了我们的方法的证明。
2017-01-18 hep-th math.NT math.RT
TASI Lectures on Moonshine
月光这个词指的是两种不同的数学结构之间意想不到的关系：有限群表示和模对象。人们认为，理解月光的关键是通过具有特殊对称性的物理理论。近年来，有限群表示和模对象之间的联系出现了许多新的方式，这些发展给弦论界带来了希望，也带来了困惑。这些课堂讲稿旨在将理论物理和数学物理的研究生带到这个活跃的研究领域的前沿。在本说明的第二部分，我们回顾了各种与月光有关的案例，从上个世纪建立的经典怪物月光到最近的发现。在第三部分中，我们讨论了月光联系与物理学，特别是弦论之间的关系。在简要回顾了最近对巨大月光的物理实现之后，我们将详细描述暗月光的物理方面的奥秘，并提到弦论黑洞可以与月光联系起来的其他一些设置。为了使论述自成一体，我们还在第一部分提供了相关的背景知识，包括有限群、模对象和二维共形场论。这部分占了这套注释的一半篇幅，已经熟悉相关概念和技术的读者可以跳过这部分。
2018-07-02 hep-th math.RT
Generalised Moonshine and Abelian Orbifold Constructions
我们认为阿贝尔orbifold结构在亚纯共形场论（MCFT）的各个方面的理解的Monopolitan月光和广义月光的应用。我们回顾了MCFT和阿贝尔轨道结构的MCFT的一些基本概念，并总结了一些相关的物理知识，围绕这样的建设，包括方面的模块群，融合代数和自对偶MCFT的概念。FLM月光模块，$V^\natural$，是历史上第一个这样的结构的例子，是利奇晶格MCFT，$V^Λ$的$Z_2$轨道折叠。我们回顾了这些思想在理解Monclerton Moonshine中的有用性，我们已经证明了Thompson级数的亏格零性质等价于$V^\natural$的亚纯$Z_n$ orbifoldings是$V^Λ$和$V^\natural$本身的性质（假设$V^\natural$由其特征函数$J(τ)$唯一确定）。我们表明，这些限制可能的$Z_n$ orbifoldings的$V^\natural$也足以证明属零属性广义月光函数在最简单的非平凡的素数情况下，考虑$Z_p\times Z_p$ orbifoldings的$V^\natural$。因此，在这些情况下，Monclerton Moonshine意味着广义的Moonshine。
1994-12-05 hep-th math.QA q-alg
Cusps, Congruence Groups and Monstrous Dessins
本文研究了模群$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$的Hecke同余子群$Γ_0(N)$的Dessins d 'enfants的一般性质.将$Γ_0(N)$定义为二维向量空间中投射格偶的稳定子，给出了商集$Γ_0(N)\backslash\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$作为投射格$N$ -超远离参考格的解释，因此作为环$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上的投射线。$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$在晶格上的自然作用定义了一个dessin d 'enfant结构，允许对经典模曲线的特征进行组合处理，例如扭点和尖点。我们列出了与属零的$15$ Hecke同余子群相关的dessins d 'enfants，这些子群出现在Monster sporadic group的Moonshine中。
2020-07-12 hep-th math.AG math.NT
Two New Avatars of Moonshine for the Thompson Group
本文证明了Thompson群月光现象的两种新化身的存在性，通过Borcherds乘积和奇异模迹揭示新旧模的关系，并扩展了广义魔群月光与半影月光的对应。
2025-05-04 hep-th math.NT math.RT
Sketch of a Program for Universal Automorphic Functions to Capture Monstrous Moonshine
