Stern双原子序列的三个类似物
Three analogues of Stern's diatomic sequence
摘要:
我们以三种方式推广斯特恩的双原子序列。
英文摘要:
We generalize Stern's diatomic sequence in three ways.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Three analogues of Stern's diatomic sequence
Sam Northshield
我们以三种方式推广斯特恩的双原子序列。
We generalize Stern's diatomic sequence in three ways.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Some Linear Recurrences Motivated by Stern's Diatomic Array
我们定义了一个三角形阵列密切相关的斯特恩的双原子阵列,并表明,对于一个固定的整数$r\geq 1$,行$n$中的条目的$r$次幂的总和$u_r(n)$满足线性常系数递归。证明技术产生了广泛的推广。在某些情况下,我们可以更明确地得到线性递归。
Upper Bounds for Stern's Diatomic Sequence and Related Sequences
令$(s_2(n))_{n=0}^\infty$表示Stern双原子序列。对于$n\geq 2$,我们可以将$s_2(n)$视为将$n-1$分割成$2$的幂的数目,其中每个部分最多出现两次。更一般地,对于整数$b,n\geq 2$,令$s_b(n)$表示将$n-1$分割成$b$的幂的次数,其中每个部分出现在最多$b$次数。使用序列$s_b(n)$的这种组合解释,我们使用转移矩阵方法来开发针对$n$的某些值计算$s_b(n)$的方法。然后,这允许我们导出对于$n$的某些值的$s_b(n)$的上界。在特殊情况下,$b=2$,我们的边界改进后,目前的Stern序列的上界。此外,我们还能证明$\displaystyle{\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{s_b(n)}{n^{\log_bϕ}}=\frac{(b^2-1)^{\log_bϕ}}{\sqrt 5}}$ .
A Bijective Proof of Richard Stanley's Observation that the sum of the cubes of the n-th row of Stern's Diatomic array equals 3 times 7 to the power n-1
在一篇令人愉快的文章中,理查德·斯坦利用代数方法推导出了一个令人惊讶的简单公式,即3乘以7的n-1次方,用于计算斯特恩双原子阵列第n行的立方体之和。在这篇文章中,我们找到了这个令人惊讶的事实的一个优雅的双射证明,解释了它并给出了见解。新颖之处在于,这种华丽的双射是由计算机(SBE)发现的,人类(DZ)的指导很少。这就推翻了一些人类至上主义者所持有的传统智慧,即计算机只能计算,但不能提供洞察力
Isomorphisms of graphs of Hyperbinary Expansions and Efficient Algorithms for Stern's Diatomic Sequence
该研究针对非负整数的超二进制展开对应的边标记有向图$A(n)$,分析其圈秩与结构,证明偶数阶图的同构唯一性,推导Stern二原子序列相关公式并讨论相关算法。
Nonperiodic tilings related to Stern's diatomic series and based on tiles decorated with elements of $\mathbb{F}_p$
本文给出了与Stern双原子序列有关的置换镶嵌的构造和各种性质,这些置换镶嵌是基于对某些奇素数$p$用$\mathbb{F}_p$的元素装饰的镶嵌.这些替代镶嵌在某种意义上是加性的,这将在后面阐明,并导致一维和二维的新的非周期性镶嵌。
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Diatomic Sequence
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列,具有许多迷人的特征。整数的二进制带符号数字表示是整数的另一种表示,在高效计算、编码理论和密码学中有很多用途。我们在这里链接这两个想法,表明$i$位二进制符号数表示的整数$n$与$n<2^i$是$(2^i-n)^\text{th}$元素斯特恩的双原子序列。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数整数。
The maximal order of Stern's diatomic sequence
我们回答了Calkin和Wilf关于Stern双原子序列的极大序模的一个问题.具体地说,我们证明了$$\limsup_{n\to\infty}\frac{a(n)}{φ^{\log_2 n}}=\frac{φ^{\log_2 3}}{\sqrt{5}},$$,其中$φ=(\sqrt{5}+1)/2$是黄金比例。这改进了Berlekamp、Conway和Guy先前给出的结果,他们表明极限值的上界为1.25,Calkin和Wilf给出的结果表明精确值在区间$[(φ/{\sqrt{5}})({3}/{2})^{\log_2φ},(φ+1)/{\sqrt{5}}].$内
