Asymptotics of one dimensional forest fire process with non instantaneous propagation
考虑以下森林火灾模型，其中树木的可能位置是$\mathbb{Z}$的位置。每个站点都有三种可能的状态：“空置”、“占用”或“燃烧”。空位以速率$1$被占据。在每个站点，点火（通过闪电）以$λ$速率发生。当一个站点被点燃时，火灾开始并以$π$的速率传播到相邻站点。我们研究了这个过程作为$λ\to0$和$π\to\infty$的渐近行为。我们发现，有三种可能的类的缩放限制，根据该制度中，$λ\to0$和$π\to\infty$。
2015-03-12 math.PR
Cluster growth in the dynamical Erdős-Rényi process with forest fires
我们研究了Ráth和Tóth森林火灾模型中的集群增长[22]。该模型是一个连续时间的马尔可夫过程，类似于动态Erdens-Rényi随机图，但增加了所谓的火灾。一个顶点可能在任何时刻着火，当它这样做时，会导致其连接簇内的所有边燃烧，这意味着它们瞬间消失。每个烧焦的边缘可能会在以后重新出现。我们给出了一个精确的描述过程$C_t$的大小的集群的一个标记的顶点，在限制的顶点数在模型中趋于无穷大。我们证明了$C_t$是一个具有时间非齐次后代分布的爆炸分支过程，并且在每次爆炸时瞬时返回到$1$。此外，我们表明，用于分析的Smoluchowski型凝血方程模型的特征曲线有一个概率解释的过程$C_t$。
2014-12-12 math.PR
Near-critical avalanches in 2D frozen percolation and forest fires
我们研究了两个密切相关的三角晶格过程：冻结渗流，其中连接组件的占用顶点冻结（他们停止增长），只要他们至少包含$N$顶点，森林火灾过程中，连接组件燃烧（他们成为完全空置）率$ζ> 0$。在本文中，我们证明，当占据的网站的密度接近伯努利渗流的临界阈值，这两个过程显示一个惊人的现象：近临界“雪崩”的外观。更具体地说，我们分析了雪崩，一直到每个模型的自然特征尺度，这是理解这些过程的自组织临界行为的重要一步。对于冻结渗流，我们特别表明，围绕一个给定的顶点的冻结集群的数量是渐近等价于$(\log(96/5))^{-1} \log \log N$作为$N \to \infty$。类似的机制也存在于森林火灾中，这使我们能够获得类似的结果，但需要做更多的工作：燃烧的簇的数量相当于$(\log(96/41))^{-1} \log \log (ζ^{-1})$和$ζ\searrow 0$。此外，几乎所有这些集群都具有卷$ζ^{- 91/55 + o(1)}$。对于森林火灾，在arXiv：1810.08181中引入的含杂质的渗滤过程在我们的证明中起着至关重要的作用，我们将该论文中的结果扩展到正杂质密度。此外，我们开发了一种新的探索过程耦合全平面森林火灾过程中有限，但足够大（相比的特征尺度）域。
2021-11-03 math.PR
Near-critical percolation with heavy-tailed impurities, forest fires and frozen percolation
考虑一个“漂亮”平面晶格上的临界点渗流：每个顶点以概率$p = p_c$被占据，以概率$1 - p_c$空置。现在，假设额外的空位（“空穴”或“杂质”）以某种小的概率独立地产生，即对于某些小的$\varepsilon > 0$，参数$p_c$被$p_c - \varepsilon$代替。Kesten的一个著名结果说，非正式地说，在低于特征长度$L(p_c - \varepsilon)$的尺度上，连接概率保持与以前相同的顺序。我们证明了一个实质性的和微妙的概括的情况下，杂质不仅是微观的，但允许是“介观”。这种概括本身也很有趣，它是由我们对森林火灾（或流行病）模型的研究所激发的。在这些模型中，所有顶点最初都是空的，然后以速率$1$被占用。如果一个被占用的顶点被闪电击中，闪电的发生率（通常非常小）为$ζ$，则其整个被占用的簇立即燃烧，因此其所有顶点都变成空的。我们的结果与杂质的渗流是至关重要的分析行为，这些森林火灾模型附近和超过临界时间（即时间之后，在森林中没有火灾，一个无限的树木集群出现）。特别是，我们证明了（到目前为止，对于烧树不恢复的情况下）存在一个序列的“例外尺度”（$ζ$的功能）。对于具有这种边长的盒子上的森林，火灾的影响不会像$ζ\searrow 0$那样在极限内消失。
