Primality tests for specific classes of $N=k\cdot 2^m \pm 1$
多项式时间素性测试的形式$k\cdot 2^m \pm 1$的特定类别的数字介绍。
2020-09-10 math.NT
Primality tests, linear recurrent sequences and the Pell equation
我们研究了新的素数测试的基础上的线性递归序列的程度，利用matricial方法。经典的卢卡斯测试出现作为一个特殊的情况下，我们看到它可以很容易地改进。此外，这种方法清楚地表明如何卢卡斯伪素数是连接到佩尔方程和Brahamagupta产品。我们还介绍了一种新的特殊素性检验，我们称之为广义Pell检验。我们进行了一些数值计算的新的素性测试，对于广义Pell测试，我们没有任何伪素数高达$10^{10}$。
2020-02-19 math.NT
On a Modification of the Agrawal-Biswas Primality Test
我们提出了一个变种的Agrawal-Biswas算法，蒙特卡罗算法，测试素数的整数$N$通过检查是否$(x+a)^N$和$x^N + a$是等价的剩余环$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}[x]$。我们提出的变体也是Lenstra jr的随机化。Pomerance对Agrawal-Kayal-Saxena确定性素性检验的改进。我们表明，我们的变体的Agrawal-Biswas算法可以与米勒-拉宾素性测试产生一个算法，这是比米勒-拉宾测试慢，但相对更准确。
2018-10-23 math.NT
A faster pseudo-primality test
我们提出了一个伪素性测试使用循环扩张的$\mathbb Z/n \mathbb Z$。对于每一个正整数$k \leq \log n$，该检验以牺牲$k^{1/2+o(1)}$ Miller-Rabin检验为代价，实现了$k$ Miller-Rabin检验的安全性.
2012-05-28 math.NT
Extending Babbage's (Non-)Primality Tests
我们回顾了查尔斯·巴贝奇1819年的素数准则，该准则基于二项式系数的同时同余，并将其扩展到最小素因子检验。我们还证明了他的非素性测试的部分逆，基于一个单一的同余。提出了两个问题。一路上我们遇到Bachet，伯努利，Bezout，欧拉，费马，库默尔，拉格朗日，卢卡斯，范德蒙，华林，威尔逊，Wolstenholme，和几个当代数学家。
2018-12-18 math.NT
Counterexamples for Frobenius primality test
目前，人们找不到一个反例，甚至一个最简单的版本的弗罗贝纽斯素性测试。[一.B.]中提出的错误概率评估Damgard和G.S. Frandsen，Journal of Cryptology，2006]被严重高估。本文证明了FPP数的单因子的性质。给出了FPP的下界。
2013-07-30 math.NT
Improved error bounds for the Fermat primality test on random inputs
我们调查的概率，一个随机的奇数合数通过随机费马素性测试，提高早期的估计在中等范围内。例如，随机数为$2^{200}$，我们的结果提高了近3个数量级的先验估计。
2017-07-05 math.NT
Primality Test for Numbers of the Form Ap^n+w
我们提出了一种确定数字$M=Ap^n+w_n$的素性的算法，其中$w_n^{p-1}\equiv1\pmod{p^n}$和$A<p^n$，并给出了当$p=7$时的例子。涉及到$p$的互反律。对于固定的$p$和$A$，该算法在$\log_2(M)$中以多项式时间运行。
2013-06-19 math.NT
Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility
在威尔逊定理中，一个数的素性取决于一个同余。我们提出了一个类似的测试，其中数m的素性取决于4（m-5）的不可分性！由m.这个定理的一个含义是两个数是孪生素数的充要条件，这个结果让人想起克莱门特定理，但涉及不可分割性。MSC：11 A41和11 A51。
2009-12-04 math.NT
Four primality testing algorithms
