The switch Markov chain for sampling irregular graphs and digraphs
从一组具有给定度序列的（无向或有向）图中有效采样的问题有许多应用。解决这个问题的一种方法是使用一个简单的马尔可夫链，我们称之为开关链，来执行采样。开关链是已知的快速混合定期度序列，无论是在无向和有向设置。我们证明了无向图的开关链是快速混合的，对于任何最小度至少为1且最大度$d_{\max}$满足$3\leq d_{\max}\leq \frac{1}{3}\, \sqrt{M}$的度序列，其中$M$是度之和。所得到的混合时间界仅比常规情况下所建立的混合时间界大一个因子$n$，其中$n$是顶点数。我们的结果涵盖了广泛的度序列，包括幂律图的参数$γ> 5/2$和足够多的边缘。对于有向度序列使得开关链是不可约的，我们证明了当所有的入度和出度都是正的并且上界为$\frac{1}{4}\, \sqrt{m}$时，开关链是快速混合的，其中$m$是弧的数目，并且不是所有的入度和出度都等于1。在有向情况下得到的混合时间界比在常规情况下得到的混合时间界大$m^2$阶。
2017-09-12 cs.DM math.CO
Mixing of the Glauber dynamics for the ferromagnetic Potts model
我们提出了几个结果上的混合时间的Glauber动力学的吉布斯分布在铁磁Potts模型的采样。在一个固定的温度和相互作用强度，我们研究的最大程度（$Δ$）的基础图形和颜色或自旋（$q$）的数量之间的相互作用，以确定是否快速混合动力学或不。我们发现一个下界$L$的颜色数，使Glauber动力学迅速混合，如果至少使用$L$颜色。我们给出了一个紧密匹配的上限$U$的颜色的数量，使概率趋于1，Glauber动力学混合缓慢随机$Δ$定期图时，最多$U$颜色被使用。我们表明，我们的界限可以得到改善，如果我们限制注意某些类型的图形的最大程度$Δ$，例如环形网格$Δ= 4$。
2014-06-05 cs.DM math-ph math.CO
Mixing Times of Self-Organizing Lists and Biased Permutations
S_n的抽样排列是概率论中的一个基本问题。已知最近邻换位链\cal{M} }_{nn}在时间Θ上收敛（n^3 \log n）和恒定偏置情况下的时间Θ（n^2），其中我们以概率p \neq 1/2将相邻元素有序放置，以概率1-p将相邻元素无序放置。这里我们考虑可变偏置情况，其中我们以概率p{x，y}并且以概率1- p_{x,y}无序。M_{nn}的混合率边界问题是由Fill提出的，并由Move-Ahead-One自组织列表更新算法驱动。证明了如果对于所有x < y，1/2 \leq p_{x,y} \leq 1，则链将总是快速混合，但这仅在恒定偏差的情况下或当p_{x,y}等于1/2或1时是已知的，这种情况对应于对偏序的线性扩展进行采样。我们证明了两个类的链是快速混合的：“选择你的武器”，其中我们给定r_1，...，具有r_i \geq 1/2和p_{x,y} =r_x的r_{n-1}（因此主导玩家选择游戏，从而固定他或她的获胜概率），以及“联盟层级”，其中存在两个联盟并且来自A联盟的玩家具有击败来自B联盟的玩家的固定概率，每个联盟内的玩家类似地被划分为具有可能不同的固定概率的子联盟，以此类推。这两类都包括具有恒定偏差的置换作为特殊情况。此外，我们还证明了最一般的猜想是假的，通过构造一个反例，其中1/2 \leq p_{x,y} \leq 1对所有x< y，但最近邻换位链需要指数时间…
2012-04-15 cs.DM
Half-graphs, other non-stable degree sequences, and the switch Markov chain
使用开关的蒙特卡罗马尔可夫链方法提供了生成具有给定度序列的随机图的最简单方法之一。开关马尔可夫链收敛于均匀分布，但一般不知道收敛的收敛速率。通过对各种度序列的研究，建立了所谓的$P$ -稳定度序列（包括有向图的度序列）的快速混合，它覆盖了度序列的所有已知的快速混合区域.本文给出了一类非平凡的度序列，它们不是$P$ -稳定的，而开关马尔可夫链在它们上面仍然是快速混合的。这个族与Tyshkevich分解和强稳定性有着密切的联系。
2020-06-16 cs.DM math.CO
Rapid Mixing of the Switch Markov Chain for Strongly Stable Degree Sequences and 2-Class Joint Degree Matrices
