零空间性质与限制等距性质之间的差距

线性变换与限制等距性

Linear Transformations and Restricted Isometry Property

由Candés和Tao提出的限制等距性质（RIP）是压缩感知理论中的一个基本性质。它说，如果采样矩阵满足与信号的稀疏度成比例的特定阶的RIP，则即使采样矩阵提供的样本向量在大小上比原始信号小得多，也可以重构原始信号。这个简短的说明解决了线性变换如何影响RIP的问题。这个问题产生于对扩展感知矩阵的考虑和在不同基础上使用压缩感知。作为应用，将所得结果应用于压缩感知中冗余字典的设置。

正交匹配追踪的严格限制等距常数界

A Sharp Restricted Isometry Constant Bound of Orthogonal Matching Pursuit

我们将证明，如果测量矩阵$A$的限制等距常数（RIC）$δ_{s+1}(A)$满足$$ δ_{s+1}(A) < \frac{1}{\sqrt{s + 1}}, $$，则贪心算法正交匹配追踪（OMP）将成功。也就是说，OMP可以在$s$迭代中从$b = Ax$恢复每个$s$ -稀疏信号$x$。此外，我们将证明RIC的上界在以下意义上是尖锐的。对于任何给定的$s \in \N$，我们将构造具有RIC $$ δ_{s+1}(A) = \frac{1}{\sqrt{s + 1}} $$的矩阵$A$，使得OMP在$s$迭代中不能恢复一些$s$稀疏信号$x$。

正交匹配追踪中约束等距常数的改进界

Improved Bounds on the Restricted Isometry Constant for Orthogonal Matching Pursuit

在这封信中，我们首先构造了一个反例来证明对于任何给定的正整数$K\geq 2$和任何$\frac{1}{\sqrt{K+1}}\leq t<1$，总是存在一个$K-$稀疏$\x$和一个矩阵$\A$与限制等距常数$δ_{K+1}=t$，使得OMP算法在$K$迭代失败。其次，我们证明了即使当$δ_{K+1}=\frac{1}{\sqrt{K}+1}$时，OMP算法也可以在$K$迭代中从$\y=\A\x$完美地恢复每个$K-$稀疏向量$\x$。这改进了Mo等人和Wang等人独立给出的现有最佳结果。

随机子字典的限制等距性

Restricted isometry property of random subdictionaries

我们研究统计限制等距，稀疏信号恢复密切相关的属性，大小为$m \times N$的确定性传感矩阵。一个矩阵被称为具有$k$阶的统计限制等距性质（StRIP），如果大多数具有$k$列的子矩阵定义了${\mathbb R}^k$到${\mathbb R}^m$的近等距映射。作为我们的主要结果，我们建立了一个矩阵的StRIP性质的相互相干性和均方相干性的充分条件。我们发现，对于许多现有的确定性的采样矩阵，$m=O(k)$行足够的$k$ -StRIP，这是一个改进的已知估计的$m = Θ(k \log N)$或$m = Θ(k\log k)$。我们还给出了矩阵家庭的例子，表明有StRIP属性使用我们的充分条件。

On the restricted isometry property of the Paley matrix

In this paper, we prove that the Paley graph conjecture implies that the Paley matrix has restricted isometry property (RIP) beating the square-root bottleneck for the sparsity level. Moreover, we show that the RIP of the Paley matrix implies an improved bound on the size of transitive subtournaments in the Paley tournament.

On the Restricted Isometry Property of Centered Self Khatri-Rao Products

In this work we establish the Restricted Isometry Property (RIP) of the centered column-wise self Khatri-Rao (KR) products of $n\times N$ matrix with iid columns drawn either uniformly from a sphere or with iid sub-Gaussian entries. The self KR product is an $n^2\times N$-matrix which contains as columns the vectorized (self) outer products of the columns of the original $n\times N$-matrix. Based on a result of Adamczak et al. we show that such a centered self KR product with independent heavy tailed columns has small RIP constants of order $s$ with probability at least $1-C\exp(-cn)$ provided…

具有受限Isometry特性的噪声1位压缩感知嵌入

Noisy 1-Bit Compressed Sensing Embeddings Enjoy a Restricted Isometry Property

我们研究了由高斯测量给出的1比特压缩感知的符号线性嵌入。人们可以给出简短的参数有关的限制等距性质的地图使用Vapnik-Chervonenkis维稀疏半球。这种方法对量化之前的加性白噪声的存在具有自然扩张。噪声一位映射示出，以满足RIP时的度量的领域是由噪声。

基于约束等距性的$\ell_q$最小化稀疏信号恢复

Sparse signal recovery by $\ell_q$ minimization under restricted isometry property