在本文中，我们描述了四个素性测试。第一个测试是非常有效的，但只能证明一个给定的数是合数或“很可能”是素数。第二个测试是一个确定性的多项式时间算法来证明一个给定的数是素数或合数。第三和第四素性检验目前在实践中使用最广泛。这两个测试都能够证明一个给定的数是素数或合数，但这两个算法都不是确定性的。第三种算法利用了分圆域算法。它的运行时间几乎是多项式时间，但不完全是多项式时间。第四种算法利用了椭圆曲线。它的运行时间很难估计，但它在实践中表现良好。
2008-01-24 math.NT
Novel performant primality test on a Pell's cubic
本研究提出一种基于佩尔三次曲线的新型素性测试算法，通过相关整数序列证明其必要素性条件，运算量随输入整数比特长度线性增长，对小于2的32次方的整数具有确定性，为公钥密码学提供了新的素性测试方案。
2024-11-03 math.NT
A primality test for $Kp^n+1$ numbers
本文推广了经典的整数Proth定理，其形式为$N=Kp^n+1$ .对于这些家庭，我们提出了一个素性测试的计算复杂性是$\widetilde{O}(\log^2(N))$，更重要的是，只需要一个模幂类似的费马的测试。因此，所提出的测试改进了最常用的一个，来自Pocklington定理，这通常需要计算几个模幂连同一些GCD的。
2011-04-26 math.NT
The use of the invariant's properties in the primality test and prime search
本文探讨了不变量性质在素性测试与素数搜索中的应用，提出了基于该性质的新算法，分析了其优缺点，并指出其能提供复合数因式分解的额外信息。
2023-08-01 math.NT
Evaluation of the Effectiveness of the Frobenius Primality Test
Frobenius素性检验是基于剩余域的二次扩张的弗罗贝尼乌斯自同构的性质。虽然这是概率的，但我们表明这“很少出错”。到目前为止，这种方法还没有反例，有理由相信它们根本不存在。在本文中，我们提出了一个版本的Frobenius测试，并证明它不会失败的数字小于$2^{64}$。我们还表明，“Frobenius pseudoprime”将必然有一个素除子大于3000。
2020-11-13 math.NT
A primality test for $Kp^\ell - 1$ numbers
Department of Mathematics, IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校数学系）
本文提出一种基于二次域的代数框架，用于推广Miller-Rabin素性测试，针对形式为$N = K p^{\ell} - 1$的整数设计确定性素性测试，仅需一次模幂运算，计算复杂度为$\tilde{\mathcal{O}}(\log^2 N)$，并建立Korselt准则的类比。
2026-04-29 math.NT
Explicit primality criteria for $h\cdot2^n\pm1$
我们描述了一个显式的广义Lucasian测试，以确定素数的数字$h\cdot2^n\pm1$时，$h\nequiv0\pmod{17}$。该试验通过仅依赖于$h$的固定种子进行。特别是当$h=16^m-1$的$m$为奇数时，本文给出了一个只依赖于$h$的固定种子的素性检验.与W. Bosma（1993）和P. Berriquitia和T. G. Berry（2004），我们的结果沿着这条线添加了新的$h$值。利用光的互反性和双光的互反性推导了我们的结果。
2013-12-02 math.NT
Effective Primality Test for $p2^n+1$, $p$ prime, $n>1$
我们开发了一个简单的$O((\log n)^2)$测试作为扩展的Proth测试的素性$p2^n+1$，$p>2^n$。这允许确定大的非谢尔宾斯基素数$p$和最小的$n$，使得$p2^n+1$是素数。如果$p$是非谢尔宾斯基素数，则对于$p2^n+1$通过初始测试的所有$n$，$p2^n+1$是素数，$3$作为原始根，或者是原动机并除以基础$3$费马数，$GF(3,n-1)$。我们通过确定$GF(3,n-1)$的因子采取的形式来确定通过初始测试的任何复合过伪素数的因子采取的形式。
2018-11-14 math.NT
