Cospectral regular graphs with and without a perfect matching
Zoltan L. Blazsik, Jay Cummings, Willem H. Haemers
对于每个$b \geq 5$，我们构造一对共谱$b$ -正则图，其中一个具有完美匹配，另一个没有。这解决了第三作者在第22届英国组合学会议上提出的一个研究问题。
For each $b \geq 5$ we construct a pair of cospectral $b$-regular graphs, where one has a perfect matching and the other one not. This solves a research problem posed by the third author at the 22nd British Combinatorial Conference.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Fractional revival on non-cospectral vertices
完美态转移和分数恢复可以用来在量子网络中的顶点对之间移动信息。虽然完美的状态转移已经得到了很多关注，分数复苏是较新的，研究较少。一个问题是确定完全状态转移和部分恢复之间的差异。如果图中的两个顶点之间发生完美状态转移，则这两个顶点必须是共谱的。此外，如果图中的顶点$a$和$b$之间存在完美的状态转移，则不可能存在从$a$到任何其他顶点的完美的状态转移。没有例子的非加权图与分数复苏之间的非共谱顶点是已知的，在这里，我们给这样的图的一个无限家庭。不加权图的例子，其中涉及分数复兴重叠的对是已知的，我们给出这样的图的例子。
Constructing Families of Cospectral Regular Graphs
如果一组图的邻接矩阵具有相同的特征多项式，则称这组图为上谱图。本文介绍了一种构造无限族共谱正则图的简单方法。该构造对于Schwenk引入的性质的特殊情况是有效的。对于三次（3-正则）图的情况，计算结果表明，这种构造产生了很大比例的三次图，它们与另一个三次图是共谱的。
Cospectral pairs of regular graphs with different connectivity
对于顶点连通度和边连通度，我们构造了无穷多对具有相同谱但连通度不同的正则图。
Construction of non-regular $A_α$-cospectral graphs from some join of graphs
该研究在图论同谱问题背景下，计算多种图联运算的$A_α$-特征多项式及正则图情形下的$A_α$-谱，最终构造出非正则的不同构$A_α$-同谱图，丰富了同谱图的构造方法。
Cospectral graphs obtained by edge deletion
本文证明在1-游走正则图中删边（包括团内删边）可构造关于邻接、Laplacian、无符号Laplacian和归一化Laplacian矩阵同谱的非同构图族，并推广到Laplacian及无符号Laplacian同谱情形。
On the Wiener index, distance cospectrality and transmission regular graphs
本文研究了图的距离矩阵的各种代数性质和图论性质。如果两个图的距离矩阵具有相同的谱，则称这两个图是$D$ -共谱图.我们构造了具有不同直径和不同Wiener指数的$D$ -共谱图对.一个图是$k$ -传输正则的，如果它的距离矩阵有常数行和等于$k$ .我们建立了$k$ -传输-正则图的行和的紧上、下界。最后，我们确定了线性$k$ -树的Wiener指标及其复杂性，并利用图的Laplacian特征值得到了块团图的Wiener指标的一个封闭形式.后者导致了一个推广的结果树，独立证明了Mohar和梅里斯。
Spectrally extremal vertices, strong cospectrality and state transfer
为了在相互作用的量子位网络中的两个位点之间获得完美的状态转移，其在底层图中的相应顶点必须满足称为强共谱性的组合性质。在这里，我们确定的结构图包含对的顶点是强共谱，并满足一定的极值性质有关的图的谱。如果图满足这一性质的全球性，是定期的，我们还表明，存在的一个分区的顶点集成对顶点在最大距离允许完美的状态转移迫使图的距离正则。
Constructions of cospectral graphs with different zero forcing numbers
一些研究人员最近探索了各种图形参数，可以或不能由与图形相关的矩阵的谱来表征。在本文中，我们证明了几个NP-硬迫零数是不特征的几种类型的关联矩阵的谱与一个图。特别是，我们认为标准迫零，半正定迫零，和斜迫零，并提供建设的无限家庭对这些数字的共谱图有不同的价值。我们探讨了几种方法来获得这些共谱图，包括使用图形产品，图形连接，图形切换。其中，我们提供了一个建设，涉及经常邻接共谱图，这种建设的规律性也意味着共谱相对于其他几个矩阵，包括拉普拉斯算子，无符号拉普拉斯算子，规范化拉普拉斯算子。我们还提供了一个建设，对共谱图可以有一个任意大的差异，他们的迫零数。
