Rank and Bias in Families of Hyperelliptic Curves via Nagao's Conjecture
设$\mathcal{X} : y^2 = f(x)$是亏格为$g\geq 1$的$\mathbb{Q}(T)$上的超椭圆曲线.假设在$\mathbb{Q}(T)$上的$\mathcal{X}$的雅可比行列式在$\mathbb{Q}$上没有定义的子簇。用$\mathcal{X}_t$表示$\mathcal{X}$到整数$T=t$的特化，设$a_{\mathcal{X}_t}(p)$是它的Frobenius迹，而$A_{\mathcal{X},r}(p) = \frac{1}{p}\sum_{t=1}^p a_{\mathcal{X}_t}(p)^r$是它的$r$阶矩。通过推广Nagao的一个猜想，将一阶矩与Jacobian $J_\mathcal{X}\left(\mathbb{Q}(T)\right)$的秩联系起来：$$\lim_{X \to \infty} \frac{1}{X} \sum_{p \leq X} - A_{\mathcal{X},1}(p) \log p = \operatorname{rank} J_\mathcal{X}(\mathbb{Q}(T)).$$推广了S.手臂，手臂。Lozano-Robledo和S. J. Miller，我们计算了各种族的一阶矩，从而产生了$\mathbb{Q}(T)$上的无穷多条超椭圆曲线，这些曲线具有中等大秩$4g+2$的雅可…
2019-06-22 math.NT
Differential Forms on Hyperelliptic Curves with Semistable Reduction
设$C$是局部域$K$上的一条超椭圆曲线，该局部域具有奇剩余特征，由仿射Weierstrass方程$y^2=f(x)$定义.我们假设$C$具有半稳定约化，用$\mathcal{X} \rightarrow \textrm{Spec}\, \mathcal{O}_K$表示它的具有相对对偶层$ω_{\mathcal{X}/ \mathcal{O}_K}$的极小正则模型.我们展示了如何从$f$的根的聚类图中直接读出$H^0(\mathcal{X},ω_{\mathcal{X}/\mathcal{O}_K})$的基。此外，我们还给出了$λ$的赋值公式，使得$λ\cdot \frac{dx}{y} \land \dots \land x^{g-1}\frac{dx}{y}$是$\det H^0(\mathcal{X},ω_{\mathcal{X}/\mathcal{O}_K})$的生成元.
2020-06-17 math.AG math.NT
An intriguing hyperelliptic Shimura curve quotient of genus 16
设$F$是$\mathbf{Q}(ζ_{32})$的极大全实子域，$F$的分圆域和单位根.设$D$是$F$上的四元数代数，它恰好在$2$上的唯一素数和$F$的7个实位上分歧。设$\mathcal{O}$是$D$中的最大阶数，$X_0^D(1)$是附着在$\mathcal{O}$上的Shimura曲线。设$C = X_0^D(1)/\langle w_D \rangle$，其中$w_D$是$X_0^D(1)$上唯一的Atkin-Lehner对合。我们表明，曲线$C$有几个显着的特点。首先，它是亏格为$16$的超椭圆曲线，其超椭圆对合是例外的。第二，在$C$上有$34$ Weierstrass点，并且这些点中正好有一半是CM点;它们定义在包含在$\mathbf{Q}(ζ_{64})$中的类数$17$的唯一CM扩张$E/F$的希尔伯特类域上，$64$的单位根的分圆域。第三，$2$域的正规闭包-$C$的雅可比矩阵的挠率是Harbater域$N$，即在$2$和$\infty$之外未分歧的唯一伽罗瓦数域$N/\mathbf{Q}$，具有伽罗瓦群$\mathrm{Gal}(N/\mathbf{Q})\simeq F_{17} = \mathbf{Z}/17\mathbf{Z} \rtimes (\mathbf{Z}/17\mathbf{Z})^\times$。实际上，雅可比矩阵$\mathrm{…
2021-03-16 math.NT
On Weil Polynomials of Hyperelliptic Curves over Finite Fields of Characteristic 2
本文通过模2剩余类约束给出特征2有限域上超椭圆雅可比矩阵存在性的新阻碍条件，证明Weil系数奇偶性渐近等分布，并据此排除大量3维和4维同源类，同时提出运行时间显著改进的任意亏格超椭圆曲线枚举算法。
2025-08-23 math.AG math.NT
Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves with rational Weierstrass points
设$C$是离散赋值环$R$的分式域$K$上亏格为$g$的超椭圆曲线.假设$R$的剩余字段$k$是完美的，并且$\mathop{\textrm{char}} k \neq 2$ .假设$C$的Weierstrass点是$K$ -有理数。让$S = \mathop{\textrm{Spec}} R$。设$\mathcal{X}$是$S$上的$C$的最小真正则模型.令$\mathop{\textrm{Art}} (\mathcal{X}/S)$表示$S$ -方案$\mathcal{X}$的Artin导体，令$ν(Δ)$表示$C$的最小判别式。我们证明了$-\mathop{\textrm{Art}} (\mathcal{X}/S) \leq ν(Δ)$ .作为推论，我们得到了$\mathcal{X}$的特殊纤维的分支数上界于$ν(Δ)+1$ .
