含随机杂质的平坦环面的谱几何

Random moments for the new eigenfunctions of point scatterers on rectangular flat tori

We define a random model for the moments of the new eigenfunctions of a point scat-terer on a 2-dimensional rectangular flat torus. In the deterministic setting,Seba conjectured these moments to be asymptotically Gaussian, in the semi-classical limit. This conjecture was disproved by Kurlberg-Uebersch{ä}r on Diophantine tori. In our model, we describe the accumulation points in distribution of the randomized moments, in the semi-classical limit. We prove that asymptotic Gaussianity holds if and only if some function, modeling the multiplicities of the Laplace eigenfunctions, diverges to +$\inf…

三重关联与平坦环面谱中的长能隙

Triple correlation and long gaps in the spectrum of flat tori

我们评估的拉普拉斯算子的特征值的三重相关的一般平坦环面的平均意义。作为两个结果，我们证明了：（a）下极限（下极限）（分别为三重相关的极限（limit superior）几乎肯定是最多的（resp.至少）泊松，和（b）几乎所有的平面环面包含无限多的差距，在他们的频谱，至少2.006倍以上的平均差距。常数2.006的意义在于存在具有泊松对相关性的序列，并且连续间隔从上到下一致地有界于2，正如我们在本文中证明的那样。因此，我们的结果超出了仅从对关联的泊松行为可以推导出的结果。

平坦环面上的量子Loschitheo回波

The quantum Loschmidt echo on flat tori

量子洛施图回波是量子系统对哈密顿量扰动的灵敏度的测量。在标准的2-环面的情况下，我们推导出一些明确的公式，这个量的过渡制度，预计在半经典极限衰减。该表达式涉及两个微局部缺陷测量的初始数据和形式的扰动。作为一个应用，我们展示了一个非浓度准则的初始数据序列下，一个不观察到宏观衰减的量子Loschirm回波。我们还将我们的结果应用到几个例子的物理相关的初始数据，如相干态和平面波。

环面上量子测地线流的遍历性质

Ergodic properties of the quantum geodesic flow on tori

研究了N维平坦环面上一类伪微分算子关于薛定谔发展的遍历平均。后者可以看作是$\bT^N$上测地线流的一个量子化。我们证明，半经典的可忽略不计的更正，这样的遍历平均值是几何不变的运营商。

平坦环面的二次型与半经典本征函数假设

Quadratic forms and semiclassical eigenfunction hypothesis for flat tori

设$Q(X)$是任意具有判别式$D$的整本原正定二次型，且在$k$变量中，其中$k\geq4$ .对于任意整数$n$，利用$n$，$k$和$D$给出了$Q(X)=n$的整数解个数的一个上界.作为推论，我们对Rudnick和Lester关于平坦环面$\mathbb{T}^d$上本征函数的正交基在单个本征空间上的小尺度等分布的猜想给出了明确的回答，对于$d\geq 5$ .我们的主要定理的另一个应用程序给出了一个尖锐的上限$A_{d}(n,t)$，一些代表性的正定二次形式$Q(x,y)=nx^2+2txy+ny^2$作为平方和的$d\geq 5$线性形式，其中$n- n^{\frac{1}{(d-1)}-o(1)}< t < n$。这个上界允许我们研究球面上整点的局部统计。

节点反问题

Inverse Nodal Problems

它表明，节点序列确定的基础流形缩放类内的矩形Dirichlet边界条件，可分离的二维环面，二维平面克莱因瓶和平面环面在二维和三维。

具有一致有界特征函数的黎曼流形

Riemannian Manifolds With Uniformly Bounded Eigenfunctions

平坦环面$\R^n / L$上的标准本征函数$ϕ_λ = e^{i < λ, x >}$具有独立于本征值有界的$L^{\infty}$ -范数.在无理平坦环面的情况下，$L^2$ -正规化的本征函数具有一致有界的$L^{\infty}$ -范数.类似的基也存在于其他平坦流形上。这个性质是否是平坦流形的特征？对于具有完全可积测地线流的紧致黎曼流形，我们给出了肯定的回答。

Length orthospectrum and the correlation function on flat tori

This note presents some of the results obtained in arXiv:2207.05410 and it has beenthe object of a talk of the second author during the Journées "Équations auxDérivées Partielles" (Obernai, june 2022). We study properties of geodesics that are orthogonal to two convex subsets of the flat torus. We discuss meromorphic properties of a geometric Epstein zeta function associated to the set of lengths of such orthogeodesics. We also define the associated length distribution and discuss singularities of its Fourier transform. Our analysis relies on a fine study of the dynamical correlation function …

平坦环面上带奇异势的薛定谔算子的精确逐点Weyl定律

Sharp Pointwise Weyl Laws for Schrödinger Operators with Singular Potentials on Flat Tori

针对低维平坦环面拉普拉斯算子Weyl定律精确误差项这一公开难题，本文证明一类奇异扰动下任意维数都存在带精确误差项的逐点Weyl定律，验证了作者此前相关定理的精确性并将三维结果推广至任意维。

平坦环面的距离能量与负型

Distance Energies and Negative Type of Flat Tori

本文通过定量Fourier特征刻画平坦环面割迹，证明Haar测度非局部极大值，并完全求解两类环面距离能量的全局极大化问题，揭示临界指数α=2处的相变。

平坦环面上凸体的长度正交谱

Length orthospectrum of convex bodies on flat tori

类比负曲率流形Pollicott-Ruelle共振研究，定义适配平坦环面平移不变Finsler度量测地向量场的各向异性Sobolev空间，研究凸体正交测地线性质，定义几何Epstein函数并证其亚纯延拓、算留数，证正交测地线长度与磁Laplacian谱的Poisson型求和公式。

非交换环面上泛函度量的谱几何

Spectral geometry of functional metrics on noncommutative tori

本文提出非交换环面上的泛函度量，构造 Laplace 型算子并利用热迹渐近推导第二密度、标量曲率及 Gauss–Bonnet 型定理。