Independence on $p$ of weak upper gradients on RCD spaces
Nicola Gigli, Bangxian Han
研究了RCD（K，$\infty$）度量测度空间上的$p$ -弱梯度，证明了它们对$p>1$都是相合的.在真空间上，我们的讨论也涵盖了BV函数的极值情形。
We study $p$-weak gradients on RCD(K,$\infty$) metric measure spaces and prove that they all coincide for $p>1$. On proper spaces, our arguments also cover the extremal situation of BV functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Weakly noncollapsed RCD spaces with upper curvature bounds
我们证明了如果一个具有$n\geq 2$的$CD(K,n)$空间$(X,d,f\mathcal{H}^n)$的曲率在Alexandrov意义下由$κ$从上界，则$f=const$。
On the structure of RCD spaces with upper curvature bounds
本文给出了曲率在Alexandrov意义下上有界的RCD空间的结构理论。特别地，我们证明了任何这样的空间是一个拓扑流形，其边界的内部等于正则点的集合。进一步地，正则点的集合是光滑流形并且是测地线凸的。在正则点周围存在DC坐标，并且距离由连续BV黎曼度量导出。
An upper bound on the revised first Betti number and a torus stability result for RCD spaces
我们证明了一个上界的abelianised修订的基本群（称为“修订的第一贝蒂数“）的紧凑$RCD^{*}(K,N)$空间的秩，在相同的精神，著名的Gromov-Gallot上界的第一个贝蒂数的光滑紧凑黎曼流形与里奇曲率以下有界。当合成的Ricci下界足够接近（负）零，并且修正的第一贝蒂数的上述上界饱和（即等于$N$的整数部分，记为$\lfloor N \rfloor$），则我们建立了一个环面稳定性结果，说明该空间作为度量测度空间是$\lfloor N \rfloor$ -可求正的，证明了有限覆盖与$\lfloor N \rfloor$ -维平坦环面mGH-接近，并证明了当$N$是整数时，空间本身与平坦环面bi-Hölder同胚.这第二个结果扩展到类的非光滑$RCD^{*}(-δ, N)$空间的一个著名的环面稳定性定理的Colding（后来完善的Cheeger-Colding）。
On the isometry group of $RCD^*(K,N)$-spaces
证明了满足黎曼曲率条件的度量测度空间的等距群$RCD^*(K,N),$实际上是一个李群。我们得到了一个最佳的上界的维数和分类的空间，这个最大的维数是实现。
Quantitative rigidity of almost maximal volume entropy for both RCD spaces and integral Ricci curvature bound
紧致测度空间的体积熵是度量在无穷远处提升到其泛覆盖的指数增长性。对于具有负里奇曲率下界和直径上界的紧致黎曼$n$ -流形，已知它存在几乎极大体积熵当且仅当它是双纯的且Gromov-Hausdorff接近于双曲空间形式.证明了具有负里奇曲率下界的$\operatorname{RCD}$ -空间和具有负$L^p$ -积分里奇曲率下界的黎曼流形的几乎极大体积熵的定量刚性.