2018-11-29 math.PR
Forest fires on $\Z_+$ with ignition only at 0
我们考虑图$G$上的森林火灾模型的一个版本，其中图的每个顶点都被速率1占据。固定顶点$v_0$以相同的速率被闪电击中，当这种情况发生时，包含$v_0$的整个被占用顶点簇被烧毁。我们发现，当$G=Z_{+}$，在顶点$n$，除以$\log n$，连续烧毁之间的时间弱收敛为$n\to\infty$的随机变量，其分布是$1-ρ(x)$，其中$ρ(x)$是Dickman函数。我们还证明了在具有非平凡的点渗透阈值和至多一个无限簇的传递图上，直到{ \it any}顶点的第一个燃尽时间的分布具有指数尾。最后给出了一个有趣极限$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n {n \choose k} (-1)^k \log k -\log\log n=γ$的初等证明。
2009-09-15 math.PR
Self-destructive percolation as a limit of forest-fire models on regular rooted trees
设$T$是一棵正则根树。对于每一个自然数$n$，设$B_n$是顶点的有限子树，其图距根至多为$n$。考虑以下$B_n$上的森林火灾模型：每个顶点可以是“空”或“占用”的。在时间$0$，所有顶点都是空的。然后，该过程由两个相反的机制控制：顶点以$1$的速率被占用，独立于所有顶点。独立于其并且独立于所有顶点，“闪电”以速率$λ(n) > 0$击中顶点。当一个顶点被闪电击中时，它所占据的星团瞬间变成空的。现在假设$λ(n)$在$n$中呈指数衰减，但比$1/|B_n|$慢得多。我们证明了存在一个超临界时间$τ$和$ε> 0$使得在时间$0$和时间$τ+ ε$之间的$B_n$上的森林火灾模型在$n$趋于无穷大时趋于$T$上的以下过程：在时间$0$上所有顶点都是空的.在时间$0$和时间$τ$之间，顶点对于所有顶点独立地以速率$1$被占用。在时间$τ$，所有无限被占用的簇都变成空的。在时间$τ$和时间$τ+ ε$之间，顶点再次以速率$1$被占用，独立于所有顶点。在时间$τ+ ε$，所有被占用的簇都是有限的。这个过程是一个动态版本的自我破坏渗透。
2014-04-01 math.PR
Planar lattices do not recover from forest fires
参数为$p,δ$的自破坏渗流是通过取一个参数为$p$的渗流位形，封闭所有属于无限簇的位形，然后以概率$δ$打开每个封闭的位形而得到的。称$θ(p,δ)$为原点在这样获得的配置中的无限簇中的概率。对于二维晶格，我们证明了$δ>0$的存在性，使得对于任何$p>p_c$，$θ(p,δ)=0$。这证明了引入该模型的van den Berg和Brouwer的猜想[Random Structures Algorithms 24（2004）480 - 501]。我们的结果与van den Berg和Brouwer [Random Structures Algorithms 24（2004）480 - 501]的结果相结合，暗示了无穷参数森林火灾模型的不存在性。本文的方法适用于任何具有足够对称性的二维平面晶格上的位置和键渗流。
2015-12-21 math.PR
Age evolution in the mean field forest fire model via multitype branching processes
研究了Ráth和Tóth提出的平均场林火模型中林龄的分布。该模型是一个不断演化的随机图，其动力学将Erdens-Rényi边加法与泊松雷击雨相结合。当连接构件的任何顶点被闪电击中时，将删除该构件中的所有边。我们认为，该模型显示自组织临界的闪电率的渐近制度。顶点的年龄以单位速率增加，但在每次燃烧时都重置为零。我们证明了经验年龄分布作为一个过程收敛到一个自治测度值微分方程的确定性解。主要的技术是观察到，在顶点年龄的条件下，该图是Bollobás，Janson和Riordan意义下的非齐次随机图。然后，我们研究的演变的年龄通过多型高尔顿-沃森树，出现在法律的限制，在任何固定的时间确定的顶点的组成部分。这些树从胶凝时间开始是关键的。
2020-12-09 math.PR
Asymptotics of one-dimensional forest fire processes
