Erdős and Arithmetic Progressions
W. T. Gowers
这是一篇为2013年在布达佩斯举行的Erdés百年纪念会议撰写的简短调查文章。涵盖的主要两个主题是Szemerédi定理及其衍生物和ErdŸ差异问题。有一个重点是什么，我们还不知道，所以很多文章是有点投机。
This is a short survey article written for the Erdős centennial conference in Budapest in 2013. The main two topics covered are Szemerédi's theorem and its ramifications, and the Erdős discrepancy problem. There is an emphasis on what we do not yet know, so much of the article is somewhat speculative.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An inverse theorem for generalized arithmetic progression with mild multiplicative property
本文证明了 $\F_p$ 中包含另外两个数列大乘积集的广义等差数列的结构定理。
A Probabilistic Threshold for Monochromatic Arithmetic Progressions
我们表明，$\sqrt{k}\cdot r^{k/2}$是一个阈值区间长度，在温和的条件下，几乎每一个$r$着色的一个较长的长度区间包含一个单色$k$ -项算术级数，而几乎没有$r$着色的一个较短的长度区间包含一个单色$k$ -项等差数列。
On some problems of Harju concerning squarefree arithmetic progressions in infinite words
在最近的一篇论文中，Harju提出了三个关于无限词中无平方等差数列的公开问题。在本文中，我们解决了其中的两个问题。
Discrepancy One among Homogeneous Arithmetic Progressions
本文研究了Paul Erdos在1936年提出的关于齐次等差数列不一致性问题的一个限制。我们将注意力限制在齐次等差数列的有限集S上，并询问关于这个集合的偏差何时正好为1。我们回答这个问题时，S的大小为4或更少，并证明了一般的S的问题是NP-困难的，即使是差异1。
In this paper, we study the rainbow Erdős-Rothschild problem with respect to 3-term arithmetic progressions. We obtain the asymptotic number of $r$-colorings of $[n]$ without rainbow 3-term arithmetic progressions, and we show that the typical colorings with this property are 2-colorings. We also prove that $[n]$ attains the maximum number of rainbow 3-term arithmetic progression-free $r$-colorings among all subsets of $[n]$. Moreover, the exact number of rainbow 3-term arithmetic progression-free $r$-colorings of $\mathbb{Z}_p$ is obtained, where $p$ is any prime and $\mathbb{Z}_p$ is the cyc…
On distribution of three-term arithmetic progressions in sparse subsets of F_p^n
证明了Fp ^n中典型随机集子集的Szemeredi正则引理的一个版本.作为应用，讨论了三项等差数列在稀疏集上分布的一个结果。
We consider two problems regarding arithmetic progressions in symmetric sets in the finite field (product space) model. First, we show that a symmetric set $S\subseteq\mathbb{Z}_q^n$ containing $|S|=μ\cdot q^n$ elements must contain at least $δ(q,μ)\cdot q^n\cdot 2^n$ arithmetic progressions $x,x+d,\ldots,x+(q-1)\cdot d$ such that the difference $d$ is restricted to lie in $\{0,1\}^n$. Second, we show that for prime $p$ a symmetric set $S\subseteq\mathbb{F}^n_p$ with $|S|=μ\cdot p^n$ elements contains at least $μ^{C(p)}\cdot p^{2n}$ arithmetic progressions of length $p$. This establishes that …
Arithmetic Progressions in Abundance by Combinatorial Tools
利用整数的斯通-切赫紧化的代数结构，Furstenberg和Reynner证明了对于任意k，每个分段联会集包含k项等差数列的分段联会集。我们提出了一个纯粹的组合参数，允许直接从范德瓦尔登定理得出这一结果。
On the Union of Arithmetic Progressions
我们表明，对于每个$\varepsilon>0$有一个绝对常数$c(\varepsilon)>0$，使以下是真的。任何长度为$n$且两两不同的$n$等差数列的并集必须至少包含$c(\varepsilon)n^{2-\varepsilon}$元素。我们观察到，通过构造，人们可以找到$n$等差数列，每个长度为$n$，具有成对的不同差异，使得它们的并集的基数是$o(n^2)$。我们还提到了$n$等差数列的非对称情况，对于$n$和$\ell$的各种状态，每个级数的长度都是$\ell$。
Independent arithmetic progressions