在压缩感知的背景下，非凸$\ell_q$最小化与$0<q<1$近年来已被研究。本文通过推广蔡和张的$\ell_1$极小化的锐界，证明了用\emph{restricted isometry constant (RIC)}表示的条件$δ_{(s^q+1)k}<\dfrac{1}{\sqrt{s^{q-2}+1}}$能保证在无噪声情况下$k$ -稀疏信号的精确恢复，在有噪声情况下$\ell_q$极小化能保证近似$k$ -稀疏信号的稳定恢复.当RIC的阶数大于$2k$时，该结果比$\ell_1$最小化的尖锐界限更一般，并且说明了这样一个事实：与$\ell_1$最小化提供的最佳逼近相比，$\ell_q$最小化提供了对$\ell_0$最小化的更佳逼近。

稀疏信息量化网络编码中的受限等距性

Restricted Isometry Property in Quantized Network Coding of Sparse Messages

本文从压缩感知的角度研究了节点间相关信息的联合网络编码和分布式信源编码。具体而言，鲁棒的$\ell_1$ -min恢复的一组线性网络编码的稀疏消息的理论保证进行了研究。我们讨论了量化网络编码消息的$\ell_1$ -min解码的保证，使用\cite{naba}中建议的本地网络编码系数，基于所得到的测量矩阵的受限等距属性（RIP）。此外，我们还导出了$\ell_2$ -范数的尾概率与RIP的满足度之间的关系，并将我们设计的测量矩阵与i.i.d.高斯测量矩阵最后，我们提出了我们的数值评估，这表明，所提出的网络编码系数的设计结果与RIP行为的测量矩阵，类似于i.i.d.高斯矩阵

On the Restricted Isometry of the Columnwise Khatri-Rao Product

The columnwise Khatri-Rao product of two matrices is an important matrix type, reprising its role as a structured sensing matrix in many fundamental linear inverse problems. Robust signal recovery in such inverse problems is often contingent on proving the restricted isometry property (RIP) of a certain system matrix expressible as a Khatri-Rao product of two matrices. In this work, we analyze the RIP of a generic columnwise Khatri-Rao product matrix by deriving two upper bounds for its $k^{\text{th}}$ order Restricted Isometry Constant ($k$-RIC) for different values of $k$. The first RIC boun…

认证受限的isometry属性很难

Certifying the restricted isometry property is hard

本文研究了压缩感知中一个重要的矩阵条件--约束等距性。我们证明了测试矩阵是否满足RIP是NP难的。由于我们的结果，它是不可能有效地测试RIP提供P \neq NP。

约束等距随机变量：高斯编码器的概率分布、RIC预测和相变分析

Restricted Isometry Random Variables: Probability Distributions, RIC Prediction and Phase Transition Analysis for Gaussian Encoders

在本文中，我们的目的是推广的概念，限制等距常数（RIC）的压缩感知（CS）的限制等距随机变量（RIV）。与确定性编码器相关联的是两个RIC，即左RIC和右RIC。我们表明，这些RIC可以推广到左RIV和右RIV的合奏随机编码器。我们推导出最广泛使用的i.i.d.这些RIV的概率和累积分布函数。高斯编码器。我们还推导出的RIV的渐近分布，并表明，左RIV的分布收敛（分布）的威布尔分布，而右RIV收敛到Gumbel分布。通过采用RIV框架，我们指出，目前使用特征值进行RIC预测的做法可以得到改进。一方面，我们表明，基于特征值的方法往往高估RIC。另一方面，基于RIV的分析产生RIC的精确估计。我们还表明，这种精确的估计有助于改善以前的RIC为基础的相变分析CS。

时频结构随机矩阵的约束等距性

The restricted isometry property for time-frequency structured random matrices

我们建立了有限维Gabor系统的限制等距属性，也就是说，对于一个随机选择的窗口函数的时间-频率移位的家庭。我们证明了在$s \leq c \, n^{2/3} / \log^2 n$的条件下，相应的$n \times n^2$ Gabor综合矩阵的$s$阶限制等距常数是很小的.这改进了先前在$s$中展示$n$的二次缩放的估计。我们的证明发展相应的混沌过程的界限。

随机压缩下子空间投影矩阵的约束等距性

Restricted Isometry Property of Subspace Projection Matrix Under Random Compression

结构在信号处理领域起着重要的作用。低秩矩阵作为结构数据的代表，其约束等距性（RIP）一直是压缩信号处理中的重要研究课题。子空间投影矩阵是一种具有附加结构的低秩矩阵，它可以进一步降低其固有维数。这为改进其RIP留下了空间，可以作为压缩子空间投影矩阵恢复的基础。本文研究了子空间投影矩阵在随机正交压缩下的RIP问题。考虑到$\mathbb{R}^N$中的$s$维子空间的子空间投影矩阵构成$\mathbb{R}^{N\times N}$中的$s(N-s)$维子流形的事实，我们的主要关注点被转化为这类子流形到$\mathbb{R}^{N\times N}$中的稳定嵌入.结果表明，通过随机测量的$O(s(N-s)\log N)$次数，保证了子空间投影矩阵的RIP。

