The Hénon-Lane-Emden system: a sharp nonexistence result
Andrea Carioli, Roberta Musina
我们研究了Hénon-Lane-Emden系统在原点邻域上的非常弱的正上解。在我们的主要定理中，我们证明了一个尖锐的不存在性结果。
We deal with very weak positive supersolutions to the Hénon-Lane-Emden system on neighborhoods of the origin. In our main theorem we prove a sharp nonexistence result.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the fractional Lane-Emden equation
本文对分数阶Lane-Emden方程的有限Morse指标的解进行了分类
Multiparameter bifurcation and asymptotics for the singular Lane-Emden-Fowler equation with convection term
我们建立了奇异Lane-Emden-Fowler方程的几个分支结果。
Existence, nonexistence and uniqueness for Lane-Emden type fully nonlinear systems
研究一类由Pucci极值算子驱动的非线性系统在Lane-Emden耦合配置下正径向解的存在性、不存在性和唯一性.我们的结果是基于相关二次动力系统和能量方法的分析。对于正则和外部区域径向解，我们得到了新的存在和不存在区域。此外，我们显示了一个不相容原理的正则解方案，无论是在$\mathbb{R}^N$或在一个球，通过利用的唯一性轨迹所产生的流动。特别地，对于含有Laplacian算子的标准Lane-Emden方程组，证明了正则径向正解的临界双曲线也是Neumann边界条件下径向外部区域解存在与不存在的阈值.作为一个副产品，奇异解的快速衰减到无穷远。
Nonlinear Instability Theory of Lane-Emden stars
建立了绝热指数在Lane-Emden平衡星位形附近取$6/5<γ<4/3$值的多方气体Euler-Poisson系统的非线性不稳定性。
Uniform a priori estimates for positive solutions of the Lane-Emden equation in the plane
证明了二维光滑有界区域上Lane-Emden方程的正解对所有大指数是一致有界的。
A Liouville theorem for subcritical Lane-Emden system
本文给出了Lane-Emden猜想成立的一个充要条件。这个条件是亚临界Lane-Emden系统解的能量型积分估计。为了探讨这个长期存在且有趣的猜想，我们认为一条可行的途径是重新关注建立这种能量类型估计。
On positive solutions of fractional Lane-Emden systems with weights
本文讨论带权分数阶Lane-Emden方程组解的存在性和正则性。
On positive viscosity solutions of fractional Lane-Emden systems
讨论了有界区域上含分数Laplacian算子的Lane-Emden方程组正黏性解的存在性、不存在性和唯一性.作为一个副产品，我们得到了与这些系统相关的关键夸张。
On the Lane-Emden conjecture
我们考虑Lane-Emden猜想，该猜想指出当指数对是次临界时，Lane-Emden系统不存在非平凡的非负解。利用$S^{N-1}$上的Sobolev嵌入和解的尺度不变性，证明了该猜想在一个新的区域成立.我们的方法也可以用于证明空间维$N\leq 4$中的Lane-Emden猜想，即对2009年Adv. Math.
The non-anticoercive Hénon-Lane-Emden system
利用变分方法研究了有界区域上非反强制Hénon-Lane-Emden系统主特征值的存在性.然后，我们提供了一个详细的洞察问题的线性情况。
Existence and uniqueness results to a quasilinear singular Lane-Emden Neumann system
本文利用下上解方法，建立了一类受Neumann边界条件约束的拟线性奇异Lane-Emden型系统解的存在性与唯一性。
On a fully nonlinear k-Hessian system of Lane-Emden type
本文证明了Lane-Emden型完全非线性（退化）椭圆方程系统解的存在性，并探讨了其非齐次推广。
Liouville-type theorems for the Lane-Emden equation in the half-space and cones
证明了0是Lane-Emden方程在半空间中唯一的经典解，并且在紧集外是稳定的.我们还考虑了弱解和一般锥的情况。
Sharp quantization for Lane-Emden problems in dimension two
本文证明了平面有界区域上Lane-Emden问题正解的一个精确量子化。这个结果已由De Marchis，Ianni和Pacella [6，备注1.2]证明。
Liouville theorems for stable at infinity solutions of Lane-Emden system
考虑Lane-Emden系统$-Δu = v^p$，$-Δv= u^θ$在$\mathbb{R}^N$中，证明了在Sobolev双曲线下，对任意$p, θ> 0$，不存在在紧集外稳定的光滑正解.