Switching methods of level 2 for the construction of cospectral graphs
本文提出两种新的切换方法，并对现有二级水平切换操作进行组合和几何改写，同时引入可约性概念，分类所有不可约切换方法，扩展了先前结果。
Cospectral vertices, walk-regular planar graphs and the echolocation problem
本文研究有限图上的同谱顶点，提出简单判定准则，结合计算机搜索找到最小反例，并分类所有3连通游走正则平面图，证明其必为顶点传递。
New constructions of non-regular cospectral graphs
本文研究两类图联积的谱公式，并据此构造在四种图矩阵下同时同谱的非正则不同构图。
Constructing cospectral graphs via regular rational orthogonal matrix with level two and three
该研究针对同谱图构造问题，提出利用二级和三级正则有理正交矩阵的构造思路，给出两种刻画邻接矩阵性质的算法，并提出两种新的切换方法，在一定程度上推广了经典的GM-switching方法。
A construction of cospectral graphs for the normalized Laplacian
在某些特殊结构的图中，通过局部修改，给出了一种构造正规拉普拉斯算子的同谱图的方法。也就是说，在一些简单的假设下，我们可以用一个共谱配偶来替换一个小的二部图，而不改变整个图的谱。我们还考虑了交换矩阵$A+tD$的双正则二部图的相关结果。我们生产（指数）大家庭的非二分，非正则图，这是相互共谱，也给出了一个例子的一个图，这是共谱与它的补充，但不是自互补。
New arithmetic invariants for cospectral graphs
本文为共谱图建立三个新算术不变量，证明共谱图邻接矩阵幂次与全1向量乘积模4同余，应用于解决猜想、完美匹配/三角形存在性及多项式重构问题，揭示谱性质与组合结构联系。
The smallest pair of cospectral cubic graphs with different chromatic indexes
通过对16阶三次图的穷举搜索，我们找到了一个唯一的具有不同色指数的共谱对。这个例子表明，正则图的色指数不是由它的谱来刻画的，这回答了最近在[O. Etesami，W. H. Haemers，关于由谱表征的NP-硬图性质，离散应用数学，285（2020）526-529]。我们证明了任何表示共谱对的两个邻接矩阵之间相似性的正交矩阵都不可能是有理数的。这意味着，不能使用原来的GM开关方法或其推广的基础上合理的正交矩阵的共谱对。
A short note on cospectral and integral chain graphs for Seidel matrix
本文研究了 Seidel 矩阵的同谱与积分链图，推导出生成无限多个同谱不等价链图的公式，并得到一族 Seidel 积分链图，反证否定了 Greaves 提出的关于含三个有理特征值的 Seidel 矩阵是否包含正则图的猜想。
Graphs that are cospectral for the distance Laplacian
图$G$的距离矩阵$\mathcal{D}(G)$是包含顶点之间的成对距离的矩阵，距离拉普拉斯矩阵是$\mathcal{D}^L(G)=T(G)-\mathcal{D}(G)$，其中$T(G)$是$\mathcal{D}(G)$的行和的对角矩阵。我们建立了几种产生$\mathcal{D}^L$ -共谱图的一般方法，这些图可用于构造无限族。我们提供的例子表明，各种属性不保存的$\mathcal{D}^L$ -cospectrality，包括$\mathcal{D}^L$ -cospectral强正则和循环图的例子。我们建立了距离拉普拉斯特征多项式的系数的绝对值是递减的，即，$|δ^L_{1}|\geq \dots \geq |δ^L_{n}|$，其中$δ^L_{k}$是$x^k$的系数。
Non-Geometric Cospectral Mates of Line Graphs with a Linear Representation
对于具有线性表示$\mathcal{T}_n^*(\mathcal{K})$的入射几何$\mathcal{G} = (\mathcal{P}, \mathcal{L}, \text{I})$，我们应用WQH转换来构造非几何图$Γ'$与$\mathcal{G}$的线图$Γ$共谱。作为一个应用，我们证明了对于$h \geq 2$和$0 < m < h$，存在带参数$(v, k, λ, μ) = (2^{2h} (2^{m+h}+2^m-2^h), 2^h (2^h+1)(2^m-1), 2^h (2^{m+1}-3), 2^h (2^m-1))$的强正则图不是$(s,t,α) = ((2^h+1)(2^m-1), 2^h-1, 2^m-1)$阶部分几何的点图.