A LLT-like test for proving the primality of Fermat numbers
本文利用Lucas序列的性质和Lehmer的方法证明了Fermat数的LLT-like检验。
2007-05-24 math.HO math.NT
Strengthening the Baillie-PSW primality test
Baillie-PSW素性测试结合了Fermat和Lucas可能素性测试。它报告一个数是合数或可能是素数。没有奇数复合整数已报告通过这种组合的素性测试，如果参数选择在一个适当的方式。在这里，我们描述了一个显着加强这个测试，几乎没有额外的计算成本。这是通过在测试中包括我们称之为卢卡斯-V伪素数来实现的，其中只有五个小于$10^{15}$。
2021-06-11 cs.CR math.NT
A Modification of LLR
Mersenne数的Lucas-Lehmer（LL）素性检验是已知最快的素性检验。在1969年，Hans Rietter发表了LL的一个修改，以测试形式为$N = h \cdot 2^n - 1$的数，其中$h < 2^n$是奇数，而$n \ge 2$是\cite{Riesel}。这个测试现在被称为Lucas-Lehmer-Rifford（LLR）素数测试。在算法\ref{PrimalityAlgorithm}中，我们提出了一种对LLR的修正，它适用于任意奇数$N$。我们的算法的概率版本运行在预期的时间$\tilde{O}(\log^3 N)$，并在预期的$\tilde{O}(\log^4 N)$的确定性版本。最后，我们提出一个猜想，如果这个猜想成立，就意味着存在一个多项式时间算法来分解整数。
2013-04-15 math.NT
A primality test for $Kp^n+1$ numbers and a generalization of Safe Primes and Sophie Germain Primes
Azhar University（阿兹哈尔大学）
本文对形式为$Kp^n+1$的整数推广了普罗特定理，提出了一种仅需一次模幂运算的质数测试方法，无需计算任何GCD。同时提供了两种测试以提高验证$Kp^n+1$数质数的可能性。作为这些测试的推论，我们给出了三个整数家族$N$，其质数性只能通过证明$a^{N-1} \equiv 1 \pmod N$（费马测试）来确认。还推广了安全质数，定义为$a$-安全质数，因其$N-1$具有与安全质数相同的大型质因数。我们讨论了这些数的分布问题，并提出了关于相关数$a$-索菲·热尔曼质数分布的猜想。
2022-07-25 math.NT
Kummer surfaces for primality testing
本文利用超椭圆曲线雅可比矩阵的Kummer曲面的算法研究了$4m^2 5^n-1$型整数的素性。我们提供了一个算法，能够证明这些家庭中的大多数整数的素性或复合性，并详细讨论了必要的步骤，在计算机上实现该算法。虽然不确定性是可能的，在这种情况下，应使用另一种选择的初始参数，我们证明，达到这种情况的概率是非常低的，并呈指数下降与$n$。
2020-05-19 math.AG math.NT
Primality of numbers of the form $ap^{k}+1$
1876年，爱德华·卢卡斯证明了如果存在一个整数$b$，使得对于$n-1$的所有素因子$p$，$b^{n-1} \equiv 1 (\mathrm{mod} \ n)$和$b^{(n-1)/p} \not\equiv 1( \mathrm{mod} \ n)$都是，那么$n$是素的，这个结果被称为卢卡斯对费马小定理的逆。这个结果在1914年被Henry Pocklington大大改进，他证明了不需要知道$n-1$的所有素因子就可以确定$n$是否是素数。在本文中，我们优化Pocklington的素数测试的形式$ap^{k}+1$，其中$p$是素数，$a<p$，$k\ge 1$。本文给出了卢卡斯关于费马小定理的逆定理的一个推广。我们还证明了一个新的通用素性测试，要求只有一个单一的奇素数因子的$n-1$被发现的测试实施。与著名的结论相反：任何基$b$都有无穷多个Fermat伪素数;本文证明了整数形式的Fermat伪素数的有限性。
2021-04-10 math.NT
Lots and Lots of Perrin-Type Primality Tests and Their Pseudo-Primes
