Perfect sequence covering arrays
$(n,k)$序列覆盖阵列是$[n]$的一组排列，使得$[n]$的$k$不同元素的每个序列是至少一个排列的子序列。一个$(n,k)$序列覆盖数组是完美的，如果有一个正整数$λ$，使得$[n]$的每个$k$不同元素的序列是精确的$λ$排列的子序列。虽然已知序列覆盖阵列的最小大小的相对接近的上界和下界，但对于完美序列覆盖阵列并非如此。在这里，我们提出了新的非平凡的界限，后者。特别地，对于$k=3$，我们得到了一个线性的下界和一个几乎线性的上界。
2020-02-20 math.CO
Structures and lower bounds for binary covering arrays
$q$元$t$覆盖数组是具有来自$\{0, 1, ..., q-1\}$的条目的$m \times n$矩阵，其属性是对于任何$t$列位置，长度为$t$的所有$q^t$可能向量至少出现一次.人们希望对于给定的$t$和$n$使$m$最小化，或者对于给定的$t$和$m$使$n$最大化。对于$t = 2$和$q = 2$，Rényi、Katona、Kleitman和Spencer完全解决了这个问题。证明了极大二元2-覆盖阵列是唯一确定的。Roux发现了一般$t, n$和$q$的$m$的下界。本文证明了$m \times n$二元2-覆盖阵列在$m$和$n$的某些约束下来自于极大覆盖阵列。我们还改进了$t = 3$和$q = 2$的Roux下界，并证明了某些二元3或4-覆盖阵列是唯一确定的.
2011-11-02 math.CO
Covering arrays from maximal sequences over finite fields
本文的重点是基于有限域中的极大周期序列等工具，研究和构造覆盖阵列。强度$t$的覆盖数组，记为$\mathrm{CA}(N; t, k,v)$，是一个$N\times k$数组，其条目来自大小为$v$的字母表$A$，其属性是在由任何$t$列定义的$N\times t$子数组中，$A^t$中的每个$v^t$向量至少作为一行出现一次。覆盖阵列是正交阵列的推广，正交阵列是经典的组合对象，已被广泛研究。构造小行列比的覆盖阵列是统计实验设计中的重要问题，同时也是一个具有挑战性的数学问题。线性反馈移位寄存器（LFSR）序列是有限域中满足线性递归关系的元素序列。众所周知，这些是周期性的;达到最大可能周期的LFSR序列是最大（周期）序列，在文献中通常缩写为m序列。从最大序列的循环移位构造的阵列具有强的组合性质，并且先前已被用于构造正交和覆盖阵列（Menda等人，2016），尽管只有一种已知的构造是用于覆盖不是正交阵列的阵列（Raaphorst等人，2014年）。在这篇论文中，我们提出了几个新的这样的结构。我们的研究结果的基石是一个研究的组合性质的数组构造的最大序列，在那里我们从不同领域的离散数学，如正交数组，纠错码，整除多项式和结构的有限几何的概念，使基本的连接。我们工作的一个方面涉及[…]
2017-08-25 math.CO
Upper bounds on the sizes of variable strength covering arrays using the Lovász local lemma
覆盖数组是正交数组的推广，已被广泛研究，并用于软件测试。利用概率方法导出了最小覆盖数组的大小的上界，并给出了与数组列数成对数关系的渐近上界。这对应于具有所需参数空间覆盖水平的测试套件，其中我们保证测试用例的数量是系统参数数量的对数。在本文中，我们研究了可变强度覆盖数组，覆盖数组的推广，使用超图指定的列覆盖的集合是必需的;（标准）覆盖数组是特殊情况下，覆盖是需要为一个固定的大小$t$，其强度的列的所有集合。我们使用概率的方法来获得上界的行的数量的可变强度覆盖阵列，给出的参数的超图。然后，我们比较这个上界与另一个基于密度的贪婪算法对不同类型的超图，如$t$ -设计，循环连续超图，平面三角超图，和一个更具体的超图由一个集团的更高的强度上的“基地强度”。这些结论依赖于超图的类别，并讨论了超图的一些特殊性质，这些性质更适合于使用不同版本的Lovász局部引理.
