Projective geometries in exponentially dense matroids. I
对每个正整数$a$，我们证明了：如果$\cM$是一个不包含所有秩- $(a+1)$一致拟阵的次闭拟阵类，则存在一个整数$n$，使得$\cM$中的每个秩- $r$拟阵可以被秩至多为$a$的至多$r^n$集覆盖，或者$\cM$包含某个素数幂$q$的$\GF(q)$ -可表示拟阵，并且$\cM$中的每个秩- $r$拟阵可以被秩至多为$a$的至多$r^nq^r$集合覆盖.这决定了$\cM$中拟阵的最大密度，直到多项式因子。
2012-09-07 math.CO
Projective Rectangles: Harmonic Conjugation
该研究在射影矩形中建立调和共轭理论，通过基于有限域及特征0可数域的扩展升阵拟阵，在部分调和拟阵中构造射影矩形，并证明射影矩形几乎为调和拟阵。
2024-07-15 math.CO
Representability of matroids with a large projective geometry minor
我们证明了对于每个素幂$q$都有一个整数$n$，使得如果$M$是一个$3$ -连通的可表示拟阵，且有PG $(n-1,q)$ -子阵且没有$U_{2,q^2+1}$ -子阵，则$M$在GF $(q)$上是可表示的.我们还表明，对于$\ell >= 2$，如果$M$是一个$3$连接，表示拟阵的足够高的秩没有$U_{2,\ell+2}$ -小和$|E(M)| \geq (4\ell)^{r(M)/2}$，那么$M$是表示在一个领域的顺序最多$\ell$。
2015-03-30 math.CO
The Projective Planarity Question for Matroids of $3$-Nets and Biased Graphs
一个有偏图是一个具有一类被称为“平衡”的选择圆（“圈”，“回路”）的图，使得没有theta子图恰好包含两个平衡圆。一个有偏图有两个自然拟阵：框架拟阵和提升拟阵。拟阵理论中的一个经典问题是拟阵能否嵌入射影几何中。没有已知的一般答案，但对于有偏图的拟阵，可以给出代数准则。Zaslavsky以前已经给出了这样的标准嵌入偏置图形拟阵在Deserkesian射影空间，在本文中，我们建立标准的其余情况下，即嵌入在任意射影平面，不一定是Deserkesian。该准则依赖于与图相关联的拟群嵌入到平面的三元坐标环的加法或乘法环中的可嵌入性。一个3-结点有偏图等价于一个抽象部分3-网，从而得到了一个新的代数判据，证明了抽象3-网可以在非狄氏射影平面中实现。我们在一种特殊的3节点有偏图方面工作，称为三角形的有偏扩展。我们的结果适用于所有有限的3-节点有偏图，因为我们证明，每个这样的有偏图是一个三角形的有限有偏扩展的子图。一个三角形的有偏展开反过来等价于一个拟群的等压线类，它等价于一个$3$ -网。关于将拟群嵌入三元环的问题还不太清楚，所以我们不能说我们的准则是确定的。例如，甚至不知道是否存在不能嵌入任何有限三元环的有限拟群。如果有，那么有一个有限秩3拟阵（相应的有偏扩展），不能嵌入任何有限的射影平面--一个目前尚未解决的问题。
2017-07-31 math.CO
The extremal function for geometry minors of matroids over prime fields
域$\mathbb F$上的框架模板描述了给定的$\mathbb F$可表示拟阵接近于框架拟阵的精确方式。我们的主要结果确定了最大秩射影或仿射几何，是由一个给定的框架模板描述的素域。受Geelen，Gerards和Whittle的拟阵未成年人假设，我们使用我们的结果来确定，对于每个射影或仿射几何$N$在一个素域$\mathbb F$，一个最好的可能上界的元素的数量在一个简单的$\mathbb F$ -表示拟阵$M$足够大的秩没有$N$ -未成年人。
2021-11-08 math.CO
On Cyclic Matroids and their Applications
拟阵是一种组合结构，它在更广泛和更抽象的框架下捕获和推广了线性独立的代数概念。拟阵与离散数学中的许多其他问题，如图、矩阵、码、射影几何等有着密切的联系。在这项工作中，我们定义循环拟阵的大小为$n$，其自同构群包含一个$n$ -循环的基集上的拟阵。我们研究了这种拟阵的性质，特别关注其基集的最小尺寸。为此，我们广泛地采用两种不同的方法：多个基础的交换属性，和轨道稳定剂的方法，通过分析的行动的循环群的顺序$n$的基地。我们进一步提出了一些应用我们的理论代数和几何，提出连接到循环射影平面，循环码和$k$ -正常的元素。
