Decomposition Approach for Low-rank Matrix Completion
本文提出了一种基于矩阵分解的低秩矩阵完备化方法。将不完全矩阵分解为若干子矩阵，并利用建议的裁剪步骤填充这些子矩阵，然后重新组合形成低秩完全矩阵。分而治之的方法可以显着降低计算复杂度和存储需求。此外，所提出的分解方法可以自然地纳入任何现有的矩阵完成方法，以获得进一步的增益。与大多数现有的方法不同，该方法不是基于范数最小化，也不是SVD分解。这使得它可以应用于实域之外，并可以用于包括有限域在内的任意域。
2010-06-28 cs.NA math.NA
Reduce the rank calculation of a high-dimensional sparse matrix based on network controllability theory
本文受复杂网络可控性理论启发，将矩阵秩计算转化为最大匹配问题，并利用腔方法提出一种低复杂度的高维稀疏矩阵秩快速估计算法，在保持高精度的同时显著快于SVD。
2022-04-06 cs.NA math.NA
Low-rank updates and divide-and-conquer methods for quadratic matrix equations
在这项工作中，我们考虑了两种类型的大规模二次矩阵方程：连续时间代数Riccati方程，它发挥了核心作用，在最优和鲁棒控制，和单边二次矩阵方程，它产生于随机过程的二维晶格和振动系统。我们提出了一个简单而快速的方法来更新的解决方案，这样的矩阵方程下的系数的低秩修改。基于这个过程，我们开发了一个分而治之的二次矩阵方程的系数，具有特定类型的层次低秩结构，其中包括带状矩阵的方法。这推广了线性矩阵方程的早期工作。数值实验表明，我们新提出的方法的优点相结合的分层低秩算法的迭代格式。
2019-03-06 cs.NA math.NA
Randomized Algorithms for Low-Rank Matrix and Tensor Decompositions
Oden Institute & Dept. of Mathematics, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登研究所与数学系）
本文提出随机算法用于加速低秩矩阵和张量分解，涵盖SVD、ID、CUR等方法，并探讨其在张量分解中的应用。
2025-12-30 cs.NA math.NA
Adaptive, Matrix-Free Low-Rank Approximation
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
研究无矩阵环境下固定容差低秩逼近问题，提出自适应、无矩阵的随机QB算法，通过随机误差指示器、无矩阵秩修剪步骤等，在不同测试矩阵上大概率满足容差并获接近最优的秩。
2026-07-09 cs.NA math.NA
Sensitivity of low-rank matrix recovery
本文研究低秩矩阵恢复与秩-r近似问题的一阶灵敏度，给出条件数计算算法和显式公式，并揭示其依赖于相对奇异值间隙。
2021-10-05 cs.NA math.NA
Efficient Orthogonal Decomposition with Automatic Basis Extraction for Low-Rank Matrix Approximation
针对低秩矩阵逼近中矩阵秩未知的问题，提出具有自动基提取的高效正交分解（EOD-ABE）算法，通过随机算法自动提取基以揭示秩，理论与数值验证表明其速度、准确性和鲁棒性优于现有方法，并在图像重建中取得显著成果。
2024-04-26 cs.NA math.NA
Low-Rank Matrix Approximations Do Not Need a Singular Value Gap
Purdue University（普渡大学）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
研究低秩近似对矩阵扰动的鲁棒性，证明在不同范数下低秩近似误差对加性扰动不敏感，无需奇异值间隙。
2018-01-02 cs.NA math.NA
The low-rank approximation of fourth-order partial-symmetric and conjugate partial-symmetric tensor
提出了四阶共轭部分对称（CPS）张量的正交矩阵外积分解，并证明了贪婪逐次秩一近似（SROA）算法可以精确地恢复这种分解.基于这种矩阵分解，CPS张量的CP秩可以由矩阵秩来界定，这可以应用于低秩张量完备化。另外，基于矩阵的奇异值分解给出了CPS张量的秩一等价性质，该性质可应用于CPS张量的秩一近似。
2021-11-05 cs.NA math.NA
A Novel Adaptive Low-Rank Matrix Approximation Method for Image Compression and Reconstruction
提出EOD-ABE方法，通过随机基提取机制自适应识别最优秩，实现低秩矩阵近似，计算复杂度为$O(mnr)$，在图像压缩与重建及高光谱图像降维中展现优越速度与精度。
2025-06-28 cs.NA math.NA
Randomized strong rank-revealing QR for column subset selection and low-rank matrix approximation