证明了存在正常数$c$，使得顶点集$[n]$上至多有$c n^2/k^2 \log k$条边的任何图包含一个独立集的$k$阶集，其顶点构成一个等差数列.我们还将这个结果应用于拉姆齐理论中的几个问题。
John-type theorems for generalized arithmetic progressions and iterated sumsets
弗里茨·约翰的一个经典定理允许人们把直到常数的凸体描述为椭球。在这篇文章中，我们建立了类似的描述广义（即多维）等差数列在适当的（即无碰撞）广义等差数列，在无挠和挠设置。我们还得到了任意阿贝尔群中迭代和集的一个类似的性质，从而加强和推广了Szemerédi和Vu的结果。
Words avoiding repetitions in arithmetic progressions
卡尔皮在一个4个字母的字母表上构造了一个无限的单词，它避免了由奇差的等差数列索引的所有序列中的平方。我们展示了卡尔皮的建设和折纸词之间的连接。我们扩展了Carpi的结果，通过构建不可数的许多字，避免平方等差数列的奇差。在奇差的等差数列中，我们还构造了避免重叠的无限字和避免任意大平方的无限字。我们使用这些词来构造二维整数格的标号，使得通过格的任何线都遇到无平方的（分别是）。标签序列。
Finite sums of arithmetic progressions
本文给出了van der Waerden-Brauer定理和Hindman定理的双重推广的一个纯组合证明。我们也给出了它的有限版本的塔界。
On the distribution of monochromatic complete subgraphs and arithmetic progressions
作为统计拉姆齐理论问题，我们研究了（1）完全图的边2-染色上的单色完全子图和（2）区间2-染色上的单色等差数列的个数分布.我们提出了令人信服的证据，这两种分布是非常好的近似Delaporte分布。
The Erdős-Ginzburg-Ziv constant and progression-free subsets
Ellenberg和Gijswijt最近给出了$({\mathbb Z_p})^n$（其中$p$是素数）中三项等差数列自由集大小的一个新的指数上界. Petrov总结了他们的方法，并将他们的结果推广到线性型。本文利用Petrov的结果给出了有限高秩阿贝尔群的Erdens-Ginzburg-Ziv常数的新的指数上界.我们的主要结果依赖于关于性质D的一个猜想。
On Double 3-Term Arithmetic Progressions
本文主要研究是否每一个有界间隙的正整数递增序列$x_1x_2x_3...$都必须包含一个双3项等差数列，即，三个术语$x_i$、$x_j$和$x_k$，即$i + k = 2j$和$x_i + x_k = 2x_j$。我们考虑了一些变化的问题，讨论了一些相关的双重等差数列的性质，并提出了一些结果，通过使用RamseyScript，一个高级脚本语言。
A Generalisation of a Result on Monotone Arithmetic Progressions in Permutations of the Positive Integers
该论文推广了正整数排列中避免特定单调等差数列的构造，证明对任意k≥1，存在排列避免长度为4且公差不被2^k整除的等差数列。
Sub-Ramsey numbers for arithmetic progressions
让整数$1,\ldots,n$被分配颜色。Szemerédi的定理意味着，如果有一个密集的颜色类，那么有一个长度为3的等差数列。研究了长度为3的全多色等差数列的色类的条件。令$f(n)$是最小整数$k$，使得存在$\{1, \ldots, n\}$的着色，而不存在长度为3的完全多色等差数列，并且使得每种颜色最多出现在$k$整数上。当$n$足够大时，我们给出了$f(n)$的一个精确值，并给出了所有的极值着色.特别是，我们表明，$f(n)= 8n/17 + O(1)$。这完全回答了阿隆、卡罗和图扎的一个问题。
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups
拉姆齐理论中最困难的问题之一是确定元素被着色的群中单色等差数列的存在性。我们研究更难的问题，不仅要确定单色等差数列的存在性，而且还要计算它们。我们重新制定的枚举在真正的代数几何，然后使用最先进的半定规划和表示论的计算方法，以获得尖锐的，或明确的常数从尖锐的，下界的循环群的任何顺序。
Forbidden arithmetic progressions in permutations of subsets of the integers
避免长度为$5$的等差数列的正整数排列在（Davis et al，1977）中被构造，这意味着避免长度为$7$的等差数列的整数排列的存在。我们构造了一个整数的置换，避免了长度为$6$的等差数列。我们还证明了$\frac{1}{2}$在正整数子集的较低密度上的下界，可以进行置换以避免长度$4$的等差数列，锐化来自（LeSaulnier和Vijay，2011）的$\frac{1}{3}$的下界。此外，我们还推广了关于禁用等差数列的几个结果，构造了避免广义等差数列的置换。
Three-term arithmetic progressions in subsets of $\mathbb{F}_q^{\infty}$ of large Fourier dimension
我们表明，$\mathbb{F}_q^{\infty}$的大傅立叶维数的子集必须包含三项等差数列。这与Shmerkin构造的傅立叶维度$1$的$\mathbb{R}$的子集形成对比，没有三项等差数列。
A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions
本文改进了三项等差数列的Roth定理的定量估计，证明了若$A\subset\{1,\ldots,N\}$不含非平凡三项等差数列，则$\lvert A\rvert\ll N(\log\log N)^4/\log N$ .用同样的方法，我们也改进了$\mathbb{F}_q[t]$上类似问题的界，以及在和集中求长等差数列的界。
We show that if $A\subset \{1,\ldots,N\}$ contains no non-trivial three-term arithmetic progressions then $\lvert A\rvert \ll N/(\log N)^{1+c}$ for some absolute constant $c>0$. In particular, this proves the first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions.
