经典Weierstrass函数图形维数的一个初等证明
An elementary proof for the dimension of the graph of the classical Weierstrass function
摘要：
设$W_{λ,b}(x)=\sum_{n=0}^\inftyλ^n g(b^n x)$，其中$b\geqslant2$是整数，$g(u)=\cos(2πu)$（经典Weierstrass函数）。在Ledrappier（1992），Baránsky，Bárány and Romanowska（2013）和Tsujii（2001）工作的基础上，我们提供了一个初等证明，对于所有具有合适$λ_b<1$的$λ\in(λ_b,1)$，$W_{λ,b}$的豪斯多夫维数等于$2+\frac{\logλ}{\log b}$。这再现了Baránsky，Bárány和Romanowska的结果，而没有使用Ledrappier和Young（1985，1988）的双曲测度的维数论，它被一个简单的伸缩论证和递归多尺度估计所取代。
英文摘要：
Let $W_{λ,b}(x)=\sum_{n=0}^\inftyλ^n g(b^n x)$ where $b\geqslant2$ is an integer and $g(u)=\cos(2πu)$ (classical Weierstrass function). Building on work by Ledrappier (1992), Baránsky, Bárány and Romanowska (2013) and Tsujii (2001), we provide an elementary proof that the Hausdorff dimension of $W_{λ,b}$ equals $2+\frac{\logλ}{\log b}$ for all $λ\in(λ_b,1)$ with a suitable $λ_b<1$. This reproduces results by Baránsky, Bárány and Romanowska without using the dimension theory for hyperbolic measures of Ledrappier and Young (1985,1988), which is replaced by a simple telescoping argument together with a recursive multi-scale estimate.
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