我们回顾和重新制定旧的和证明新的结果的三和弦$ {\rm PPSL}_2({\mathbb Z})\subseteq{\rm PPSL}_2({\mathbb R})\circlearrowright ppsl_2({\mathbb R}) $，它提供了一个普遍推广的经典自守三和弦${\rm PSL}_2({\mathbb Z})\subseteq{\rm PSL}_2({\mathbb R})\circlearrowright psl_2({\mathbb R})$。通用设置中的前导P或$p$代表$piecewise$，并且组${\rm PPSL}_2({\mathbb Z})$同时扮演通用模组、通用映射类组、Thompson组$T$和Ptolemy组的角色。给出了李代数$ppsl_2({\mathbb R})$的一个新基，计算了它的结构常数，定义了一个中心扩张，并与Weil-Petersson 2-形式进行了比较，讨论了它的表示理论.在普适Teichmüller空间及其对称群${\rm PPSL}_2({\mathbb R})$上构造并研究了新的框架全息坐标，并构造了一个类似于不变Eisenstein 1-形式$E_2(z)dz$的不变1-形式作为它的Maurer-Cartan形式，由此得到了由平凡表示扩展的$psl_2({\mathbb R})$的自旋1表示.这就提出了发展普…
2020-12-31 hep-th math-ph math.DG
Moonshine in Fivebrane Spacetimes
考虑$K3 \times S^1 \times \mathbb{R}^{1,4}$上的II型超弦理论，研究了两个Neveu-Schwarz五膜（其世界体积包裹了$K3 \times S^1$因子）近视界背景下的微扰BPS态.这些国家的时空螺旋度超迹$χ_2(τ)$，我们评估计数。我们发现一个简单的表达式$χ_2(τ)$在完成的模拟模块化形式$H^{(2)}(τ)$，最近出现在研究的分解的椭圆亏格的K3表面到字符的N=4超共形代数，并表现出月光连接到马蒂厄组$M_{24}$。
2013-11-22 hep-th math.NT math.RT
A Borcherds-Kac-Moody superalgebra with Conway symmetry
构造了一个Borcherds Kac-Moody（BKM）超代数，Conway群Co $_0$忠实地作用于该超代数上.我们证明了BKM代数是由手征超弦理论中的BRST-闭态生成的。我们使用这种结构产生分母身份的手征配分函数的康威模块$V^{s\natural}$，超对称$c=12$手征共形场论的（扭曲）配分函数享有月光性质，并具有同构于Co $_0$的自同构群。特别是，这些功能满足亏格零性质类似于可怕的月光。最后，我们提出了如何在第二类弦论中将BPS指数推广到时空BPS指数的建议，从而为康威月光的亏格零性质提供了一个物理解释。
2018-03-28 hep-th math.QA math.RT
Monstrous M-theory
在$26+1$时空维中，我们引入了一个引力理论，当把它简化到$25+1$维时，它的无质量谱可以被Monster群作用。这个理论在许多方面推广了M-理论，我们称之为Moncler M-理论，或M $^{2}$ -理论。在卡鲁扎-克莱因约化为$25+1$维数时，M $^{2}$理论谱不可约地分裂为$\mathbf{1}\oplus\mathbf{196,883}$，其中$\mathbf{1}$等同于Monster，而$\mathbf{196,883}$是Monster的最小非平凡表示的维数。这提供了一个最低的实例的MonasterMoonshine的场论解释，它澄清了定义的怪物作为自同构群的格里斯代数，通过显示，这样的代数不仅是一个总和无关的空间，但下降从无质量状态的M $^{2}$ -理论，其中包括霍洛维茨和Susskind的玻色子M-理论作为一个分区。进一步的证据是由威滕的极值怪物SCFT的配分函数的系数分解的$SO_{24}$，在$25+1$的无质量的小集团的表示;所涉及的$SO_{24}$ -表示的纯玻色子性质可以追溯到$24$维的独特功能，这允许一个非平凡的推广的triality持有$8$维。最后但并非最不重要的一点是，M $^{2}$ -理论的某个子部分，当耦合到$26+1$中的拉里塔-施温格无质量场时，表现出相同数量的玻色子自由度和费米子自由度;我们不得不猜想在$26+1…
2023-02-16 hep-th math.RT
The Order of the Monster Finite Simple Group
本文通过基于Griess代数轴幂等元计数的计算方法，借助mmgroup软件完成了首个自包含的魔群阶计算，还证明了魔群的自同构群性质、对合共轭类数量并确定了小魔群的阶。
2025-08-01 hep-th math.GR math.QA
