On the long time behaviour of single stochastic Hodgkin-Huxley neurons with constant signal, and a construction of circuits of interacting neurons showing self-organized rhythmic oscillations
该论文研究带恒定信号的随机霍奇金-赫胥黎神经元的长时间行为，证明遍历性与大数定律，并利用安静与规则尖峰概念构建兴奋-抑制块结构回路，实现自组织节律振荡。
2023-01-25 math.PR
Strong error bounds for the convergence to its mean field limit for systems of interacting neurons in a diffusive scaling
我们考虑De Masi et al.（2015）和Fournier and Löcherbach（2016）中引入的相互作用神经元的随机系统，然后Erny，Löcherbach and Loukianova（2021）在扩散标度中进一步研究。该系统由N个神经元组成，每个神经元随机地以取决于其膜电位的速率尖峰。在其尖峰发放时间，尖峰发放神经元的电位被重置为0，并且所有其他神经元接收额外量的电位，该额外量的电位是$ 1 / \sqrt{N}.$阶的中心随机变量。在连续尖峰之间，每个神经元的电位遵循确定性流。在以前的文章中，我们证明了系统，作为$N \to \infty$，收敛到一个极限非线性跳跃随机微分方程。在本文中，我们完成了这项研究，建立一个强收敛的结果，表示相对于一个适当的距离，一个明确的收敛速率。我们证明的主要技术成分是在Komlós，Major和Tusnády（1976）中引入的代表粒子系统的小跳跃的点过程与极限布朗运动的耦合
2022-11-29 math.PR
An Interacting Neuronal Network with Inhibition: theoretical analysis and perfect simulation
我们研究了一个纯抑制神经网络模型，其中神经元由其抑制状态表示。本研究部分基于Cottrell \cite{Cot}和Fricker等人的工作，\cite{FRST}。一个神经元的脉冲速率只取决于它的抑制状态。当一个神经元产生尖峰时，它的状态被一个随机的新状态所取代，与其他任何东西无关，其他神经元的抑制状态增加一个正值。利用Perron-Frobenius定理，我们证明了该过程的Lyapunov函数的存在性。此外，我们证明了一个局部Doeblin条件，这意味着存在一个不变测度的过程。最后，我们将我们的模型推广到神经元以$ \mathbb{Z}. $为索引的情况。我们构造了一个完美的模拟算法，在一定的条件下显示了该过程的递归性。要做到这一点，我们依赖于经典的轮廓技术中使用的接触过程的研究，并假设扣球率在于间隔$[ β_* , β^* ], $，我们表明，有一个临界阈值的比例$ δ= \frac{β_*}{β^* - β_*}$超过该过程是遍历的。\\ \textbf{Keywords}：尖峰速率，交互神经元，完美的模拟算法，经典轮廓技术。
2021-10-18 math.PR
Hydrodynamic limit for interacting neurons
本文研究了一个随机过程的流体动力学极限，该过程描述了一个具有N个神经元的系统的时间演化，该系统具有由化学突触和电突触产生的平均场相互作用。该系统可以非正式地描述如下。每一个神经元随机地按照一个点过程发放脉冲，其频率取决于其膜电位。在其尖峰时刻，尖峰神经元的膜电位被重置为值0，同时，其他神经元的膜电位增加1/N的电位量。这模拟了化学突触的作用。此外，电突触的影响由所有膜电位向系统平均值的确定性漂移表示。我们发现，作为系统的大小N发散，膜电位的分布变得确定性和描述的极限密度服从非线性偏微分方程，这是一个守恒律的双曲型。
2014-10-10 math.PR
