Generic Spectrahedral Shadows
Rainer Sinn, Bernd Sturmfels
分面体阴影是正半定矩阵的圆锥的线性截面的投影。我们的特点多项式消失时，这些凸集的边界上的部分和投影是通用的。
Spectrahedral shadows are projections of linear sections of the cone of positive semidefinite matrices. We characterize the polynomials that vanish on the boundaries of these convex sets when both the section and the projection are generic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Smooth Hyperbolicity Cones are Spectrahedral Shadows
双曲锥是由双曲多项式产生的凸代数锥。双曲锥的一个很好理解的子类是谱面体锥，并且证明了每个双曲锥都是谱面体锥。在本文中，我们证明了这个猜想的一个较弱的版本，通过证明每个光滑的双曲锥是一个谱面体锥的线性投影，即，一个谱面体阴影。
Spectrahedral shadows
证明了在欧几里得空间中有许多（紧）凸半代数集不具有半定表示。这给了一个否定的答案由Nemirovski，resp。这表明Helton-Nie猜想是错误的。
Polynomial-sized Semidefinite Representations of Derivative Relaxations of Spectrahedral Cones
我们给出了明确的多项式大小（在$n$和$k$）半定表示的双曲锥与$n$变量的初等对称多项式的程度$k$。这些凸锥形成非负正交的非多面体外近似的家庭，保持低维的面，而连续丢弃高维的面。更一般地，我们构造与$p(x) = \det(\sum_{i=1}^{n}A_i x_i)$形式的多项式的$k$次方向导数相关联的双曲性锥的显式半定表示（$k,m$和$n$中的多项式大小），其中$A_i$是$m\times m$对称矩阵。这些凸锥形成了一个类似于任何谱面体锥的外近似族。我们的表示允许我们使用半定规划来解决与这些凸锥以及它们的（不太好理解的）对偶锥相关的线性锥规划。
A spectrahedral representation of the first derivative relaxation of the positive semidefinite cone
如果$X$是$n\times n$对称矩阵，则$X \mapsto \det(X)$在$I$方向上的方向导数是$X$的特征值中的$n-1$次的初等对称多项式。这是$X$的项中的多项式，具有相对于方向$I$为双曲线的性质。相应的双曲性锥是半正定（PSD）锥的松弛，称为PSD锥的一阶导数松弛（或Renegar导数）。谱面锥是一个凸锥，其表示为子空间与PSD矩阵锥在某个维度上的交集。我们证明了PSD锥的一阶导数松弛是一个谱面体锥，并给出了尺寸$\binom{n+1}{2}-1$的显式谱面体描述。该构造提供了双曲锥也是谱面体的一个新的显式例子。这与广义的拉克斯猜想一致，拉克斯猜想认为每个双曲锥都是一个谱面体。
Spectrahedral Shadows and Completely Positive Maps on Real Closed Fields
本文提出新方法刻画非谱面阴影的凸半代数集，证明$n\geq5$的余正矩阵锥非谱面阴影，回答Scheiderer问题，并基于模型论观察建立保持性条件。
Polyhedral approximation of spectrahedral shadows via homogenization
针对可能无界的谱面阴影，本文利用齐次化将其转化为闭凸锥的多面体逼近，提出齐次δ-逼近概念，证明收敛性与极集逼近关系，并给出计算算法和示例。
Semidefinite descriptions of the convex hull of rotation matrices
本文从半定规划的角度研究了$SO(n)$的凸包，即具有单位行列式的$n\times n$正交矩阵的集合.证明了$SO(n)$的凸包是双谱面体的，即它和它的极函数都可以描述为一个正半定矩阵的锥与一个仿射子空间的交.我们的谱面体表示是明确的，并且是最小尺寸的，在这个意义上，没有更小的谱面体表示这些凸体。