本研究提出一种随机化强秩揭示QR分解，借助满足ε-嵌入性质的随机概要矩阵，通过概要矩阵的确定性强秩揭示QR选列，实现矩阵谱特性揭示，可用于列子集选择、低秩逼近等任务。
2025-03-24 cs.NA math.NA
Image Restoration: Structured Low Rank Matrix Framework for Piecewise Smooth Functions and Beyond
最近，将信号/图像映射到低秩Hankel/Toeplitz矩阵已成为传统稀疏正则化的新兴替代方案，由于其能够减轻连续域中的真实支持与离散网格之间的基础失配。在本文中，我们引入了一种新的结构化低秩矩阵框架恢复分段光滑函数。受全广义变分利用稀疏高阶导数的启发，我们推导出高阶导数的Fourier样本满足湮灭关系，从而得到低秩多重Hankel矩阵.我们进一步观察到，低秩Hankel矩阵的SVD对应于一个紧小波框架系统，可以表示具有稀疏系数的图像。在此基础上，提出了一种基于小波框架分析的连续域正则化模型，用于分段光滑图像的恢复。最后，图像恢复任务的数值结果作为一个概念验证的研究，以证明所提出的方法相比有利的几个流行的离散正则化方法和结构化低秩矩阵的方法。
2020-12-12 cs.NA math.NA
Generalized rank-constrained matrix approximations
本文给出了Frobenius范数下秩约束矩阵逼近的显式解，推广了经典的低秩矩阵逼近问题。
2006-03-29 cs.NA math.NA math.OC
A matrix and its inverse: revisting minimal rank completions
本文重新审视了连接矩阵及其逆的三角部分的最小秩的公式，并将其与结构秩矩阵相关联，同时讨论了泛型最小秩问题。
2006-08-04 cs.NA math.NA math.RA
Analytical formulas for calculating the extremal ranks of the matrix-valued function $A + BXC$ when the rank of $X$ is fixed
CEMA, Central University of Finance and Economics（中央财经大学经济与管理定量研究中心）
本文利用 $A$, $B$, $C$ 的同步分解和初步结果，建立了当变量矩阵 $X$ 的秩固定时，$A + BXC$ 的最大和最小秩的解析公式，并应用于部分指定分块矩阵的秩补全。
2013-01-16 cs.NA math.NA math.OC
Min-plus algebraic low rank matrix approximation: a new method for revealing structure in networks
University of Bath（巴斯大学）
本文提出min-plus低秩矩阵近似方法，通过使用min和plus运算代替传统矩阵乘法中的plus和times，能检测到不同于PCA等传统方法的网络结构特征。
2017-08-22 cs.NA cs.SI math.NA
Distance to nearest skew-symmetric matrix polynomials of bounded rank
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）；Universidad Carlos III de Madrid（马德里卡洛斯三世大学）
本文提出了一种算法，用于近似给定矩阵多项式为有限秩的反对称矩阵多项式，并通过数值实验验证了其有效性。
2026-01-23 cs.NA math.NA math.OC
A two-phase rank-based algorithm for low-rank matrix completion
本文提出一种两阶段基于秩的矩阵补全算法，结合拟Fejér收敛分析和Nesterov型加速机制，为加速Soft-Impute提供热启动，实验表明其恢复低秩矩阵的精度和速度均优于现有成熟算法。
2022-04-11 cs.NA math.NA math.OC
On the geometry of border rank algorithms for n x 2 by 2 x 2 matrix multiplication
研究n×2与2×2矩阵乘法的边界秩算法几何特性，提出新的分析方法和优化策略。
2015-09-28 cs.NA math.AG math.NA
Low Rank Pure Quaternion Approximation for Pure Quaternion Matrices
四元数矩阵在彩色图像处理中有着广泛的应用。特别地，可以使用纯四元数矩阵来表示彩色图像的红色、绿色和蓝色通道。利用四元数奇异值分解可以得到纯四元数矩阵的低秩逼近。然而，这种近似不是最佳的，因为得到的低秩近似矩阵可能不是纯四元数，即，低秩矩阵包含对于彩色图像的表示无用的实分量。本文的主要贡献是找到一个最佳的秩- $r$纯四元数矩阵逼近的纯四元数矩阵（彩色图像）。我们的想法是使用一个低秩四元数矩阵流形上的投影和一个零实分量的四元数矩阵上的投影，并开发一个交替投影算法来找到这样的最佳低秩纯四元数矩阵近似。投影算法的收敛性可以通过证明低秩四元数矩阵流形和零实分量四元数矩阵流形具有非平凡交点来建立。对合成纯四元数矩阵和彩色图像的数值算例表明，该投影算法可以为纯四元数矩阵或彩色图像找到最优的低秩纯四元数逼近。
2020-12-30 cs.NA math.NA math.OC
Color image recovery using low-rank quaternion matrix completion algorithm