Analysis of a mean-field limit of interacting two-dimensional nonlinear integrate-and-fire neurons
针对N个相互作用二维非线性积分发放神经元系统，推导其平均场极限对应的McKean-Vlasov SDE，证明解的存在唯一性，研究平稳分布性质并通过数值模拟验证假设。
2025-08-26 math.PR
Conditional propagation of chaos for mean field systems of interacting neurons
我们研究了De Masi et al.（2015）和Fournier and Löcherbach（2016）在扩散标度中引入的相互作用神经元的随机系统。该系统由$N$神经元组成，每个神经元随机地以取决于其膜电位的速率发放脉冲。在其尖峰时刻，尖峰神经元的电位被重置为$0$，并且所有其他神经元接收额外量的电位，该额外量的电位是$ 1 / \sqrt{N}.$阶的中心随机变量。在连续尖峰之间，每个神经元的电位遵循确定性流。证明了系统（$N \to \infty$）收敛于一个由Poisson随机测度驱动的极限非线性跳跃随机微分方程和一个由中心极限定理产生的附加布朗运动$W$.这种布朗运动是每个粒子运动的基础，并为极限系统中的所有神经元引入了一个共同的噪声因子。在$W,$上，极限系统中不同的神经元是相互独立的.这是{ \it混沌的条件传播}属性。我们通过将Graham（1992）的思想应用到我们的框架中来证明极限方程的适定性。为了证明有限系统的极限系统依分布收敛，我们引入了一个新的鞅问题，很适合我们的框架。极限的唯一性是从底层系统的交换率推导出来的。
2020-03-02 math.PR
Nonparametric estimation of the jump rate in mean field interacting systems of neurons
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）；Université Evry-Paris-Saclay（埃夫里-巴黎萨克雷大学）
针对平均场框架下非线性霍克斯过程描述的神经元系统，提出Nadaraya-Watson型核估计器估计尖峰率函数，并在L2误差下获得最优收敛速度。
2026-08-18 math.PR
Metastability for systems of interacting neurons
研究了一类相互作用的随机系统及其亚稳态性质。该系统由$N$神经元组成，每个神经元随机地以取决于其膜电位的速率发放脉冲。在其尖峰时刻，神经元电位被重置为$0$，并且所有其他神经元接收额外量的电位$h/N$。在连续的尖峰时间之间，每个神经元以指数速度失去潜力。我们研究这个系统中的超临界状态，也就是说，足够高的值的突触重量$h.$在非常温和的条件下的尖峰速率函数，已被证明在Duarte和Ost \cite{do}，唯一不变的分布的有限系统是平凡的措施$ δ_{\bf 0}$相应的灭绝的过程。在对$0$附近的尖峰速率函数行为的极小条件下，证明了$ N$中的消光时间是指数滞后的，并讨论了非线性平均场极限过程平衡态$δ_{\bf 0}$的稳定性与动力学参数的关系.然后，我们指定我们的研究的情况下，饱和扣球率，并表明，在适当的条件下，该模型的参数，1）非线性平均场极限承认一个唯一的和全球吸引的平衡和2）重新标度的退出时间的平均扣球率的一个非线性平衡率的邻域收敛于法律的指数分布，因为系统大小不同。换句话说，系统表现出亚稳态行为。
2020-12-08 math.PR
Long-term stability of interacting Hawkes processes on random graphs
我们认为人口的霍克斯过程建模活动的$N$相互作用的神经元。神经元有规律地定位在段$[0,1]$上，并且神经元之间的连通性由随机的可能稀释的和不均匀的图给出，其中每个边缘的存在概率取决于其顶点通过空间核的空间位置。本文的主要结果涉及长期稳定的突触电流的人口，作为$N\to\infty$，在亚临界制度的情况下，突触记忆内核是指数，到时间范围是多项式的$N$。