Binary Signed-Digit Integers, the Stern Diatomic Sequence and Stern Polynomials
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列,具有许多迷人的特征。整数的二进制符号位(BSD)表示在高效计算、编码理论和其它应用中得到广泛应用。我们链接这两个对象,表明整数$n<2^i$的$i$位二进制符号数字表示的数量是斯特恩的双原子序列中的$(2^i-n)^\text{th}$元素。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数位整数,反之亦然。本文讨论的这种关系的应用包括BSD表示的权重分布定理,将这些表示与Stern多项式联系起来,整数的最佳BSD表示的数量及其汉明权重的递归,源于Stern多项式的首项系数和次数的简单递归,以及具有最大数量的此类表示的所有整数的识别。
A multidimensional continued fraction generalization of Stern's diatomic sequence
连分数与斯特恩双原子序列0,1,1,2,1,3,2,3,1,4,.相连。(由递归关系a_2n=a_n和a_{2n+1} = a_n + a_{n+1}给出,其中a_0=0和a_1=1),这是早已公知的。使用一种特殊的多维连分数算法(Farey算法),我们将把双原子序列推广到一个自然应该被称为三原子序列(或具有记忆序列的二维Pascal)的数的集合。由于连分数和双原子序列可以被认为是来自单位区间的系统细分,这种新的三原子序列将通过三角形的系统细分而产生。我们将讨论三原子序列的一些代数性质。
Automated Generation of Generating Functions Related to Generalized Stern's Diatomic Arrays in the footsteps of Richard Stanley
本文提出并实现了基于符号动态规划的 Maple 算法,用于自动生成广义 Stern 阵列的生成函数,并将其推广到由常系数线性递推序列定义的更一般阵列。
Stern Sequences for a Family of Multidimensional Continued Fractions: TRIP-Stern Sequences
斯特恩双原子序列通过单位区间上的高斯映射与连分数紧密相连,而单位区间上的高斯映射又可以通过单位区间的系统细分来理解。连分数的高维类似物,称为多维连分数,可以通过三角形的各种细分产生。我们定义了三角形划分斯特恩序列(TRIP-Stern序列),更高的维推广的斯特恩双原子序列,通过各种三角形划分算法细分三角形的方法。然后,我们探讨了几个组合的TRIP-Stern序列,这可能是用来产生某些众所周知的序列的结果。我们完成推广TRIP-Stern序列,并提出类似的结果,这些推广。
Record-Setters in the Stern Sequence
Stern双原子系列,用$(a(n))_{n \geq 0}$表示,由$n \geq 1$的递归关系$a(2n) = a(n)$和$a(2n + 1) = a(n) + a(n + 1)$以及初始值$a(0) = 0$和$a(1) = 1$定义。序列$(s(n))_{n \geq 0}$的记录设置器是索引$v$,使得$s(i) < s(v)$对所有$i < v$保持。在本文中,我们给出了一个完整的描述的Stern序列的记录设置者。
Proof of Northshield's conjecture concerning an analogue of Stern's sequence for $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$
通过确定Northshield关于$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$的Stern序列的模拟的极大序模,证明了Northshield的一个猜想.特别地,如果$b$是Northshield的类似物,我们证明了$$\limsup_{n\to\infty}\frac{2b(n)}{(2n)^{\log_3 (\sqrt{2}+1)}}=1.$$
Sturmian words and the Stern sequence
中心词、标准词和Christoffel词是三种紧密相关的二元有限词,它们代表了特征Sturmian词的有限对应物。一个自然的算术化的理论是通过表示中心和Christoffel字的不可约分数分别标记两个二叉树,Raney(或Calkin-Wilf)树和Stern-Brocot树。Raney树中分数的分解子序列是著名的Stern双原子数列。一个解释的条款$s(n)$斯特恩的序列作为长度的Christoffel字时,$n$是奇数,并作为最小时期的中心字时,$n$是偶数,允许一个解释几个结果的Christoffel和中心字方面的斯特恩的序列,相反,以获得一个新的见解在组合的Christoffel和中心字使用的性质斯特恩的序列。我们的主要结果之一是一个非交换版本的“交替位集定理”的卡尔金和威尔夫。我们还研究了树中等高节点对应的Christoffel词的长度分布,得到了一些有趣的界和不等式。
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