A polyhedral approximation algorithm for recession cones of spectrahedral shadows
针对谱体及谱体阴影的回收锥逼近问题，提出两种分别适配谱体、投影谱体的迭代多面体逼近算法，可实现任意精度的内外逼近，证明了算法正确性与有限性并给出数值示例。
Hyperbolicity cones of elementary symmetric polynomials are spectrahedral
证明了初等对称多项式的双曲锥是谱面体的，即，它们是正半定矩阵的锥的切片。证明使用矩阵-树定理，一个想法已经出现在Choe等人。
Spectrahedra and Convex Hulls of Rank-One Elements
Helton-Nie猜想（HNC）是关于每个凸半代数集都是谱面体阴影的命题。本文证明了HNC等价于另一个与二次约束二次规划有关的命题。即任何一个谱面体的秩一元素的凸包都是谱面体阴影。在紧凸半代数集的情况下，谱面体可以被认为是紧的。举例说明了这些凸子集与谱面之间的关系。
Exponential lower bounds on spectrahedral representations of hyperbolicity cones
广义拉克斯猜想的问题是，是否每一个双曲锥是一个足够高维的半定锥的一部分。我们证明了在$n$变量的双曲多项式$d$的双曲性锥空间包含$(n/d)^{Ω(d)}$成对遥远的锥在一定的度量，因此，任何半定表示这样的锥必须有至少$(n/d)^{Ω(d)}$的尺寸（即使一个小的近似是允许的）。证明包含几个成分的独立利益，包括确定一个大的子空间，其中的基本对称多项式位于相对内部的一组双曲多项式，和定量版本的几个基本事实的实根多项式。
Spectrahedral relaxations of hyperbolicity cones
本研究基于实零多项式三次项构建含刚性凸集的谱面体，提出双曲规划的小型半定松弛及线性规划的有限收敛半定松弛层级，为攻克广义Lax猜想提供了部分理论支撑。
Hyperbolic Polynomials and Generalized Clifford Algebras
本文考虑了将双曲锥实现为谱面，即实现为正半定矩阵的锥的线性切片的问题。广义的拉克斯猜想指出，这总是可能的。我们使用广义Clifford代数的一个新的方法来解决这个问题。我们的主要结果是：如果-1不是双曲多项式的Clifford代数中的埃尔米特平方和，则它的双曲锥是谱面体的。我们的结果也有计算应用，因为这个充分条件可以检查一个单一的半定程序。
Spectrahedral Lifts of Convex Sets
凸集的有效表示对于使用它们的许多算法至关重要。众所周知，有时，一个复杂的凸集可以表示为一个简单得多的集合在高维中的投影，称为原始集合的提升。这是一个简短的调查，最近的事态发展的主题升降机的凸集。我们的重点将是升降机所产生的仿射切片的实正定锥称为psd或spectrahedral升降机。主要结果是，凸集的投影表示控制的因式分解，通过封闭的凸锥，来自凸集的运营商。这导致了几个研究方向和结果，位于凸几何，组合数学，真正的代数几何，优化，计算机科学和更多的交叉点。
On the derivative cones of polyhedral cones
双曲多项式优雅地编码了丰富的一类凸锥，包括多面体和谱面体锥。双曲多项式在取极和相应的锥下是封闭的，导数锥产生相关最优化问题的松弛，并表现出有趣的表面性质。虽然不知道是否每个双曲锥都是半正定锥的一部分，但很自然地会问，在取极时，谱面体锥是否是封闭的。本文通过给出一阶导数锥的显式谱面表示，对多面体锥给出了肯定的回答。我们还证明，更高的极性没有一个行列式表示，这表明一般的spectrahedral锥的问题是相当困难的。
Copositive and completely positive cones over symmetric cones of rank at least 5
研究秩至少为5的对称锥上的协正锥和完全正锥，证明它们不是谱面阴影，引入Horn变换生成暴露射线，并揭示平方和内部逼近层次在正半定锥上不是渐近精确的。
Semidefinite approximations of conical hulls of measured sets