Maximal volume entropy rigidity for $\mathsf{RCD}^*(-(N-1),N)$ spaces
对于具有以$-(n-1)$为下界的里奇曲率的$n$维黎曼流形$M$，体积熵以$n-1$为上界.如果$M$是紧的，则已知等式成立当且仅当$M$是双曲的。我们将这个结果推广到$\mathsf{RCD}^{\ast}(-(N-1),N)$空间。虽然上界是直接的，刚性的情况下是相当复杂的，由于缺乏一个光滑的结构，在$\mathsf{RCD}^{\ast}$空间。作为应用，我们得到了黎曼流形的一个几乎刚性结果，它部分地恢复了Cheng-Rong-Xu的一个结果。
Monotonicity and rigidity of the W-entropy on RCD(0, N) spaces
利用时空Wasserstein控制，在适当的意义下，证明了具有非负里奇曲率和有限维数上界的可能奇异度量测度空间上的W-熵泛函沿热流在时间上的单调性.还证明了关于W熵耗散率的相关刚性结果。这些结果在某些方面甚至推广了加权黎曼流形上的已知结果。此外，我们还揭示了在光滑加权黎曼流形类中，某些奇异空间具有刚性模型，而只有欧几里得空间具有刚性模型。
Sharp Cheeger-Buser type inequalities in $ \mathsf{RCD}(K,\infty)$ spaces
本文的目标是锐化和概括涉及的Cheeger的等周常数$h$和拉普拉斯算子的第一特征值$λ_{1}$的界限。1970年Cheeger对光滑黎曼流形证明了$h$的一个著名的下界，即$λ_{1}\geq h^{2}/4$。关于$h$的一个上界是由Buser在1982年建立的（有维数常数），并由Ledoux在2004年改进（无维数估计），用于光滑黎曼流形，里奇曲率在下面有界。本文的目的有两个方面。第一个：我们锐化了Buser和Ledoux得到的不等式，得到了一个无量纲的尖锐Buser不等式，该不等式适用于具有（Bakry-Émery加权）里奇曲率的空间，该曲率由$K\in {\mathbb R}$限制（该不等式对于$K>0$是尖锐的，因为等式是在高斯空间上得到的）。第二个：我们的所有结果在综合意义下具有里奇曲率有界的度量测度空间（可能是非光滑的）的更高的一般性中成立，即所谓的$ \mathsf{RCD}(K,\infty)$空间。
Lipschitz continuity and Bochner-Eells-Sampson inequality for harmonic maps from $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces to $\mathrm{CAT}(0)$ spaces
本文研究RCD(K,N)空间到CAT(0)空间调和映射的正则性，利用最优输运与热流相互作用及粘性摄动论证，证明其Lipschitz连续性并建立含Hessian项的Bochner-Eells-Sampson不等式，推广了经典理论。
Heat flow on 1-forms under lower Ricci bounds. Functional inequalities, spectral theory, and heat kernel
研究了$\mathrm{RCD}(K,\infty)$空间$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$，$K\in\boldsymbol{\mathrm{R}}$上余切模$L^2(T^*M)$上的正则热流$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$.本文证明了Hess-Schrader-Uhlenbrock不等式，并证明了当$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$也是$\mathrm{RCD}^*(K,N)$空间时，$N\in(1,\infty)$，Bakry-Ledoux不等式对$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ w.r.t. $L^2(M)$上的热流$(\mathsf{P}_t)_{t\geq 0}$。这些估计的变量版本进行了讨论。结合对$1$ -形式的对数Sobolev不等式的研究，前面的不等式给出了$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$，$p\in [1,\infty]$的各种$L^p$ -性质.然后，我们建立显式包含其生成器，霍奇拉普拉斯$\smash{\vecΔ}$，负功能的拉普拉斯$-Δ$，和薛定谔算子$-Δ+K$的频谱之间。在$\mathrm{RCD}^*(K,N)$的情况下，我们证明了当$M$是紧的时，$\smash{\vecΔ^{-1}}$是紧的，并且在体积增长的条件下，$\smash{\v…
Testing the Sobolev property with a single test plan
我们证明了在度量测度空间的一个巨大的类（即，那些其相关的索伯列夫空间是可分的）以下性质举行：一个单一的测试计划可以用来恢复任何索伯列夫函数的最小弱上梯度。这意味着，为了确定哪些是弱上梯度不等式中的例外曲线，只需要考虑曲线上合适的Borel测度的可忽略集，而不是$p$ -模的可忽略集。此外，在$\sf RCD$空间上，我们可以改进我们的结果，表明测试计划也可以被选择为集中在等Lipschitz曲线族上。
