Discrete stochastic approximations of the Mumford-Shah functional
提出了Mumford-Shah泛函的一个$Γ$ -收敛的离散逼近.离散泛函作用于固定随机格上定义的函数，并通过非凸势考虑一般有限差分。在这种情况下，晶格的几何形状强烈影响极限泛函的各向异性。因此，我们可以使用统计各向同性格和随机均匀化技术来近似的向量Mumford-Shah功能在任何维度。
2019-02-22 math.AP
The regularity theory for the Mumford-Shah functional on the plane
本文系统阐述了平面上 Mumford-Shah 泛函极小化子与临界点正则性理论的完整自足框架，总结了该领域的最新研究进展。
2025-01-05 math.AP
The calibration method for the Mumford-Shah functional and free-discontinuity problems
在本文中，我们提出了一个极小的Mumford-Shah功能，更一般的SBV上的非凸变分积分耦合的表面和体项的准则。该方法为几个极小性结果提供了简洁的证明。
2001-05-02 math.AP
Boundary regularity for the Mumford-Shah functional with Dirichlet boundary conditions
本文研究带 Dirichlet 边界条件的 Mumford-Shah 泛函极小元，通过分析边界爆破证明了 epsilon-正则性定理。
2024-04-10 math.AP
Microfractured media with a scale and Mumford-Shah energies
我们想了解微裂缝弹性介质中损伤的集中程度。由于体积和面积（或面积和长度在两个维度上）的不同缩放，传统的均匀化方法使用周期性阵列的细胞似乎失败时，适用于Mumford-Shah功能和周期性断裂域。在本论文中，我们脱离了传统的均匀化。主要结果意味着使用Mumford-Shah能量，并导致在微裂纹弹性体中观察到的损伤浓度的解释。
2007-04-28 math.AP
Stationarity of the crack-front for the Mumford-Shah problem in 3D
本文给出了$\mathbb{R}^3$中Mumford-Shah泛函的一族定态解，任意靠近裂纹前缘.与文献中已知的其他示例不同，这些示例在Bonnet \cite{b}的意义下是拓扑非最小化的。我们也给出了一个本地版本中的有限圆柱和证明的能量估计极小。数值例子表明，固定的解决方案是不可能的最小值，并显示如何依赖于轴向变量影响的几何形状的不连续集。给出了二维Mumford-Shah问题裂纹尖端函数平稳性的完备证明。
2017-10-24 math.AP
A monotonicity formula for minimizers of the Mumford-Shah functional in 2d and a sharp lower bound on the energy density
我们建立了平面区域上Mumford-Shah泛函极小元的一个新的单调性公式。我们的公式遵循Bucur-Luckhaus的精神，但使用David-Léger熵而不是能量。有趣的是，这允许尖锐的截断阈值。特别是，我们的单调性公式是能够区分点之间的$C^1$接口和任何其他类型的奇异性在熵的有限差距。作为推论，我们证明了一个最佳的下界的能量密度周围的任何非光滑点的Mumford-Shah功能的极小。
2022-03-24 math.AP
Endpoint regularity for $2d$ Mumford-Shah minimizers: On a theorem of Andersson and Mikayelyan
我们给出了另一种证明的规律性，直到松散的结束，极小，分别。Mumford-Shah泛函的临界点，当它们足够接近裂纹尖端时，分别为：它们由终止于内点的单个弧组成。
2021-10-16 math.AP
Finite number of traces for Mumford-Shah minimizers in dimension 2
本文利用 David、Bonnet 与 Léger 的早期工具，回答 De Giorgi 的问题，证明二维 Mumford-Shah 极小元趋近奇异集时至多有三个最大极限迹值。
2025-09-30 math.AP
Regularity up to the Crack-Tip for the Mumford-Shah problem