开关马尔可夫链作为一种最自然的马尔可夫链蒙特卡罗方法被广泛研究，用于对具有指定度序列的图进行采样。我们使用比较参数与其他，不太自然，但更简单的分析，马尔可夫链，显示开关链混合迅速在两个不同的设置。我们首先研究了经典的问题，均匀抽样简单无向，以及二分，图与给定的度序列。我们应用嵌入参数，涉及到一个马尔可夫链定义的Jerrum和Sinclair（TCS，1990）的采样图，几乎有一个给定的度序列，以显示快速混合度序列满足强稳定性，一个概念密切相关的$P$ -稳定性。这导致在一个更短的证明，统一了目前已知的快速混合的结果的开关链，并将其扩展到尖锐的表征$P$稳定性。特别是，我们的工作解决了Greenhill（SODA，2015）提出的一个悬而未决的问题。其次，为了说明我们的方法的力量，我们研究了均匀抽样图的问题，除了度序列，联合度分布。虽然这个问题在十多年前就被正式化了，尽管它在生成合成网络拓扑中具有实际意义，但在对此类图进行随机采样方面取得了很小的进展。单度类的情况减少到常规图的采样，但除此之外几乎什么都不知道。我们完全解决了两个度类的情况下，通过显示开关马尔可夫链总是快速混合。同样，我们首先分析一个辅助链的强稳定的情况下，增广的状态空间，然后使用嵌入参数。
2018-10-26 cs.DM math.CO
Approximate Sampling of Graphs with Near-$P$-stable Degree Intervals
本文扩展了Amanatidis和Kleer的成果，证明了当区间以$P$-稳定度序列为中心时，度区间马尔可夫链能够快速混合，从而解决了具有近似$P$-稳定度区间的图的近似均匀采样问题。
2022-04-24 cs.DM math.CO
Comparing the Switch and Curveball Markov Chains for Sampling Binary Matrices with Fixed Marginals
曲线球算法是一种著名的基于开关的马尔可夫链方法的变体，用于对具有固定行和列和的二进制矩阵进行均匀采样。曲线球算法在算法的每次迭代中执行所谓的二项式交易，而不是开关。直觉上，这可能导致在某些情况下达到平稳（均匀）分布的更好收敛速度。在文献中已经给出了一些实验证据。在本文中，我们给出了两个基于开关的链和曲线球链之间的谱隙比较。特别是，这种比较使我们能够得出结论，曲球马尔可夫链是快速混合时，两个开关链之一是快速混合。我们的分析直接延伸到的情况下，采样的二进制矩阵的禁止条目（假设不可约）。这特别是捕获的情况下，采样简单的有向图与给定的度。作为我们的分析的副产品，我们表明，开关马尔可夫链的Kannan-Tetali-Vempala猜想只有非负的特征值，如果采样的二元矩阵至少有三列。这表明，马尔可夫链不一定是懒惰的，这是独立的利益。对于均匀抽样简单有向正则图，我们还得到了Greenhill研究的开关马尔可夫链的最小特征值的一个改进的界。
2017-10-18 cs.DM
Rapid mixing of Glauber dynamics for colorings below Vigoda's $11/6$ threshold
在计算机科学和统计物理学中一个著名的猜想是，对于$k \geq Δ+2$，图$G$在$n$顶点上的$Δ$-着色集上的Glauber动力学是快速混合的。在FOCS 1999中，Vigoda在适当的$k$ -着色的集合上为$k > \frac{11}{6}Δ$展示了具有某些翻转参数的翻转动力学的快速混合，这意味着Glauber动力学的快速混合。在本文中，我们得到了第一个改进，超越了$\frac{11}{6}Δ$障碍一般图显示快速混合$k > (\frac{11}{6} - η)Δ$的某些正常数$η$。我们的证明的关键是结合路径耦合与一种新的度量，其中包括一个计数的极端配置的链。此外，我们的结果扩展到列表着色，着色的广泛研究的推广。结合起来，这些结果回答了Frieze和Vigoda 2007年关于着色的Glauber动力学的调查论文中的两个开放性问题。
2018-04-11 cs.DM cs.DS math.CO
A graph polynomial for independent sets of bipartite graphs
我们引入了一个新的图多项式，编码有趣的性质的图，例如，匹配的数量和完美匹配的数量。最重要的是，对于二分图，多项式编码独立集的数量（#BIS）。我们分析了多项式在有理点上精确求值的复杂性，并证明了对于大多数点，精确求值是P-困难的（假设广义黎曼假设），而对于其余的点，精确求值是平凡的。我们猜想，一个自然的马尔可夫链可以用来近似估计的多项式的参数范围。该猜想，如果真的，将意味着一个近似计数算法的#BIS，一个问题显示，由[Dyer et al. 2004]，是完整的（相对于，所谓的，AP-减少）为一个丰富的逻辑定义的子类的#P。我们给我们的猜想一个温和的支持，证明马尔可夫链是快速混合的树。作为一个副产品，我们表明，“单键翻转”随机簇模型的马尔可夫链是迅速混合恒定树宽图。
2010-02-10 cs.DM cs.DS