Graphs cospectral with NU$(n + 1, q^2)$, $n \ne 3$
设$H(n, q^2)$是$PG(n, q^2)$，$n \ge 2$的非退化Hermite簇.设$(n+1, q^2)$是以$PG(n, q^2) \setminus H(n, q^2)$的点为顶点的图，若连接$P_1$和$P_2$的直线与$H(n, q^2)$相切，则两个顶点$P_1$，$P_2$相邻.则NU $(n + 1, q^2)$是强正则图.在本文中，我们表明，NU $(n + 1, q^2)$，$n \ne 3$，是不是由它的光谱。
On the levels of rational regular orthogonal matrices for generalized cospectral graphs
本文研究了广义共谱图的有理正交矩阵的层次，证明了其与行走矩阵行列式的关系，改进了先前结果。
Constructions of $A_α$-cospectral graphs using some corona operations
本文针对正则图计算三类corona运算所得图的$A_α$-谱，并据此构造出无穷多对$A_α$-同谱图。
On perturbations of almost distance-regular graphs
本文证明了一类几乎距离正则图，即所谓的$h$ -点行走正则图，可以通过其扰动图的共谱性来刻画.对于给定的$h\le D$，如果距离为$h$的一对顶点$u,v$之间的长度为$\ell$的路的个数只依赖于$\ell$，则称直径为$D$的图$G$为$h$ -点行走正则图.这里考虑的图扰动是删除一个顶点，添加一个环，添加一个悬垂边，添加/删除一个边，合并顶点，并添加一个桥接顶点。我们表明，步行-正则图这些操作是等价的，在这个意义上说，一个扰动产生共谱图当且仅当其他的。我们的研究是基于Cvetković，Godsil，McKay，Rowlinson，Schwenk等人开发的图扰动理论。从而得到了距离正则图的一些新的刻画。
Spectra of T-vertex and T-edge neighbourhood corona of Two Graphs
本文研究了两个图的$T$-顶点和$T$-边邻域冠，确定了连通正则图与任意正则图组合的邻接谱和拉普拉斯谱，并据此构造了非正则的$A$-同谱图和$L$-同谱图。
Descriptive complexity of the generalized spectra of graphs
如果两个图的邻接矩阵具有相同的特征值集，则称它们是上谱图;如果它们是上谱图，则称它们是广义上谱图。本文研究了广义共谱性与逻辑可定义性的关系。我们表明，任何一对图是基本等价的三变量计数一阶逻辑$C^3$广义共谱，这是不是与$C^2$的情况下，也没有任何数量的变量，如果我们排除计数量词。利用这一结果，我们提供了一个新的特征的著名的距离正则图类使用的逻辑$C^3$。我们还表明，可控图（众所周知，几乎所有的图是可控的），在$C^2$的基本等价符合同构。
Strongly regular graphs satisfying the 4-vertex condition
本文研究了满足4-顶点条件的强正则图的面积，发现了几类新的强正则图。我们描述了一个开关操作的共线性图的极空间，产生共谱图。如果原图属于辛极空间，则所得到的图满足4-顶点条件。
Connected irregular cospectral graphs with distinct Lovász numbers
针对每个n≥10构造连通非正则非同构同谱图对，它们共享四种谱和四个组合不变量但Lovász数不同，最小阶数为10。
$A_α$-Spectra of $Q$- and $T$-Join Graphs with Applications to Cospectral Constructions
本文研究了通过四种新引入的连接操作（$Q$-顶点连接、$Q$-边连接、$T$-顶点连接和$T$-边连接）连接两个图所得到的图的$A_α$-特征多项式和谱，当第一个图正则时推导出显式表达式，并在第二图正则或完全二分图时确定谱，从而高效计算复杂图的$A_α$-谱。
