Consider the standard family of complex Hénon maps $H(x,y) = (p(x) - ay, x)$, where $p$ is a quadratic polynomial and $a$ is a complex parameter. Let $U^{+}$ be the set of points that escape to infinity under forward iterations. The analytic structure of the escaping set $U^{+}$ is well understood from previous work of J. Hubbard and R. Oberste-Vorth as a quotient of $(\mathbb{C}-\overline{\mathbb{D}}) \times\mathbb{C}$ by a discrete group of automorphisms $Γ$ isomorphic to $\mathbb{Z}[1/2]/\mathbb{Z}$. On the other hand, the boundary $J^{+}$ of $U^{+}$ is a complicated fractal object on which the Hénon map behaves chaotically. We show how to extend the group action to $\mathbb{S}^1\times\mathbb{C}$, in order to represent the set $J^{+}$ as a quotient of $\mathbb{S}^1\times \mathbb{C}/\,Γ$ by an equivalence relation. We analyze this extension for Hénon maps that are small perturbations of hyperbolic polynomials with connected Julia sets or polynomials with a parabolic fixed point.
An Extension of Discrete Lagrangian Descriptors for Unbounded Maps
本文将离散拉格朗日描述子方法推广到无界映射的相空间中。关键思想是构建一个工作定义，该定义建立在Lopesino et al.（2015）中引入的原始方法的基础上，并且依赖于当它们的轨道离开平面中的某个区域时停止初始条件的迭代。这个准则部分地受到动力系统理论中使用的经典分析的启发，该分析通过逃逸时间图来研究映射的动力学。我们说明了这种技术的能力，以揭示相空间中的稳定和不稳定的不变流形的几何模板，以及复杂的结构的混沌集和奇异吸引子，通过应用它来揭开一个著名的离散时间系统，Hénon映射的相空间。
Nearly-periodic maps and geometric integration of noncanonical Hamiltonian systems
M. Kruskal证明了每一个连续时间近周期动力系统都有一个形式的$U(1)$对称性，这种对称性是由所谓的旋转速率产生的。当近周期系统也是哈密顿系统时，诺特定理意味着存在一个相应的绝热不变量。我们发展了Kruskal理论的离散时间模拟。近周期映射被定义为参数依赖的自同构，其限制为沿着$U(1)$ -作用的旋转。当极限转动是非共振的，这些地图承认正式$U(1)$对称性的所有订单在扰动理论。对于精确前辛流形上的Hamilton近周期映射，利用Noether定理的离散时间推广，证明了形式$U(1)$对称性产生离散时间绝热不变量.当未扰动的$U(1)$ -轨道是可收缩的，我们也发现了一个离散时间绝热不变量的映射，仅仅是前辛，而不是汉密尔顿。作为该理论的一个应用，我们利用它发展了精确辛流形上非正则哈密顿系统的几何积分的新方法。
Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors
研究了一类二次同宿切线到鞍不动点的三参数一般开折中周期轨道的分支。我们应用重新标度技术的第一次返回（庞加莱）的地图，并表明，重新标度的地图可以带来一个地图渐近接近的三维Henon地图$\bar x=y,\bar y=z,\bar z = M_1 + M_2 y + B x - z^2$，如已知的，表现出野生双曲洛伦兹吸引子在一些开放的参数域。在此基础上，我们证明了类Lorenz吸引子的无穷级联的存在性。
Some integrable maps and their Hirota bilinear forms
我们引入了一个双参数族的双有理映射，这减少到一个家庭以前发现Demskoi，Tran，van der Kamp和Quispel（DTKQ）时，其中一个参数设置为零。研究这些映射的奇异约束模式，引入了满足齐次递归的τ函数，该函数具有Laurent性质，（或超离散）模拟这种齐次复发证实了二次度增长经验发现Demskoi等人。我们证明，tau函数也满足两个不同的双线性方程，其中每一个都是Hirota-Miwa方程（也称为离散KP方程或八面体递归）的简化。此外，这些双线性方程涉及到减少特定的二维可积晶格方程，离散KdV或离散户田型。这些连接，以及集群代数结构的双线性方程，允许直接建设的泊松括号，拉克斯对和第一次积分的双有理映射。由于后者的结果，我们展示了如何家庭的每个成员可以被提升到一个系统，是在刘维尔意义上可积的，澄清以前在原来的DTKQ情况下的意见。