混沌过程的超极大与限制性Isometry性质

Suprema of Chaos Processes and the Restricted Isometry Property

基于链式方法，给出了一类特殊的矩阵指标混沌过程的上界的一个新的界。作为应用，我们显着改进的估计部分随机循环矩阵和时频结构的随机矩阵的限制等距常数。在这两种情况下，关于稀疏度$s$和向量长度$n$的行数$m$的所需条件是$m \gtrsim s \log^2 s \log^2 n$。

Improved Lower Bounds for the Restricted Isometry Property of Subsampled Fourier Matrices

Let $A$ be an $N \times N$ Fourier matrix over $\mathbb{F}_p^{\log{N}/\log{p}}$ for some prime $p$. We improve upon known lower bounds for the number of rows of $A$ that must be sampled so that the resulting matrix $M$ satisfies the restricted isometry property for $k$-sparse vectors. This property states that $\|Mv\|_2^2$ is approximately $\|v\|_2^2$ for all $k$-sparse vectors $v$. In particular, if $k = Ω( \log^2{N})$, we show that $Ω(k\log{k}\log{N}/\log{p})$ rows must be sampled to satisfy the restricted isometry property with constant probability.

下采样Fourier矩阵的限制等距性

The Restricted Isometry Property of Subsampled Fourier Matrices

一个矩阵$A \in \mathbb{C}^{q \times N}$满足$k$阶的约束等距性质，其中$\varepsilon$为常数，如果它保持所有$k$ -稀疏向量的$\ell_2$范数直到因子$1\pm \varepsilon$ .证明了从$N \times N$傅立叶矩阵中随机抽取$q = O(k \cdot \log^2 k \cdot \log N)$行得到的矩阵$A$满足阶$k$的限制等距性，且具有高概率的固定$\varepsilon$.这改进了Rudelson和Vershynin（Comm. Pure Appl. Math.，2008），其随后的改进，和Bourgain（GAFA研讨会笔记，2014）。

Hierarchical restricted isometry property for Kronecker product measurements

Hierarchically sparse signals and Kronecker product structured measurements arise naturally in a variety of applications. The simplest example of a hierarchical sparsity structure is two-level $(s,σ)$-hierarchical sparsity which features $s$-block-sparse signals with $σ$-sparse blocks. For a large class of algorithms recovery guarantees can be derived based on the restricted isometry property (RIP) of the measurement matrix and model-based variants thereof. We show that given two matrices $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ having the standard $s$-sparse and $σ$-sparse RIP their Kronecker product $\…

压缩感知矩阵约束等距的确定性界

Deterministic Bounds for Restricted Isometry of Compressed Sensing Matrices

压缩感测（CS）是一个新兴领域，其使得能够从少量$m \ll n$的线性投影重构仅具有$k \ll n$非零系数的稀疏信号$x \in {\mathbb R} ^n$。通过将$x$乘以矩阵$Φ\in {\mathbb R}^{m \times n}$ --称为CS矩阵--获得投影，其中$k < m \ll n$。在这项工作中，我们提出以下问题：给定定义CS问题大小的三重$\{k, m, n \}$，在${\mathbb R}^{m \times n}$中最好的CS矩阵的性能的确定性限制是什么？我们选择限制等轴测作为性能指标。本文利用$n$，$m$和$k$给出了${\mathbb R}^{m \times n}$中矩阵的限制等距的两个确定性逆界和一个确定性可达界.利用子矩阵奇异值与完全矩阵奇异值之间的复杂关系，得到了第一个逆界（结构界）。通过认识CS矩阵与Grassmannian空间上码的等价性，得到了CS矩阵的第二逆界（填充界）和可达界（覆盖界）。仿真结果表明，随机高斯$Φ$提供远离最佳性能。这三个界限的推导提供了几个新的几何见解，涉及最佳CS矩阵等角紧框架，韦尔奇界，代码格拉斯曼空间，和广义勾股定理（GPT）。

具有随机单位模向量的秩一测量的限制等距性质

Restricted Isometry Property of Rank-One Measurements with Random Unit-Modulus Vectors

本文研究非独立同分布秩一测量下的RIP问题，证明由随机单位模向量构造的测量矩阵仍以高概率满足RIP，并通过实验验证其内存高效且低秩恢复性能与传统i.i.d.矩阵相当。

压缩感知中受限Isometry性质、零空间性质及相关概念的计算复杂性

The Computational Complexity of the Restricted Isometry Property, the Nullspace Property, and Related Concepts in Compressed Sensing

