Vector-Valued Rademacher Sums and Automorphic Integrals
Daniel Whalen
我们提出了基的亚纯向量值的合理重量模拟模形式使用Rademacher和构造的某些空间。
We present bases for certain spaces of meromorphic vector-valued rational-weight mock modular forms constructed using Rademacher sums.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Modular knots, automorphic forms, and the Rademacher symbols for triangle groups
吉斯证明，$S^3$中模纽结和“缺失”的三叶形$K_{2,3}$的连接数与一个高度普遍存在的函数的值一致，该函数被称为${\rm SL}_2\mathbb{Z}$的拉德马赫符号。本文对整数的任意互质对$(p,q)$与$2\leq p<q$，用三角群$Γ_{p,q}$代替${\rm SL}_2\mathbb{Z}=Γ_{2,3}$.我们调用$Γ_{p,q}$的调和Maass形式的理论来引入Rademacher符号$ψ_{p,q}$的概念，并提供几个特征。除其他事项外，我们推广了盖斯的定理模块结周围的任何“失踪”的环面结$K_{p,q}$在$S^3$和镜头空间。
Some reciprocity formulas for generalized Dedekind-Rademacher sums
本文通过建立Bernoulli函数乘积公式，结合多个解析公式，导出广义Dedekind-Rademacher和的互反公式，且多个经典互反定理可作为特例得出。
Rademacher Sums and Rademacher Series
我们解释了任意权的Rademacher和的构造，并描述了它们与模拟模形式的关系。我们介绍了Rademacher级数的概念，并描述了几个应用，包括确定系数的Rademacher和一个非常一般的形式Zagier对偶。然后，我们审查应用Rademacher总和和系列月光怪物和本影，并突出几个开放的问题。最后，我们讨论了物理学中的Rademacher和的解释。
Triple Shifted Sums of Automorphic L-Functions
本文给出了两类全纯尖点形式的傅里叶系数的三重移位卷积和的三复变数亚纯延拓。这个构造的基础是基于Jeffrey Hoffstein最近开发的一个特殊截断庞加莱级数的谱展开的延续。其结果是，我们能够产生以前未研究的和非平凡的渐近截断移位总和，我们期望对应于非对角项的自守L函数的第三时刻。
Explicit and efficient formulas for the lattice point count in rational polygons using Dedekind-Rademacher sums
我们给出了明确的，多项式时间计算公式的整数点的数量在任何二维有理多边形。有理多边形是其顶点具有有理坐标的多边形。我们发现，我们的公式的基本积木是Dedekind-Rademacher和，这是多项式时间可计算的有限傅里叶级数。作为一个副产品，我们重新推导出这些款项由于Gessel，这推广了经典的Dedekind和的互易定律的互易定律。此外，我们的方法表明，Gessel的互惠法是一个特殊的情况下的Dedekind-Rademacher总和，由于Rademacher。
Square-root cancellation for sums of coefficients of $\operatorname{GL}(m)$-automorphic forms over values of random polynomials
本文证明了对任意 $m\geq 2$ 和 $d\geq 1$，$\mathrm{GL}(m)$-自守形式的傅里叶系数在随机 $d$ 次多项式值上的平均和具有平方根抵消。
Lattice points, Dedekind-Rademacher sums and a conjecture of Kronheimer and Mrowka
我们通过Dedekind-Rademacher和来表示某些单形内部的格点的数目。作为应用，我们在Brieskorn球（最多有4根奇异纤维）的特殊情况下证明了Kronheimer和Mrowka的一个猜想.这个猜想将Seiberg-Witten-弗洛尔同调的欧拉示性数与Casson不变量联系起来。
Sums of random multiplicative functions over function fields with few irreducible factors