Long Arithmetic Progressions in Critical Sets
在本文中，我们证明：如果0 < d < 1，且p是一个充分大的素数，则如果S是Z/pZ的一个子集，在Z/pZ的所有至少有dp个元素的子集中具有最少数量的三项等差数列，则S有一个长度至少为log^{1/4+o（1）} x的等差数列。
On Non-intersecting Arithmetic Progressions
我们证明了：如果有k个整数的不相交的等差数列，其中公差2 <= q_1，.，q_k <= x，则k < x exp（（-1/6 + o（1））sqrt（logx loglog x））.这改进了Szemeredi和Erdos的一个结果。
On sets of integers not containing long arithmetic progressions
我们构造{1，...，N}的基数至少为Nexp（-C（log N）^{1/（k+1）}），不包含长度为2^k+1的等差数列。这推广了Behrend（1946）关于不包含长度为3的伪数列的集合的一个结果。
Some further results on squarefree arithmetic progressions in infinite words
在最近的一篇论文中，我们中的一个人提出了三个关于无限词中无平方等差数列的公开问题。本文解决了这些问题并证明了一些新的结果。
Integer Sets of Large Harmonic Sum Which Avoid Long Arithmetic Progressions
本研究给出数字受限整数集不含k项算术级数的条件，通过大规模搜索找到不含4项与10项算术级数且调和和优于传统贪心构造的整数集，可高效计算相关集合与调和和。
Arithmetic progressions in sets with small sumsets
本文给出了一个初等证明：如果$A$是一个有限的数集，且$A+_GA$的和集$|A+_GA|\leq c|A|$沿稠密图$G$很小，则$A$包含$k$ -项等差数列.
We consider the problem of determining the maximum cardinality of a subset containing no arithmetic progressions of length $k$ in a given set of size $n$. It is proved that it is sufficient, in a certain sense, to consider the interval $[1,\dots, n]$. The study continues the work of Komlós, Sulyok, and Szemerédi.
Narrow arithmetic progressions in the primes
我们研究公差尽可能小的素数中的等差数列。Tao和Ziegler证明了，对于任意大的$k \geq 3$和$N$，对于一个未指定的常数$L_k$，在直到$N$的素数（的任意正密度子集）中存在非平凡的$k$ -项等差数列，具有公差$O((\log N)^{L_k})$。在这项工作中，我们获得了具有精确值$L_k = (k-1) 2^{k-2}$的该陈述。这是通过证明Szemerédi定理的一个相对版本的狭窄的进展需要更简单的伪随机性假设的精神，最近的工作康伦，福克斯和赵。
Asymptotics of partition parts in arithmetic progressions
研究算术级数中分拆部分的分布，通过分析生成函数中的非模艾森斯坦级数，获得捕获所有指数增长项的新近结果。
Erdős-Ginzburg-Ziv constants by avoiding three-term arithmetic progressions
对于有限阿贝尔群$G$，Erdens-Ginzburg-Ziv常数$\mathfrak{s}(G)$是最小的$s$，使得$G$的每个$s$（不一定是不同的）元素序列都有长度为$\operatorname{exp}(G)$的零和子序列。对于素数$p$，令$r(\mathbb{F}_p^n)$表示没有三项算术级数的$\mathbb{F}_p^n$的最大子集的大小。虽然类似的方法已被用于研究$\mathfrak{s}(G)$和$r(\mathbb{F}_p^n)$，但这些量之间没有直接联系。对于$\operatorname{exp}(G)$的素因子$p$，我们用$r(\mathbb{F}_p^n)$给出了$\mathfrak{s}(G)$的一个上界.对于特殊情形$G=\mathbb{F}_p^n$，我们证明了$\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)\leq 2p\cdot r(\mathbb{F}_p^n)$ .利用Ellenberg和Gijswijt的$r(\mathbb{F}_p^n)$的上界，该结果改进了Naslund给出的$\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)$的先前最好的已知上界。
On The Hereditary Discrepancy of Homogeneous Arithmetic Progressions
我们证明了齐次等差数列的遗传差异是由$n^{1/O(\log \log n)}$下界。这个界限紧到指数中的常数。我们的下界是通过证明布尔立方体$\{0, 1\}^d$的子立方体的集合系统的差异的指数下界。