证明了如果$(u,Γ)$是泛函$$ J(u,Γ)=\int_{B_1(0)\setminus Γ}|\nabla u|^2dx +\H^1(Γ) $$的极小元，且$Γ$将$\partial B_1(0)$连接到内部的一个点，则$Γ$在裂纹尖端满足逐点$C^{2,α}$ -估计.这意味着Mumford-Shah泛函满足一个额外的、以前未知的欧拉-拉格朗日条件。* *在第6节中添加了更多解释/详细信息。
2019-05-22 math.AP
Regularity of the singular set for Mumford-Shah minimizers in R^3 near a minimal cone
我们证明了如果（u; K）是R^3的开集中Mumford-Shah泛函的极小元，如果x，K和r > 0使得K足够接近于P型极小锥（平面），则Y（三个以120度角相交的半平面）或T（以原点为中心的正四面体上的锥），则K是C^1，α等价于B（x; r）中的最小锥;其中c < 1是通用常数。
2008-06-18 math.AP
Shape Gradient Based Non-Parametric Mumford-Shah Segmentation Without Level Sets
本文提出一种非参数、无水平集的图像分割方法，用点集多边形表示边界，并基于 Mumford-Shah 能量的形状梯度通过梯度下降迭代演化，能有效捕捉纹理图像中的复杂狭窄边界。
2025-05-03 math.AP
Mumford-Shah functionals on graphs and their asymptotics
我们考虑适应的Mumford-Shah功能图。这些都是基于非局部近似Mumford-Shah功能的离散化。受机器学习应用的启发，我们研究了与测度的随机样本相关联的随机几何图。建立了图的Mumford-Shah泛函的极小值收敛于连续统Mumford-Shah泛函的极小值的图构造条件。此外，我们显式地确定了极限泛函。此外，我们描述了一个有效的算法来计算图Mumford-Shah泛函的近似极小。
2019-09-02 math.AP stat.ML
Solution of the Mumford-Shah conjecture
University of Münster（明斯特大学）
本文通过紧致平移论证和全纯刚性陈述，完成了平面Mumford-Shah广义全局极小元的分类，并由此证明了平面内部正则性猜想。
2026-10-06 math.AP
An anisotropic Poincaré inequality in $GSBV^p$ and the limit of strongly anisotropic Mumford-Shah functionals
我们证明了三维空间中的$GSBV^p$中的函数在$3$方向的$2$中具有小的变化，接近于例外集之外的单变量一元函数。在这两个方向上的例外集的体积和周长的界限。作为一个关键的工具，我们证明了这样的函数的逼近结果在$W^{1,p}$的功能。为此，我们提出了一个二维可数球的建设，允许仔细删除的功能跳跃。作为一个直接的应用，我们显示$Γ$ -收敛的各向异性三维Mumford-Shah模型的一维模型。
2022-12-20 math.AP
A note on the hausdorff dimension of the singular set for minimizers of the mumford-shah energy
本文给出了Ambrosio，Fusco和Hutchinson关于Mumford-Shah能量的奇异极小集的豪斯多夫维数估计的一个结果（见[2，定理5.6]）的一个更初等的证明.一方面，我们遵循上述论文的策略;但另一方面，我们的分析大大简化了论证，因为它依赖于前两位作者在[4，定理13]中证明的关于梯度能量为零的局部极小序列的紧性结果，以及最小Caccioppoli划分的正则性理论，而不是Almgren面积极小集的相应结果。
2014-03-18 math.AP
Homogenization of high-contrast Mumford-Shah energies
我们证明了与脆性复合材料相关的Mumford-Shah型能量的均匀化结果，该材料具有以尺度${\varepsilon}>0$周期性分布的弱夹杂物。材料中的基体和夹杂物具有相同的弹性模量，但具有非常不同的韧性模量，其中基体和夹杂物中的韧性模量之比为$1/β_{\varepsilon}$，其中$β_{\varepsilon}>0$较小。我们发现，高对比度的行为的复合材料导致出现有趣的效果在极限：体积和表面能量密度相互作用的$Γ$收敛，和极限体积能量是不是一个二次型的临界缩放$β_{\varepsilon} = {\varepsilon}$，不像${\varepsilon}$ -能量，不像极端极限的情况下。
2018-07-23 math.AP
