An alternate description of the Szlenk index with applications
Ryan M. Causey
讨论了计算巴拿赫空间对偶的任意$w^*$紧子集的Szlenk指标的另一种方法。我们讨论了这种方法的后果，以及提供简单的，替代的证明已经在文献中发现的一些结果。
We discuss an alternate method for computing the Szlenk index of an arbitrary $w^*$ compact subset of the dual of a Banach space. We discuss consequences of this method as well as offer simple, alternative proofs of a number of results already found in the literature.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Szlenk index of $L_p(X)$ and $A_p$
给定一个Banach空间$X$，$X^*$的一个$w^*$ -紧子集和$1<p<\infty$，我们给出了$K$的Szlenk指标和$L_p(X)^*$的一个相关子集的Szlenk指标之间的最优关系.作为应用，在给定Banach空间$X$的情况下，利用$X$的Szlenk指标证明了$L_p(X)$的Szlenk指标的一个最优估计.这将哈耶克和Schlumprecht的一个结果推广到不可数序数。更一般地说，给定一个算子$A:X\to Y$，我们根据$A$的Szlenk指数提供“逐点$A$“算子$A_p:L_p(X)\to L_p(Y)$的Szlenk指数的估计。
Concerning the Szlenk index
讨论了正则族的剪枝和着色引理。我们讨论了几个应用这些引理计算的Szlenk指数的某些$w^*$紧子集的对偶的可分巴拿赫空间。应用包括估计的Szlenk指数的Minkowski总和，无限直和可分的巴拿赫空间，常数减少，和三个空间性质。我们还考虑利用正则族构造具有指定Szlenk指标的巴拿赫空间。作为结果，我们给出了可列序数作为Banach空间的Szlenk指标的一个特征，证明了以前的一个普适性结果的最优性，并计算了可分巴拿赫空间的内射张量积的Szlenk指标.
The Szlenk index of injective tensor products and convex hulls
给定任意Banach空间$X$和$X^*$的任意弱 *-紧子集$K$，我们计算$K$的弱 *-闭凸包的Szlenk指标作为$K$的Szlenk指标的函数.作为应用，我们计算了两个算子的任意单射张量积的Szlenk指数。特别地，我们计算了单射张量积$\tens$的Szlenk指数，它是由$Sz(X)$和$Sz(Y)$表示的.作为另一个应用，我们给出了Banach空间中作为Szlenk指标出现的序数，以及作为Bourgain $\ell_1$或$c_0$指标出现的序数的一个完全特征.
A short calculation of the Szlenk index of spaces of continuous functions
本文利用Grasberg范数，对连续函数空间$C(K)$的Szlenk指标给出了一个简短的计算方法。
Direct sums and summability of the Szlenk index
证明了具有一致可和Szlenk指标的可分巴拿赫空间的$c_0$ -和具有可和Szlenk指标，而这一结果对于更一般的直和不再成立.给出了可分空间的$\mathfrak{E}$ -直和的Szlenk幂型的一个公式，只要$\mathfrak{E}$有一个收缩的无条件基，其对偶基在$\mathfrak{E}^\ast$中产生一个渐近的$\ell_p$结构.作为推论，我们证明了$c_0$的无穷多个拷贝的Tsirelson直和具有幂型$1$但不可和的Szlenk指数.
Estimation of the Szlenk index of reflexive Banach spaces using generalized Baernstein spaces
对于每一个序数$α< ω_1$，我们证明了一个可分的，自反的Banach空间的基础和Szlenk指数$ω^{α+1}$的存在，这是普遍的类可分的，自反的巴拿赫空间$X$，使Szlenk指数$Sz(X), Sz(X^*)$不超过$ω^α$ .