Fast decaying solutions of Lane-Emden equations involving nonhomogeneous potential
本文主要研究Lane-Emden方程$$ -Δu= V u^p\quad {\rm in}\quad \mathbb{R}^N\setminus\{0\}, $$的正解，其中$V$是一个非齐次位势，满足一些额外的假设.我们构造了一个快速衰减解的序列。
A new critical curve for the Lane-Emden system
研究了Lane-Emden系统$-Δu=v^p$在$\R^N$中，$-Δv=u^q$在$\R^N$中的稳定正径向对称解，其中$p,q\geq 1$ .我们得到一个新的临界曲线，最佳地描述了这种解决方案的存在性。
Asymptotic behavior of least energy solutions to the Finsler Lane-Emden problem with large exponents
在本文中，我们关心的最小能量的解决方案，由各向异性的运营商，所谓的Finsler $N$ -拉普拉斯算子，在有界区域上的$\mathbb{R}^N$的Lane-Emden问题。当非线性指数变大时，我们证明了几个渐近公式。
The Hölder Quasicontinuity for Riesz-Morrey Potentials and Lane-Emden Equations
这篇论文被撤回了。
Classification of the stable solution to the fractional $2<s<3$ Lane-Emden equation
我们对下列非局部Lane-Emden方程的稳定解（正的或变号的，径向的或非径向的）进行了分类：$(-Δ)^s u=|u|^{p-1}u$在$\mathbb{R}^n$中对于$2<s<3$ .
On finite Morse index solutions to the quadharmonic Lane-Emden equation
本文计算了四调和Lane-Emden方程的Joseph-Lundgren指数，导出了四调和Lane-Emden方程的一个单调性公式，并对有限Morse指数解进行了分类：\noindent \begin{equation}\nonumber Δ^4 u=|u|^{p-1}u\;\;\;\;\hbox{in}\;\;\;\;\; \R^n. \end{equation}作为副产品，我们还得到了四调和映射$ Δ^4 u=0$的单调性公式.
Classification of finite energy solutions to the fractional Lane-Emden-Fowler equations with slightly subcritical exponents
研究了具有次临界指数的分数阶Lane-Emden-Fowler方程解的定性性质，其中分数阶Laplacian由Dirichlet Laplacian谱或整表示定义.因此，我们对所有有限能量解的渐近行为进行了分类。我们的方法也提供了一个简单而统一的方法来处理经典的（局部）Lane-Emden-Fowler方程的任何维数大于2。
Radially symmetric solutions to a Lane-Emden type system
本文研究一类Lane-Emden型系统的径向对称解存在性，回答了da Silva和do O（2024）提出的问题，并讨论了非齐次版本及若干开放问题。
New sign-changing solutions for the 2D Lane-Emden problem with large exponents
本文针对大指数二维 Lane-Emden 问题，构造了一族呈交替变号气泡塔形态的新型变号解，各气泡对应全平面上不同的奇异 Liouville 方程。
Uniform a priori estimates for positive solutions of the Lane-Emden system in the plane
我们证明了在二维光滑有界区域上的超线性Lane-Emden系统的正解是有界的，且与系统中的指数无关，只要指数是可比的.因此，解的能量是一致有界的。此外，如果指数不可比，则有界性可能失败。
Nonexistence of Stable Solutions to Lane--Emden Equations on Graphs with Polynomial Volume Growth