Counting perfect matchings and the switch chain
我们研究的问题，精确或近似计数所有完美匹配的遗传类的非二部图。特别地，我们考虑Diaconis，Graham和Holmes的开关马尔可夫链。我们确定了最大的遗传类的链是遍历的，并定义了一个大的新的遗传类的图，它是快速混合。我们继续表明，该链具有指数混合时间稍大的类。我们还研究了任意图中开关链的遍历性问题。最后，我们给出了三个类的精确计数算法。
2018-02-26 cs.DM math.CO
A decomposition based proof for fast mixing of a Markov chain over balanced realizations of a joint degree matrix
联合度矩阵（JDM）指定了图中给定度的节点之间的连接数，对于所有度对，并且唯一地确定了图的度序列。我们考虑任意JDM的所有平衡实现的空间，其中任何两个度组之间的链接尽可能均匀地放置的实现。证明了{ \em arbitrary}图JDM的所有平衡实现空间中的交换马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法快速混合，即，链的弛豫时间由节点数$n$的多项式从上限定。为了证明快速混合，我们首先证明了一个一般的分解定理，类似于不相交分解（分区）的马丁-兰德尔方法。这个定理可以被用来界定从下面的频谱间隙的帮助下，快速混合子链在每个分区和分区之间的辅助马尔可夫链上的界限。我们的一般因式分解定理的证明是直接的，并使用基于电导的方法（Cheeger不等式）。
2014-09-16 cs.DM math.CO
Improved Bounds for Randomly Sampling Colorings via Linear Programming
在计算机科学和统计物理学中一个著名的猜想是，对于$k\geΔ+2$，图$G$在$n$顶点上的$Δ$-着色集上的Glauber动力学是快速混合的。在FOCS 1999中，Vigoda指出翻转动力学（以及Glauber动力学）对于任何$k>\frac{11}{6}Δ$都是快速混合的。事实证明，在$\frac{11}{6}$处存在一个天然屏障，在该屏障之下，即使对于翻转动力学，也不存在相对于汉明度量是收缩的一步耦合。我们使用线性规划和对偶参数来充分描述超越$\frac{11}{6}$的障碍。这些极端的配置原来是相当脆弱的，在本文中，我们用它来给两个证明，Glauber动力学是快速混合的任何$k\ge\left(\frac{11}{6} - ε_0\right)Δ$的一些绝对常数$ε_0>0$。这是Vigoda的结果的第一个改进，适用于一般图。我们的第一种方法分析了一个可变长度的耦合，这些配置分开的耦合终止前的概率很高，我们的其他方法分析了一个一步的路径耦合与一个新的度量，计数的极值配置。此外，我们的结果扩展到列表着色，着色的广泛研究的推广，以前最好的已知结果需要$k > 2 Δ$。
2018-10-30 cs.DM cs.DS math-ph
Phase Transitions via Complex Extensions of Markov Chains
本文通过引入马尔可夫链的复扩张，将渗流论证提升到复平面，证明在Δ≲2^{k/2}条件下k-均匀超图独立多项式的无零点性与Glauber动力学快速混合等价，并得到独立集大小的中心极限定理和确定性近似算法。
2025-01-01 cs.DM cs.DS math.PR
New classes of degree sequences with fast mixing swap Markov chain sampling
在复杂系统的网络建模中，经常需要对服从给定约束的网络的随机实现进行采样，通常以图的形式进行测量。一类研究较多的问题的目标均匀抽样的单图与给定的度序列，也与给定的度相关表示的形式的联合度矩阵。一种方法是使用基于边缘开关（交换）的马尔可夫链，边缘开关（交换）保持约束、不可约（遍历）和快速混合。1999年Kannan，Tetali和Vempala（KTV）提出了一种简单的交换马尔可夫链，并证明了它对任意度序列的抽样图都能快速混合（在多时间内）.虽然猜想仍然是开放的，它被证明为特殊的度序列，特别是那些无向和有向的正则单图，半正则二部图，并与某些有界的最大程度的图。在这里，我们证明了新的，指数大类的不规则度序列的快速混合KTV猜想。我们的方法是基于一个典型的分解度序列分裂图度序列，结构定理的空间图实现和马尔可夫链的因式分解定理。在引入二部分裂度序列之后，我们还推广了二部图和有向图的典型分裂图分解。
2016-12-14 cs.DM math.CO
On coalescence time in graphs--When is coalescing as fast as meeting?