本文建立了函数域上随机Rademacher乘性函数部分和的极限分布的一个正态逼近，只要多项式的不可约因子个数足够小.这与Harper在整数上随机Rademacher乘性函数的工作类似。
A Rademacher exact type formula for pod$_2(n)$
本文推导了自然数n的特殊划分数的精确公式，该划分数的最大部分为偶数且奇数部分不超过两次。核心方法是扩展的圆方法，涉及Kloosterman和与Mordell型积分的界估计。
Fourier-Dedekind Sums and an Extension of Rademacher Reciprocity
傅立叶-戴德金和是戴德金和的一个推广，戴德金和是在数学的许多领域中出现的重要数论对象，包括格点计数、流形的签名缺陷和伪随机数生成器。傅立叶-戴德金和的一个显着特征是它们满足称为拉德马赫互易性的互易定律。本文主要研究了Fourier-Dedekind和的几个方面：一般Fourier-Dedekind和的性质，互易律的推广，Fourier-Dedekind和的平均性，以及二维Fourier-Dedekind和的极值.关于一般的Fourier-Dedekind和的性质，我们证明了一般的Fourier-Dedekind和同时是简单的Fourier-Dedekind和的卷积，以及这些和的整数系数的线性组合.我们证明了Fourier-Dedekind和可以自然地推广到卷积下的群。我们介绍“减少傅里叶-戴德金总和”，封装的复杂性傅里叶-戴德金总和，描述这些方面的生成函数，并给出了几何解释。接下来，通过发现傅立叶-戴德金和之间的相互关系，我们扩展了Rademacher互易定理的适用范围。我们继续研究傅里叶-戴德金和的平均行为，表明傅里叶-戴德金和的平均行为可以用一个更低维、更简单的傅里叶-戴德金和来简洁地描述。最后，我们将重点研究二维Fourier-Dedekind和。我们发现这些固定的$t$，估计的argmax和argmin，和他们的“倒数”的总和上的界限紧的上限和下界。
Eta quotients and Rademacher sums
$Γ_0(6)$上的Eta函数在2、3、4和6个循环处产生日出积分的评估。在第2和第3个循环中，它们提供了非齐次微分方程的模块参数化，这些方程的解可以通过在名称$q$中展开而轻松获得。置换尖点的Atkin-Lehner变换确保了所有外部动量的快速收敛。在4和6圈处，在壳积分是由η的Eichler积分给出的权重为4和6的模形式的周期。弱全纯因子决定拟周期。给出了$Γ_0(6)$的Hauptmodul的eta商的傅里叶系数的Rademacher求和公式，并将其推广到亏格为0的所有水平，即$N = 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 25$ .在$N = 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49,$处存在亏格为1的椭圆形障碍物。我们克服了这些困难，找到了上千种情况下η波的傅里叶系数的显式公式。我们展示了如何处理类属2的$N=22, 23, 26, 28, 29, 31, 37, 50$级别和类属3的$N=30,33,34,35,39,40,41,43,45,48,64$级别。我们还解决了与一般$4,5,6,7,8,13$的例子。
On Sums of hyper-Kloosterman Sums
库兹涅佐夫的公式允许人们将Kloosterman和的平滑和解释为$GL(2)$自守形式谱上的和。本文利用$GL(3)$自守形式构造了第一超Kloosterman和的一个类似公式，解决了Bump，Friedberg和Goldfeld的一个长期存在的问题.一路上，我们开发了什么显然是新的界限的经典$J$ -贝塞尔函数的阶导数，我们的结论与讨论的原始方法的凹凸，Friedberg和Goldfeld。
Heegaard Floer correction terms and Dedekind-Rademacher sums
利用经典的Dedekind和及其推广的Dedekind-Rademacher和，导出了透镜空间的Heegaard Floer修正项的一个闭公式.我们的证明依赖于一个互惠公式的Ozsvath和Szabo建立的校正项。我们的结果的一个结果是，一个透镜空间的卡森-沃克不变量等于其Heegaard-Floer校正项的平均值。此外，我们发现同一透镜空间的两个校正项的相等和符号相反的相等存在障碍。利用这个障碍，我们能够得到一个最佳的上界的数目消失的校正项的透镜空间平方阶二上同调。
Weighted averages of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ automorphic kernel, Part I: non-oscillatory functions
本文证明了一个计算由 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ 同余子群参数化的和的加权平均的定理，通过将谱方法直接应用于自守核以更好地保留对称性，并应用于二次多项式获得了关于最大素因子和根等分布的新结果。