Estimation of the Szlenk index of Banach Spaces via Schreier spaces
对于每个序$α<ω_1$，我们证明了存在一个具有基和Szlenk指标$ω^{α+1}$的空间，它对Szlenk指标不超过$ω^α$的空间类是普适的.我们的证明涉及到开发一个表征，其中巴拿赫空间嵌入空间的FDD上Schreier空间估计。
Concerning summable Szlenk index
将可和Szlenk指标的概念从Banach空间推广到任意弱$^*$ -紧集.证明了弱$^*$ -紧集具有可和Szlenk指标当且仅当其弱$^*$ -闭绝对凸壳具有可和Szlenk指标.因此，我们提供了[Draga and Kochanek 2016]中关于Szlenk指数在$c_0$直和下的可求和性的结果的一个新的简短证明。我们还利用这个结果证明了两个巴拿赫空间的内射张量积具有可和的Szlenk指标，如果两个空间都有，这回答了[Draga and Kochanek 2017]中的一个问题。作为这个结果的最后一个结果，我们证明了一个可分的Banach空间具有可和的Szlenk指标当且仅当它嵌入到一个具有渐近$c_0$有限维分解的Banach空间中，这推广了[Odell et al 2008]中的一个结果。我们还在具有可和Szlenk指标的算子类$\mathfrak{S}$上引入了理想范数$\mathfrak{s}$，并证明了$(\mathfrak{S}, \mathfrak{s})$是Banach理想.对于$1\leqslant p\leqslant \infty$，我们证明了精确的结果关于Szlenk指数的可和性的$\ell_p$直接和的一组操作。
The Szlenk power type and tensor products of Banach spaces
证明了Szlenk指数至多为$ω$的巴拿赫空间的内射张量积的Szlenk幂型公式.我们还表明，Szlenk电源类型以及可求和的Szlenk指数是可分离的确定，我们延长了我们最近的一些结果有关的直和。
Direct sums and the Szlenk index
对于$α$为序数且$1<p<\infty$为序数的情形，给出了算子的$\ell_p$ -直和的Szlenk指标不超过$ω^α$的一个充要条件.从我们的结果可以看出，算子的$\ell_p$ -直和的Szlenk指标是由其被积项的$ε$ -Szlenk指标的行为自然地决定的.我们的方法给出了类似的结果$c_0$ -直和。
Banach spaces of bounded Szlenk index
对于可数序数a，我们用C_a表示可分自反巴拿赫空间类，其Szlenk指标和对偶空间的Szlenk指标都有界于a。我们证明了每个C_a都有一个可分的自反泛空间。我们还证明了类C_{omega^{a*omega}}中的空间嵌入到具有基的同类空间中。由此我们推出每个C_a在C[0，1]的子空间的Effros-Borel结构中是解析的。
Szlenk index of $C(K)\widehat{\otimes}_πC(L)$
我们计算了离散紧T2空间上连续函数的空间$C(K), C(L)$的任意张量积$C(K)\widehat{\otimes}_πC(L)$的Szlenk指标。特别地，我们证明了它简单地等于空间$C(K), C(L)$的Szlenk指数的最大值。我们推导出几个结果的非同构的$C(K)\widehat{\otimes}_πC(L)$和$C(M)$或$C(M)\widehat{\otimes}_πC(N)$的特定选择的$K,L,M,N$。
Szlenk indices of convex hulls
本文研究了定义在对偶巴拿赫空间子集上的非紧性的一般测度及其导子和$ω$ -迭代。我们引入了非紧性的可凸性和次线性测度的概念，并研究了与之相关的分片导子和片导子的性质。我们将所得结果应用于非紧性的Kuratowski测度和巴拿赫空间的Szlenk指数的研究。由此得到可分巴拿赫空间的Szlenk指标与凸Szlenk指标总是相等的.对于任意可数序数$α$，我们还利用等价重赋范的存在性给出了Szlenk指数以$ω^{α+1}$为界的巴拿赫空间的一个刻划.这推广了Knaust，Odell和Schlumprecht关于Szlenk指数等于$ω$的巴拿赫空间的一个结果.
The Szlenk Index of L_p(X)
本文利用对偶可分的巴拿赫空间$X$的Szlenk指标$Sz(X)$，得到了弱$^*$ -可凹性指标$Dz(X)$的最优上界.即，如果$\;Sz(X)=ω^α$，对于某些$α<ω_1$和$p\in(1,\infty)$，则$$Sz(X)\le Dz(X)\le Sz(L_p(X))\le {cases} ω^{α+1} &\text{if $α$ is a finite ordinal,} ω^α &\text{if $α$ is an infinite ordinal.} {cases}$$
Operator ideals associated with the Szlenk index
对于$α$的序数，我们调查类$\mathscr{SZ}_α$组成的所有运营商的Szlenk指数是一个序数不超过$ω^α$。我们的主要结果是，$\mathscr{SZ}_α$是一个封闭的，内射，满射算子理想的每个$α$。我们还研究了类$\mathscr{SZ}_α$和几个著名的闭算子理想之间的关系。
The Szlenk index and local l_1-indices
本文引入了两个新的局部l_1-指标：l_1^+-指标和l_1^+-弱空指标。证明了巴拿赫空间X的l_1^+-弱零指标与X的Szlenk指标相同，只要X不包含l_1. l_1^+-弱空指标与布尔增益l_1指标具有相同的形式：如果它是可数的，则它必须取值omega^alpha，其中某个alpha<omega_1。不同的l_1-指标是密切相关的，因此知道巴拿赫空间的Szlenk指标有助于我们通过l_1^+-弱零指标计算其局部l_1-指标。我们证明了I（C（omega^{omega^alpha}））=omega^{1+alpha+1}。
Asplund operators and the Szlenk index
对于$α$的序数，我们调查类$\mathscr{SZ}_α$组成的所有运营商的Szlenk指数是一个序数不超过$ω^α$。我们证明了每个类$\mathscr{SZ}_α$是一个闭算子理想，并研究了这些类的各种算子理想性质。研究了类$\mathscr{SZ}_α$与几个著名的闭算子理想之间的关系，得到了Asplund算子类的Szlenk指标的定量因子分解结果.