Main-Factor Allocation and Coronal Realizability for Generalized Cospectral Mates of Trees
该研究分析树的广义同谱伴侣的连通分支约束，推导双星图 $D(2m,m+1)$ 为广义谱确定而非邻接谱确定的条件，并给出显式无限家族的 DGS 非 DS 图。
Cospectral Bipartite Graphs with the Same Degree Sequences but with Different Number of Large Cycles
求二部图中圈的重数是低密度奇偶校验码（LDPC）分析和设计等领域的一个基本问题。最近，Blake和Lin根据图的度序列和谱（邻接矩阵的特征值）计算了双正则二部图中的最短圈（$g$ -圈，其中$g$是图的围长）的数量[{ \em IEEE Trans. Inform. Theory 64（10）：6526- 6535，2018}]。该结果随后在[{ \em IEEE Trans. Inform.理论，接受出版，2018年12月}]到双正则二部图中长度为$g+2, \ldots, 2g-2$的圈，以及不规则和半正则二部图中的$4$ -圈和$6$ -圈，分别具有$g \geq 4$和$g \geq 6$。在本文中，我们用否定的结果补充了这些肯定的结果，证明了二部图的度序列和谱的信息一般不足以计数（a）双正则图中的$i$ -圈，$i \geq 2g$，（b）不规则图中任何$i > g$的$i$ -圈，而不管$g$的值如何，以及$g \geq 6$的$g$ -圈，以及（c）半正则图中任何$i > g$的$i$ -圈，无论$g$的值如何，以及$g \geq 8$的$g$ -圈。为了获得这些结果，我们使用Godsil-McKay开关构造反例。
An Upper Bound on the Number of Generalized Cospectral Mates of Oriented Graphs
本文研究有向图的广义共谱伴侣数量，对一类更一般的非自逆有向图，证明了其上界为$2^t-1$，其中$t$为某正交矩阵层级的素因子个数，并给出可达例子和弱确定判据。
On perfect matchings, edge-colourings and eigenvalues of cubic graphs
研究三次图中完美匹配的存在性是否可由邻接矩阵谱判断，通过截断构造无限族反例，并给出谱的充分条件。
A Family of Simultaneously Cospectral Trees for Degree-Distance Matrices
本文通过构造无穷多对顶点数为17r-15的非同构树，否定了所有树由Ddegp和Ddeg的谱唯一确定的猜想，该构造基于r正则化叶子扩展和等价划分约简。
On irreducibility of eccentricity matrix of graphs and construction of $ε-$equienergetic graphs
本文研究正则图的细分顶点（边）连接的离心率谱，得到具有不可约或可约离心率矩阵的新图族，并据此构造无穷多个ε-同谱图对及ε-同谱ε-等能量图对和三元组，同时给出新的ε-积分图族。
A spectral characterization of the $s$-clique extension of the triangular graphs
一个正则图是共边正则的，如果存在一个常数$μ$，使得任意两个不同且不邻顶点恰好有$μ$公共邻居.本文证明了：对于足够大的整数$s\ge 2$和$n$，任何与三角图$T((n)$的$s$ -团扩张共谱的共边正则图都是三角图$T(n)$的$s$ -团扩张.
Normalized Laplacian spectrum of some generalized subdivision-corona of two regular graphs
本文利用正则图的正规Laplacian特征值确定了连通正则图与任意正则图的广义分顶点冠、分边冠的两个正规Laplacian谱。此外，应用这些结果，我们还发现了一些非正则的正规Laplacian余谱图。这些结果推广了文[11]中已有的结果。
When can perfect state transfer occur?