An analogue of the Rademacher function for generalized Dedekind sums in higher dimension
我们认为广义戴德金和维度$n$，固定$n$ -元组的自然数，定义为周期伯努利函数的值的乘积之和。这包括Zagier和Apostol-Carlitz的广义Dedekind和的高维Dedekind和以及原始Dedekind和。这些都实现为格锥的Todd级数的系数，并从Todd级数的上循环性质满足互易律。利用迭代留数公式，我们计算了定义Dedekind和的格锥的非奇异分解对应的Todd级数的分解的系数。本文给出了一个Laurent多项式，它加到固定指标的广义Dedekind和上，使得它们的分解子有界。我们明确地给出了伯努利数的分母。这推广了由Rademacher函数和经典Dedekind和的差给出的有理函数所起的作用。利用广义Rademacher函数的可积性，将广义Dedekind和与指数和联系起来.我们证明了这个指数和有一个非平凡的界，足以满足Weyl的等分布准则，因此广义Dedekind和的分数部分是等分布的。作为一个例子，对于一个3维的情况和Zagier的高维推广的Dedekind和，我们计算的Laurent多项式相关联。
Non-split Sums of Coefficients of GL(2)-Automorphic Forms
给定$\GL_2$上的尖点自守形式$π$，研究了$\sum_{n\in\mathbb{N}} a_π(n^2+d)W(\frac{n}{Y})$形式的光滑和.我们得到的误差项是尖锐的，因为它在$d$和$Y$中是一致的，并且直接依赖于半整权形式和Selberg特征值猜想的Ramanujan界。此外，我们确定（至少在水平无平方的情况下）主项作为一个简单的因子乘以剩余作为对称平方L-函数$L(s,\Msym^2π)$的$s=1$。特别地，除非$d>0$和$π$是二面体形式，否则没有主项。
Low moments of automorphic random multiplicative function sums
本文确定了满足素平方消去条件的自守随机乘法函数部分和低阶矩的阶，推广了Harper的结果，适用于酉型和辛型不可约紧群表示。
Growth of Fourier coefficients of vector-valued automorphic forms
本文建立了第一类富克斯群的偶数权向量值自守形式的傅里叶系数序列的多项式增长界。最后讨论了它们的$L$ -函数和指数和.
Almost sure bounds for weighted sums of Rademacher random multiplicative functions
本文研究了Rademacher随机乘法函数的加权求和，证明了其几乎必然界的上界和下界，并探讨了不同条件下的更紧上界。
Periodic twists of $GL_3$-automorphic forms
证明了$SL_3(\Zz)$上自守形式的Hecke特征值关于$q^{3/2}$的长度和与傅里叶变换有界的$q$ -周期函数无关.这概括了早期的结果Munshi和Holowinsky-纳尔逊，对应乘法狄利克雷字符，特别适用于跟踪功能的小导体模素数。
Quadratic Weyl Sums, Automorphic Functions, and Invariance Principles
Hardy和Littlewood关于二次Weyl和（θ和）的近似函数方程，通过迭代应用，为这种和的渐近分析提供了强有力的工具。另一方面，经典的Jacobi θ函数满足一个精确的函数方程，并扩展到Jacobi群上的一个自守函数。在本研究中，我们构建了一个相关的，几乎处处不可微的自守函数，它近似二次外尔总结了一阶的错误，一致的总和范围。这不仅意味着近似的函数方程，但允许我们取代Hardy和Littlewood的重整化方法，由一定的均匀流的动力学。这种构造的最大优点是近似是全局的，即，不需要跟踪在迭代过程中累积的误差项。我们的主要应用是一个新的功能极限定理，或不变原理，θ总和。这里有趣的观察是，极限过程的路径与布朗运动共享许多关键特征（尺度不变性，时间反演下的不变性，不可微性），尽管时间增量不是独立的，并且每个固定时间的值分布与正态分布明显不同。
New bounds for automorphic L-functions