四元数作为一种新的彩色图像表示工具，在彩色图像处理问题中取得了很好的效果。本文提出了一种新的低秩四元数矩阵补全算法来恢复彩色图像的丢失数据。受传统矩阵方法中的两种低秩近似方法（低秩分解和核范数最小化）的启发，我们将这两种方法结合到我们的四元数矩阵模型中。进一步地，用四元数矩阵的两个低秩因子四元数矩阵的Frobenius范数之和代替四元数矩阵的核范数。根据四元数矩阵与其等价复矩阵的关系，将问题最终从四元数数域转化为复数域。应用交替极小化方法求解该模型。对实际彩色图像恢复的仿真结果表明，该算法的性能和效率优于一些最先进的基于张量的算法。
2019-09-14 cs.NA eess.IV math.NA
Fast Matrix Rank Algorithms and Applications
我们考虑计算域上m × n矩阵A的秩的问题。本文提出了一个随机算法，在n（|A| + r^ω）域运算中寻找一组r = rank（A）线性无关列，其中|A|表示A中非零元素的个数，ω< 2.38是矩阵乘法指数.以前，找到一组r个线性无关列的最佳已知算法是高斯消去法，运行时间为O（mnr^{ω-2}）。当r < max（m，n）时，例如当矩阵是矩形时，我们的算法更快。我们还考虑了动态计算矩阵秩的问题，支持秩一更新和行、列的增删操作。我们提出了一个算法，更新排名在MN（MN）字段操作。我们表明，这些算法可以用来获得更快的算法，在数值线性代数，组合优化和动态数据结构的各种问题。
2012-04-02 cs.DS cs.NA math.NA
Sketching for low-rank nonnegative matrix approximation: Numerical study
本文提出基于随机草图的近似交替投影方法求解低秩非负矩阵近似问题，分析复杂度并经数值实验证明其比确定性方法更快且收敛性质相近。
2023-04-24 cs.NA math.NA math.OC
Greedy Approach for Low-Rank Matrix Recovery
我们描述了简单的贪婪矩阵完成算法提供了一个有效的方法，从不完整的损坏的条目恢复低秩矩阵。我们提供的数值证据表明，即使在最简单的实现，贪婪的方法可能会增加现有算法的恢复能力显着。
2013-04-15 cs.IT cs.NA math.IT
A Schatten-$q$ Low-rank Matrix Perturbation Analysis via Perturbation Projection Error Bound
本文研究了扰动下低秩矩阵奇异值分解估计的Schatten- $q$误差。我们通过扰动投影误差界建立了低秩矩阵估计的扰动界。然后，我们建立了下界来证明低秩矩阵估计误差的上界的紧性。基于矩阵扰动投影误差界，我们进一步给出了奇异子空间扰动的正弦$Θ$界。最后，我们通过模拟证明了我们的结果比文献中的结果的优势。
2021-08-12 cs.NA math.NA math.ST
GNMR: A provable one-line algorithm for low rank matrix recovery
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
低秩矩阵恢复问题，包括矩阵补全和矩阵检测，出现在广泛的应用。在这项工作中，我们提出了GNMR -一个非常简单的迭代算法低秩矩阵恢复，基于高斯-牛顿线性化。在理论方面，我们得到恢复保证GNMR在矩阵检测和矩阵完成设置。其中一些结果改进了目前已知的其他方法。GNMR的一个关键属性是它在整个迭代过程中隐式地保持因子矩阵近似平衡。在经验方面，我们表明，对于均匀采样的矩阵完成，GNMR比几种流行的方法表现得更好，特别是当给出非常少的观测接近信息限制时。
2022-04-27 cs.LG cs.NA math.NA
Asymptotic Convergence Rate of Alternating Minimization for Rank One Matrix Completion
Boston University（波士顿大学）
我们研究交替最小化矩阵完成在最简单的可能设置：完成一个秩一矩阵从一个显示的子集的条目。通过对一个可逆一致问题的特征值的变分刻画，给出了渐近收敛速度的界。这导致了一个多项式上界的渐近速率的节点数以及最大程度的图中透露的条目。
2020-08-11 cs.LG cs.NA math.NA
Graph-Regularized Low-Rank Matrix Completion by Variable Projection
Royal Meteorological Institute of Belgium（比利时皇家气象研究所）
研究低秩矩阵填充问题，核心方法是将图正则化纳入RTRMC框架得到GR-RTRMC，利用矩阵行列内在关系，主要贡献是提高矩阵填充在行列强相关场景下的准确性与鲁棒性。
2026-07-13 cs.LG cs.NA math.NA
Orthogonal Rank-One Matrix Pursuit for Low Rank Matrix Completion
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；The University of Georgia（佐治亚大学）；Simon Frasor University（西蒙弗雷泽大学）；Huawei Noah’s Ark Lab（华为诺亚方舟实验室）
本文提出一种高效可扩展的低秩矩阵补全算法，通过将正交匹配追踪方法扩展到矩阵领域，并引入新的权重更新规则降低计算和存储复杂度，具有线性收敛速度和单一可调参数，适用于大规模学习问题。