设$X$是$n$顶点上的图，具有邻接矩阵$A$，并设$H(t)$表示矩阵值函数$\exp(iAt)$。如果$u$和$v$是$X$中不同的顶点，我们说从$u$到$v$的完美状态转移发生，如果存在时间$τ$使得$|H(τ)_{u,v}| = 1$。我们的主要问题是描述的情况下，完美的状态转移发生。我们表明，如果完美的状态转移确实发生在一个图，那么谱半径是一个整数或二次无理数;利用这一点，我们证明，只有1000多个图与完美的状态转移和最大价在最多4K 4。我们还表明，如果从$u$到$v$的完美状态转移发生，那么图$X\setminus u$和$X\setminus v$是共谱的，并且任何固定$u$的$X$的自同构都必须固定$v$（反之亦然）。
Observations on Graph Invariants with the Lovász $\vartheta$-Function
本文利用Lovász $\vartheta$-函数研究了图的Shannon容量、同谱不同构图及图不变量界限，推导了强正则图等图类的精确色数表达式，并反例证明Schrijver变体不具备Shannon容量上界性质。
A spectral characterization of the s-clique extension of the square grid graphs
本文证明了对于整数$s\geq2$，$t\geq1$，任何与$t\times t$ -格的$s$ -团扩张共谱的共边正则图，如果$t$足够大，则是$t\times t$ -格的$s$-团扩张. Gavrilyuk和Koolen使用这个结果的一个较弱的版本来证明Grassmann图$J_q(2D,D)$的特征在于它的交集阵列是距离正则图，如果$D$足够大。
Degree-similar graphs and cospectral graphs
本文研究度相似图与同谱图，利用度划分给出新刻画和构造方法，构造无穷多对反例否定相关问题，并建立不变量、证明强正则图删边后的 $μ$-多项式相同。
Spectra of Coronae
本文引入了一个新的不变量--图的冠，并用它计算了两个图$G$和$H$的冠$G\circ H$的谱.特别是，我们表明，这个光谱是完全由$G$和$H$的光谱和冠状的$H$。以前的工作仅在$H$是规则的情况下计算了日冕的光谱。然后，我们显式计算几个家庭的图，包括正则图，完全$n$ -particular图，道路的冠。最后，我们使用电晕结构产生许多无限族的对的共谱图。
On the normalized Laplacian spectra of some subdivision joins of two graphs
对于两个单图$G_1$和$G_2$，我们分别用$G_1\dot{\vee}G_2$和$G_1\veebar G_2$表示$G_1$和$G_2$的分顶点并和分边并.当$G_1$和$G_2$是正则的时，本文根据$G_1$和$G_2$的归一化拉普拉斯谱确定了$G_1\dot{\vee}G_2$和$G_1\veebar G_2$的归一化拉普拉斯谱.作为应用，我们构造了一些非正则的正规拉普拉斯上谱图。此外，我们还计算了正则图$G_1\dot{\vee}G_2$和$G_1\veebar G_2$的生成树个数和度Kirchhoff指数。
Clique complexes of strongly regular graphs, their eigenvalues, and cohomology groups
本文研究强正则图的团复形谱能否区分同参数非同构图，确定若干图族三角形复形谱，并证明一类图的第一上同调群平凡。
Perfect 3-Colorings on 4-Regular Graph of Order 8
研究了8阶4-正则图的完美$3$ -染色。
Distance-regular graphs admitting a perfect $1$-code
本文研究了距离正则图中哪一个图有完美$1$ -码的问题。在其他结果中，我们刻画了距离正则线图，承认一个完美的$1$ -代码。此外，我们还刻画了所有已知的距离正则图，其最多的$4$的小价，距离正则图，其已知的假定的交叉阵列的价$5$，和所有的距离正则图周长$3$和价$6$或$7$，允许一个完美的$1$ -码。
Pretty good quantum state transfer in asymmetric graphs via potential
我们构造了无限族的图，其中通过向图的节点添加势（即向邻接矩阵的对角项添加数字）可以诱导相当好的状态转移。事实上，我们表明，给定任何一个图与一对共谱节点，一个简单的修改图，随着一个合适的潜力，产生相当不错的状态转移（即渐近完美的状态转移）之间的节点。这将以前的工作，关于图的对合，不对称图。
On NP-hard graph properties characterized by the spectrum
用图的邻接矩阵的谱来刻画图的性质，近年来得到了系统的研究。出于这些属性的复杂性，我们表明，有这样的属性，测试是否有一个图的属性可以是NP-难（或属于其他计算复杂性类，包括更难的问题）。此外，我们讨论了一些著名的NP-难问题的可能的谱特征。特别地，对于每个整数$k\geq 6$，我们构造一对$k$ -正则共谱图，其中一个图是Hamilton图，另一个不是.