本文讨论了求欠定线性系稀疏解的NP难问题能用有效算法求解的条件的计算复杂性。在文献中，已经介绍了几个这样的条件。其中最著名的是互相干性、限制等距性（RIP）和零空间性（NSP）。虽然评估给定矩阵的互相干性很容易，但一段时间以来一直怀疑评估RIP和NSP通常在计算上难以处理。我们确认这些结构，表明对于一个给定的矩阵A和正整数k，计算RIP或NSP持有的最佳常数，在一般情况下，NP-困难。这些结果是基于确定矩阵的火花是NP难的事实，这也是本文所建立的。此外，我们还给出了与上述概念相关的几个问题的复杂性陈述。

满足受限等距性质的最优行数与略少随机性

Satisfying the Restricted Isometry Property with the Optimal Number of Rows and Slightly Less Randomness

本文构造了行数最优的受限等距性质矩阵，仅用少量随机比特，通过推广 Hanson-Wright 不等式实现。

非凸$l_q$分析框架的限制$q$ -等距性质

Restricted $q$-Isometry Properties Adapted to Frames for Nonconvex $l_q$-Analysis

本文讨论了在信号稀疏或近似稀疏的情况下，利用$0<q\leq 1$进行$l_q$ -分析优化，在一般框架下从少量测量数据重构信号的问题。本文首先引入了适用于字典的受限$q$等距性（$q$-RIP）的概念，它是标准$q$-RIP的自然推广，并通过$l_q$ -分析优化建立了信号近似重构的广义$q$-RIP条件.然后，我们确定需要多少随机高斯测量才能使条件以高概率成立。对于更小的$q$，比当$q=1$时更少的测量满足所得到的充分条件。所介绍的广义$q$ -RIP在压缩数据分离中也是有用的。在压缩数据分离中，人们考虑从很少的测量中重建信号的不同子分量的问题，这些子分量在形态上不同的字典中是（近似）稀疏的。通过广义$q$-RIP的概念，我们证明，在字典满足互相关条件的通常假设下，使用$0<q\leq1 $的$l_q$分裂分析可以在较小的$q$下从比$q=1$时更少的随机高斯测量中近似重建不同的分量

Instance Optimal Decoding and the Restricted Isometry Property

In this paper, we address the question of information preservation in ill-posed, non-linear inverse problems, assuming that the measured data is close to a low-dimensional model set. We provide necessary and sufficient conditions for the existence of a so-called instance optimal decoder, i.e., that is robust to noise and modelling error. Inspired by existing results in compressive sensing, our analysis is based on a (Lower) Restricted Isometry Property (LRIP), formulated in a non-linear fashion. We also provide sufficient conditions for non-uniform recovery with random measurement operators, w…

Unraveling the Veil of Subspace RIP Through Near-Isometry on Subspaces

Dimensionality reduction is a popular approach to tackle high-dimensional data with low-dimensional nature. Subspace Restricted Isometry Property, a newly-proposed concept, has proved to be a useful tool in analyzing the effect of dimensionality reduction algorithms on subspaces. In this paper, we provide a characterization of subspace Restricted Isometry Property, asserting that matrices which act as a near-isometry on low-dimensional subspaces possess subspace Restricted Isometry Property. This points out a unified approach to discuss subspace Restricted Isometry Property. Its power is furth…

非相干字典与统计限制等距性

Incoherent dictionaries and the statistical restricted isometry property

在这篇文章中，我们提出了一个统计版本的Candes-Tao限制等距属性（简称SRIP），它一般适用于任何不相干的字典，这是一个不相交的标准正交基的联合。此外，在适当的归一化下，相关的格拉姆矩阵的特征值根据维格纳周期分布在1附近波动。然后将结果应用到各种字典中自然出现的有限谐波分析的设置，给，特别是一个更好的理解上的一句话的Applebaum霍华德Searle-Calderbank关于RIP的海森堡字典啁啾一样的功能。

随机矩阵限制isometry常数的界

Bounds on restricted isometry constants of random matrices

在本文中，我们研究随机矩阵的等距性质。在过去的十年中，这些属性获得了大量的关注，在一个领域称为压缩传感摆在首位，由于他们最初使用的\cite{CRT,CT}。也就是说，在\cite{CRT,CT}中，这些量被用作严格分析$\ell_1$优化求解具有稀疏解的欠定线性方程组系统的能力的关键工具。在这样一个框架中，一种特殊类型的等距，称为限制等距，起着关键作用。然后，人们通常会引入一对数量，称为上限和下限限制等距常数来表征随机矩阵的等距性质。这些常数通常被视为数学对象的兴趣和他们的精确表征是可取的。压缩感知中这些量的首次估计在\cite{CRT,CT}中给出。随着对精确估计的需求进一步增长，这些初始估计值得到了更精细的改进，例如\cite{BCTsharp09,BT10}。这些通常通过联合绑定策略和Wishart（高斯）矩阵的极端特征值的强大尾部估计的组合来获得（参见例如\cite{Edelman88}）。在本文中，我们试图绕过这种方法，并提供了一种替代方法来获得类似的估计。