Arithmetic and Geometric Progressions in Productsets over Finite Fields
给定$q$元素的有限域$\F_q$的两个元素集$\cA, \cB \subseteq \F_q$，证明了乘积集$$ \cA\cB = \{ab | a \in \cA, b \in\cB\} $$包含长度为$k \ge 3$的等差数列，条件是$k<p$，其中$p$是$\F_q$的特征，且$# \cA # \cB \ge 3q^{2d-2/k}$ .我们还考虑了移位乘积集$\cA\cB +h$中的等比数列，对于$f \in \F_q$，得到了类似的结果。
Arithmetic Progressions with Restricted Digits
对于一个整数$b \geqslant 2$和一个集合$S\subset \{0,\cdots,b-1\}$，我们定义Kempner集合$\mathcal{K}(S,b)$为所有非负整数的集合，这些非负整数的基$b$数字展开式只包含来自$S$的数字.这些研究稀疏集提供了丰富的设置加性数论，在本文中，我们研究了各种问题有关的外观等差数列在这些集合。特别是，对于所有的$b$，我们确定的最大长度的等差数列，省略了一个基地- $b$数字。
Given a family $\mathcal{F}=\{A_1,\dots,A_s\}$ of subsets of $\mathbb{Z}_n$, define $Δ\mathcal{F}$ to be the multiset of all (cyclic) distances dist$(x,y)$, where $\{x,y\} \subset A_i$, $x \neq y$, for some $i=1,\dots,s$. Taking inspiration from a Euclidean distance problem of Erdős, we say that $\mathcal{F}$ is Erdős-deep if the multiplicities of distances that occur in $Δ\mathcal{F}$ are precisely $1,2,\dots,k-1$ for some integer $k$. In the case $s=1$, it is known that a modular arithmetic progression in $\mathbb{Z}_n$ achieves this property (under mild conditions); conversely, APs are the …
Arithmetic progressions in sets of small doubling
我们证明了如果任意阿贝尔群的有限的、足够大的子集A满足小加倍条件|A + A| <（log |A|）^{1 -n} |A|，则A必须包含其项不全相等的三项等差数列，并且A + A必须包含等差数列或子群的陪集，其大小至少为exp^[ c（log |A|）^{delta} ]。这扩展了类似的结果获得桑德斯和，分别由Croot，Laba和Sisask的情况下，该组是整数或有限域。
Dimensions of sets which uniformly avoid arithmetic progressions
我们提供的$\mathbb{R}$，一致避免有限的等差数列的尺寸集的估计。更确切地说，如果存在$ε>0$使得在$F$的$εΔ$邻域内不能找到长度$k$和间隙长度$Δ>0$的算术级数，则我们说$F$一致地避免长度$k \geq 3$的等差数列。我们的主要结果是一个明确的上界的Assouad（从而Hausdorff）维数的$k$和$ε$等集。在另一个方向，我们提供的例子集，一致避免等差数列的一个给定的长度，但仍然有相对较大的Hausdorff维数。我们也考虑这些问题的高维类似物，其中等差数列被替换为算术补丁躺在一个超平面。因此，我们得到一个离散化版本的“反向Kakeya问题”：我们表明，如果一组$\mathbb{R}^d$的尺寸是足够大的，那么它密切接近等差数列在每个方向。
On long arithmetic progressions in binary Morse-like words
本文研究了二进制Morse类词中的长等差数列存在性，提出了在Thue-Morse词及广义Thue-Morse词中的相关结果，其论证方法受启发于van der Waerden关于整数有限着色中单色等差数列存在性的证明。
Upper tails for arithmetic progressions in random subsets
我们研究了在{1，…，n}，建立指数边界，该指数边界最好是指数中的常数因子。证明也延伸到舒尔三倍，更一般地说，随机诱导子超图的“几乎线性”k-均匀超图的边缘数。
Almost arithmetic progressions in the primes and other large sets
格林和陶的一个著名而深刻的结果指出，素数包含任意长的等差数列。在本文中，我提供了一个简单的论证，证明素数任意地接近任意长的等差数列。这一论点也适用于Erdens-Turán意义上的“大集合”。这个证明很简短，完全独立，目的是给出一个启发式的解释，为什么素数和其他大集合具有算术结构。
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