Controlling quantum state transfer in rooted products
本文证明根积图可传递量子态转移性质，并利用强同谱顶点对和条件数控制，在稀疏图上构造高效高保真度态转移，即使原图无此性质。
Perfect colourings of regular graphs
一个图的顶点着色称为完美的，如果每个色$i$的顶点恰好有色$j$的$a_{ij}$邻居.完美对颜色关联矩阵$(a_{ij})$施加了几个限制。我们列出了几个（旧的和新的）必要条件的矩阵是一个完美的着色的颜色关联矩阵。此外，我们还证明了这些条件的某种组合也是充分的。利用这一点，我们确定了一个列表的所有颜色的关联矩阵对应的完美着色的3-正则，4-正则和5-正则图的两个，三个和四个颜色，分别。作为应用，我们分别确定了具有两种、三种和四种颜色的柏拉图立体的边图的所有完美染色。
Perfect partition of some regular bipartite graphs
一个图有一个完美划分，如果它的所有完美匹配可以被划分，使得每个部分是图的1-因子分解。令$L_{rm, r}=K_{rm,rm}-mK_{r,r}$。首先给出了计算$L_{rm, r}$的完美匹配数的公式，然后证明了$L_{6,1}$和$L_{8,2}$有完美划分.
The maximum number of perfect matchings of semi-regular graphs
令$n\ge 34$为偶数，且$D_n=2\lceil n/4 \rceil-1$。本文证明了每一个$n$阶的$\{D_n,\,D_n+1\}$ -图都含有$\lceil n/4 \rceil$不交完美匹配.这个结果在以下意义上是尖锐的：（i）存在一个$\{D_n,\,D_n+1\}$ -图，它恰好包含$\lceil n/4 \rceil$不相交的完美匹配;（ii）存在一个$\{D_n-1,\,D_n\}$ -图，它不包含每个$n$的完美匹配.因此，对任意整数$D\ge D_n$，每个$n$阶的$\{D,\,D+1\}$ -图都含有$\lceil (D+1)/2 \rceil$不相交的完美匹配.这扩展了Csaba et al.推广了Zhang和Zhu的结果：每个$n$阶的$D_n$-正则图都含有$\lceil n/4 \rceil$不交完美匹配，改进了Hou的结果：对所有$k\ge n/2$，每个$n$阶的$\{k,\,k+1\}$ -图都含有$(\lfloor n/3\rfloor+1+k-n/2)$不交完美匹配.
Perfect Matchings in Random Subgraphs of Regular Bipartite Graphs
考虑图$G$的边以随机顺序逐个相加的随机过程。一个经典的结果表明，如果$G$是完全图$K_{2n}$或完全二部图$K_{n,n}$，则典型地完美匹配出现在最后一个孤立顶点消失的时刻。我们将这一结果推广到任意$k$ -正则二部图$G$上的$2n$顶点的所有$k = ω\left( \frac{n}{\log^{1/3} n} \right)$。令人惊讶的是，对于较小的$k$值，情况并非如此。使用的建设由于Goel，Kapralov和Khanna，我们表明，存在二分$k$ -正则图中，最后一个孤立的顶点消失前很久才出现一个完美的匹配。
Perfect domination in regular grid graphs
我们证明了在$\R^2$的整数格图$Λ$中存在无数个并行全完美码。相比之下，只有一个1-完美的代码在$Λ$和一个完全完美的代码在$Λ$限制到完全完美的代码的矩形网格图（产生一个不对称的，彭罗斯，平铺的平面）。我们刻画了$C_m\times C_n$的所有圈积与并行全完美码，以及$Λ$和$C_m\times C_n$的$d$ -完美和全完美码划分，前者以生成集$\{1,2d^2\}$为$\Z_{2d^2+2d+1}$的无向Cayley图作为商图.对于$r>1$，在$\R^r$的整数格和$r$圈的乘积中给出了1-完全码的推广，其中分块商图$K_{2r+1}$被看作是$\Z_{2r+1}$与生成元集$\{1,...,r\}$的无向Cayley图.