两个压缩稀疏向量在范数/距离约束下的夹角：一种平面几何方法

Achievable Angles Between two Compressed Sparse Vectors Under Norm/Distance Constraints Imposed by the Restricted Isometry Property: A Plane Geometry Approach

在压缩感知（compressive sensing，CS）问题的研究中，两个压缩稀疏向量之间的夹角受到感知矩阵的约束等距性（restricted isometric property，RIP）所施加的范数/距离约束，起着至关重要的作用。假设（i）u和v是两个稀疏的向量分开的角度theta，和（ii）的传感矩阵Φ满足RIP，本文的目的是在分析表征Φ *u和Φ * v之间的可实现的角度。出于RIP的几何解释和众所周知的余弦定律的帮助下，我们提出了一个平面几何为基础的制定所考虑的问题的研究。结果表明，所有RIP诱导的范数/距离的限制Phi*u和Phi*v可以共同描绘通过一个简单的几何图中的二维平面。这允许从几何角度对所有考虑的代数约束进行联合分析。通过进行平面几何分析的基础上所构造的图，最大和最小可达角的封闭形式的公式推导。计算机模拟证实，所提出的解决方案是严格的比现有的基于代数的估计使用极化身份。所得到的结果被用来推导出一个更严格的限制等距常数的结构化传感矩阵的某种，即，那些在产品的正交投影矩阵和随机传感矩阵的形式。后续应用程序的三个CS问题，即，压缩域干扰消除，基于RIP的分析的正交匹配追踪算法，和研究民主性质的随机感测矩阵进行了研究。

非相干字典的统计限制等距性和Wigner周期分布

The statistical restricted isometry property and the Wigner semicircle distribution of incoherent dictionaries

在这篇文章中，我们提出了一个统计版本的Candes-Tao限制等距属性（简称SRIP），它一般适用于任何不相干的字典，这是一个不相交的标准正交基的联合。此外，我们表明，在适当的规范化，相关的革兰氏矩阵的特征值波动在1左右，根据Wigner周期分布。然后将结果应用到各种字典中自然出现的有限谐波分析的设置，给，特别是一个更好的理解上的一句话的Applebaum霍华德Searle-Calderbank关于RIP的海森堡字典啁啾一样的功能。

压缩感知：受限等距特性有多尖锐

Compressed Sensing: How sharp is the Restricted Isometry Property

压缩感知（CS）试图通过进行远少于$N$的测量来恢复具有$N$条目的未知向量;它假定压缩感知测量的数量应该与向量的信息内容相当，而不仅仅是$N$。CS将压缩的重要任务与测量任务直接结合起来。自2004年引入以来，已经有数百篇关于CS的手稿，其中很大一部分开发了从压缩测量中恢复信号的算法。由于CS的自相矛盾的性质-从表面上欠采样的测量精确重建-这是至关重要的接受一个算法，严格的分析验证欠采样的程度算法允许。在这种情况下，限制等距属性（RIP）已成为用于分析的主要工具。我们在这里提出了一个不对称形式的RIP，它提供了更严格的界限比通常的对称。我们给出了最好的已知的界限RIP常数的矩阵从高斯系综。我们的推导说明了CS的组合性质是控制的方式。我们对RIP的定量界限允许精确的声明，如何积极的信号可以被欠采样，从业者的基本问题。我们还记录了RIP提供精确的信息CS的真实性能限制的程度，通过比较从高维几何的方法。

Rigorous Restricted Isometry Property of Low-Dimensional Subspaces

Dimensionality reduction is in demand to reduce the complexity of solving large-scale problems with data lying in latent low-dimensional structures in machine learning and computer version. Motivated by such need, in this work we study the Restricted Isometry Property (RIP) of Gaussian random projections for low-dimensional subspaces in $\mathbb{R}^N$, and rigorously prove that the projection Frobenius norm distance between any two subspaces spanned by the projected data in $\mathbb{R}^n$ ($n<N$) remain almost the same as the distance between the original subspaces with probability no less tha…

随机块对角矩阵的限制等距性

The Restricted Isometry Property for Random Block Diagonal Matrices

在压缩感知中，限制等距属性（RIP）确保通过计算上易于处理的算法从噪声、欠采样测量中稳健地恢复稀疏向量是可能的。众所周知，高斯（或更一般地，亚高斯）随机矩阵在测量次数的某些条件下满足RIP。然而，由于存储限制、计算考虑或此类矩阵与某些测量架构的不匹配，它们的使用在实践中可能受到限制。这些问题最近激发了相当大的努力，对结构化随机矩阵的RIP研究。在本文中，我们研究的RIP块对角测量矩阵的主对角线上的每个块本身是一个亚高斯随机矩阵。我们的主要结果表明，这样的矩阵确实可以满足RIP，但所需的测量次数取决于某些性质的基础上，其中的信号是稀疏的。在最好的情况下，这些矩阵的性能几乎与密集高斯随机矩阵一样好，尽管非零元素少得多。

