In this paper we present a basis selection method that can be used with $\ell_1$-minimization to adaptively determine the large coefficients of polynomial chaos expansions (PCE). The adaptive construction produces anisotropic basis sets that have more terms in important dimensions and limits the number of unimportant terms that increase mutual coherence and thus degrade the performance of $\ell_1$-minimization. The important features and the accuracy of basis selection are demonstrated with a number of numerical examples. Specifically, we show that for a given computational budget, basis selection produces a more accurate PCE than would be obtained if the basis is fixed a priori. We also demonstrate that basis selection can be applied with non-uniform random variables and can leverage gradient information.
Sparse approximation of data-driven Polynomial Chaos expansions: an induced sampling approach
在前向不确定性量化（UQ）领域中的一个开放问题是形成仅具有关于随机输入的分布的不完全信息的不确定性的准确评估的能力。另一个挑战是有效地利用有限的训练数据进行复杂工程问题的UQ预测，特别是高维随机参数。我们解决这些挑战相结合的数据驱动的多项式混沌扩展与最近开发的预处理稀疏近似方法的UQ问题。在这个两步过程中的第一个任务是使用（Ahlfeld et al. 2016）中开发的程序，使用随机输入的有限数量的统计矩来构建“任意”多项式混沌扩展基。第二步是一个新的程序，通过$\ell^1$最小化，以量化的前向不确定性的影响稀疏近似。为了提高预处理的$\ell^1$最小化问题的性能，我们从所谓的诱导分布中采样，而不是从原始的未知概率测度中使用Monte Carlo（MC）采样。我们证明了测试问题，诱导抽样是一个有竞争力的，往往更好的选择相比，从渐近最优的措施（如平衡测度），当我们有不完整的信息分布的抽样。我们证明了能力的诱导抽样算法通过稀疏表示有限的数据上的检验函数，和随机杨氏模量的Kirchoff板弯曲问题。
Convergence Rates for $\ell_p$ Norm Minimization in Convex Vector Optimization
King Fahd University of Petroleum & Minerals（国王法赫德国王石油矿物大学）；Interdisciplinary Research Center for Smart Mobility and Logistics, King Fahd University of Petroleum & Minerals（国王法赫德国王石油矿物大学智能交通与物流交叉研究中心）
Nonmonotone Barzilai-Borwein Gradient Algorithm for $\ell_1$-Regularized Nonsmooth Minimization in Compressive Sensing
Institute of Applied Mathematics, College of Mathematics and Information Science, Henan University（河南大学数学与信息科学学院应用数学研究所）；National Center for Theoretical Sciences (South), National Cheng Kung University（台湾成功大学南方理论科学中心）；Department of Applied Mathematics, Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
