关于Lipschitz映射扩张的Kirszbraun定理的一个可定义的p-adic模拟
A definable, p-adic analogue of Kirszbraun's Theorem on extensions of Lipschitz maps
摘要：
Zorn引理的一个直接应用给出了每一个Lipschitz映射$f:X\subset \mathbb{Q}_p^n\to \mathbb{Q}_p^\ell$都有一个Lipschitz映射$\widetilde f: \mathbb{Q}_p^n\to \mathbb{Q}_p^\ell$的扩张.这是类似的，但更容易，Kirszbraun定理的存在Lipschitz扩展的Lipschitz地图$S\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^\ell$。最近，Fischer和Aschenbrenner得到了Kirszbraun定理的一个可定义的版本。在本文中，我们证明了在$p$ -adic上下文中，当$f$是可定义的时，$\widetilde f$可以被认为是可定义的，其中可定义意味着半代数或亚解析（或者，一些中介概念）。当$X$是可定义的时，我们证明了$\mathbb{Q}_p^n$到$X$的拓扑闭包的可定义的Lipschitz收缩的存在性。
英文摘要：
A direct application of Zorn's Lemma gives that every Lipschitz map $f:X\subset \mathbb{Q}_p^n\to \mathbb{Q}_p^\ell$ has an extension to a Lipschitz map $\widetilde f: \mathbb{Q}_p^n\to \mathbb{Q}_p^\ell$. This is analogous, but more easy, to Kirszbraun's Theorem about the existence of Lipschitz extensions of Lipschitz maps $S\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^\ell$. Recently, Fischer and Aschenbrenner obtained a definable version of Kirszbraun's Theorem. In the present paper, we prove in the $p$-adic context that $\widetilde f$ can be taken definable when $f$ is definable, where definable means semi-algebraic or subanalytic (or, some intermediary notion). We proceed by proving the existence of definable, Lipschitz retractions of $\mathbb{Q}_p^n$ to the topological closure of $X$ when $X$ is definable.
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