首页/论文/1412.0652

arXiv 1412.06522014-12cs.DS

引入线性规划内点法的更简便方法

Still Simpler Way of Introducing Interior-Point method for Linear Programming

Sanjeev Saxena

备注：: added section on initial solution

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

线性规划现在包括在算法本科和研究生课程的计算机科学专业。它是可能的，直接教邻点方法，只有最少的知识代数和矩阵。

英文摘要：

Linear Programming is now included in Algorithm undergraduate and postgraduate courses for Computer Science majors. It is possible to teach interior-point methods directly with just minimal knowledge of Algebra and Matrices.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

引入线性规划内点法的一种更简单的方法

A Still Simpler Way of Introducing the Interior-Point Method for Linear Programming

线性规划现在包括在算法本科和研究生课程的计算机科学专业。我们给出了一个独立的治疗的一个通道点的方法，这是特别适合于典型的数学背景的CS学生。特别是，只有有限的知识，线性代数和微积分的假设。

2016-06-14cs.DSmath.OC

内点算法的光滑分析：终止

Smoothed Analysis of Interior-Point Algorithms: Termination

我们进行平滑分析的终止阶段的一个通道点方法。结合Dunagan，Spielman和Teng对Renegar的邻域点算法的光滑分析，我们证明了线性规划的邻域点算法的光滑复杂性为$O (m^{3} \log (m/σ))$ .相比之下，线性规划的最坏情况复杂度的最佳已知界限是$O (m^{3} L)$，其中$L$可以与$m$一样大。我们包括一个介绍平滑分析和证明技术，已在平滑分析有用的教程。

2003-01-21cs.DS

半定规划内点方法的图灵模型复杂性

On the Turing model complexity of interior point methods for semidefinite programming

众所周知，人们可以在多项式时间内使用椭球方法（在某些假设下）求解半定规划到固定精度。在本文中，它表明，同样适用于当一个使用短的步骤，原始内点方法。证明的主要思想是在每次迭代中使用丢番图逼近来限制迭代的中间位大小。

2015-07-16cs.DSmath.OC

求解半正定规划的快速简单的宽度无关并行算法

Faster and Simpler Width-Independent Parallel Algorithms for Positive Semidefinite Programming

本文研究半正定规划的$(1+ε)$ -近似解的求法问题。这些是半定规划，其中约束和目标中的所有矩阵都是半正定的，并且所有标量都是非负的。我们提出了一个更简单的\NC并行算法，在输入$n$约束矩阵，需要$O(\frac{1}{ε^3} log^3 n)$迭代，其中每一个只涉及简单的矩阵运算和计算矩阵指数和半正定矩阵的乘积的迹。此外，给定因子分解形式的正SDP，我们的算法的总工作在因子分解中的非零条目的数量上是近线性的。

2016-02-22cs.DCcs.DS

无约束几何规划和尺度问题的内点法

Interior-point methods for unconstrained geometric programming and scaling problems

我们提供了一个基于条件的分析两个内点点的方法无约束几何规划，一类凸规划，自然出现在应用程序，包括矩阵缩放，矩阵平衡，熵最大化。我们的条件数是与几何规划的牛顿多面体相关联的自然几何量，并导致近似极小值的直径界。我们还提供了有效的界限上的条件数在一般情况下和组合假设下的牛顿多面体。通过这种方式，我们推广了最近的内点方法的矩阵缩放和矩阵平衡的迭代复杂性。最近，有很多关于李群上某些最优化问题的算法的工作，称为容量和缩放问题。对于交换群，这些问题减少到无约束的几何规划，这是我们工作的一个特别的动力来源。

2020-08-27cs.DSmath.OC

半定规划的一种快速内点法

A Faster Interior Point Method for Semidefinite Programming

半定规划（SDP）是一类基本的优化问题，最近在近似算法、量子复杂性、鲁棒学习、算法舍入和对抗性深度学习中有重要应用。本文提出了一种快速的内点算法来求解具有可变长度$n \times n$和$m$约束的时间上为\begin{align*} \widetilde{O}(\sqrt{n}( mn^2 + m^ω+ n^ω) \log(1 / ε) ), \end{align*}的一般SDPs，其中$ω$是矩阵乘法的指数，$ε$是相对精度.在$m \geq n$的主要情况下，我们的运行时间优于之前最快的SDP求解器，后者基于Jiang、Lee、Song和Wong的切割平面方法[JLSW 20]。我们的算法的运行时间可以自然地解释如下：$\widetilde{O}(\sqrt{n} \log (1/ε))$是我们的内点方法所需的迭代次数，$mn^2$是输入大小，$m^ω+ n^ω$是每次迭代中反转Hessian和松弛矩阵的时间。这些构成了进一步提高内点方法求解通用SDP的运行时间的天然障碍。