2022-07-28 math.PR
Long time behavior of a mean-field model of interacting neurons
研究了一类由泊松过程驱动的McKean-Vlasov随机微分方程解的长时间行为.在神经科学中，该模型模拟了大型网络中尖峰神经元的膜电位的渐近动力学。我们证明，对于一个足够小的相互作用参数，任何解决方案收敛到唯一的（在这种情况下）不变测度。为此，我们首先得到了跳跃率的全局界，并导出了该跳跃率所满足的Volterra型积分方程。然后，我们用一个确定性的外部量（我们称之为外部电流）代替方程中的临时相互作用部分。对于常电流，我们得到了收敛到不变测度的结果。使用扰动法，我们将这一结果推广到更一般的外部电流。最后，我们证明了非线性McKean-Vlasov方程的结果。
2020-08-14 math.PR
Hydrodynamic Limits for Spatially Structured Interacting Neurons
在本文中，我们研究了一个随机过程的流体动力学极限描述的时间演化的神经元系统的膜电位的空间依赖性。我们不对神经元施加平均场类型的相互作用。膜电位的值在化学和电突触以及漏电流的作用下演变。该系统由嵌入在$[0,1)^2$中的$ε^{-2}$神经元组成，每个神经元根据点过程随机发放脉冲，其速率取决于其膜电位和位置。当神经元$i$发放尖峰时，如果$i$影响$j$，则其膜电位重置为静息值，而$j$的膜电位增加正值$ε^2 a(i,j)$。此外，在连续的尖峰之间，由于电突触和漏电流，系统遵循确定性运动。电突触参与神经元的同步化。对于每对神经元$(i,j)$，我们通过$ε^2 b(i,j)$调节这种同步强度，其中$b(i,j)$是非负对称函数。另一方面，漏电流抑制所有神经元的活动，同时吸引它们的膜电位到静息值。本文的主要结果表明，当参数$ε$趋于零时，膜电位的经验分布收敛于概率密度$ρ_t(u,r)$，并证明了该概率密度服从双曲型非线性偏微分方程。
2015-07-24 math.PR
Fluctuations for mean field limits of interacting systems of spiking neurons
我们考虑一个系统的$N$神经元，每个尖峰随机率取决于其膜电位。当神经元发放尖峰时，其电位被重置为$0$，并且所有其他神经元接收额外量的电位$h/N$，其中$ h > 0$是某个固定参数。在连续的尖峰之间，每个神经元的电位以恒定速率经历一些泄漏$ α. $虽然系统的混沌传播（如$N \to \infty$）到极限非线性跳跃随机微分方程已经在一系列论文中建立，参见De Masi等人（2015）和Fournier和Löcherbach（2016），但本文致力于相关的中心极限定理。更确切地说，我们研究的措施价值的波动过程中的规模$ N^{-1/2}$的膜电位的经验措施，围绕相关的限制。我们证明了这个波动过程，解释为càdlàg过程采取适当的加权Sobolev空间中的值，法律收敛到一个极限过程，其特征在于由高斯白噪声驱动的随机微分方程系统。我们完成这幅图片通过研究的波动，在规模$ N^{-1/2}, $的一个固定数量的膜电位过程围绕其相关的极限量，引起介观近似的膜电位，考虑到有限系统内的相关性。
2022-01-23 math.PR
Stability of wandering bumps for Hawkes processes interacting on the circle
本文研究了圆周上N个相互作用的Hawkes过程神经元模型，证明了在大种群极限下突触电压在多项式时间尺度内保持接近稳态解流形，且相位在N阶时间尺度上收敛于布朗运动。
2023-07-12 math.PR
How well do reduced models capture the dynamics in models of interacting neurons ?