2019-03-31 math.CO
Covering Arrays for Equivalence Classes of Words
在$d$字母表上的长度为$t$的字的覆盖阵列是具有来自字母表的条目的$k \times n$阵列，使得对于$t$列的每个选择，每个$d^t$ $t$字母字在所选列的行中至少出现一次。我们研究了两个方案，其中所有的话都不被认为是不同的。在第一种情况下，如果单词引起$t$元素集的相同划分，则它们是等价的。在第二种情况下，相同权重的单词是等价的。在这两种情况下，我们产生对数上界的覆盖数组的最小尺寸$k=k(n)$。提供了$t=2,3,4$的连续性结果以及一般结果。
2018-03-17 math.CO
Covering Array Bounds Using Analytical Techniques
具有来自字母表${\cal Q}=\{0,1,\ldots,q-1\}$的条目的$t$ -覆盖数组是$k\times n$堆栈，因此对于$t$（通常为非连续）列的任何选择，${\cal Q}$上的每个$q^{t}$可能的$t$ -字母字在所选列的行中至少出现一次.我们将展示如何结合的Lovász局部引理;组合分析;斯特林公式;和微积分使人们能够找到更好的渐近界的最小尺寸的$t$覆盖阵列，特别是$t = 3, 4$。这里的大小是以行的数量来衡量的，正如以列的数量来表示的那样。
2014-05-12 math.CO
Difference Covering Arrays and Pseudo-Orthogonal Latin Squares
差分阵列用于软件测试、认证码和数据压缩等应用。伪正交拉丁方用于试验设计。一类特殊的伪正交拉丁方是在2002年首次讨论的互近正交拉丁方（MNOLS），其一般构造在2007年给出。本文从差分覆盖阵列出发，发展了行完备MNOLS。我们将使用这种联系来解决偶数阶的3个相互伪正交拉丁方的集合的谱问题，除了146阶。
2015-02-09 math.CO
Constructions of Covering Sequences and Arrays
本文研究了覆盖序列与阵列的构造，通过多种方法改进了其长度上界，并将定义推广至序列码与阵列，证明了渐近意义下存在达到球覆盖界的覆盖序列。
2025-07-15 math.CO
Upper bounds on the size of covering arrays
覆盖数组在软硬件交互测试中有着重要的应用。对于实际应用，对于参数$t,k$和$v$的给定值，确定或限定覆盖阵列中的最小行数CAN $(t,k,v)$是有用的。CAN $(t,k,v)$的渐近上界已经使用Stein-Lovász-Johnson策略和Lovász局部引理建立。本文对这些界进行了一系列改进。首先，估计的离散Stein-Lovász-Johnson界的推导。然后使用修改来改进Stein-Lovász-Johnson界，从而得到两阶段构造算法。从Lovász本地引理的界限，以不同的方式进行改进，通过检查群作用的一组符号。建立了CAN $(t,k,v)$上的两个渐近上界，它们比已知的上界更紧。一个两阶段的界限推导出采用Lovász局部引理和条件Lovász局部引理分布。
2016-03-25 math.CO
Existence of 3 anti-cocircular truncated Möbius planes and constructions of strength-4 covering arrays
University of Ottawa（渥太华大学）；Carleton University（卡尔顿大学）
本文证明了存在三个截断莫比乌斯平面，并利用它们构造了强度4的覆盖数组，显著改进了现有覆盖数组的大小。
2026-10-19 math.CO
New Covering Array Numbers
覆盖阵列CA（N;测试; k、v）是v个符号上的NXk阵列，使得每个NXt子阵列包含v个符号上的每个t元组至少一次作为行。CA（N; t; k; v）存在的最小N称为t、k和v的覆盖数组数，并表示为CAN（t; k; v）。在这项工作中，我们证明了新的CAN使用优化的程序。
2020-01-22 cs.DM math.CO
Ordered Covering Arrays and Upper Bounds on Covering Codes in NRT spaces
本文给出了利用投影、融合、列增广、求导、连接和笛卡儿积构造有序覆盖数组的几种直接和递归方法。通过改进一个一般的上界，得到了NRT空间中覆盖码的上界。我们探讨了NRT空间中的有序覆盖阵列和覆盖码之间的联系，推广了Hamming度量的类似结果。结合NRT空间中覆盖码的新上界和有序覆盖阵列，我们改进了NRT空间中覆盖码的上界，使其适用于较大的字母表。我们给表格比较新的上界覆盖码现有的。