我们考虑所谓的一维森林火灾过程。在$\mathbb{Z}$的每个位点，以速率$1$出现树。在$\mathbb{Z}$的每个站点，火灾以$λ>0$的速率开始，立即摧毁树的整个相应的连接组件。我们表明，当$λ$往往$0$与适当的规范化，森林火灾过程往往是一个唯一定义的过程，我们精确描述的动态。归一化包括通过因子$\log(1/λ)$加速时间和通过因子$λ\log(1/λ)$压缩空间。极限过程非常简单：它可以使用图形构造来构建，并且可以完美地模拟。最后，我们得到一些渐近估计（当$λ\to0$）的簇大小分布的森林火灾过程。
2010-11-05 math-ph math.MP math.PR
Steady state clusters and the Rath-Toth mean field forest fire model
我们介绍了一个随机有限有根树$\mathcal{C}$，稳定状态集群，其特征在于由递归描述：$\mathcal{C}$是一个概率$1/2$的单例，否则是通过连接两个独立的树$\mathcal{C}'$和$\mathcal{C}''$，每个有规律的$\mathcal{C}$的根的边缘，然后重新生根所得到的树在一个统一的随机顶点。我们构造了一个平稳的再生随机过程$\mathcal{C}(t)$，即稳态团簇生长过程。它的特点是一个简单的不动点性质。它的定态分布是稳态团簇$\mathcal{C}$的规律。我们猜想$\mathcal{C}(t)$是Ráth和Tóth平均场森林火灾模型定态下标记顶点簇演化的局部极限.我们描述其爆炸的Lévy从属，使用状态依赖的时间变化。稳态集群也是一个多类型的Galton-Watson树与连续的类型。以其大小为条件的稳态簇是具有简单显式联合分布的配备随机边权重的完全图的随机加权生成树。实现的稳态集群增长过程的时间反转作为一个“统一”的顶点在一个关键的多类型的Galton-Watson树的条件是无限的日志记录过程中的组件。我们构造了无限有根树$\mathbb{Z}^*$上的一个稳态森林火灾模型，该模型的根簇的演化是稳态簇生长过程的一个版本.这个模型在精神上类似于Aldous在有根无限二叉树上的冻结渗流模型。我们猜想它是平稳Ráth-Tóth模型的局部弱极限。
2018-09-10 math.PR
Coexistence for a population model with forest fire epidemics
该研究扩展了Durrett-Remenik模型，引入独立森林火灾流行影响双物种竞争，证明存在参数区域使物种共存或单方主导，并收敛至显式动力系统，模拟显示混沌行为。
2022-03-22 math.PR
Erdos-Renyi random graphs + forest fires = self-organized criticality
我们修改通常的Erdos-Renyi随机图的演变，让连接的集群“烧毁”（即分崩离析断开单个网站），由于闪电的泊松流。在一定的闪电强度和闪电频率范围内，系统始终处于临界状态。
2009-08-26 math-ph math.MP math.PR
Two-dimensional forest fires with boundary ignitions
本文研究边界点火的森林火灾变体，证明无恢复时三角格方盒中心被烧概率趋于0但慢于临界渗流，且上半平面无无限簇，并讨论带恢复模型及对Graf过程的启示。
2024-07-18 math-ph math.MP math.PR
Forest fire spreading: a nonlinear stochastic model continuous in space and time
本文提出一个空间时间连续的随机森林火灾蔓延模型，利用卫星数据估计树密度，通过积分-微分方程描述动力学，证明解存在唯一，并模拟验证飞火等效应。
2023-09-01 math-ph math.AP math.MP
Well-posedness of the mean field forest fire age evolution equation