针对多项式体积增长图上的 Lane–Emden 方程，因离散环境缺乏链式法则，研究者建立替代代数不等式，结合稳定性条件与截断论证得到类似 Joseph–Lundgren 指数范围的稳定解不存在性结果，并推导离散 Sobolev 最佳常数的下界。
A Liouville theorem for the Lane-Emden system in the half-space
本文证明了半空间中Lane-Emden系统Dirichlet问题在有限条带上有界的正经典解不存在，将此前仅适用于有界解或幂次受限情形的不存在性结果推广到更一般条件。
Positive solutions to the sublinear Lane-Emden equation are isolated
证明了在光滑有界集上，具有次线性幂的Lane-Emden方程的正最小能量解是孤立的.作为推论，我们得到了Dirichlet-Laplacian的第一个$q-$特征值在光滑有界集上不是$q-$谱的聚点.我们的结果扩展到适当的一类Lipschitz域，以及。
Nonradial sign changing solutions to Lane Emden equation
本文证明了Lane-Emden方程非径向解的连续性。在第一个结果中，我们表明，有无穷多个全球连续分离的曲线的径向解决方案与任何规定数量的节区。其次，利用锥上的不动点指数，我们得到了具有一种新的对称性的非径向解。这一结果也适用于具有固定符号的解，表明Lane Emden问题的解集具有非常丰富和复结构。
Non-degeneracy for the critical Lane-Emden system
证明了临界Lane-Emden系统$$ -ΔU = V^p,\quad -ΔV = U^q,\quad U, V > 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^N $$对所有$N \ge 3$和$p,q > 0$的非退化性，使得$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} = \frac{N-2}{N}$ .我们表明，所有的解决方案的线性化系统周围的基态必须产生的临界Lane-Emden系统的对称性，只要它们属于相应的能量空间，或者它们衰减到0一致的点趋于无穷大。
Liouville type theorem for critical order Lane-Emden-Hardy equations in $\mathbb{R}^n$
本文研究了临界阶Lane-Emden-Hardy方程\begin{equation*} (-Δ)^{\frac{n}{2}}u(x)=\frac{u^{p}(x)}{|x|^{a}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{in} \,\,\, \mathbb{R}^{n} \end{equation*}，其中$n\geq4$是偶数，$0\leq a<n$和$1<p<+\infty$ .我们证明了上述Lane-Emden-Hardy方程的非负经典解的Liouville定理（定理\ref{Thm0}），即唯一的非负解是$u\equiv0$ .我们的结果似乎是关于高维临界阶方程的第一个Liouville定理（$n\geq3$）。
On stable solutions of the fractional Henon-Lane-Emden equation
当$0<s<2$，$a>0$和$p>1$满足时，我们得到了分数阶Hénon-Lane-Emden方程\begin{equation*} (-Δ)^{s} u=|x|^a |u|^{p-1} u \ \ \ \text{in } \ \ \mathbb{R}^n, \end{equation*}解的单调性公式.然后，我们应用这些公式来分类上述方程的稳定解。
On nonlinear instability of liquid Lane-Emden stars
本文证明了绝热指数在[1,4/3)范围内的液态Lane-Emden星具有动力学非线性不稳定性，方法结合自由边界先验估计与最快线性增长模式和源项的定量竞争分析。
Liouville type theorems for fractional and higher-order fractional Hénon-Lane-Emden systems
本文首先利用非局部平均和积分估计建立了分数阶和高阶分数阶Hénon-Lane-Emden系统的衰减估计，从而得到了不存在性的一个结果.其次，我们应用\cite{DQ2}中引入的球标度方法，得到了一个Liouville型定理.我们还构造了一个关于超$\fracα{2}$ -调和函数的有趣例子（命题1.2）.