2015-08-21 math.AG math.NT
Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves: A comparison in the tame case
设$C$是离散赋值环$R$的分数域$K$上亏格为$g$的超椭圆曲线.假设$R$的剩余字段$k$是完美的，并且$\mathrm{char}\ k > 2g+1$ .让$S = \mathrm{Spec}\ R$。设$X$是$S$上$C$的最小真正则模型.令$\mathrm{Art}\ (C/K)$表示$S$ -方案$X$的Artin导体，并且令$ν(Δ_C)$表示$C$的最小判别式。我们证明了$-\mathrm{Art}\ (C/K) \leq ν(Δ_C)$ .的关键成分是一个组合的改进本文介绍的判别式（称为度量树）和最近的改进Abhyankar的反演公式研究平面曲线奇点。我们还证明了组合限制$-\mathrm{Art}\ (C/K) = ν(Δ_C)$。
2021-08-29 math.AG math.NT
Computing a Group Action from the Class Field Theory of Imaginary Hyperelliptic Function Fields
本文研究虚超椭圆函数域类域论产生的交换群作用，提出高效计算算法并证明其求逆可归约为固定 τ-次 Drinfeld 模同源问题，借助 Wesolowski 算法实现多项式时间可解。
2024-03-12 cs.CR cs.SC math.NT
Selberg's Central limit theorem for quadratic Dirichlet L-functions over function fields
本文研究了固定有限域$\mathbb{F}_q$上亏格为$δ$的超椭圆曲线所对应的Dirichlet $L$ -函数的辛族中中心值$L\left(\frac{1}{2}, χ_D\right)$在极限为$δ\to \infty$时的对数.无条件地，我们表明，分布的$\log \big|L\left(\frac{1}{2}, χ_D\right)\big|$是渐近有界以上的高斯分布的平均$\frac{1}{2}\log °(D)$和方差$\log °(D)$。对该族中的低位零点的分布作了一个适当的假设，得到了完全高斯分布。
2021-05-23 math.NT
On the third moment of $L\big(\frac{1}{2}, χ_{d}\big)$ I: the rational function field case
本文证明了有理函数域上二次Dirichlet L-函数$q^{\scriptscriptstyle \frac{3}{4} D}.$的三次矩渐近公式中第二项的存在性。这一项与我们的联合工作arXiv：math/0110092 v1中相应的有理函数域上的渐近公式中的$x^{\scriptscriptstyle \frac{3}{4}}$项完全相似。
2018-01-01 math.NT
Continued fractions in function fields: polynomial analogues of McMullen's and Zaremba's conjectures
本文研究了具有有界偏导数的连分数上的McMullen和Zaremba代数的多项式模拟。它已经证明了布莱克本，如果基地领域是无限的，然后多项式模拟扎伦巴猜想举行，我们将证明这一点再次与不同的方法和审查一些已知的结果有限基地领域。翻译的多项式设置结果的Mercat，我们将证明，多项式模拟麦克马伦猜想持有无限代数扩张的有限域，并在有限域，这将是一个后果的多项式模拟扎伦巴猜想。然后，我们将证明，多项式模拟麦克马伦猜想举行了不可数的基础领域，在$\overline{\mathbb Q}$（由于理论的减少正式洛朗级数模一个素数），并在一些领域。为此，我们将研究$\sqrt D$的多项式倍数的连分数与超椭圆曲线$U^2=D(T)$的广义雅可比矩阵的拉回之间的联系。
2017-06-07 math.NT
On the third moment of $L(\tfrac{1}{2}, χ_d)$ II: the number field case
建立了二次{D}Irichlet $L$ -函数在中心点三阶矩的光滑渐近公式.除了主要的长期，这是已知的，我们证明了存在一个次要的长期规模$x^{\frac{3}{4}}$。对于每个$δ> 0.$，渐近公式中的误差项为$O(x^{\frac{2}{3}+δ})$阶