2014-04-16 cs.LG cs.NA math.NA
Matrix rigidity and the ill-posedness of Robust PCA and matrix completion
稳健的主成分分析（PCA）（Candes等人，2011）和低秩矩阵完备化（Recht等人，2010）是PCA的扩展，分别允许离群值和缺失条目。众所周知，解决这些问题需要低秩矩阵和规范基之间的低相干性，因为在极端情况下-当我们希望恢复的低秩矩阵也是稀疏的时-存在固有的模糊性。然而，这两个问题中的适定性问题是甚至更基本的问题：在某些情况下，由于低秩加稀疏矩阵的集合不是封闭的，鲁棒PCA和矩阵完备两者可能无法具有任何解，这又等同于矩阵刚性函数不是低秩连续的概念（Kumar等人，2014年）。通过构造矩阵的无限族，得到了低秩加稀疏矩阵的秩和稀疏度的界，使得低秩加稀疏矩阵的集合不封闭。我们还证明了数值上，广泛的鲁棒PCA和矩阵完成的非凸算法有发散组件时，我们构造的矩阵。可以类比高阶张量的集合在规范多元（CP）张量秩下不闭合的情况，使得最佳低秩张量近似不可解（De Silva and Lim，2008），因此鼓励使用多线性张量秩（De Lathauwer，2000）。
2019-07-11 cs.IT cs.NA math.IT
Typical and Generic Ranks in Matrix Completion
我们从几何的角度考虑低秩矩阵的精确完备化问题：给定一个部分填充矩阵M，我们保持指定和未指定元素的位置固定，并研究最小完备秩如何依赖于已知元素的值.如果矩阵的元素是复数，则对于指定和未指定元素的位置的固定模式，存在以正概率出现的唯一完成秩。我们称这个等级为通用完成等级。在实数上，可以有多个以正概率出现的秩;我们称之为典型的完成秩。我们正式介绍这些概念，并提供了一些不等式和确切的结果，典型的和通用的不同家庭的模式的已知和未知的条目的排名。
2019-09-22 cs.NA math.AG math.NA
Relevance Singular Vector Machine for low-rank matrix sensing
ACCESS Linnaeus Center, School of Electrical Engineering KTH Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden（ACCESS林纳尤斯中心，电气工程学院 瑞典皇家理工学院 斯德哥尔摩）
本文提出了一种新的贝叶斯推断方法，用于低秩矩阵重建，即相关性奇异向量机（RSVM），通过在基础矩阵的奇异向量上定义合适先验来促进低秩性，并通过数值高效近似加速计算。
2014-06-30 cs.LG cs.NA math.NA
Structured low-rank matrix completion for forecasting in time series analysis
Cardiff University（卡迪夫大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文研究了低秩矩阵补全问题，应用于时间序列预测。基于Hankel矩阵的补全方法和核范数松弛，通过理论和实验证明了适当选择已知观测加权方案的重要性。
2018-02-22 cs.NA cs.SY eess.SY
Low-Rank Matrix Approximation in the Infinity Norm
Department of Mathematics and Operational Research, University of Mons（蒙斯大学数学与运筹学系）；National Research University Higher School of Economics（俄罗斯国家研究大学高等经济学院）
本文研究了以无穷范数为度量的低秩矩阵逼近问题，证明了当秩r=1时该问题的决策变种是NP难的，并分析了在某些情况下该问题可以在多项式时间内解决，同时提出了一种实用的启发式算法用于恢复量化低秩矩阵。
2017-05-31 cs.CC cs.LG cs.NA
Ranking Recovery from Limited Comparisons using Low-Rank Matrix Completion
School of Electrical Engineering, Tel-Aviv University（特拉维夫大学电气工程学院）；Electrical Engineering Department, University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校电气工程系）
本文提出利用低秩矩阵补全方法解决经典排名聚合问题，通过矩阵形式处理部分噪声比较数据，结合交替最小化算法和最大似然估计，重建真实偏好强度。
2018-06-14 cs.LG cs.NA math.NA
Beyond Low Rank + Sparse: Multi-scale Low Rank Matrix Decomposition
本文提出了一种多尺度低秩矩阵分解方法，通过凸优化解决数据矩阵的多尺度分解问题，并在多个应用中验证了其有效性。
2016-08-03 cs.IT cs.NA cs.SY
Unicity conditions for low-rank matrix recovery
本文研究了通过任意方法（包括不可行方法）恢复低秩矩阵所需的最少测量次数，给出了随机测量系综下保证秩最小化均匀恢复所有秩r矩阵的充分必要条件，并与核范数最小化的性能进行了比较。
2011-03-28 cs.IT cs.NA cs.SY