On finite Morse index solutions of higher order fractional Lane-Emden equations
我们对分数阶Lane-Emden方程$(-Δ)^{s} u=|u|^{p-1} u \ \ \ \mathbb{R}^n $的有限Morse指数解进行了分类，其中方程为$1<s<2$ .对于本地病例，$s=1$和$s=2$分别由Farina在[10]和Davila、Dupaigne、Wang和Wei在[8]中进行了该分类。此外，Davila，Dupaigne和Wei在[7]中对非局部情形$0<s<1$的有限Morse指数解进行了分类.
Symmetry of positive solutions for Lane-Emden systems involving the Logarithmic Laplacian
本文研究了含有对数拉普拉斯算子的Lane-Emden方程组：$$ \begin{cases} \ \mathcal{L}_Δu(x)=v^{p}(x) ,& x\in\mathbb{R}^{n},\\ \ \mathcal{L}_Δv(x)=u^{q}(x) ,& x\in\mathbb{R}^{n}, \end{cases} $$其中$p,q>1$和$\mathcal{L}_Δ$表示对数拉普拉斯算子作为分数拉普拉斯算子在$s=0.$的形式导数$\partial_s|_{s=0}(-Δ)^s$而产生.利用移动对数拉普拉斯算子平面的直接法，我们得到了Lane-Emden方程组正解的对称性和单调性.我们还建立了一些关键的成分，以便应用移动平面的方法，如反对称函数的最大值原理，窄区域原理，并在无穷远衰减。此外，我们讨论了这样的结果，一个广义系统的Lane-Emden型涉及对数拉普拉斯算子。
Well-posedness of the supercritical Lane-Emden heat flow in Morrey spaces
对于任何光滑有界域$Ω\subset\mathbb R^n$，$n\geq 3$，和任何指数$p>2^*=2n/(n-2)$，我们研究了$Ω\times]0,\infty[$上的Lane-Emden热流$u_t-Δu = |u|^{p-2}u$，并建立了Morrey空间$L^{2,λ}(Ω)$中具有适当小的初始数据$u\big|_{t=0}=u_0$的初值问题的局部和全局适定性结果，其中$λ=4/(p-2)$。我们将我们的结果与在这个空间中的某些大数据的流的瞬时完全爆破的结果进行对比，类似于Galaktionov-Vazquez在$\mathbb R^n$上的Lane-Emden流的不适定性结果。
Entire nodal solutions to the critical Lane-Emden system
我们建立了Lane-Emden方程组$$-Δu=|v|^{q-2}v,\quad -Δv=|u|^{p-2}u \quad \text{ in }\mathbb{R}^N, \ \ N\geq 4,$$的多个变号解的存在性，其中$p$和$q$位于临界双曲线$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{N-2}{N}$上.这些解决方案是非径向的，并出现在一个有界域中的一个关键的高阶问题的对称变号最小化序列的极限配置文件。
Asymptotic analysis for the Lane-Emden problem in dimension two
当$p>1$和$Ω\subset\mathbb R^2$是光滑有界区域时，考虑Lane-Emden狄利克雷问题\begin{equation}\tag{1} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }Ωu=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial Ω\end{array}\right. \end{equation}.本文的目的是综述关于（1）的解的渐近性态的一些最近的结果作为指数$p\rightarrow \infty $ .
The Lane-Emden equation with variable double-phase and multiple regime
本文研究了具有变指数Dirichlet边界条件的Lane-Emden方程。本文的特点是，我们开发的分析不假设任何亚临界假设和反应可以满足混合制度（亚临界，临界和超临界）。我们考虑径向和非径向的情况下，以及一个奇异的设置。证明结合变分和分析方法的一个版本的宫原则的对称临界。
Liouville type theorems for solutions of the weighted fractional Lane-Emden system
本文证明了加权分数阶Lane-Emden系统\begin{align*} (-Δ)^s u = h(x)v^p,\quad (-Δ)^s v= h(x)u^q, \quad u,v>0\quad \mbox{in }\;\mathbb{R}^N, \end{align*}稳定解的Liouville型定理其中$1<q\leq p$和$h$是$\mathbb{R}^N$中的正连续函数，满足$\displaystyle{\liminf_{|x|\to \infty}}\frac{h(x)}{|x|^\ell} > 0$和$\ell > 0.$.我们的结果推广了\cite{HHM16}中关于Laplacian情形（对应于$s=1$）的结果，改进了以前的工作\cite{TuanHoang21} .因此，我们证明了加权分数阶Lane-Emden方程$(-Δ)^s u = h(x)u^p$在$\mathbb{R}^N$中稳定解的分类结果.