2020-09-21cs.DSmath.OC

更多相关论文收起更多论文

空间高效的内点法及其在线性规划和最大权二分匹配中的应用

Space-Efficient Interior Point Method, with applications to Linear Programming and Maximum Weight Bipartite Matching

针对数据流模型中的线性规划问题，提出一种仅优化对偶规划的空间高效内点法，实现了不依赖约束数的高效LP求解及二分图匹配算法。

2023-05-18cs.DS

线性规划的量子内点预估校正算法

A Quantum Interior-Point Predictor-Corrector Algorithm for Linear Programming

本文提出了一种求解稠密线性规划问题的量子优化算法，它可以看作是利用量子线性系统算法\cite{DenseHHL}对内点预测-校正算法\cite{Predictor-Corrector}进行量子化.的（最坏情况）我们的方法的工作复杂度是，直到多对数因子，$O(L\sqrt{n}(n+m)\overline{||M||_F}\barκ^2ε^{-2})$对于$n$是成本函数中的变量的数量，$m$是约束的数量，$ε^{-1}$是目标精度，$L$是输入数据的位长度，$\overline{||M||_F}$是出现的线性方程组的Frobenius范数的上限，$||M||_F$，以及$\barκ$是这些方程组的条件数$κ$的上界。这表示当问题$A$的初始矩阵稠密时，相对于可比较的经典内点算法，代价函数中变量的数量$n$的量子加速：如果我们用经典算法（如共轭梯度下降）替换算法的量子部分，这将意味着整个算法的复杂度为$O(L\sqrt{n}(n+m)^2\barκ \log(ε^{-1}))$，或者用精确方法，至少为$O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$。此外，与任何量子线性系统算法相比，本文中描述的算法输出解向量的经典描述和最优解的值。

2020-07-06cs.DSquant-ph

利用内点法的线性规划量子加速

Quantum speedups for linear programming via interior point methods

Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF研究所）；Tilburg University（蒂尔堡大学）

本文提出了一种基于内点法的量子算法，用于加速线性规划问题，通过高效近似Hessian和梯度实现亚线性时间复杂度。

2026-01-30cs.DSmath.OCquant-ph

基于线性规划的运动机制设计技术

Towards More Practical Linear Programming-based Techniques for Algorithmic Mechanism Design

R. Lavy和C. Swamy（FOCS 2005，J. ACM 2011）介绍了一种从基于线性规划的近似算法中获得期望真值机制的通用方法。由于使用椭圆体方法，该方法的直接实现在实践中不太可能有效。我们建议使用更简单，通常更快的乘法权重更新方法。这种简化的代价是近似性和真实性保证稍弱。

2016-06-14cs.DScs.GT

一种快速的平方和内点法Optimization

A Faster Interior-Point Method for Sum-of-Squares Optimization

我们提出了一个更快的内点法优化平方和（SOS）多项式，这是一个中心工具，多项式优化和捕获凸规划的拉萨尔层次。令$p = \sum_i q^2_i$是次数为$2d$的$n$变量SOS多项式。用$L := \binom{n+d}{d}$和$U := \binom{n+2d}{2d}$分别表示$q_i$和$p$所处的向量空间的维数，我们的算法在时间上运行$\tilde{O}(LU^{1.87})$。这是多项式比最先进的SOS和半定编程求解器，实现运行时$\tilde{O}(L^{0.5}\min\{U^{2.37}, L^{4.24}\})$。我们的算法的核心是一个动态的数据结构，用于维护多项式插值基础下的SOS障碍函数的Hessian的逆，这有效地扩展到多变量SOS优化，并需要保持谱近似的低秩扰动的elementwise（Hadamard）产品。这是主要的挑战和背离最近IPM突破使用逆维护，其中低秩更新松弛矩阵容易意味着相同的海森矩阵。

2022-02-17cs.DSmath.OC

基于时间指标线性规划松弛的加权完工时间和最小化排序问题

Scheduling to Minimize Total Weighted Completion Time via Time-Indexed Linear Programming Relaxations