置换满足并行压缩感知：如何放松2D稀疏信号的受限等距性

Permutation Meets Parallel Compressed Sensing: How to Relax Restricted Isometry Property for 2D Sparse Signals

传统的压缩感知考虑对1D信号进行采样。对于多维信号，如果将其整形为向量，则所需的感测矩阵的大小变得非常大，这显著增加了存储和计算复杂性。为了解决这个问题，我们提出将多维信号整形为2D信号，并使用压缩感知逐列地对具有相同的感知矩阵的2D信号进行采样。它被称为并行压缩感知，并且它具有低得多的存储和计算复杂性。对于给定的并行压缩感知重构性能，如果对2D信号应用所谓的可接受置换，我们表明相应的感知矩阵具有较小的限制等距属性条件所需的阶数，从而进一步降低了存储和计算要求。一个基于扫描的置换，这是特别有用的信号满足层模型，介绍和研究。作为并行压缩感知的一个应用，提出了一种基于扫描置换的视频压缩方案。研究表明，基于之字形扫描的置换提高了重建图像和视频帧的峰值信噪比。

具有受限Isometry性质的显式矩阵：突破平方根瓶颈

Explicit Matrices with the Restricted Isometry Property: Breaking the Square-Root Bottleneck

具有约束等距性质（RIP）的矩阵在压缩感知中特别有意义。迄今为止，最著名的RIP矩阵是使用随机过程构造的，而显式构造因在“平方根瓶颈”处执行而臭名昭著，即，它们仅接受测量数量的平方根量级的稀疏水平。唯一已知的超越这一瓶颈的显式矩阵是由Bourgain、Dilworth、Ford、Konyagin和Kutzarova构造的。本章提供了三个贡献，以进一步开创性的工作布尔甘等人。：(i)我们开发了一个直观的矩阵建设和基本的证明技术;（ii）我们证明了他们的主要结果的广义版本;（iii）我们应用这个更一般的结果，以最大限度地提高他们的矩阵建设超越平方根瓶颈的程度。

Restricted Isometry Property of Gaussian Random Projection for Finite Set of Subspaces

Dimension reduction plays an essential role when decreasing the complexity of solving large-scale problems. The well-known Johnson-Lindenstrauss (JL) Lemma and Restricted Isometry Property (RIP) admit the use of random projection to reduce the dimension while keeping the Euclidean distance, which leads to the boom of Compressed Sensing and the field of sparsity related signal processing. Recently, successful applications of sparse models in computer vision and machine learning have increasingly hinted that the underlying structure of high dimensional data looks more like a union of subspaces (…

部分随机循环矩阵的限制等距

Restricted Isometries for Partial Random Circulant Matrices

在压缩感知理论中，限制等距分析已经成为研究测量矩阵如何有效地获取关于稀疏和可压缩信号的信息的标准工具。已知许多恢复算法在采样矩阵的限制等距常数很小时成功。压缩传感的许多潜在应用涉及数据采集过程，该过程通过与随机脉冲进行卷积，然后进行（非随机）子采样。目前，对这种测量技术的理论分析还很缺乏。本文证明了当样本数$m$满足$m \gtrsim (s \log n)^{3/2}$时，$s$阶限制等距常数很小，其中$n$为脉冲长度。这个界限改善了以前的估计，表现出二次缩放。

限制等距常数的对称界

Replica Symmetric Bound for Restricted Isometry Constant

本文提出了一种计算限制等距常数（RIC）的方法。这种评估被减少到熵的零点的识别，这是定义为从一个给定的测量矩阵中选择的列组成的子矩阵。利用统计力学中的副本方法，在副本对称（RS）假设下，我们评估了高斯随机矩阵的RIC。为了在数值上验证我们的分析的充分性，我们采用了交换蒙特卡罗（EMC）方法，这已被经验证明，以实现更高的数值精度比天真的蒙特卡罗方法。EMC的方法表明，我们的理论估计的RIC对应的上限，比以前的研究更严格。物理上的考虑表明，我们的RIC的评估可以通过考虑副本对称性破缺得到改善。

一种强限制等距性质，及其在相位缺失压缩感知中的应用

A strong restricted isometry property, with an application to phaseless compressed sensing

本文提出强限制等距性质（SRIP），用于相位缺失压缩感知，证明在满足SRIP的条件下，通过最小化ℓ1范数可恢复信号，并展示随机高斯矩阵满足SRIP，从而实现相位缺失压缩感知。

The Restricted Isometry Property of Block Diagonal Matrices for Group-Sparse Signal Recovery