Liouville Theorem for Lane-Emden Equation on the Heisenberg Group
该研究针对Heisenberg群上的Lane-Emden方程，建立了稳定及紧集外稳定情形下的Liouville型定理，证明当p小于Joseph-Lundgren指数且不等于Sobolev指数时，0是唯一的紧集外稳定解。
Uniform a priori estimates for positive solutions of higher order Lane-Emden equations in $\mathbb{R}^n$
本文研究了高阶Lane-Emden方程\begin{equation*} (-Δ)^{m}u(x)=u^{p}(x), \qquad \,\, x\inΩ\end{equation*}的Navier问题正解的一致先验估计的存在性，其中$Ω\subset\mathbb{R}^{n}$是具有$C^{2m-2}$边界的星形或严格凸有界区域，$n\geq4$和$2\leq m\leq\frac{n}{2}$都是大指数$p$.我们的结果扩展了以前作者的二阶$m=1$一般高阶情况下$m\geq2$。
Sharp subcritical Sobolev inequalities and uniqueness of nonnegative solutions to high-order Lane-Emden equations on $\mathbb{S}^n$
本文研究了在$\mathbb{S}^n$上含有GJMS算子的高阶Lane-Emden方程非负解的唯一性结果.由于经典的基于Kelvin变换和最大值原理原理的移动平面法无法处理$\mathbb{S}^n$中的高阶椭圆型方程，本文首先利用$\mathbb{S}^n$和$\mathbb{R}^n$之间的Mobius变换、多重调和平均和迭代变元证明了$\mathbb{S}^n$中的高阶Lane-Emden方程等价于$\mathbb{R}^n$中的某个积分方程.然后利用积分形式的移动平面方法和球的对称性，得到了具有次临界多项式增长的高阶Lane-Emden方程在$\mathbb{S}^n$上非负解的唯一性.作为应用，我们还对$\mathbb{S}^n$上包含GJMS算子的尖锐次临界高阶Sobolev不等式的最佳常数和极值进行了识别和分类.我们的结果似乎没有在文献中，甚至对Lane-Emden方程和尖锐的次临界Sobolev不等式的一阶导数$\mathbb{S}^n$。
Liouville type theorems, a priori estimates and existence of solutions for non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations
本文研究非临界高阶Lane-Emden-Hardy方程\begin{equation*} (-Δ)^{m}u(x)=\frac{u^{p}(x)}{|x|^{a}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{in} \,\,\, \mathbb{R}^{n} \end{equation*}，其中$n\geq3$，$1\leq m<\frac{n}{2}$，$0\leq a<2m$，当$0\leq a<2$为$1<p<\frac{n+2m-2a}{n-2m}$，当$2\leq a<2m$为$1<p<\infty$.证明了上述Lane-Emden-Hardy方程的非负古典解的Liouville定理（定理\ref{Thm0}），即唯一的非负解是$u\equiv0$ .作为应用，我们得到了有界区域上非临界高阶Lane-Emden方程正解的先验估计和存在性定理（定理\ref{Thm1}和\ref{Thm2}）.临界阶Hardy-Hénon方程的结果是最近由Chen，Dai和Qin \cite{CDQ}建立的.