本文对自守L函数的解析理论作出了贡献。本文证明了一个关于GL（m）在数域上的不可约尖形自守表示上的L-级数中心值的近似函数方程。我们调查的衰减率的截止函数及其衍生物的解析导体介绍Iwaniec和Sarnak。我们还看到，截断可以一致明确的代价是一个错误项。结果扩展到中心值的产品。本文利用Hardy-Littlewood圆方法，建立了任意水平的经典全纯或Maass尖点形式和Neutropus的傅里叶系数的移位卷积和的非平凡界.这些总和是类似的二进制添加剂因子和已被广泛研究。我们通过仔细估计进入分析的贝塞尔函数来实现尖点形式的所有参数的多项式一致性。作为一个应用程序，我们得到，扩展杜克大学，Friedlander和Iwaniec的工作，一个次凸估计的临界线上的L函数相关的字符扭曲这些尖点形式。我们还通过Sarnak-Selberg谱方法研究了移位卷积和。对于全纯尖点形式，这种方法检测任何全实数域上的最佳抵消。对于Maass尖点形式，该方法需要进行复杂的积分变换。我们成功地反演最简单的这些变换的内核是建立了高斯超几何函数。
On Rademacher Sums, the Largest Mathieu Group, and the Holographic Modularity of Moonshine
最近有人提出一个猜想，它把（模拟）模形式附加到最大的Mathieu群上。这可以与Monster moonshine相比，其中模函数被附加到Monster组的元素。一个最显着的方面，可怕的月光是以下亏格零性质：模函数原来是发电机的功能领域的不变性群体。特别地，这些不变性组定义上半平面的亏格零导数。因此，很自然地要问，在马蒂厄的情形中是否存在类似的性质，乍一看，答案似乎是否定的，因为并非所有在那里产生的离散群都有亏格零。另一方面，本文证明了Mathieu对应中出现的每一个（模拟）模形式都与由其极部分构造的Rademacher和相一致.这种性质受到物理学中AdS/CFT对应关系的启发，以前被证明相当于怪物月光的零属性质。因此，我们得出结论，这个“Rademacher求和”属性作为自然的类似物的属零性质的马蒂厄的情况下。我们的结果构成了进一步的证据表明，Rademacher方法提供了一个强大的框架，了解模块化的月光，并导致有趣的物理问题的引力场的相关共形域论。
Algebraic twists of GL(2) automorphic forms
本文研究 GL2 自守形式 Hecke 特征值与有限域上迹函数的相关性，利用 adele 语言和相对迹公式，将 Burgess 型幂次改进结果推广至数域情形。
The elliptic Apostol-Dedekind sums generate odd Dedekind symbols with Laurent polynomial reciprocity laws
Dedekind符号是经典Dedekind和（符号）的推广。具有Laurent多项式互反律的Dedekind符号空间与模形式空间之间存在自然同构。我们将定义一个新的椭圆模拟的Apostol-Dedekind和。然后，我们将表明，新定义的和生成所有奇Dedekind符号与劳伦多项式互易律。我们的构造是基于Machide关于椭圆型Dedekind-Rademacher和的结果。作为我们结果的应用，我们发现了艾森斯坦系列等式，这些等式推广了Ramanujan、van der Pol、Rankin和Skoruppa的某些公式。
Evaluation of Dedekind sums, Eisenstein cocycles, and special values of L-functions
我们定义了某些高维的Dedekind和，推广了经典的Dedekind-Rademacher和，并展示了如何使用推广的连分式算法有效地计算它们。我们提出了两个应用程序。首先，我们展示了如何通过第二作者引入的Eisenstein上循环来表示与全实数域相关的偏zeta函数的特殊值。因此，我们得到一个多项式时间算法计算这些特殊的值。其次，我们展示了如何使用我们的技术来计算某些特殊值的Witten zeta函数，并计算一些明确的例子。
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function
本文给出了Rademacher随机乘性函数$f$的部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$几乎必然无穷地变号为$x\to\infty$的简单证明。
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function II
该研究针对两类Rademacher随机乘性函数模型，证明其对应部分和几乎必然无限次变号，同时指出一类相关部分和的变号问题仍待解决，且其存在有限次变号的正概率可能。
Kloosterman sums and Maass cusp forms of half integral weight for the modular group