2022-03-15 math.CO
Chordal matroids arising from generalized parallel connections
本文将弦图的团和构造推广到拟阵，研究由 $GF(q)$ 上射影几何经广义并联连接生成的拟阵类，证明其对诱导子式封闭，并用禁用诱导子式给出刻画，其中 $q=2$ 情形具有特殊性。
2023-10-14 math.CO
The number of lines in a matroid with no $U_{2,n}$-minor
我们证明了，如果$q$是至多5的素数幂，那么每个不含$U_{2,q+2}$ -子式的秩- $r$拟阵的线数不多于GF $(q)$上的秩- $r$射影几何的线数.我们也给出例子表明，对于其他所有的素数幂，这个界不成立。
2013-06-11 math.CO
Chordal matroids arising from generalized parallel connections II
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文延续此前对GF(q)-弦拟阵的研究，证明GF(2)-弦拟阵等价于不含特定平坦集的二元拟阵，并给出了GF(q)-弦拟阵的完美消去序式刻画，完善了弦图结果在拟阵中的类比推广。
2026-10-30 math.CO
Matrix representations of frame and lifted-graphic matroids correspond to gain functions
设$M$是一个3连通拟阵，$\mathbb F$是一个域.令$A$是表示$M$的$\mathbb F$上的矩阵，并且令$(G,\mathcal B)$是表示$M$的有偏图。我们刻画了$A$和$(G,\mathcal B)$之间的关系，解决了Zaslavsky的四个问题。我们表明，对于每个矩阵表示$A$和每个偏置图表示$M$ $(G,\mathcal{B})$，$A$是投影等价于一个规范的矩阵表示所产生的$G$作为一个增益图在$\mathbb F^+$或$\mathbb F^\times$实现$\mathcal{B}$。此外，我们表明，投影等价类的矩阵表示的$M$是在一对一的对应关系与开关等价类的增益图所产生的$(G,\mathcal B)$，除了在一个退化的情况下。
2022-03-08 math.CO
A Density Hales-Jewett Theorem for matroids
我们证明了，如果$α> 0$是一个实数，$n \ge 2$和$\ell \ge 2$是整数，$q$是一个素数幂，那么每个简单拟阵$M$的足够大的秩，没有$U_{2,\ell}$ -小，没有秩- $n$投影几何子在一个更大的领域比$\GF(q)$，并满足$|M| \ge αq^{r(M)}$，有一个秩- $n$仿射几何限制在$\GF(q)$。这个结果可以看作是拟阵的多维密度Hales-Jewett定理的一个类似。
2012-10-16 math.CO
On the Cogirth of Binary Matroids
拟阵$M$的余围$g^\ast(M)$是$M$的最小余回路的大小。求图拟阵的余围可以在多项式时间内完成，但Vardy在1997年证明了求二元拟阵的余围是NP困难的。在本文中，我们表明，$g^\ast(M)\leq \frac{1}{2}\vert E(M)\vert$时，$M$是二进制，除非$M$简化为一个射影几何。我们还表明，当等式成立时，$M$简化为玻色-伯顿几何，即$PG(r-1,2)-PG(k-1,2)$形式的拟阵。这些结果推广到任意有限域上可表示的拟阵。
2021-06-01 math.CO
Kazhdan-Lusztig polynomials of matroids need not be unimodal
Stanford University（斯坦福大学）
研究在有限域上构造可表示拟阵，使其Kazhdan - Lusztig多项式非单峰，证明相关对数凹和实根猜想为假，通过从有限射影几何删点得例子，并给出收缩商半秩度条件下多项式性质。
2026-07-30 math.AG math.CO
The smallest class of binary matroids closed under direct sums and complements
余图类或补可约图类是可以从$K_1$使用不交并和补运算生成的图类。以此类推，本文引入了二元余拟阵类，它是在二元射影空间内，利用直和和求补运算，由空拟阵生成的拟阵类。我们证明了二元余拟阵的真平坦是二元余拟阵。我们的主要结果确定了那些二元非余形，每一个正常的单位是一个二元余形。本文还证明了三值拟阵的相应结果。