本文介绍了一类随机模型的相互作用的神经元的涌现动力学类似于那些在当地的皮质人口，并比较它们非常简单的简化模型驱动相同的平均兴奋性和抑制性电流。研究了网络模型和简化模型之间的发射率差异，并确定了导致这些差异的机制。其中最主要的是尖峰或部分同步的相关性，与膜电位时间演化中的“非线性”协同工作。此外，简单的随机游走模型和它们的第一次通过时间被证明能够很好地再现神经元膜电位和峰间时间的波动。
2017-11-04 math.PR q-bio.NC
Mean-field limit of a stochastic particle system smoothly interacting through threshold hitting-times and applications to neural networks with dendritic component
本文研究了一类通过阈值首中时相互作用的随机粒子系统对McKean-Vlasov型方程的收敛性。粒子系统的动机是一个原始的模型的神经元网络的行为，其中一个经典的嘈杂的积分和消防模型耦合电缆方程来描述每个神经元的树突状结构。
2015-09-14 math.PR
Hopf bifurcation in a Mean-Field model of spiking neurons
我们研究了一类由泊松测度驱动的非线性McKean-Vlasov随机微分方程，模拟了广义Integrate-and-Fire神经元网络的平均场渐近。给出了通过Hopf分支存在周期解的充分条件。我们的谱条件涉及到显式全纯函数的根的位置。这个证明依赖于两个主要因素。首先，我们引入一个离散时间马尔可夫链建模的神经元的连续尖峰的相位。该马尔可夫链的不变测度与周期解的形状有关。其次，我们使用Lyapunov-Schmidt方法得到自洽振荡。我们用一个玩具模型来说明这个结果，所有的谱条件都可以通过分析来检验。
2021-08-26 math.AP math.PR
A Result of Metastability for an Infinite System of Spiking Neurons
在2018年，Ferrari等人写了一篇名为“Phase Transition for Infinite Systems of Spiking Neurons”的论文，其中他们介绍了一种相互作用神经元的连续时间随机模型。该模型具有参数$γ$，对应于神经元的泄漏时间的速率，并且如标题所述，证明了关于该$γ$存在相变现象。在这里，我们证明了该模型也表现出亚稳态行为。我们的意思是，如果$γ$足够小，则随着神经元的数量趋于无穷大，重新归一化的消光时间收敛于平均值为1的指数随机变量。
2020-10-01 math.PR
Phase transition for infinite systems of spiking neurons
我们证明了一个相互作用的神经元的随机模型的相变的存在性。当其膜电位大于门限值时，每个神经元的尖峰活动由具有速率$1 $的点过程表示。该膜电位随时间演变，并且自神经元的最后尖峰时间起整合所有{ \it突触前神经元}的尖峰。当神经元发放尖峰时，其膜电位被重置为$0$，同时，其突触后神经元的膜电位被增加一个恒定值。此外，每个神经元暴露于泄漏效应，导致突然损失的潜在发生在随机时间驱动的一个独立的泊松点过程的速率$γ> 0 .$对于这个过程中，我们证明了存在一个值$γ_c$，使系统有一个或两个极值不变测度，根据是否$γ> γ_c $或没有。
2018-06-28 math.PR
Probabilistic estimates for a system of noisy integrate-and-fire neurons
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Statistics, London School of Economics（伦敦政治经济学院统计系）
研究兴奋性积分发放神经元网络中膜电位演化的相互作用粒子系统，受个体与共同噪声影响，建立概率估计，以支持对膜电位密度大群体极限及随机福克 - 普朗克方程的研究。
2026-07-13 math.PR
Estimating the interaction graph of stochastic neuronal dynamics by observing only pairs of neurons
我们解决的问题，确定对相互作用的神经元的尖峰活动的观察。神经元网络由一个具有可变长度记忆的相互作用点过程系统建模。一个神经元对另一个神经元的影响可以是兴奋性的，也可以是抑制性的。为了识别相互作用的存在和性质，我们提出了一种算法，仅基于连续时隙中两个神经元的联合活动的观察。这减少了运行该算法所需的计算量和存储量，从而使该算法适合于分析真实的神经元数据集。我们得到可计算的上界的概率假阳性和假阴性检测。作为推论，我们证明了识别算法的一致性。
2021-06-20 math.PR math.ST stat.TH
Wasserstein contraction for the stochastic Morris-Lecar neuron model