我们估计了和\[ \sum_{c\leq x} \frac{S(m,n,c,χ)}{c}, \]，其中$S(m,n,c,χ)$是模群上半整权的Kloosterman和。我们的估计在$m$、$n$和$x$中是一致的，类似于Sarnak和Tsimerman对Kuznetsov界的改进。除其他事项外，这需要我们开发平均值估计的系数的马斯尖点形式的重量$1/2$和均匀估计$K$ -贝塞尔积分变换。作为应用，我们得到了一个改进的估计的经典问题估计的误差项的大小Rademacher公式的配分函数$p(n)$。
Uniform bounds for Kloosterman sums of half-integral weight with applications
本文针对一类广泛的半整权乘子系统，建立了 Kloosterman 和的和关于 $x$、$m$、$n$ 一致且幂节省的界，并将其应用于模 $3$ 秩分拆之差的 Rademacher 型精确公式，得到收敛误差界。
On algebraic twists with composite moduli
本文研究自守系数与复合模迹函数构成的代数扭曲和的界，给出了相应估计。
Metaplectic Theta Functions and Global Integrals
对于合适的$n,n'$，我们将$GL_3$的$n$ -折叠覆盖上的θ函数与$GL_2$的$n'$ -折叠覆盖上的自守形式进行卷积.为此，我们将theta函数引入到$GL_4$的$n$ -折叠覆盖中，并使用Shalika积分。我们表明，特别是当$n=n'=3$这个建设给出了一个新的欧拉积分的自守形式上的3倍覆盖的$GL_2$（第一个这样的积分是由凹凸和Hoffstein），当$n=4$，$n'=2$，它给出了一个狄利克雷级数解析延续和函数方程，涉及的傅立叶系数的自守形式的半积分的重量和四次高斯和。这些情况下的分析是基于Whittaker模型的局部异常表示的唯一性。这里研究的结构可以放在一个更大的家庭的整体积分的背景下，使用覆盖群上的自守表示。我们勾勒出这个更广泛的背景和一些相关的插图。
On algebraic twists with composite moduli, II
研究GL_{3,Q}上自守系数相关和的界，探讨复合模数迹函数的性质，延续与E.Kowalski和W.Sawin之前的成果。
Counting sign changes of partial sums of random multiplicative functions
本文研究 Rademacher 随机乘性函数部分和的符号变化次数，证明对任意 c>2，其增长几乎必然至少为 (log log log x)^{1/c} 量级。
Nonvanishing of self-dual $L$-values via spectral decomposition of shifted convolution sums
本文通过移位卷积和的谱分解，在广义Lindelöf和Ramanujan假设的最佳逼近下，证明自对合Rankin-Selberg L函数中心值的非消失性，并应用于界定椭圆曲线的Mordell-Weil秩。
Local integral transforms and global spectral decomposition
本文利用显式局部积分变换与反演公式，建立了平移卷积和与 Maass 形式自守 $L$-函数二阶矩的显式全局谱分解。
A non-split sum of coefficients of modular forms
我们将引入并研究$GL_2$ -自守形式沿二次多项式的Hecke特征值的某些截断和。一个省电的估计建立和新的应用程序的时刻的关键$L$ -值相关的二次域推导。详细讨论了Heegner点的高度和奇异模的渐近性质的应用。
Notes on certain binomial harmonic sums of Sun's type
本文证明并推广了Sun关于包含调和数和二项式系数乘积的无穷级数的猜想，通过自守对象方法求得闭合形式。
Modular Nahm sums for symmetrizable matrices of indices $({2,\ldots, 2},1)$ and $({1,\ldots, 1},2)$
本文提出了针对特定索引的可对称矩阵的模数Nahm和家族，并构建了相关的向量值自动形式。
Periods detecting Eisenstein series and sums of $L$-values I
本文研究$G$-哈密顿量簇相关的自守周期，证明特定尖点Eisenstein级数的周期等于由扩展$L$-参数不动点索引的$L$-函数特殊值有限和，证实了Ben-Zvi-Sakellaridis-Venkatesh猜想。
Bounds for Smooth Theta Sums with Rational Parameters
该研究构造了一族显式实参数对，证明对足够正则的函数，带二次相位与线性相位的高维光滑theta和满足一致的$N^{k/2}$阶上界，证明借助自守函数在horocycle提升曲线上的有界性完成。
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