$2D$临界渗流的因式分解公式
Factorization Formulas for $2D$ Critical Percolation, Revisited
摘要：
我们考虑了上半平面三角形格子上的临界点渗流。设$u_1, u_2$是边界上的两个点，而$w$是半平面内部的一个点。Simmons、Kleban和Ziff在2007年的一篇论文中预测，比率$\mathbb{P}(nu_1 \leftrightarrow nu_2 \leftrightarrow nw)^{2}\,/\,\mathbb{P}(nu_1 \leftrightarrow nu_2)\cdot\mathbb{P}(nu_1 \leftrightarrow nw)\cdot\mathbb{P}(nu_2 \leftrightarrow nw)$收敛到$K_F$为$n \to \infty$，其中$x\leftrightarrow y$表示$x$和$y$在同一个疏散星团中的事件，而$K_F$是一个明确已知的常数。Beliaev和Izyurov在2012年的一篇论文中证明了这种因式分解在标度极限中的模拟。我们证明，使用他们的结果和广义耦合参数，前面提到的预测。进一步证明了概率$\mathbb{P}(nu_2 \leftrightarrow [nu_1,nu_1+s];\, nw \leftrightarrow [nu_1,nu_1+s])$的因子分解公式，其中$s>0$.
英文摘要：
We consider critical site percolation on the triangular lattice in the upper half-plane. Let $u_1, u_2$ be two sites on the boundary and $w$ a site in the interior of the half-plane. It was predicted by Simmons, Kleban and Ziff in a paper from 2007 that the ratio $\mathbb{P}(nu_1 \leftrightarrow nu_2 \leftrightarrow nw)^{2}\,/\,\mathbb{P}(nu_1 \leftrightarrow nu_2)\cdot\mathbb{P}(nu_1 \leftrightarrow nw)\cdot\mathbb{P}(nu_2 \leftrightarrow nw)$ converges to $K_F$ as $n \to \infty$, where $x\leftrightarrow y$ denotes the event that $x$ and $y$ are in the same open cluster, and $K_F$ is an explicitly known constant. Beliaev and Izyurov proved in a paper in 2012 an analog of this factorization in the scaling limit. We prove, using their result and a generalized coupling argument, the earlier mentioned prediction. Furthermore we prove a factorization formula for the probability $\mathbb{P}(nu_2 \leftrightarrow [nu_1,nu_1+s];\, nw \leftrightarrow [nu_1,nu_1+s])$, where $s>0$.
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