本文研究了在工件优先约束下，以最小化总加权完工时间为目标的同类和相关机器模型下排序问题的近似算法。我们给出的算法，改善了许多以前的15至20岁的最先进的结果。在这些结果的一个主要主题是使用时间索引的线性规划松弛。这些都是自然放松各自的问题，但令人惊讶的是，在文献中没有研究。我们还考虑了在不相关机器上最小化总加权完工时间的排序问题。最近的突破性结果[Bansal-Srinivasan-Svensson，STOC 2016]基于一些升力和投影SDP松弛给出了该问题的$(1.5-c)$近似。我们的主要结果是，一个$(1.5 - c)$ -近似也可以实现使用一个自然的和相当简单的时间索引LP松弛的问题。我们希望这种放松可以为这个问题提供新的见解。

2017-07-25cs.DS

用于在线二阶锥规划的热启动内点法

Warm-Start Interior-Point Methods for Online Second-Order Cone Programming

研究求解右侧数据变化的二阶锥规划的计算复杂性，提出在前一轮解处热启动牛顿法，证明其在特定条件下的收敛迭代次数及总成本，通过实验证实每轮有显著加速。

2026-07-29cs.DSmath.OC

无自协调障碍内点方法是强多项式的

No self-concordant barrier interior point method is strongly polynomial

自协调障碍理论能否为线性规划提供一种具有强多项式复杂性的内点方法是一个有待解决的问题。在对数障碍的特殊情况下，在[Allamigeon，Benchimol，Gaubert和Joswig，SIAM J. on Applied Algebra and Geometry，2018]中显示答案是否定的。本文证明了自协调障碍内点方法都不是强多项式的。这个结果是通过建立，在参数族的凸优化问题，中心路径的对数极限退化到分段线性曲线，独立的障碍函数的选择。我们提供了一个显式线性规划，它与Klee-Minty反例属于同一类，即，在具有$2n$约束的维度$n$中，其中迭代次数为$Ω(2^n)$。

2022-01-06cs.DSmath.COmath.OC

在线随机凸规划的快速算法

Fast Algorithms for Online Stochastic Convex Programming

Microsoft Research（微软研究院）

我们介绍了在线随机凸规划（CP）问题，一个非常一般的版本的随机在线问题，允许任意凹目标和凸可行性约束。在线随机包装与覆盖、在线随机匹配等问题是在线随机CP的一个特例。我们提出了快速算法，这些问题，实现了近最佳的遗憾保证的i.i.d.以及随机输入的随机置换模型。当应用到特殊情况下的在线包装，我们的想法产生一个更简单，更快的原始-对偶算法，这个研究问题，实现了最佳的竞争比。我们的技术明确的连接原始-对偶范式和在线学习在线随机CP。

2014-10-28cs.DScs.LGmath.OC

再论Tardos的线性规划框架：使用近似求解器的快速精确解

Revisiting Tardos's Framework for Linear Programming: Faster Exact Solutions using Approximate Solvers

在突破性的工作，塔尔多斯（歌剧。Res. '86）给出了一种基于邻近度的框架，用于仅依赖于位复杂度模型中的约束矩阵来求解时间上的线性规划（LP）。在Tardos的框架中，将求解LP $\min \langle c,{x}\rangle$、$Ax=b$、$x \geq 0$、$A \in \mathbb{Z}^{m \times n}$简化为使用任何精确LP算法求解具有小整数系数目标和右侧的$A$中的$O(nm)$ LP。这就产生了一个LP算法的时间聚$(n,m\logΔ_A)$，其中$Δ_A$是最大的子行列式的$A$。Vavasis和Ye（Math. Prog. '96），给出了一个专门的内点方法，该方法在时间上运行$(n,m,\log\barχ_A)$，取决于Stewart的$\barχ_A$，一个研究得很好的条件数。在这项工作中，我们扩展了Tardos的原始框架，以获得这样的运行时间依赖。特别是，我们取代了精确的LP解决近似的，使我们能够直接利用最近的巨大的算法进步近似线性规划。更确切地说，我们表明，需要准确地解决任何LP在$A$的基本“精度”是逆多项式在$n$和$\log\barχ_A$。插入van den Brand（SODA '20）的最新算法，我们的方法使用${O}(m n^{ω+1} \log (n)\log(\barχ_A+n))$算术运算计算最优原始和对偶解，优于…

2020-09-10cs.DSmath.OC