Group-sparsity is a common low-complexity signal model with widespread application across various domains of science and engineering. The recovery of such signal ensembles from compressive measurements has been extensively studied in the literature under the assumption that measurement operators are modeled as densely populated random matrices. In this paper, we turn our attention to an acquisition model intended to ease the energy consumption of sensing devices by splitting the measurements up into distinct signal blocks. More precisely, we present uniform guarantees for group-sparse signal r…

抖动时间：通过限制等距属性实现快速量化随机嵌入

Time for dithering: fast and quantized random embeddings via the restricted isometry property

最近，许多工作集中在通过量化线性嵌入获得的非线性降维方法的表征上，例如，以达到快速的处理时间、有效的数据压缩过程、新颖的几何保持嵌入或估计存储在该简化的数据表示中的信息/比特。在这项工作中，我们证明了许多已知的线性映射尊重限制等距属性（RIP）可以诱导一个量化的随机嵌入与可控的乘法和加法失真的数据点被认为是成对的距离。换句话说，具有快速矩阵向量乘法算法的线性矩阵（例如，基于部分傅立叶系综或基于不平衡扩展器的邻接矩阵）可以容易地用于定义具有小失真的快速量化嵌入。通过在线性映射之后立即应用加性和随机“抖动”来稳定之后应用的均匀标量量化算子的影响，使得这种含义成为可能。对于不同类别的RIP矩阵，即，对于度量空间$(\mathcal K \subset \mathbb R^n, \ell_q)$在具有$p,q \geq 1$的$(\mathbb R^m, \ell_p)$中的不同线性嵌入，我们导出了由量化引起的加性失真的上界，表明当嵌入维数$m$增加或当$\mathcal K$中嵌入向量对的距离减小时，它衰减。最后，我们开发了一种新的“双抖动”的量化方案，它允许减少失真，降低嵌入维数的增长和独立的考虑对向量。

极端渐近条件下受限等距常数的界：高斯矩阵的公式

Bounds of restricted isometry constants in extreme asymptotics: formulae for Gaussian matrices

本文针对高斯矩阵，在三种极端渐近条件下给出了受限等距常数的显式公式，并讨论了其对压缩感知算法分析的意义。

限制等距的一个条件构造

A conditional construction of restricted isometries

研究了由离散傅里叶变换矩阵通过收集以二次剩余为索引的行而构造的矩阵的限制等距性。我们发现一个$ε>0$，这样，在数论中的民间传说猜想的条件下，这个矩阵满足稀疏参数$K=Ω(M^{1/2+ε})$，其中$M$是行数的限制等距属性。

通过受限等距属性绘制任意集合的等距草图

Isometric sketching of any set via the Restricted Isometry Property

在本文中，我们表明，为降维的目的，某些类的结构随机矩阵的行为类似于随机高斯矩阵。这个类包括几个矩阵，矩阵向量乘法可以在对数线性时间内计算，提供有效的降维一般集。特别是，我们表明，使用这样的矩阵从高维的任何一组可以嵌入到较低的维度接近最佳失真。我们得到我们的结果通过连接任何一组的降维稀疏向量的降维通过一个链接参数。

Deriving RIP sensing matrices for sparsifying dictionaries

Compressive sensing involves the inversion of a mapping $SD \in \mathbb{R}^{m \times n}$, where $m < n$, $S$ is a sensing matrix, and $D$ is a sparisfying dictionary. The restricted isometry property is a powerful sufficient condition for the inversion that guarantees the recovery of high-dimensional sparse vectors from their low-dimensional embedding into a Euclidean space via convex optimization. However, determining whether $SD$ has the restricted isometry property for a given sparisfying dictionary is an NP-hard problem, hampering the application of compressive sensing. This paper provides…

约束等距下的压缩感知与仿射秩最小化

Compressed Sensing and Affine Rank Minimization under Restricted Isometry

本文建立了压缩感知和仿射秩最小化的新的约束等距条件。它示出的压缩感知，$δ_{k}^A+θ_{k,k}^A < 1$保证精确恢复的所有$k$稀疏信号在无噪声的情况下，通过约束$\ell_1$最小化。此外，上界1在以下意义上是尖锐的：对于任何$ε> 0$，条件$δ_k^A + θ_{k, k}^A < 1+ε$不足以保证使用任何恢复方法的这种精确恢复。类似地，对于仿射秩最小化，如果$δ_{r}^\mathcal{M}+θ_{r,r}^\mathcal{M}< 1$，则所有秩至多为$r$的矩阵可以通过约束核范数最小化在无噪声情况下精确地重建;并且对于任何$ε> 0$，$δ_r^\mathcal{M} +θ_{r,r}^\mathcal{M} < 1+ε$不确保使用任何方法进行这样的精确恢复。此外，在噪声情况下，条件$δ_{k}^A+θ_{k,k}^A < 1$和$δ_{r}^\mathcal{M}+θ_{r,r}^\mathcal{M}< 1$也足以分别稳定恢复稀疏信号和低秩矩阵。还讨论了应用和扩展。