On Minimum Order of Odd Regular Graphs Without Perfect Matching
本文给出了无匹配的奇正则图的最小阶。我们已经观察到它与偶正则图的情况有何不同。我们检验了所得结果与Petersen定理的一致性。
Strongly regular graphs from hyperbolic quadrics and their maximal cliques
本文研究了从双曲二次曲面构造的强正则图，证明其参数及谱性质，并分类了q=2时的极大团。
Random perfect matchings in regular graphs
本文证明正则鲁棒扩展图中边被包含在随机完美匹配中的概率渐近相等，且交集大小近似服从泊松分布，证实了相关猜想并补充了已有结果。
Finding perfect matchings in random regular graphs in linear time
在一篇关于在稀疏随机图中找到大匹配的开创性论文中，Karp和Sipser提出了两种算法。第二种算法得到了深入的研究，但由于技术上的困难，第一种算法受到的关注较少。实证结果表明，第一种算法是优越的。在本文中，我们分析了第一个算法，减少构造算法的适应版本。我们发现，减少构造算法找到一个最大的匹配随机$k=O(1)$ -正则图在线性时间的期望，而不是$O(n^{3/2})$时间的最坏情况。
State transfer in strongly regular graphs with an edge perturbation
量子漫步是量子计算中的一个重要工具，它已经被代数图论中的技术成功地研究了。我们的动机是研究连续时间量子行走中的状态转移，这被认为是一种罕见而有趣的现象。我们考虑一个图的边$uv$上的扰动，在这个图中，我们给边加上一个权值$β$，给$u$和$v$中的每一个加上一个权值$γ$.我们的特点时，这种扰动的结果在强共谱顶点$u$和$v$。将这一点应用于强正则图，我们给出了无限族的强正则图，其中一些扰动导致完美的状态转移。此外，我们表明，对于每一个强正则图，有一些扰动，结果在相当好的状态转移。我们还证明了对于任何强正则图$X$和边$e \in E(X)$，$ϕ(X\setminus e)$不依赖于$e$的选择。
Regular sets in Cayley graphs
在一个顶点集为$V$的图$Γ$中，如果$V$的子集$C$中的每个顶点在$C$中恰好有$a$邻居，并且$V\setminus C$中的每个顶点在$C$中恰好有$b$邻居，则称$V$的子集$C$为$(a,b)$ -完美集，其中$a$和$b$均为非负整数.在文献中，$(0,1)$ -完美集被称为完美码，而$(1,1)$ -完美集被称为完全完美码。本文证明了：对于任意有限群$G$，若$G$的非平凡正规子群$H$是$G$的某Cayley图中的完美码，则对于任意一对整数$a$和$b$，若$0\leqslant a\leqslant|H|-1$和$0\leqslant b\leqslant |H|$使得$\gcd(2,|H|-1)$整除$a$，则它也是$G$的某Cayley图中的$(a,b)$ -完美集.本文还证明了一个涉及全完美码的类似结果。
Eigenvalues, edge-disjoint perfect matchings and toughness of regular graphs
该研究针对连通d-正则图，推导得到边不交完美匹配数的下界（改进已有结果），并给出非二部情形下保证韧度大于1的第二大特征值紧上界。
On multifold perfect codes and some other completely regular codes in the Doob graphs and quaternary Hamming graphs
本文研究 Doob 图与四元 Hamming 图中的完全 2-着色，刻画多重 1-完全码参数，并在标准条件下证明大参数时完全 (b,c)-着色存在，同时构造覆盖半径为 2 的完全正则码。
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