设$C$是由紧集生成的真凸锥，紧集支持测度$μ$ . A.Barvinok、E.Veomett和J.B. Lasserre使用$μ$产生嵌套谱面体锥的序列$(P_k)_{k\in \mathbb{N}}$，其包含与$C$对偶的锥$C^*$。我们证明了这样的序列的光谱面体的收敛结果，并提供工具，用于界定$P_k$和$C^*$之间的距离。这些工具在具有足够对称性的圆锥上特别有用，并允许我们确定几个感兴趣的圆锥的边界。我们计算这样的上界半定近似的旅行商多面体和锥的非负三元六次曲线和四元四次曲线。
Bounds on the Semidefinite Programming Complexity of the Euclidean Ball
本文证明了欧几里得球的线性矩阵不等式表示和半定扩展的紧下界，分别达到 $n$ 和 $2\sqrt{n-1}$，与现有构造匹配，并推广到极端点为半代数集的凸集。
Hyperbolicity cones are amenable
本文证明了所有双曲性锥均具有顺从性，并得出双曲性锥的任何面及其交集仍为双曲性锥的推论。
Linear optimization over homogeneous matrix cones
一个凸锥是齐次的，如果它的自同构群传递地作用在锥的内部，即，对于圆锥内部的每一对点，存在一个将一个点映射到另一个点的圆锥自同构。齐次且自对偶的锥称为对称锥。对称锥包括正半定矩阵锥和二阶锥，它们是重要的应用实例。在本文中，我们考虑了较少研究的锥最优化问题是齐次，但不一定自对偶。我们从具有给定稀疏模式的半正定对称矩阵的锥开始。在这类均匀锥的特点是嵌套块箭头稀疏模式，弦稀疏模式的子集。我们描述了锥的自同构群的可迁子集及其群的可迁性，以及对数-det障碍函数与该集合中的自同构的复合的重要性质。接下来，我们考虑半正定锥的线性切片的扩展，即，半正定锥与线性子空间的交，并复习使锥齐次的条件。在第三部分的文件中，我们给出了一个高层次的概述了经典代数理论的齐次锥由于温伯格和Rothaus。这个理论的一个基本结论是，每个齐次锥都有一个谱面体（线性矩阵不等式）表示。最后讨论了齐次锥结构在原对偶对称邻近点方法中的作用。
QSDPNAL: A two-phase augmented Lagrangian method for convex quadratic semidefinite programming
本文提出了一种求解凸二次半定规划（QSDP）问题的两阶段增广拉格朗日方法（QSDPNAL），该方法的约束条件包括大量线性等式、不等式约束、简单凸多面体集约束和半正定锥约束.一阶算法，它依赖于不精确的舒尔互补为基础的分解技术开发QSDPNAL-第一阶段的目的是解决QSDP问题，以中等精度或使用它来生成一个相当不错的初始点的第二阶段。在QSDPNAL第二阶段，我们设计了一个增广拉格朗日方法（ALM），在每次迭代的内部子问题是通过不精确的半光滑牛顿算法解决。为ALM设计了简单且可实施的停止准则。此外，在适当的条件下，我们能够建立所提出的算法的收敛速率和证明的R-（超）线性收敛的KKT残差。在QSDPNAL的实现中，我们还开发了有效的技术来解决大规模的线性系方程组在一定的子空间约束。更具体地说，更简单，但更好的条件线性系精心设计，以取代原来的线性系和新的阴影序列构造，以减轻所带来的数值困难的关键子空间的约束。大量的数值结果表明，我们的两阶段算法是高效和强大的，在获得精确的解决方案。
Optimization on linear matrix inequalities for polynomial systems control
系统控制理论的许多问题归结为求解多项式方程、多项式不等式或多项式微分方程。凸优化和实代数几何的最新进展可以结合起来，以产生近似解决方案，在浮点运算。在课程的第一部分，我们将半定规划（SDP）描述为线性规划（LP）在正半定矩阵锥上的扩展。我们研究了由线性矩阵不等式（LMI）或SDP锥的仿射截面定义的谱面体、凸集的几何。我们还介绍了光谱面体阴影，或解除LMI，通过投影的SDP锥的仿射部分。然后，我们回顾现有的数值算法求解SDP问题。在课程的第二部分，我们描述了SDP的几个最新应用。首先，我们解释如何解决多项式优化问题，其中一个真正的多元多项式必须优化（可能非凸）的基本半代数集。其次，我们将这些技术扩展到具有多项式动力学的常微分方程（ODEs）和轨迹优化问题（ODEs解的稳定性或性能分析）。第三，我们总结了这一部分的应用最优控制（设计的轨迹最优w.r.t.给定的函数）。对于其中的一些决策和最优化问题，人们希望SDP计算的数值解可以用适当的技术进行后验改进和严格验证。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。