本研究借助Maple通过实验数学与符号计算搜寻Perrin型和Lucas型素性测试并筛选有效方法，还针对部分测试显式构造出无穷伪素数族，突破了过往仅能证明存在性的局限。
2024-04-11 math.CO math.NT
Dual Elliptic Primes and Applications to Cyclotomy Primality Proving
两个有理素数p，q称为对偶椭圆的，如果存在一条E mod p的椭圆曲线，它有q个点.它们被引入作为一种有趣的手段，结合椭圆曲线和割圆素性证明算法的优势。通过将环的伽罗瓦论中用于分圆素性检验的一些概念推广到椭圆曲线上，得到了一个新的算法，该算法具有启发式的三次运行时间，并能在二次时间内生成可验证的证书。在Agrawal、Kayal和Saxena等人的突破解决了素性检验的复杂性理论问题之后，可实现的素性证明算法的实用性问题仍然受到人们的关注。
2007-09-26 math.NT math.RA
An $\tilde{O}(\log^2(N))$ time primality test for Generalized Cullen Numbers
广义库伦数是$C_b(n):=nb^n+1$形式的正整数。在这项工作中，我们推广了一些已知的整除性质的库伦数，并提出了两个素数测试这一家庭的整数。第一个测试是基于来自这个家族的素数的以下性质：$n^{b^{n}}\equiv (-1)^{b}$（mod $nb^n+1$）。它比费马检验（对于碱基$b$和$n$）和米勒-拉宾检验（对于碱基$n$）更强，计算量更少。这种新的检验的伪素数似乎是非常稀缺的，只有4个伪素数已被发现在数以百万计的广义卡伦数测试。我们还提出了第二个，更苛刻的，没有pseudoprimes的测试已经found. This测试导致“准确定性”的测试，运行在$\tilde{O}(\log^2(N))$时间，这可能是非常有用的搜索广义卡伦素数。
2010-07-06 math.CO math.NT
Deterministic elliptic curve primality proving for a special sequence of numbers
我们给出了一个确定性算法，非常迅速地证明了在一定的序列中的整数N的素性或复合性，使用椭圆曲线E/Q与Q（sqrt（-7））的整数环的复乘。该算法在环Z/NZ上使用O（log N）的算术运算，这意味着位复杂度在log N中是准二次的。值得注意的是，经典的“N-1”或“N+1”素性测试都不适用于我们序列中的整数。我们将讨论如何应用该算法，结合筛分技术，有效地搜索非常大的素数。这使我们能够证明几个整数的素数超过100，000个十进制数字，其中最大的有超过一百万位在其二进制表示。在它被发现的时候，它是最大的已被证明的素数N，对于它，N-1或N+1的部分因式分解是未知的。
2015-03-16 math.NT
Taxonomy and Practical Evaluation of Primality Testing Algorithms
King Fahd University of Petroleum and Minerals（国王法赫德国立石油与矿产大学）
本文综述并分类了经典和量子算法用于因数分解与素性测试，分析其优劣、时间复杂度及应用比较，揭示量子算法在因数分解上的优势，但素性测试方面尚未有明显突破。
2026-07-03 cs.CR math.NT
On the Eight Levels theorem and applications towards Lucas-Lehmer primality test for Mersenne primes, I
本文证明了八级定理，并基于此提出了三种 Lucas-Lehmer Mersenne 素性检验新版本及一个 Mersenne 合数新判据，以提升算法效率并促进新 Mersenne 素数的发现。
2023-05-11 cs.CR math.CO math.NT
PPT: New Low Complexity Deterministic Primality Tests Leveraging Explicit and Implicit Non-Residues. A Set of Three Companion Manuscripts