2021-10-18 math.CO
A quasisymmetric function for matroids
引入拟阵的一个新的同构不变量，其形式为拟对称函数。这个不变量（1）定义了从拟阵的霍普夫代数到拟对称函数的Hopf态射，如果使用有理系数，则它是满射的，（2）是整数权向量的多元生成函数，该向量为拟阵的唯一基提供最小总权，（3）通过Hopf对极等价，到整数权向量的生成函数，它跟踪有多少个基使总权最小化，（4）在拟阵对偶下简单地表现，（5）在P-划分枚举数方面具有简单的扩展，（6）是拟阵基多面体分解的一个赋值。这最后一个性质导致了一个有趣的应用：它有时可以用来证明一个拟阵基多面体没有分解成更小的拟阵基多面体。这种分解的存在性是Lafforgue工作中出现的一个微妙问题，缺乏这种分解意味着拟阵只有有限数量的实现，直到射影等价。
2020-05-29 math.CO
Random GF(q)-representable matroids are not (b,c)-decomposable
我们表明，随机子集的秩- $n$射影几何$\text{PG}(n-1,q)$是，具有很高的概率，不是$(b,c)$ -可分解的：如果$k$是它的着色数，它不允许一个分区的地面集到类的大小最多$ck$，其中的每一个横截是$b$ -collanum。这概括了Abdolazimi、Karlin、Klein和Oveis Gharan（arXiv：2111.12436）以及Leichter、Moseley和Pruhs（arXiv：2206.12896）最近的结果，他们分别表明$\text{PG}(n-1,q)$不是$(1,c)$ -可分解的。不可$(b,c)$分解。
2022-08-10 math.CO
Extensions and Deletions of matroid classes closed under flats
Mississippi State University（密西西比州立大学）
研究在平面下封闭的拟阵类（遗传类）的扩展类与删除类的禁止平面性质，证明了若遗传类有有限个禁止平面，则其扩展类的禁止平面有界秩，并对GF(q)-可表示拟阵（q=2,3）建立了删除类的类似结果。
2026-05-29 math.CO
Divisors on matroids and their volumes
代数几何中的经典体积多项式度量光滑射影簇上的充足（和nef）因子的次数。我们引入了拟阵的一个类似体积多项式，并给出了一个完整的组合公式。对于一个可实现拟阵，我们从而获得了一个显式的经典体积多项式的相关精彩紧化。然后，我们引入了一个新的不变量称为体积的拟阵作为其体积多项式的一个特殊的特殊化，并讨论了它的代数几何和组合性质的分次线性级数的射影空间的爆破。
2019-08-16 math.AC math.AG math.CO
Biased Graphs. VI. Synthetic Geometry
有偏图是具有一类被称为平衡的选择圆（“圈”，“回路”）的图，使得没有θ子图恰好包含两个平衡圆。有偏图$Ω$有两个自然拟阵，框架拟阵$G(Ω)$和提升拟阵$L(Ω)$，以及它们的扩展全框架拟阵$G^{{}^{{}_{{}_\bullet}}\!}(Ω)$和扩展（或完全）提升拟阵$L_0(Ω)$。在第四部分中，我们用代数来研究这些拟阵在除环上的向量表示以及在Desklesian射影空间中的相应嵌入。在这里，我们重新开发这些表示，独立于第四部分，并在更大的一般性，通过使用合成几何。
2018-07-31 math.CO
Applications of the Strong Splitter Theorem: decomposition results
我们利用强分裂定理对不含$E_4$ -子式的二元拟阵的排除子式类进行分解。利用这一定理，我们可以得到3-分解和极值内部4-连通拟阵以及这类拟阵中的任何重要的拟阵。拟阵$E_4$是一个自对偶的10元二元3连通拟阵，在结构结果中起着重要的作用。它是$P_9$的单元素协同扩展，而$P_9$是四轮的单元素扩展。我们发现，在这一类的极值拟阵是二元秩$r$尖峰$Z_r$，秩3和4射影几何$F_7$和$PG(3,2)$，分别为17元内部4-连通拟阵$R_{17}$，和一个12元秩6拟阵。所有其他3-连通成员都有$P_9$或$P_9^*$作为3-分解子。作为直接推论，我们得到了$EX[P_9^*]$和$EX[P_9]$以及这些类的内部4-连通成员的分解结果。
2014-08-11 math.CO