2018-04-02 math.NT
Eichler-Selberg relations for the third-order mock theta functions
Shaoxing University（绍兴大学）
利用调和 Maass 形式理论，推广了 Ramanujan 三阶模拟 theta 函数 f(q) 的经典 Appell-Lerch 级数表示，并证明了另一个三阶模拟 theta 函数 ω(q) 的类似 Eichler-Selberg 型关系。
2026-06-23 math.NT
Sign law for Ramanujan's third order mock theta function $ρ(q)$
Institute of Discrete Mathematics and Geometry（离散几何研究所）；TU Wien（维也纳工业大学）
研究Ramanujan三阶模拟theta函数ρ(q)的系数r(n)的符号模式，利用Watson关系与Rademacher展开证明r(3n)>0、r(3n+1)<0、r(3n+2)<0对充分大n成立。
2026-06-29 math.NT
Approximating elements of the middle third Cantor set with dyadic rationals
设$C$是中间三分之一康托尔集，$μ$是限制于$C$的$\frac{\log 2}{\log 3}$维Hausdorff测度.本文研究了$C$中元素的并矢有理数逼近。我们的主要结果意味着，对于$μ$几乎每一个$x\in C$，我们有$$\#\left\{1\leq n\leq N:\left|x-\frac{p}{2^n}\right| \leq \frac{1}{n^{0.01}\cdot 2^{n}}\textrm{ for some }p\in\mathbb{N}\right\}\sim 2\sum_{n=1}^{N}n^{-0.01}.$$这改善后，最近的结果艾伦，周，和余，它给出了一个次对数改善平凡的近似率。
2022-04-21 math.DS math.NT
Arithmetic rank bounds for abelian varieties over function fields
该研究利用函数域版本的经典ℓ-下降技术，将曲线函数域上阿贝尔簇的秩界做算术精细化，推广了此前椭圆曲线的相关结果，还构造了超椭圆曲线雅可比簇的显式2-下降映射并应用于亏格2曲线的研究。
2025-10-01 math.AG math.NT
Metric results for dyadic approximation on the middle-third Cantor set
Sun Yat-sen University（中山大学）；South China University of Technology（华南理工大学）；Jiaying University（嘉应学院）；Central South University（中南大学）
研究三分康托集上二进逼近的度量性质，通过建立傅里叶系数估计，改进了Velani猜想的已知范围，将零测部分阈值降至约1.429，满测部分阈值升至约0.052。
2026-06-25 math.DS math.NT
Third homology of $\mathrm{SL}_{2}$ over Number fields: The norm-Euclidean quadratic imaginary case
在文章的第三同源性的$SL_{2}(\mathbb{Q})$，哈钦森确定了结构的$H_{3}\left(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Q}),\mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]\right)$表示它在方面的$K_{3}^{\mathrm{ind}}(\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/24$和同余组的剩余域$\mathbb{F}_{p}$与$p$一个素数。本文进一步发展了加细剪刀同余群的性质，将这一结果推广到整数环是关于范数的欧几里得整环的虚二次数域的情形.
2022-12-15 math.KT math.NT