2022-07-31 cs.IT math.CO math.IT
Improved Strength Four Covering Arrays with Three Symbols
覆盖阵列$t$ - $CA(n,k,g)$，具有大小$n$、强度$t$、度$k$和阶数$g$，是$g$符号上的$k\times n$阵列，使得每个$t\times n$子阵列包含$g$符号上的每个$t\times 1$列至少一次。覆盖阵列已经被研究用于软件测试、硬件测试、药物筛选以及待测试多个参数的相互作用的领域。在本文中，我们提出了一个代数结构，提高了许多最知名的上界$n$覆盖阵列4- $CA(n,k,g)$与$g=3$。测试阵列$A$的$coverage$ $measure$ $μ_t(A)$由包含在$A$的列向量中的不同$t$ -元组的数目与$t$ -元组的总数之间的比率定义.覆盖阵列是具有全覆盖的测试阵列。$covering$ $arrays$ $with$ $budget$ $constraints$ $problem$的问题是构建一个测试阵列的大小最多$n$具有最大可能的覆盖措施，给定值的$k,g$和$n$。本文提出了几种高覆盖率的四强度测试阵列。这里的建筑是Chateauneuf，Colbourn和Kreher以及Meagher和Stevens使用的建筑方法的概括。
2015-12-30 cs.DM math.CO
Covering Arrays on Product Graphs
如果对于所有对$(a,b)\in \mathbb{Z}_g\times \mathbb{Z}_g$，存在$i\in \{1,2,\ldots,n\}$使得$(x_i,y_i)=(a,b)$，则$\mathbb{Z}_g^n$中的两个向量$x,y$是$ qualitatively$ $ independent$。图$G$上的覆盖数组，记作$CA(n,G,g)$，是$\mathbb{Z}_g$上的一个$|V(G)|\times n$数组，它具有这样的性质：$G$中相邻顶点对应的任意两行是定性独立的.这样的数组中的列数称为$size$。给定一个图$G$，$G$上具有最小尺寸的覆盖数组称为$optimal$。我们在本文中主要关注的是与建设，使最佳覆盖阵列的大型图，这些是从较小的图的产品。我们考虑了文献中研究最广泛的四种图积，并给出了图积上覆盖数组的大小的上界和下界。我们发现家庭的图的覆盖阵列的笛卡尔积的大小达到下界。最后，我们给出了一个多项式时间近似算法，该算法的近似比为$\log(\frac{V}{2^{k-1}})$，用于构造具有$k>1$素因子的图$G=(V,E)$上关于笛卡尔积的覆盖阵列。
2015-12-22 cs.DM math.CO
Partial covering arrays and a generalized Erdos-Ko-Rado property
经典的Erd \H os-Ko-Rado定理指出，如果$k\le\floor{n/2}$，则$[n]=\{0,1,...,n\}$的最大的成对相交$k$ -子集族的大小为${{n-1}\choose{k-1}}$。满足这种两两相交性质的$k$子集族称为EKR族。我们推广的EKR属性，并提供渐近下界的最大家庭${\cal A}$的$k$ -子集的$[n]$，满足以下属性的大小：对于每个$A,B,C\in{\cal A}$，每个四个集合$A\cap B\cap C;A\cap B\cap C^C; A\cap B^C\cap C; A^C\cap B\cap C$是非空的。这种广义EKR（GEKR）属性的动机，建议推广，并与固定重量3覆盖阵列的比较。我们的技术是概率性的。
2005-12-06 math.CO
The Multiple Riordan Group and the Multiple Riordan Type Arrays
本文首次系统研究多重Riordan群与多重Riordan型阵列，利用A-序列和多个Z-序列刻画其结构，定义相关群与子群，并分析阵列压缩的序列特征及全正性。
2025-07-06 math.CO
Bounds on Covering Codes in RT spaces using Ordered Covering Arrays
本文讨论了有序覆盖阵列的构造，并应用于Rosenbloom-Tsfasman空间（RT空间）中覆盖码的上界，改进或推广了已有的一些结果.