Concerning $q$-summable Szlenk index
对于每个序数$ξ$和每个$1\leqslant q<\infty$，我们定义了$ξ$ - $q$ -可求和Szlenk指标的概念.当$ξ=0$和$q=1$，这恢复了通常的可求和Szlenk指数的概念。定义了任意弱$^*$ -紧集上算子鞅型范数的超限渐近模拟$α_{ξ,p}$.我们证明了这个量是由赋范集决定的，并确定了Szlenk指标的$ξ$ -Szlenk幂型和$ξ$ - $q$ -可和性.这一事实使我们能够证明，在$α_{ξ,p}$规范下的算子的行为以最强的方式传递到Banach空间的内射张量积。进一步，我们结合Schlumprecht的一个结果证明了一个关于$α_{ξ,p}$幂型具有良好行为的可分Banach空间可以嵌入到一个具有收缩基且在$α_{ξ,p}$下具有相同行为的Banach空间中，特别是它可以嵌入到一个具有收缩基且具有相同$ξ$ -Szlenk幂型的Banach空间中.最后，我们完全阐明了$α_{ξ,p}$范数在$\ell_r$直和下的行为。这使我们能够给出一个替代的证明结果布鲁克关于Szlenk指数的$\ell_p$和$c_0$直接和的运营商。
Prescribed Szlenk index of separable Banch spaces
在以前的工作中，第一个命名的作者描述了一套$\cal P$的所有值的Szlenk指数的可分巴拿赫空间。证明了对任意整数$n$和$\cal P$中的任意序数$α$，存在可分Banach空间$X$使得$X$的$k$阶对偶的Szlenk对于$\{0,..,n-1\}$中的所有$k$等于第一无限序数$ω$，对于$k=n$等于$α$.其中一个要素是证明Lindenstrauss空间和它的对偶都有一个Szlenk指数等于$ω$。我们还表明，任何元素的$\cal P$可以实现为一个自反Banach空间的一个Szlenk指标与无条件基。
Absolutely convex sets of large Szlenk index
设$X$是Banach空间，$K$是$X^\ast$的绝对凸弱$^\ast$ -紧子集.我们研究的后果$K$有一个大的或未定义的Szlenk指数，并随后得出一些相关的结果，基本序列和通用运营商。证明了如果$X$有可数的Szlenk指数，则$X$有一个子空间$Y$，使得$Y$有一个基，并且$Y$的Szlenk指数与$X$的Szlenk指数相当.如果$X$是可分的，则$X$也允许子空间$Z$，使得商$X/Z$具有基，并且$X/Z$的Szlenk指标与$X$的Szlenk指标相当。我们还证明了对于给定的序数$ξ$，其Szlenk指数不小于或等于$ξ$的算子类有泛元当且仅当$ξ<ω_1$ ; W.B.作为推论，得到了Johnson关于从$\ell_1$到$\ell_\infty$的形式恒等映射是泛非紧算子的定理.更强的结果获得了运营商具有可分离的上域。
A note on the relationship between the Szlenk and $w^*$-dentability indices of arbitrary $w^*$-compact sets
证明了巴拿赫空间的对偶空间的任意$w^*$ -紧子集的Szlenk和$w^*$ -可齿性指标之间的最优估计.对于巴拿赫空间对偶的一个给定的$w^*$ -紧凸子集$K$，我们引入了一个两人博弈，其获胜策略决定了$K$的Szlenk指数.本文给出了巴拿赫空间和算子的$w^*$ -可凹性指标的应用。
Szlenk and $w^\ast$-dentability indices of the Banach spaces $C([0,α])$
设$α$是一个无穷序数，$γ$是满足$ω^{ω^γ}\leq α< ω^{ω^{γ+1}}$的唯一序数.证明了紧序区间$[0,\,α]$上连续标量值函数的Banach空间$C([0,\,α])$的Szlenk指数等于$ω^{γ+1}$，$w^\ast$ -可凹性指数等于$ω^{1+γ+1}$ .