A rigidity result for global Mumford-Shah minimizers in dimension three
本文研究了$\R^N$中的全局Mumford-Shah极小元，该极小元是Bonnet作为Mumford-Shah极小元的爆破极限引入的.当奇异集$K$包含在一个足够光滑的锥中时，我们证明了一个新的关于$u$能量的单调性公式.然后，我们使用这种单调性证明，对于任何减少全球极小$(u,K)$在$\R^3$，如果$K$包含在一个半平面和接触它的边缘，那么它是半平面本身。这部分回答了盖伊·大卫的一个问题。
2014-03-11 math.AP math.DG
Equilibrium and absolute minimal states of Mumford-Shah functionals and brittle fracture propagation
通过几何分析和构形分析相结合的方法，研究了一般Mumford-Shah泛函的绝对极小和平衡态的性质，并将其应用于准静态脆性断裂扩展模型.主要结果涉及的物理量之间的数学关系，作为能量释放率和能量集中的三维裂纹形状复杂，被视为外部措施生活在裂纹边缘。
2008-03-14 cond-mat.mtrl-sci math.AP
The asymptotics of the curvature of the free discontinuity set near the cracktip for the minimizers of the Mumford-Shah functional in the plain
我们考虑在2D以下特殊情况的Mumford-Shah功能$$ J(u, Γ)=\int_{B_1\backslashΓ} |\nabla u|^2 dx + λ^2 \fracπ{2} \mathcal{H}^1(Γ). $$它是已知的，如果极小有一个裂纹尖端在球$B_1$（假设在原点），然后$u\approx λ\Im \sqrt{z}$在这一点上。我们计算了渐近展开中的高阶项，其中这些项的齐次阶似乎是某个三角关系的解。
2020-12-15 math.AP
On the homogeneity of global minimizers for the Mumford-Shah functional when K is a smooth cone
证明了如果$(u,K)$是$R^N$中Mumford-Shah泛函的全局极小元，且K是一个足够光滑的锥，则（模常数）u是1/2次齐次函数.我们推导出$R^3$中的一些应用，例如角扇区不能是全局极小的奇异集，如果$K$是半平面，则$u$是相应的两个变量的裂尖函数，或者如果K是满足$S^2$与$C^1$曲线凸多边形的并集的圆锥，则它是$P$，$Y$或$T$。
2008-09-24 math.AP math.SP
A growth estimate for the planar Mumford--Shah minimizers at a tip point: An alternative proof of David--Léger
本文针对平面Mumford--Shah问题的局部极小元在尖端点的增长性，利用二分法和区域补集的John结构给出了局部增长估计的替代证明，区别于已有文献的证明思路。
2025-02-21 math.AP
A second order minimality condition for the Mumford-Shah functional
利用二阶变分的方法，导出了Mumford-Shah泛函的一个新的极小必要条件.它表示为$H^1_0(Γ)$上的非局部二次型的符号条件，$Γ$是临界点的不连续集的正则部分的子流形。两个等价的配方提供：一个在一个合适的紧算子的第一特征值，其他涉及一种非局部容量的$Γ$。并给出了极小性的一个充分条件。最后，给出了一个显式例子，给出了二阶变分非负的区域的完整刻画。
2007-04-24 math.AP math.OC
Mumford-Shah regularization in electrical impedance tomography with complete electrode model
在电阻抗断层成像中，我们的目标是通过在目标表面上进行的电测量来求解目标体内的电导率。这种逆电导率问题是严重不适定的，特别是在实际应用中，只有部分边界数据可用。因此，必须引入正则化。常规的正则化促进平滑功能的使用，然而，Mumford-Shah正则化熟悉的图像分割是更合适的目标组成的几个不同的对象或材料。然而，这在数字上具有挑战性。我们表明，理论上通过$Γ$收敛的修改Ambrosio-Tortorelli近似的芒福德-沙阿正则化适用于电阻抗断层扫描，特别是完整的电极模型的边界测量。通过数值和实验研究，我们证实了这种功能在实践中的工作原理，并产生更高质量的结果比典型的正则化电阻抗断层成像时，目标的电导率由不同的平滑变化的区域。