A decomposition theorem for binary matroids with no prism minor
棱柱图是五点完全图的对偶图，其中删除了一条边，$K_5\backslash e$。本文确定了一类无棱柱子式的二元拟阵。这个问题的动机是1963年的结果狄拉克在那里他确定了简单的3-连通图没有小同构的棱镜图。证明了除了Dirac无限图族和Oxley确定的四个无限非正则拟阵族之外，该类拟阵只存在三种可能：同构于$F_7$与自身在三角形上的广义平行联络的对偶，且三角形中的一个元素被删除，其秩有界于5;或者它允许由$P_9$中的3-分离性诱导的非极小正合3-分离性。由于棱柱图的秩为5，所以该类必须分别包含秩为3和4的二元射影几何$F_7$和$PG(3, 2)$。我们证明了类中只有一个秩为5的极值拟阵。它有17个元素，是$R_{10}$的扩展，$R_{10}$是正则拟阵的唯一分裂器。作为推论，我们得到了Dillon，Mayhew和Royle关于无棱柱子阵的二元内4-连通拟阵的判别结果[5]。
2012-03-16 math.CO
A common axiomatic basis for projective geometry and order geometry
射影空间之间的一种自然的一一对应，由O。Veblen和J.W. Young在1908年提出的一个公理系统，以及由M.皮耶里于1899年提出。证明了一个关于连接空间的射影性准则，它相当于用G.皮亚诺在1889年作为一个公理系统的一部分秩序几何。因此，射影几何和序几何有着广泛的公共公理基础。作为一个推论，它表明如何投影连接空间的概念可以从一个拟阵的概念。等价关系的定义属性被用作概念性的红线。
2015-08-09 math.CO
Canonical forms of oriented matroids
University of Michigan（密歇根大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出通过构造定向交错体 tope 的 canonical 形式，为 matroid 振幅理论提供了基础输入。
2025-11-25 math.AG math.CO
Non-representable hyperbolic matroids
推广的Lax猜想断言每个双曲锥是正半定矩阵锥的线性切片。双曲多项式产生了一类（双曲）拟阵，它包含了一类可在复数上表示的拟阵。这种联系被第二作者用来构造反例代数（更强）版本的广义拉克斯猜想考虑一个非representable双曲拟阵。在此之前，Vámos拟阵及其推广是唯一已知的不可表示双曲拟阵的实例。我们证明了非帕普斯和非Desargues拟阵是不可表示的双曲拟阵利用欧氏若当代数和射影几何之间的连接。我们进一步确定了一个大类的双曲拟阵，其中包含的Vámos拟阵和广义Vámos拟阵最近研究的伯顿，Vinzant和Youm。这证明了一个猜想伯顿等人。我们还证明了许多拟阵在这里考虑的是不可表示的。该类拟阵双曲性的证明依赖于证明某些对称多项式的非负性。特别地，我们推广和加强了文献中的几个不等式，如Laguerre-Turán不等式和Jensen不等式。最后，我们探讨后果的代数版本的广义拉克斯猜想。
2015-12-18 math.CO math.OC
Equivariant classes of matrix matroid varieties
考虑与$n\times k$矩阵的列集合的每个子集相关联的整数。对于每个子集，列的并集的秩是预先描述的整数的那些矩阵的集合将由$X_C$表示。我们研究了该集合的由Zebraki闭包$Y_C$表示的等变上同调类.我们证明了这类系数是计数几何中问题的解，这些问题是射影空间的线性Gromov-Witten不变量的自然推广。我们还展示了如何计算这些类，并介绍其基本属性。
2008-12-29 math.AG math.CO
Designs and codes in affine geometry
经典设计和它们的（射影）q-类似物都可以被看作是拟阵中的设计，分别使用集合的所有子集的拟阵和向量空间的线性无关子集的拟阵。另一种自然拟阵是由仿射空间的一般位置上的点集给出的，从而引出仿射设计的概念。因此，q阶t-（n，k，$λ$）仿射设计是仿射几何A = AG（n-1，q）中的（k-1）维空间的集合B，使得A中的每个（t-1）维空间恰好包含在B的$λ$空间中。在$λ$ = 1的情况下，通常也指仿射Steiner系统S（t，k，n）。在这项工作中，我们研究之间的关系的仿射和投影q-类似物的设计。证明了具有各种参数的仿射Steiner系统的存在性，包括Fano平面的仿射q-模拟S（2，3，7）.此外，我们考虑各种距离拟阵和几何，我们讨论了在仿射几何中的代码在随机网络编码方案中的错误控制的应用。