在这三篇配套的手稿/文章中，我们公布了我们关于素性测试的新结果，并揭示了由这些结果实现的新的素性测试算法。只要我们有完整的分析证明，结果就被分类（和引用）为引理/推论/主张;否则结果就被引入为证明。在第1部分中，我们从基线素性猜想（PBPC）开始，当二次非剩余（QNR）模N的显式值可用时（这恰好是绝大多数= 11/12 = 91.67%所有奇数的情况），它可以实现低复杂度= O（（log N）^2）的确定性素性检测。然后，我们展示了素性引理PL-1，它揭示了最先进的米勒-拉宾方法和著名的欧拉准则之间的密切联系。这个引理，加上基线素性猜想，使米勒-拉宾迭代和我们的方法的协同融合，导致混合算法，大大优于其组件。接下来，我们说明了如何通过使用以下形式的关系来规避QNR的显式值的要求：多项式（x）mod N = 0 ;其解决方案隐式地指定非剩余模N。然后，我们开发了一种方法来导出低次规范多项式，它们共同保证了隐式的模N无余数;它与广义素性猜想一起使算法能够实现最坏情况下的确定性多项式复杂度= O（（log N）^3 polylog（log N））;无条件地;对于任何/所有N值。在第2部分中，我们提出了大量的实验数据，证实了所有的假设。最后，在第三篇中，我们给出了基线素性猜想的解析证明，在某些特殊情况下，我们已经完成了这一证明。
2019-08-20 cs.CC cs.CR cs.DS
Ternary arithmetic, factorization, and the class number one problem
通过考虑六边形格的离散体积，可以将自然数的普通二进制乘法以非平凡的方式推广到三进制运算。通过这种操作，定义了一个自然的“3-素数”概念--关于三进制乘法的素数，结果是3-素数很少。它们对应于虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$，$n>0$，具有奇判别式，其整数环允许唯一因子分解.我们还描述了如何确定数字作为三进制积的表示以及用于通常的素性测试和整数因式分解的相关算法。
2020-12-25 math.NT
On the Classification and Algorithmic Analysis of Carmichael Numbers
本文研究了Carmichael数的性质，几种素性检验的假阳性。我们提供了一个分类卡迈克尔数的比例小于50%的费马证人，根据最小的素因子是大于一个确定的下界。此外，我们进行蒙特卡罗模拟的概率算法的一部分，以检测如果一个给定的合数是卡迈克尔。我们修改这个高精度的算法与确定性素性测试，以创建一个新的，更有效的算法，区分卡迈克尔数和素数。
2017-02-26 math.NT
Three Brillhart-Lehmer-Selfridge primality proofs for Wagstaff numbers
Independent researcher
本文基于Brillhart-Lehmer-Selfridge (BLS) N-1准则，对Wagstaff数W_2617、W_10501和W_12391进行了严格验证的素性证明，不依赖ECPP，仅使用经典N-1方法，并利用Cunningham项目表和FactorDB进行因子分解。
2026-05-18 math.NT
Bad witnesses for a composite number
本文研究了多轮Miller-Rabin测试与Galois测试乘积的伪素性测试中坏见证者集合的平均大小，给出了其平均规模的描述。
2023-05-12 math.NT
The number of multinomial coefficients based on a set of partitions of n into k parts and divided by k evenly
本文利用多项式系数的性质得到了一个原始整数序列。我们研究了一个性质的序列，显示连接与素性测试。对于任何素数n，序列中的第n项比n的分割数小1。我们假设存在一个素数检验的渐近算法。
2012-04-30 math.CO math.NT
Average Case Error Estimates of the Strong Lucas Test
针对强卢卡斯素性检验尚无平均情况误差界的问题，本文建立了其平均情况误差界，给出随机奇k比特数经t轮检验返回合数的概率上界，提出排除小素数倍数的改进算法并分类高贡献数，提升检验应用信心。
2023-06-15 cs.CR math.NT
From Worst to Average Case to Incremental Search Bounds of the Strong Lucas Test
本文研究强Lucas测试的错误界，证明通过t轮连续测试及额外标准测试的整数为素数的概率大于1-(4/15)^t，并首次给出基于强Lucas测试的增量搜索算法的错误界。