聚合随机游动是一个基本的随机过程，其中一组粒子在无向图上执行独立的离散时间随机游动。当两个或多个粒子在给定节点相遇时，它们合并并继续作为一个随机行走。聚结时间被定义为从每个节点处的一个粒子开始直到仅剩下一个粒子的预期时间。尽管最近的进展，如二叉树，d维环面，超立方体和更一般的，顶点传递图的合并时间，仍然没有得到解决。我们提供了一个强大的工具包，结果在严格的边界，包括上述的各种拓扑结构。相遇时间定义为两个随机游动同时到达同一节点所需的最坏情况下的预期时间。作为一般性结果，我们建立了对于相遇时间仅略大于混合时间（因子为log^2 n）的图，n个随机游动的合并时间等于相遇时间，直到常数因子。这个上限是补充建设的一个图形的家庭证明，这一结果是最好的可能常数的因素。对于几乎正则图，我们绑定的碰撞时间的聚结时间，解决离散时间的变体猜想奥尔德斯这一类的图。最后，我们证明了任何图的合并时间都是O（n^3）的（这对Barbell图来说是紧的）;令人惊讶的是，即使是这样一个关于合并时间的基本问题在这项工作之前也没有得到回答。通过对偶性，我们的结果给出了投票模型的界，从而给出了任意无向图中共识时间的界。我们还建立了一个新的边界上的命中时间和覆盖时间的定期图，改进和收紧以前的结果Broder和Karlin，以及那些由Aldous和Fill。
2018-11-01 cs.DM math.CO
Improved mixing for the convex polygon triangulation flip walk
本研究提出纯组合的马尔可夫链快速混合充分条件框架，改进了凸点集三角剖分翻转游走的混合时间界，给出结合多面体图扩张度的渐近紧界，并证明固定k≥4时凸点集k-角剖分翻转游走的拟多项式混合性。
2023-05-03 cs.CG cs.DM math.CO
Linear Programming Bounds for Randomly Sampling Colorings
本文研究了有界度图的随机真染色的抽样问题。令$k$为颜色的数量，令$d$为最大程度。1999年，Vigoda证明了Glauber动力学对于任何$k > \frac{11}{6} d$都是快速混合的。事实证明，在$\frac{11}{6}$处存在一个天然屏障，低于该屏障，即使对于翻转动力学，也不存在收缩的一步耦合。我们使用线性规划和对偶参数来指导我们构建更好的耦合。我们充分描述了超越$\frac{11}{6}$的障碍。这些例子是相当脆弱的，即使从一个开始，它们也可能在翻转动态改变两个相邻颜色之间的距离之前分开。我们利用这种直觉来设计可变长度耦合，该耦合表明Glauber动力学对于任何$k\ge \left(\frac{11}{6} - ε_0\right)d$（其中$ε_0 \geq 9.4 \cdot 10^{-5}$）都在快速混合。这是对Vigoda的分析的第一次改进，适用于一般图形。
2018-06-07 cs.DM cs.DS math-ph
Rapid mixing for the hardcore Glauber dynamics and other Markov chains in bounded-treewidth graphs
本文利用分治框架证明有界树宽图中 hardcore Glauber 动力学及多类组合结构马尔可夫链的快速混合，为采样与近似计数提供更简单算法。
2023-09-29 cs.DM cs.DS