Banach Spaces of Bounded Szlenk Index II
对于每一个$α<ω_1$，我们建立了一个可分Banach空间的存在，其Szlenk指数是$ω^{αω+1}$，这是普遍的所有可分巴拿赫空间的Szlenk指数不超过$ω^{αω}$。为了证明这一结果，我们提供了一个内在的特征，其中巴拿赫空间嵌入到一个空间允许FDD的上估计。
Factorization of Asplund operators
给出了巴拿赫空间上具有收缩FDD的算子$A:X\to Y$分解巴拿赫空间$Z$使得$Z$的Szlenk指标等于$A$的Szlenk指标的充要条件.证明了对任意序数$ξ\in (0, ω_1)\setminus\{ω^η: η<ω_1\text{\ a limit ordinal}\}$，存在一个具有收缩基和Szlenk指数$ω^ξ$的巴拿赫空间$\mathfrak{G}_ξ$，使得对任意可分巴拿赫空间$X$和任意Szlenk指数小于$ω^ξ$的算子$A:X\to Y$，$A$通过子空间和$\mathfrak{G}_ξ$的商因子分解，并且如果$X$具有收缩FDD，$A$通过$\mathfrak{G}_ξ$因子分解.
Szlenk and $w^*$-dentability indices of $C(K)$
给定任意紧Hausdorff空间$K$和$1<p<\infty$，我们计算了空间$C(K)$和$L_p(C(K))$的Szlenk和$w^*$可分性指数.我们证明了如果$K$是紧的，Hausdorff的，分散的，$CB(K)$是$K$的Cantor-Bendixson指标，$ξ$是使得$CB(K)\leqslant ω^ξ$的最小序数，则$Sz(C(K))=ω^ξ$和$Dz(C(K))=Sz(L_p(C(K)))= ω^{1+ξ}.$
$Sz(\cdot)\leqslant ω^ξ$ is rarely a three space property
我们证明了对于任何非零的可数序数$ξ$不是加法不可分解的，其Szlenk指数不超过$ω^ξ$的性质不是一个三空间性质.这补充了Brooker和Lancien的结果，该结果指出，如果$ξ$是加法不可分解的，则Szlenk指数不超过$ω^ξ$是三空间性质。
Szlenk and $w^\ast$-dentability indices of C$^\ast$-algebras
本文计算无限维C*-代数及其 $L_p$ 空间的 Szlenk 指数和 $w^\ast$-可凹性指数，并给出张量积公式及可分情形下由单个自伴元生成子代数实现指数的结论。
The dual of the Bourgain-Delbaen space
证明了Bourgain和Delbaen构造的具有可分对偶的脚本L_infty-空间具有小的Szlenk指标，因而不具有同构于C（omega^omega）的商.因此，这是一个脚本L_infty空间，其大小与Szlenk索引意义上的c_0相同，但不包含c_0。这在巴拿赫空间的一致同胚理论中有一些结果。
A new metric invariant for Banach spaces
证明了如果巴拿赫空间$X$的Szlenk指标大于第一无限序数$ω$或其对偶的Szlenk指标大于$ω$，则所有具有双曲距离度量的有限整数序列的树嵌入到$X$中.我们证明了当$X$被假设为自反时，反之亦然。作为应用，我们展示了新的类的巴拿赫空间是稳定的粗Lipschitz嵌入下，因此一致同胚。
On the embeddability of the family of countably branching trees into quasi-reflexive Banach spaces
本文将F. Baudier，N. Kalton和G. Lancien关于可数分枝树族在自反Banach空间中的不可嵌入性，其Szlenk指数和来自对偶的Szlenk指数都等于第一无限序数$ω$。特别是，我们表明，家庭的可数分支树既不嵌入到詹姆斯空间$\mathcal{J}_p$，也不进入其对偶空间$\mathcal{J}_p^*$为$p\in(1,\infty)$。
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