Supercritical Lane-Emden equation on a cone with an inhomogeneous Dirichlet boundary condition
本文研究无限锥上带非齐次Dirichlet边界条件的超临界Lane-Emden方程，完整分类了解的存在性与不存在性对边界数据大小的依赖关系，并通过分歧理论证明了解的多重存在性，同时推广到Hardy-Hénon方程。
On Nonlinear Asymptotic Stability of the Lane-Emden Solutions for the Viscous Gaseous Star Problem
本文证明了当绝热常数$γ$在稳定范围$(4/3, 2)$内时，粘性气体星球对称运动的Lane-Emden解的非线性渐近稳定性.结果表明，对于具有相同质量的Lane-Emden解的小扰动，粘性星球对称可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组的真空自由边界问题存在唯一的整体（在时间上）强解，并且该解捕获了声速为$C^{{1}/{2}}$的精确物理行为-H $\ddot{\rm o}$在真空边界上是连续的，只要$γ$位于$(4/3, 2)$中。关键是要建立在真空边界上一致的整体时间正则性，这保证了演化的真空边界、密度和速度的大时间渐近一致收敛性与Lane-Emden解的大时间渐近收敛速度以及真空边界附近解的详细大时间行为。
New solutions for the Lane-Emden problem on planar domains
本文研究平面区域上Lane-Emden问题在大指数情形下的变号解，构造出在指数趋于无穷时呈现意外集中现象的新解。
Liouville theorems for stable solutions of the weighted Lane-Emden system
本文研究了一般加权Lane-Emden系统\begin{align*} -Δu = ρ(x)v^p,\quad -Δv= ρ(x)u^θ, \quad u,v>0\quad \mbox{in }\;\mathbb{R}^N \end{align*}，其中$1<p\leqθ$和$ρ: \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}$是径向连续函数，满足$α\geq 0$和$A>0$的$ρ(x)\geq A(1+|x|^2)^{\fracα{2}}$在$\mathbb{R}^N$中.证明了稳定解的Liouville型结果，改进了\cite{co, Fa, HU}的工作.特别地，我们建立了一个新的比较属性（见下面的命题1.1），这是至关重要的处理情况$1 < p \leq \frac{4}{3}$。我们的结果也可应用于$\mathbb{R}^N$中的加权Lane-Emden方程$-Δu = ρ(x)u^p$.
Existence and non-existence results for a fractional Lane-Emden equation with nonlocal Neumann conditions
本文对半空间中具非局部Neumann条件的分数阶Lane-Emden方程展开研究，证明任意维数临界问题存在非常数解，一维次临界问题仅存平凡解，所得结果源于新的Pohozaev型恒等式。
Principal spectral curves for Lane-Emden fully nonlinear type systems and applications
在本文中，我们利用的情况下，完全非线性Lane-Emden型系统的系数和权重可能无界的两个主半特征值的现象。我们表明，这引起的存在两个主要的谱曲线的平面上。我们还构造了一个可能的第三谱曲线的第二特征值和反最大值原理，这是新奇的，即使是涉及线性算子的Lane-Emden系统。作为应用，我们得到了这类系统在小区域上的最大值原理，以及在次线性区域上正解的存在唯一性。我们的大多数结果是新的，即使在标量的情况下，特别是一类艾萨克的运营商与无界系数，其$W^{2,\varrho}$正则性估计，我们也证明。
Quasilinear Lane-Emden type systems with sub-natural growth terms
本文研究了具有次自然增长项的拟线性 Lane-Emden 型系统，基于势理论最新进展，利用 Wolff 势给出了全局逐点估计及存在性的充要条件，并推广至一般拟线性算子与分数阶 Laplacian 方程。
Liouville-type theorems for polyharmonic Hénon-Lane-Emden system
研究了多调和Hénon-Lane-Emden系统$(-Δ)^mu=|x|^av^p,\; (-Δ)^mv=|x|^bu^q$的Liouville型定理，当$m,p,q\geq 1, pq\ne 1$，和$a,b\geq 0$ .正解不存在的充要条件是$(N+a)/(p+1)+$ $(N+b)/(q+1)>N-2m$ . Fazly [6]证明了该猜想对所有维的径向解和$N\leq 2m+1$维的经典解都成立。本文给出了维数$N\geq 2m+2$的部分结果.