On quotients of spaces with Ricci curvature bounded below
设$(M,g)$是光滑黎曼流形，$\mathsf{G}$是有效地等距作用在$M$上的紧李群.众所周知，$(M,g)$的截面曲率的下界也是商空间的曲率的界，商空间是曲率在下面有界的亚历山德罗夫空间。此外，类似的稳定性性质也适用于度量叶理和淹没。本文的目的是证明相应的稳定性的综合里奇曲率下界。具体来说，我们表明，这种稳定性的$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间的子，同构紧群的行动下，更普遍的度量措施叶理和submetries。一个$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间是一个度量测度空间，它的上维数有界$N$，加权里奇曲率在广义意义下由$K$有界。特别地，这表明如果$(M,g)$具有由$K\in \mathbb{R}$和维度$N$限定的里奇曲率，则商空间是$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间。此外，我们解决了同样的问题，为$\mathsf{CD}/\mathsf{CD}^*$和$\mathsf{MCP}$曲率尺寸的条件。我们提供以及几何应用，其中包括：一个推广小林的分类定理齐性流形$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间与基本最小尺寸$n\leq N$ ;一个结构定理$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间承认行动的大（紧凑）群体;和几何刚性结果orbifolds，如程的最大直径和最大体积刚性定理。最后，在两…
Cheng's eigenvalue comparison on metric measure spaces and applications
本文利用局部化技术，将Cheng的特征值比较定理推广到度量测度空间，给出Dirichlet和Neumann特征值上界及刚性稳定性结果，并应用于高维引力理论的Kaluza-Klein激发质量上界。
Sobolev mappings between RCD spaces and applications to harmonic maps: a heat kernel approach
本文利用热核嵌入方法研究RCD空间之间的Sobolev映射，建立拉回度量、弱上梯度与能量的关系，并刻画了到标准球面的极小等距浸入与特征映射的等价条件。
A first-order condition for the independence on $p$ of weak gradients
众所周知，在任意度量测度空间上，极小$p$ -弱上梯度的概念可以依赖于$p$ .在本文中，我们调查如何一阶条件的度量测量结构，我们称之为有界插值性质，保证事实上，这种依赖是不存在的。我们还证明了有界插值性质对于点测度是稳定的，并且在满足曲率维数条件的大类空间上是格罗莫夫-豪斯多夫收敛的.
Heat Kernel Bounds on Metric Measure Spaces and Some Applications
设$(X,d,μ)$是一个具有$K\in \mathbb{R}$和$N\in [1,\infty]$的$RCD^\ast(K, N)$空间。对于$N\in [1,\infty)$，利用抛物Harnack不等式和比较原理，得到了$(X,d,μ)$上热核的上、下界及其梯度的精确界.当$N=\infty$时，我们还利用无量纲Harnack不等式建立了热核的一个尖锐的上界。作为应用，我们研究了热核的大时间行为，热方程解的稳定性，并证明了（局部）里斯变换的$L^p$有界性。
Regularity and structure of spaces with synthetic Ricci bounds and positive injectivity radius
本文为具合成Ricci界的RCD空间建立结构理论，在单射半径为正的假设下重构光滑微分结构并证正则性结果，还建立调和半径下界等，证实了V. Kapovitch的相关猜想。
Independence of synthetic Curvature Dimension conditions on transport distance exponent
本文证明度量测度空间中基于不同距离幂次传输代价的曲率维数条件 $\mathrm{CD}_{p}(K,N)$ 在 $p>1$ 时相互等价，并揭示其统一纽带为 $L^{1}$-最优传输的针分解技术，同时建立了局部到整体性质。
Intrinsic metrics on graphs: A survey
几年前，人们发现了拉普拉斯算子在图和流形上的各种差异。相应的结果大多与体积增长的背景下，无界几何。事实上，这些差异现在可以通过使用所谓的内在度量而不是组合图距离来解决。在这篇文章中，我们给出了一个介绍这一主题，并在这个方向上的调查最近的结果。具体来说，我们涵盖的主题，如刘维型定理的调和函数，基本自伴，随机完备性和上逃逸率。此外，我们确定的频谱作为一个集合，通过解决方案，讨论了上，下的等周常数和体积增长的频谱边界和研究$p$ -独立的体积增长假设下的频谱。
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