证明了Ráth和Tóth（arXiv：0808.2116）的平均场森林火灾模型中描述经验年龄测度大系统极限演化的微分方程的适定性.该林火模型是一个在$n$顶点上的随机图过程，其动力学过程结合了Erdens-Rényi动力学和Poisson雷击雨.任何连接的组件中的所有边在其任何顶点被闪电击中后立即被删除。每个顶点都有一个年龄，年龄以$1$的速率增加，但每次燃烧时都会重置为$0$。我们认为渐近闪电制度中的模型显示自组织临界性。Crane、Ráth和Yeo（arXiv：1811.07981）将初态视为非齐次随机图，其边概率取决于顶点的年龄。他们表明，作为$n \to \infty$的经验年龄分布收敛作为一个过程的解决方案的一个确定性的自治微分方程。这是一个非线性年龄相关的种群动力学模型，其年龄死亡率模包含一个相关的多型分支过程的分支算子的首特征函数。该微分方程显示自组织临界性的意义上说，领先的特征值的分支运营商是在$1$没有这被强加为一个边界条件。
2020-07-11 math.AP math.CA math.PR
Self-Organized Forest-Fires near the Critical Time
我们考虑一个森林火灾模型，它的描述有点非正式，如下：正方形格子的每个点（顶点）要么是空的，要么被一棵树占据。此外，每个站点都被闪电以lambda速率击中。这种闪电瞬间摧毁（使空置）被占领的集群的网站。这个模型与Drossel-Schwabl森林火灾模型密切相关，后者在物理学文献中受到了广泛关注。最有趣的行为似乎发生在闪电率为零的时候。在物理学文献中，人们认为系统具有所谓的自组织临界行为。我们让系统开始与所有网站空置和研究，积极的，但小λ，行为附近的“临界时间”TC，也就是说，在修改后的系统中没有闪电的时间后，一个无限占用集群将出现。直觉上，人们可能会认为，如果对于固定的t > tc，我们同时让lambda趋向于0，m趋向于无穷大，那么距离O小于m的某棵树在时间t变为1之前被烧毁的概率。然而，我们表明，在一个类似假设（我们不能证明，但相信是真的），这种直觉是假的。我们比较的情况下，正方形格被取代的有向二叉树，并提出了一些自然的开放问题。
2004-12-24 math-ph math.MP math.PR
A 2D forest fire process beyond the critical time
我们在两个维度上研究森林火灾过程。在给定的平面晶格上，顶点以$1$的速率独立地从空闲切换到被占用（最初它们都是空闲的），并且任何连接的组件一旦其基数超过（通常很大）阈值$N$（模型的参数）就“被烧毁”（其顶点立即变为空闲）。我们的分析提供了一个详细的描述，作为$N \to \infty$，在临界时间$t_c$（在没有火灾的情况下会出现一个无限的集群）附近和之后的过程。特别是，我们证明了一个有点违反直觉的结果：存在$δ> 0$，使高概率的起源不燃烧之前的时间$t_c + δ$。这为van den Berg和Brouwer [Comm. Math. Phys.，2006年]。非正式地说，这个结果可以用防火车道的出现来解释，防火车道的总密度可以忽略不计（如$N \to \infty$），但在恢复方面仍然足够稳健。我们期望这样的行为也适用于经典的Drossel-Schwabl模型。本文的很大一部分致力于在间隔$[t_c, t_c + δ]$期间分析回收率。这些恢复确实有“微观”效应，但事实证明，它们对宏观尺度（实际上对相关的“介观”尺度）的综合影响作为$N \to \infty$消失了。为了证明这一点，我们使用吻，Manolescu和Sidoravicius [安。2015]，引入一个合适的归纳论证来扩展和加强他们的结果。然后，我们用它来证明，分散的结果，在我们早期的联合工作与吻体积冻结渗…
2022-10-11 math-ph math.MP math.PR
Mean-field forest-fire models and pruning of random trees
我们考虑一类与统计力学的一维森林火灾模型密切相关的离散凝聚-碎裂方程：每对质量为$i,j \in \nn$的粒子以速率2合并在一起，产生一个质量为$i+j$的粒子，每个质量为$i$的粒子以速率$(i-1)/n$分裂成质量为1的$i$粒子。（大）参数$n$控制点火速率，在凝结项之前还有一个加速因子（取决于颗粒总数）。我们证明，对于每个$n\in \nn$，这样的模型有一个唯一的平衡态，并详细研究了这个平衡的渐近性为$n\to \infty$：（I）典型粒子的质量分布遵循临界二元Galton-Watson树的叶数定律，（II）典型尺寸偏置粒子的质量分布在重新标度后收敛到极限轮廓，我们用艾里函数及其导数的零点来表示。我们还指出了如何完美地模拟一个典型的粒子和一个尺寸偏置的典型粒子，这使我们能够给出一些概率解释的修剪Galton-Watson树和修剪连续随机树的上述结果。
2012-01-31 math-ph math.MP math.PR