On a global estimate and a Stampacchia-type maximum principle for Lane-Emden systems
本文研究含一般散度型椭圆算子且正指数乘积为一的 Lane-Emden 系统，证明其全局有界性，并指出经典 Stampacchia 最大值原理无法作为单方程特例从中恢复。
Non-degeneracy and local uniqueness of positive solutions to the Lane-Emden problem in dimension two
我们考虑Lane-Emden问题\begin{equation*} \begin{cases} -Δu=u^{p} &{\text{in}~Ω},\\[0.5mm] u>0 &{\text{in}~Ω},\\[0.5mm] u=0 &{\text{on}~\partial Ω}, \end{cases} \end{equation*}，其中$Ω\subset \mathbb R^2$是光滑有界区域，且$p>1$足够大.改进了一些已知的解的渐近估计，证明了一般区域上多尖峰正解的非退化性和局部唯一性。我们的方法主要利用常微分方程理论、各种局部Pohozaev恒等式、爆破分析和Green函数的性质。
A perturbative approach to non-degeneracy of the Lane-Emden system
本文研究了临界Lane-Emden系统\[\begin{cases} -Δu = v^p &\text{in } \mathbb{R}^n,\\ -Δv = u^q &\text{in } \mathbb{R}^n,\\ u,v >0\ &\text{in } \mathbb{R}^n, \end{cases}\]的基态解，其中$n \ge 3$和$p,q>0$和$(p,q)$都属于临界双曲线$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} = \frac{n-2}{n}.$。我们证明了当$(p,q)$接近于$(1,{n+4\over n-4})$（如果$n\ge5$）或$(p,q)$接近于$({n+2\over n-2},{n+2\over n-2})$（如果$n\ge3$）时，它们都是非退化的。
Sign changing solutions of Lane Emden problems with interior nodal line and semilinear heat equations
本文考虑平面上光滑有界单连通区域上的半线性LaneEmden问题，该区域在有限对称群G的作用下是不变的。我们证明了，如果在群G的作用下，域中每个点的轨道的基数大于大于或等于4，那么，对于足够大的p，存在具有两个节点区域且其节点线不接触域边界的问题的变号解.这一结果被证明是一个类似的结果为相关的抛物问题的后果。
Asymptotic behavior of least energy solutions to the Lane-Emden system near the critical hyperbola
Lane-Emden系统被写为\begin{equation*} \begin{cases} -Δu = v^p &\text{in } Ω,\\ -Δv = u^q &\text{in } Ω,\\ u, v > 0 &\text{in } Ω,\\ u = v = 0 &\text{on } \partial Ω\end{cases} \end{equation*}，其中$Ω$是欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中对于$n \ge 3$和$0< p< q <\infty$的光滑有界域。当$p \geq 1$和区域为凸时，利用Guerra \cite{G}研究了临界双曲线附近最小能量解的渐近性态.在本文中，我们涵盖了所有其余的情况$p < 1$和推广的结果，任何光滑有界区域。
On a new region for the Lane-Emden conjecture in higher dimensions
本文利用Obata型积分不等式、Picone恒等式和尺度不变性，证明了高维（n≥5）Lane-Emden猜想在特定指数区域成立，扩展了该猜想的已知范围。
A Morse index formula for radial solutions of Lane-Emden problems
考虑半线性Lane-Emden问题：\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}其中$B$是以原点为中心的$\mathbb R^N$，$N\geq3$和$1<p<p_S$，$p_S=\frac{N+2}{N-2}$的单位球.本文证明了对于具有$m$节点域的\eqref{problemAbstract}的任意径向解$u_p$，若$p$充分接近于$p_S$，则其Morse指标$\mathsf{m}(u_p)$由公式\[\mathsf{m}(u_p)=m+N(m-1)\]给出.
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