2024-06-07 cs.CR math.NT
On formula to compute primes and the nth prime
在本文中，我们提出了一个新的素性测试，然后我们使用这个测试找到一个公式，计算在任何区间内的素数π。最后，我们提出了一个新的公式，计算第n个素数以及下一个素数的任何给定的数字
2012-04-17 math.NT
A new characterization of prime Fermat's numbers
本文给出了一个新的充分条件，它允许测试的费马数素性。该特征化使用最多等于测试的费马数的唯一值。这一结果的稳健性是由于严格使用初等算术技术工具，它将容易为所有费马数都是可分解的革命性声明打开大门。
2021-04-10 math.NT
Sharpening "Primes is in P" for a large family of numbers
我们给确定性素性测试的大家庭的数字。这些测试的灵感来自最近著名的Agrawal-Kayal-Saxena（AKS）测试。AKS测试已经证明了多项式复杂度为O（（log n）^12），他们预计它是O（（log n）^6）。我们的测试证明了复杂度为O（（log n）^6）。当2除以n + 1或n - 1的幂次增加时，复杂度降低到O（（log n）^4）。在足够大的素数上，我们的测试在最坏的情况下比AKS测试至少快2^9倍。
2002-11-20 math.NT
Definition of the invariant and the relationship with the compounds numbers. Generalisation of the Euler theorem
本文引入不变量的概念及其性质用于素性检验，结合欧拉定理将其推广至所有 $a^{φ(m)}$ 情形，并提出替代 Totient 函数以解释 Carmichael 数的新假设。
2023-09-04 math.NT
Infinitely Many Carmichael Numbers for a Modified Miller-Rabin Prime Test
我们定义了Miller-Rabin素性检验的一个变体，它在强度上介于Miller-Rabin和Fermat之间。我们证明了这个检验有无穷多个“Carmichael”数。我们表明，该测试也可以被认为是一个变种的Solovay-Strassen测试。我们探讨了增长的测试的“卡迈克尔”号码，给出了一些实证结果和讨论的一个特别强大的模式，出现在结果中。
2015-12-02 cs.DS math.NT
Fermat test with gaussian base and Gaussian pseudoprimes
群$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\star$的结构和费马小定理是一些著名的素性测试算法的基础。许多相关的概念出现：Euler的totient函数和Carmichael的lambda函数，Fermat伪素数，Carmichael和循环数，Lehmer的totient问题，Giuga猜想等。在本文中，我们提出和研究类似的一些以前的概念时，我们考虑的基础群$\mathcal{G}_n:=\{a+bi\in\mathbb{Z}[i]/n\mathbb{Z}[i] : a^2+b^2\equiv 1\ \textrm{$ \pmod n $}\}$。特别是，我们通过一个Korselt的标准，高斯卡迈克尔数的特点，我们提出了它们与高斯循环数的关系。最后给出了数$n \equiv 3 \pmod{4}$的Gaussian Carmichael数与1-Williams数之间的关系.也没有已知的合数小于$10^{18}$在这个家庭，这两个伪素数基地$1+2i$和2-伪素数。
2014-01-19 math.NT
Counting composites with two strong liars
强概率素性检验是发现素数的重要实用工具。它的有效性源于以下事实：对于任何奇数合数$n$，如果随机选择一个基$a$，则算法不太可能声称$n$是素数。如果真的发生这种情况，我们称$a$为骗子。1986年，埃尔德斯和波默兰斯计算了所有$n \leq x$中说谎者的正常数量和平均数量。我们继续这一主题，并使用各种技术来计算$n \leq x$与正好两个强说谎者，这些是$n$的强测试是最有效的。我们评估这个计数渐近，并给出了一个改进的算法来确定它。我们还提供了渐近计数的限制情况下，其中$n$有两个素因子，和$n$正好有两个欧拉说谎者。