2016-05-23 cs.IT math.CO math.IT
Oriented matroids from type $\mathbb{A}$ cluster categories
University of Cambridge（剑桥大学）
针对类型A_n簇范畴中的簇倾斜对象T，构造秩四有向拟阵M_T，证明其可堆叠三角剖分与以T为初始簇的极大绿序列等价类一一对应，推广了线性定向A_n情形与三维循环多面体三角剖分的对应关系。
2026-06-26 math.CO math.RT
Matroids and the space of torus-invariant subvarieties of the Grassmannian with given homology class
本文研究了复Grassmannian中具有给定同调类的环面不变代数子簇的刻画问题，利用拟阵理论技术给出了部分解答，并将其应用于计算特定Grassmannian的Euler-Chow级数。
2025-03-05 math.AG math.CO
Toric Hyperkahler Varieties
推广Bielawski-Dancer和Konno的工作，我们发展了复曲面超kahler簇的理论，它涉及复曲面几何，拟阵理论和凸多面体。该框架是一个详细的研究半投射环面品种，这意味着GIT的仿射空间的环面行动，特别是劳伦斯环面品种，这意味着GIT的偶维仿射空间的辛环面行动。复曲面超卡勒簇是劳伦斯复曲面簇的完全交。这两种拟阵都是非紧的，并且它们共享相同的上同调环，即模参数线性系的拟阵的Stanley-Reisner环。复曲面几何的组合数学，包括硬Lefschetz定理和体积多项式的Khovanskiii-Pukhlikov的熟悉的应用程序，扩展到hyperkahler设置。当拟阵是图形的时候，我们的构造给出了环面的中岛意义上的复曲面。
2002-04-30 math.AG math.CO math.DG
On the topology of graph picture spaces
研究了复射影$d$ -空间中图$G$的图像空间${\mathcal X}^{d}(G)$.主要结果是：${\mathcal X}^{d}(G)$的整系数同调群完全由$G$的Tutte多项式决定.一个应用是一个标准的Tutte多项式的独立性在{ \it $d$ -平行拟阵}研究组合刚性理论。对于某些称为\defterm{orchards}的特殊图，图像空间是光滑的，并且具有迭代投射丛的结构。我们给出了果园图像空间的上同调环的Borel表示，并利用这个表示发展了经典Schubert演算的一个类似形式.
2004-04-28 math.AG math.AT math.CO
Cell complexes, poset topology and the representation theory of algebras arising in algebraic combinatorics and discrete geometry
近年来，人们注意到许多组合结构，如实超平面和复超平面排列、区间拟阵、拟阵和定向拟阵都具有称为左正则带的有限幺半群的结构。幺半群模型上的随机游动有许多有趣的马尔可夫链，如Tsetlin库和riffle shuffle。左正则带的表示论开始发挥作用，并对与这种结构相关的组合学和概率论产生了重大影响。在最近的一篇论文中，作者建立了左正则带的代数和组合不变量之间的密切联系，证明了左正则带的代数的某些同调不变量与自然关联到左正则带的偏序集的序复形的上同调一致。本专著的目的是进一步发展和深化左正则带和偏序集拓扑之间的联系。这使我们能够计算有限投射分解的所有简单的模左正则带代数域和更多。在这个过程中，我们被引导到定义的CW左正则带类的左正则带类，其相关的偏序集是正则CW复形的面偏序集。文献中出现的大多数例子都属于这一类。一类新的和重要的例子是CAT（0）立方复形的面偏序集上的左正则带结构。此外，最近引入的COM（复合的定向拟阵或条件定向拟阵）的概念很好地适应我们的设置，包括CAT（0）立方体复合和某些更一般的CAT（0）zonotopal复合。一个相当完整的图片的表示论CW左正则带得到。
2018-09-27 math.CO math.GR math.RA
Lorentzian polynomials
本文研究 Lorentzian 多项式类，证明其 Hessian 正特征值性质，刻画拟阵与 M-凸集，并应用于 Mason 猜想与 M-矩阵特征多项式。
2024-07-17 math.AG math.CO math.PR