高斯矩阵受限等距常数的改进界

Improved Bounds on Restricted Isometry Constants for Gaussian Matrices

本文通过利用共享大量列的矩阵奇异值相似性，改进了高斯矩阵的受限等距常数（RIC）上界，这是目前已知的大规模矩形矩阵的最小RIC界。

秩约束矩阵LASSO全局极小值的尖锐受限等距阈值

Sharp Restricted Isometry Thresholds for Global Minima of Rank-Restricted Matrix LASSO

该研究确定了秩约束矩阵LASSO全局极小值处恢复的尖锐受限等距阈值，推导了对应误差界，还得到稀疏约束向量LASSO的类似结果，并证明该阈值无法改进。

弱正交匹配追踪的新相干性和RIP分析

New Coherence and RIP Analysis for Weak Orthogonal Matching Pursuit

本文定义了一个新的词典相干性指标，即全局2-相干性，并研究了它与传统的互相干性和约束等距常数的关系。通过探索这种关系，我们得到了更一般的结果稀疏信号重建使用贪心算法的压缩感知（CS）框架。特别是，我们得到了一个改进的约束等距常数的最佳已知的结果，成功地恢复稀疏信号，使用正交匹配追踪（OMP）。

基于限制等距性的网络短时记忆容量

Short Term Memory Capacity in Networks via the Restricted Isometry Property

皮质网络被假设依赖于瞬时网络活动来支持短期记忆（STM）。本文研究了当输入信号在一定基下近似稀疏时，随机连接递归线性网络进行短时记忆的能力。我们利用压缩感知的结果，提供严格的非渐近恢复保证，量化的输入稀疏水平，输入稀疏的基础，和网络特性对系统容量的影响。我们的分析表明，网络内存容量可以超线性地扩展与节点的数量，并在某些情况下，可以实现STM容量，远远大于网络的大小。我们提供了完美的有限序列的恢复保证和无限序列的恢复界。后者的分析预测，网络STM系统可能有一个最佳的恢复长度，平衡由于遗漏和回忆错误的错误。此外，我们表明，产生最佳STM容量的条件可以体现在几个网络拓扑结构，包括网络稀疏或密集的连接。

Hierarchical Isometry Properties of Hierarchical Measurements

A new class of measurement operators, coined hierarchical measurement operators, and prove results guaranteeing the efficient, stable and robust recovery of hierarchically structured signals from such measurements. We derive bounds on their hierarchical restricted isometry properties based on the restricted isometry constants of their constituent matrices, generalizing and extending prior work on Kronecker-product measurements. As an exemplary application, we apply the theory to two communication scenarios. The fast and scalable HiHTP algorithm is shown to be suitable for solving these types o…

使用块RIP分析块OMP

Analysis of Block OMP using Block RIP

正交匹配追踪（OMP）是一种经典的稀疏信号重构贪心算法。当感兴趣的信号是块稀疏时，即，它具有出现在簇中的非零系数，OMP算法的块版本（即，块OMP）优于常规OMP。在本文中，我们证明了一个新的概念，块限制等距属性（块RIP），这是不严格的比标准的限制等距属性（RIP），可以用于一个非常简单的分析块OMP。它表明，块OMP可以准确地恢复任何块K-稀疏信号在不超过K步，如果块RIP的阶K+1与一个足够小的等距常数满足。利用这一结果可以证明，当信号是块稀疏时，块OMP可以产生比传统OMP更好的重建性能。

通过受限等距性质改进的Johnson-Lindenstrauss嵌入

New and improved Johnson-Lindenstrauss embeddings via the Restricted Isometry Property

本文证明，通过随机化具有受限等距性质的矩阵的列符号，能以高概率将任意固定点集嵌入到低维空间，且范数失真受控，从而在N的对数因子内实现最优的Johnson-Lindenstrauss嵌入。

Truncated Sparse Approximation Property and Truncated $q$-Norm Minimization

This paper considers approximately sparse signal and low-rank matrix's recovery via truncated norm minimization $\min_{x}\|x_T\|_q$ and $\min_{X}\|X_T\|_{S_q}$ from noisy measurements. We first introduce truncated sparse approximation property, a more general robust null space property, and establish the stable recovery of signals and matrices under the truncated sparse approximation property. We also explore the relationship between the restricted isometry property and truncated sparse approximation property. And we also prove that if a measurement matrix $A$ or linear map $\mathcal{A}$ satis…

一般p-范数的限制等距性质

Restricted Isometry Property for General p-Norms

本文研究了一般p-范数下限制等距性质的最优行数界，揭示了p=2时的特殊性，并讨论了其对稳定稀疏恢复问题的影响。