2022-07-31 cs.DM cs.IT math.CO
Rational Polygons: Odd Compression Ratio and Odd Plane Coverings
设P是一个有理顶点在平面内的多边形。我们表明，对于任何有限的奇数大小的集合的翻译的P，该区域的一组点躺在一个奇数这些翻译是有界的远离0的常数取决于P单独。证明的关键成分是一个建设的奇覆盖的平面的平移的P。也就是说，我们建立一个家庭F的平移的P覆盖（几乎）在平面上的每一个点的一致有界的奇数倍。
2017-01-03 math.CO math.MG
Mixed Covering Arrays on 3-Uniform Hypergraphs
覆盖数组是一种组合对象，已成功应用于软件、电路和网络等测试系统的测试集设计中，这些测试系统的故障可能是由参数之间的相互作用引起的。在本文中，我们进行了一个新的推广覆盖阵列称为覆盖阵列上的3-一致超图。令$n, k$是正整数，其中$k\geq 3$。如果对于任何三元组$(a, b, c) \in \mathbb Z_{g_1}\,\times\, \mathbb Z_{g_2}\,\times\,\mathbb Z_{g_3}$，存在索引$ j\in \lbrace 1, 2,...,n \rbrace $使得$( x(j), y(j), z(j)) = (a, b, c)$，则三个向量$x\in \mathbb Z_{g_1}^n$，$y\in \mathbb Z_{g_2}^n$，$z\in \mathbb Z_{g_3}^n$是{ \it 3-定性独立}的。设$H$是一个3-一致超图，其$k$顶点$v_1,v_2,\ldots,v_k$具有各自的顶点权值$g_1,g_2,\ldots,g_k$ . $H$上的混合覆盖数组，记为$3-CA(n,H, \prod_{i=1}^{k}g_{i})$，是一个$k\times n$数组，使得行$i$对应于顶点$v_i$，行$i$中的条目来自$Z_{g_i}$ ;并且如果$\{v_x,v_y,v_z\}$是$H$中的超边，则行$x,y,z$…
2015-08-29 cs.DM math.CO
A Semi-Random Construction of Small Covering Arrays
给定$v \ge 2$符号的集合$S$，以及整数$k \ge t \ge 2$和$N \ge 1$，如果$S^t$中的所有序列在$A$的每个$N \times t$子阵列中显示为行，则$N \times k$阵列$A \in S^{N \times k}$是$(N; t, k, v)$覆盖阵列。这些阵列具有广泛的应用，推动了对小型覆盖阵列的研究。覆盖数组编号$\mathrm{CAN}(t,k,v)$是存在$(N; t,k,v)$覆盖数组的最小$N$。在本文中，我们结合概率和线性代数的建设，以提高$\mathrm{CAN}(t,k,v)$的上界的$\ln v$的一个因素，表明素数权力$v$，$\mathrm{CAN}(t,k,v) \le (1 + o(1)) \left( (t-1) v^t / (2 \log_2 v - \log_2 (v+1)) \right)\log_2 k$，这也提供了改进的大$v$不是素数权力。我们的主要工具，这可能是独立的利益，是一个数组的$v^t$行，涵盖了最大可能数量的大小$t$的子集的建设。
2017-03-26 cs.DM math.CO
Excess Coverage Arrays and Levenshtein's Conjecture
本文通过分析序列覆盖阵列与超额覆盖阵列的联系，证明若存在含7!个排列的7强度序列覆盖阵列，则符号集大小v≤9，为Levenshtein猜想提供了支持，并研究了强度2超额覆盖阵列的相关性质。
2024-11-26 math.CO
Intersection Arrays of Completely Regular Codes of Covering Radius One in Generalized Petersen Graphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
研究广义Petersen图GP(n,k)中覆盖半径1的完全正则码的所有可能交数组，通过完美2-着色等价转化为商矩阵枚举，给出存在性的充要算术条件并构造显式周期着色。
2026-06-15 math.CO
Partial Covering Arrays: Algorithms and Asymptotics