该研究针对随机Morris-Lecar神经元模型，用耦合论证证明其退化反射扩散过程的流在长时间下是Wasserstein距离的收缩映射，存在唯一全局吸引平衡分布且指数松弛，结果可推广至弱平均场的McKean-Vlasov型变体，揭示了遍历性的形成机制。
2024-01-30 math.AP math.PR
Use of an Hourglass Model in Neuronal Coding
我们研究了一个系统的相互作用的更新过程，这是一个模型的神经元活动。我们表明，该系统具有一个指数大的数量（相对于网络中的神经元的数量）的限制配置的“发射神经元”。我们称之为模式。此外，在一定的对称性条件下，我们找到了一个算法来控制限制模式的连接参数。
2007-03-01 math.PR q-bio.NC
Metastability in a Stochastic System of Spiking Neurons with Leakage
我们考虑一个有限的系统的相互作用点过程与记忆的可变长度建模一个有限的，但大网络的尖峰神经元有两种不同的泄漏机制。与每个神经元相关联的是两个点过程，描述其连续的尖峰和泄漏时间。对于每个神经元，尖峰点过程的速率是其膜电位的指数函数，限制是当膜电位为0时速率取值0。在每个尖峰时刻，神经元的膜电位重置为0，同时，其他神经元的膜电位增加一个单位。泄漏可以用两种不同的方式建模。在第一种方式中，在与神经元相关联的泄漏点过程的每个发生时刻，该神经元的膜电位被重置为0，而对其他神经元没有影响。在第二种方式中，如果神经元的膜电位是严格正的，则在与该神经元相关联的泄漏点过程的每个发生时间，其膜电位降低一个单位，而对其他神经元没有影响。在这两种情况下，神经元的泄漏点过程具有恒定速率。对于这两个模型，我们证明了系统具有亚稳态行为的总体规模的分歧。这意味着系统被适当重新缩放的空膜电位列表捕获的时间收敛到平均一个指数随机时间。
2022-11-16 math.PR
Asymptotic description of stochastic neural networks. I - existence of a Large Deviation Principle
本文研究了当神经元数目为无穷大时，相互作用神经元网络的渐近稳定性。神经元的动力学过程由离散时间的随机微分方程描述。神经元通过突触权重进行交互，突触权重是高斯相关的随机变量。我们描述了当神经元数目趋于无穷大时网络的渐近规律。不像以前的作品，生物学上不切实际的假设，重量是i.i.d.。随机变量，我们假设它们是相关的。我们介绍的过程级经验措施的解决方案的轨迹的方程的有限网络的神经元和平均法（相对于突触的权重）的轨迹的解决方案的网络的神经元。其结果是，通过经验测量的图像规律满足具有良好速率函数的大偏差原理。我们提供了一个解析表达式的速率函数在某些高斯过程的谱表示。
2014-07-09 math.PR
Multivariate Hawkes processes on inhomogeneous random graphs
我们考虑一个群体的$N$相互作用的神经元，由一个多变量霍克斯过程表示：每个神经元的发射率取决于历史的连接的神经元。与在完全图上发生相互作用的平均场框架相反，粒子之间的连通性由随机的、可能被稀释的和不均匀的图给出，其中每个边的存在概率取决于其顶点的空间位置。我们解决这个系统的适定性和大数定律的结果为$N\to\infty$。一个关键的问题将是了解空间不均匀性如何影响系统的大时间行为。
2022-02-23 math.PR
Multiplicatively interacting point processes and applications to neural modeling
我们介绍了一个非线性修改的经典霍克斯过程，它允许抑制单元之间的耦合没有限制。由此产生的系统的相互作用点过程提供了一个有用的数学模型的神经元的尖峰指数传递函数的递归网络。网络中所有神经元的期望速率近似为一阶微分系统。我们研究了这个方程的解的稳定性，并使用新的形式主义来实现一个赢家通吃的网络，该网络在很宽的参数范围内都能稳健地运行。最后，我们讨论了广义线性模型，广泛用于分析穗列车的关系。
2009-11-03 math.PR q-bio.NC
Mean field system of a two-layers neural model in a diffusive regime
研究双层交互神经元网络模型，证明神经元数量趋于无穷时膜电位随机过程的收敛性并给出收敛速度，方法基于Trotter-Kato公式与生成元收敛。
2022-08-24 math.PR
Separation rates for the detection of synchronization of interacting point processes in a mean field frame. Application to neuroscience
本文研究神经元spike trains依赖性检测，提出控制排列检验第二类误差的非渐近分离速率准则，并在抖动泊松模型和Hawkes过程下推导出所需样本量n的下界。
2025-11-03 math.PR math.ST stat.TH