2022-05-23 math.AP math.OC
Approximation of the Mumford-Shah Functional by Phase Fields of Bounded Variation
在本文中，我们介绍了一个新的相场近似的Mumford-Shah功能类似的著名的Ambrosio和Tortorelli。然而，在我们的设置中，相位场被允许是有界变差函数，而不是$H^1$函数。在图像分割的背景下，我们还展示了如何这种新的近似可以用于数值计算，其中包含一个全变差最小化的相位场变量，因为它出现在许多问题的图像处理。比较经典的Ambrosio-Tortorelli近似，其中的相位场是一个$H^1$ -函数，表明新的模型导致尖锐的相位场。
2020-04-27 cs.NA math.AP math.NA
Critical points of the two-dimensional Ambrosio-Tortorelli functional with convergence of the phase-field energy
Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay（巴黎萨克雷大学）；Laboratoire J.A. Dieudonné, Université Côte d’Azur, CNRS UNMR 7351（尼斯蔚蓝海岸大学）
本文研究了二维Ambrosio-Tortorelli功能临界点的收敛性，证明了在相场能量收敛到Mumford-Shah功能长度项时，极限解是Mumford-Shah功能的临界点。
2026-01-15 math.AP
Perturbed area functionals and brittle damage mechanics
一些Mumford-Shah泛函重新作为扰动面积泛函与脆性损伤力学。我们发现极小“在纸上”的经典Mumford-Shah功能的一些特定的二维域和边界条件。这些解决方案提高了实验验证裂纹外观的能量模型的可能性。提出了两种脆性损伤和断裂模型，其中一种模型中裂纹属于积分变倍集。我们感到有必要开始的文件与初步的一节有关的经典结果平衡的裂纹弹性体审查的背景下，索伯列夫空间的措施。更多信息请访问http://irmi.epfl.ch/cag/buliga_bfrac.html。
2005-11-09 math.AP
Existence of minimizers for the $2$d stationary Griffith fracture model
考虑Griffith断裂模型在二维空间中的变分形式，证明了强极小元的存在性，即在闭跳集外连续可微的形变场，并使相关能量最小化.为了这个目的，我们表明，弱制定的问题，设置在函数空间$SBD^2$和存在是众所周知的极小，实际上是强极小的方法开发的德Giorgi，Carriero和Leaci在相应的标量设置的Mumford-Shah问题。
2016-03-09 math.AP
$Γ$-Convergence of an Ambrosio-Tortorelli approximation scheme for image segmentation
本文证明了Ambrosio-Tortorelli逼近在分片光滑设置下对Mumford-Shah泛函的$\Gamma$-收敛，从而为图像分割中该逼近的极小元收敛性提供了理论保证。
2023-09-04 cs.NA math.AP math.NA
Hausdorff dimension of the singular set for Griffith almost-minimizers in the plane
本文证明平面中Griffith断裂能极小化子及几乎极小化子的裂纹集一致可修正，进而得出奇异集维数严格小于1，并证明梯度更高可积性，肯定回答De Giorgi猜想类似物。
2025-10-09 math.AP
Strong existence for free discontinuity problems in linear elasticity
本文通过证明 Griffith 泛函一大类拟极小元的 Ahlfors 正则性，确立线性弹性中多类自由间断问题极小元跳跃集本质闭合并具有强存在性。
2025-09-01 math.AP
Approximation of topological singularities through free discontinuity functionals: the critical and super-critical regimes
该研究拓展了Mumford-Shah型自由不连续泛函逼近拓扑奇点的方法，证明二维反平面螺位错能量在临界与超临界区间下三类泛函的变分等价性，并通过新的稠密性结果去除了序参数跳跃集为紧集的先验假设。
2024-07-11 math.AP