覆盖数组$\mathsf{CA}(N;t,k,v)$是具有$\{1, 2, \ldots , v\}$中的条目的$N\times k$数组，其中每个$N\times t$子数组在其行中包含$\{1, 2, \ldots , v\}^t$的每个$t$元组。覆盖阵列在交互测试中得到应用，包括软件和硬件测试、先进材料开发和生物系统。一个中心问题是确定或约束$\mathsf{CAN}(t,k,v)$，即$\mathsf{CA}(N;t,k,v)$的最小行数$N$。众所周知的界$\mathsf{CAN}(t,k,v)=O((t-1)v^t\log k)$是不是太远，从渐近最优。当（1）集合$\{1, 2, \ldots , v\}^t$仅需要包含在$N\times t$子阵列的至少$(1-ε)\binom{k}{t}$的行中，以及（2）每个$N\times t$子阵列的行仅需要包含$\{1, 2, \ldots , v\}^t$的（大）子集时，出现覆盖要求的合理放宽。本文使用概率方法，对两种松弛以及两者的合取建立了覆盖数组上界的显着改进。在每种情况下，随机化算法在预期的多项式时间内构造这样的数组。
2016-05-07 cs.DM math.CO
A group-based structure for perfect sequence covering arrays
一个$(n,k)$ -完美序列覆盖阵列与重$λ$，表示为PSCA $(n,k,λ)$，是一个多集，其元素是序列$(1,2, \dots, n)$的排列，并共同包含每个有序长度$k$子序列正好$λ$次。主要目的是为每对$(n,k)$确定存在PSCA $(n,k,λ)$的$λ$的最小值（表示为$g(n,k)$）;更一般地，确定存在PSCA $(n,k,λ)$的值$λ$的完整集合。Yuster最近确定了第一个已知的大于1的$g(n,k)$值，即$g(5,3)=2$，并建议找到其他这样的值将是具有挑战性的。我们表明，$g(6,3)=g(7,3)=2$，使用递归搜索方法的启发，由于Mathon的旧算法。然后，我们施加一个基于组的结构上的完美序列覆盖数组限制它是一个工会的规定的非平凡的对称组$S_n$子群的不同陪集。这使我们能够确定$g(7,4)=2$和$g(7,5) \in \{2,3,4\}$以及$g(8,3) \in \{2,3\}$和$g(9,3) \in \{2,3,4\}$的新结果。我们还表明，对于每个$(n,k) \in \{ (5,3), (6,3), (7,3), (7,4) \}$，存在PSCA $(n,k,λ)$当且仅当$λ\ge 2$ ;存在PSCA $(8,3,λ)$当且仅当$λ\ge g(8,3)$。
2022-02-04 math.CO
$t$-Covering Arrays Generated by a Tiling Probability Model
$t-\a$覆盖阵列是$m\times n$矩阵，具有来自大小为$α$的字母表的条目，使得对于$t$行的任何选择以及字母表的任何有序的$t$字母串，存在一列，使得该列中的行的“值”与字母串的“值”匹配。我们使用Lovász局部引理结合一个新的基于平铺的概率模型，以提高上界的最小列数$N=N(m,t,α)$的$t-\a$覆盖阵列。
2010-11-01 cs.DS math.CO math.PR
Partial covering arrays for data hiding and quantization
我们考虑的问题，找到一个集（部分覆盖数组）$S$的顶点的布尔$n$ -立方体具有基数$2^{n-k}$和相交的最大数量的$k$维面。我们证明了对于足够大的$k$，包含$S$的元素的$k$ -面与$k$ -面的个数之比小于$1-\frac{1+o(1)}{\sqrt{2πk}}$和$n\rightarrow\infty$.在线性码类中找到了该问题的解，并讨论了该问题与密码学和量子化效率之间的联系。
2017-08-05 cs.IT math.CO math.IT
High Rate LDPC Codes from Difference Covering Arrays
提出了一种基于差分覆盖阵列的低密度奇偶校验（LDPC）码的组合构造方法。虽然Gallagher最初的构造是通过在稀疏奇偶校验矩阵中随机分配比特，但在过去的20年中，研究人员已经使用了各种更结构化的方法来构造这些代码，最近的结构良好的LDPC码的构造来自平衡不完全区组设计（BIBDs）和有限域上的拉丁方。然而，这些结构受到这些设计存在的有限订单的影响。在这里，我们提出了一个结构的LDPC码的长度为$4n^2 - 2n$的所有$n$使用阶$2n$的循环群。这些码对于$n \geq 8$实现高信息率（大于0.8），具有至少6的围长，并且对于$n$奇数具有最小距离6。
2017-01-20 cs.IT math.CO math.IT
Upper Bounds for Covering Arrays of Higher Index
本文研究一般指数 λ 的覆盖阵列数上界，结合 Stein–Lovász–Johnson 范式、Lovász 局部引理、两阶段构造与图着色，消去 log log k 项并改进常数及 λ=2、一般 λ 的界。
2023-06-05 cs.DM math.CO
A polynomial construction of perfect sequence covering arrays
PSCA $(v, t, λ)$是$v$元素字母表$\{0, \dots, v-1\}$的排列的多集合，使得字母表的$t$不同元素的每个序列以指定的顺序精确地以$λ$排列出现。对于$v \geq t$，令$g(v, t)$为使得PSCA $(v, t, λ)$存在的最小正整数$λ$。我们提出了一个明确的建设，证明$g(v,t) = O(v^{t(t-2)})$固定$t \geq 4$。该方法的建设涉及到一个置换表示的一组射影空间的一个适当的维度$t - 2$和删除所有，但一定数量的符号从每个置换。在这种情况下，这个空间是一个Despermesian射影平面，我们还表明，存在一个置换表示的一组射影的平面，涵盖了绝大多数的4-序列的点固定的次数。
2022-09-30 math.CO math.GR
Two-stage algorithms for covering array construction
现代软件系统通常由许多不同的组件组成，每个组件都有许多选项。虽然单元测试可能会揭示个别组件的错误选项，但功能正确的组件可能会以不可预见的方式相互作用，从而导致故障。覆盖阵列被用来系统地测试组件之间的相互作用。一个两阶段的框架，提供了一些具体的算法，覆盖阵列的有效建设。我们的框架将构建分为两个阶段。在第一阶段中，时间和存储器有效的随机算法涵盖了大多数的相互作用。在第二阶段，更复杂的搜索在相对较少的测试中覆盖其余部分。以这种方式，避免了复杂的搜索算法的存储限制;因此，可以应用该算法的组件的数量的范围被扩展，而不增加测试的数量。许多框架实例化都可以进行调优，以优化内存质量的权衡，这样就可以使用更多的内存完成更少的测试。当组件的数量范围从20到60，每个选项的数量范围从3到6，和$t$方式的相互作用被覆盖为$t\in \{5,6\}$时，开发的算法优于目前最知名的方法。在某些情况下，可实现测试次数减少超过$50\%$。
2016-06-21 cs.DM cs.DS cs.SE
QC-LDPC Codes from Difference Matrices and Difference Covering Arrays
我们给出了一个通用的LDPC码的结构，使用transmittance设计或相关的结构，如相互正交的拉丁广场的框架。我们的结构提供了更广泛的编码长度和编码速率。类似的早期构造依赖于素数幂阶的有限域的存在。相反，这里构造的LDPC码是基于差分矩阵和差分覆盖阵列，其结构可用于任何阶$a$。它们满足RC约束，并且对于$a$奇数，具有长度$a^2$和速率$1-\frac{4a-3}{a^2}$，并且对于$a$偶数，具有长度$a^2-a$和速率至少为$1-\frac{4a-6}{a^2-a}$。当$3$不除$a$时，这些LDPC码具有至少$8$的停止距离。当$a$为奇数且$3$和$5$均不整除$a$时，我们构造的QC-LDPC码族的最小距离至少为$10$ .简单的建设，使我们能够从理论上验证这些属性，并分析确定下限的最小距离和停止距离的代码。我们的代码在AWGN（通过仿真）的BER和FER性能至少相当于以前构建的代码，而在某些情况下显着优于它们。
2022-05-01 cs.IT math.CO math.IT
On Perfect Sequence Covering Arrays
该研究聚焦完美序列覆盖阵列（PSCA）的存在性参数问题，确定了多组小参数下最小λ值，借助群置换表示改进了v≤32、3≤t≤6时g(v,t)的上界，并证明了PSCA列间符号分布的若干限制。
2022-02-04 math.CO math.GR