2013-08-05 math.NT
A quantum algorithm for computing the Carmichael function
量子计算机可以有效地解决许多数论问题。本文利用有效的量子算法作为预言机，给出了一个计算任意整数$N$的Carmichael函数的算法，该算法的概率尽可能接近1.该算法需要$O((\log n )^3n^3)$量子运算，或使用快速乘法的$O(\log\log n (\log n)^4 n^2)$运算。验证，量子优化和应用RSA和素性测试进行了讨论。
2021-11-03 math.NT quant-ph
Ours go to 211: Euler pseudoprimes to 47 prime bases (from Carmichael numbers)
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Academia Sinica（中央研究院）
本文研究了卡迈克尔数中包含的欧拉伪素数，并提出了一种快速算法来生成新的欧拉伪素数，其中某些伪素数能够通过前47个素数基的测试。
2026-02-25 math.NT
A Deterministic Cryptographic Prime Generation Chain over Monogenic Cubic Number Fields and their Generalizations
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
提出一种从已知素数构造新素数的直接方法，利用单项纯三次域结构，仅需一次模幂运算即可在拟二次时间内完成素性证明，并推广到任意素数次数的纯数域。
2026-06-16 math.NT
Quantum Computation of Prime Number Functions
我们提出了一个量子线路，它产生一个纯态，对应于所有小于2^n的素数的量子叠加，其中n是寄存器的量子比特数。这个质数状态可以使用格罗弗算法来构建，其预言是经典米勒-拉宾质数测试的量子实现。素数态是高度纠缠的，它的纠缠度量编码了数论函数，如孪生素数的分布或切比雪夫偏置。该算法可以进一步与量子傅里叶变换相结合，以产生素数计数函数的估计，比任何经典算法更有效，并且误差低于允许验证黎曼假设的界限。我们还提出了一个孪生素数态来测量孪生素数的个数，并提出了另一个态来检验哥德巴赫猜想。因此，素数的算术性质原则上可以通过量子系统的实验验证。
2013-09-05 math.NT quant-ph
Close to Uniform Prime Number Generation With Fewer Random Bits
在本文中，我们分析了几个变种的一个简单的方法产生素数与更少的随机位。为了生成小于$x$的素数$p$，基本思想是固定一个常数$q\propto x^{1-\varepsilon}$，选择一个与$q$互质的均匀随机$a<q$，并选择形式为$a+t\cdot q$的$p$，其中如果素数测试失败，则仅更新$t$。我们证明，这种方法的变体提供素数生成算法，需要很少的随机位，其输出分布是接近均匀的，在越来越便宜的假设：首先是一个相对较强的猜想由H. L。Montgomery，由Friedlander和Granville精确化;然后是扩展的黎曼假设;最后完全无条件地使用Barban-Davenport-Halberten定理。我们认为，这种方法有一些可取的性能相比，以前的算法。
2014-06-27 cs.CR math.NT
Deterministic methods to find primes
给定一个大的正整数$N$，人们多久能构造出一个大于$N$（或介于$N$和2N之间）的素数？使用概率方法，通过随机选择$N$和2N之间的数字，并依次测试每个数字的素性，直到发现素数，可以以高概率在最多$\log^{O(1)} N$的时间内获得素数。然而，如果人们寻求一个确定性的方法，那么问题就困难得多，除非人们假设一些数论中未经证明的假设;蛮力方法给出了一个$O(N^{1+o(1)})$算法，而最好的无条件算法，由于Odlyzko，具有$O(N^{1/2 + o(1)})$的运行时间。在本文中，我们讨论了一种方法，可能会改善后，$O(N^{1/2+o(1)})$的约束，提出了一种策略，以确定在时间$O(N^{1/2-c})$的一些$c>0$是否在$[N,2N]$中的一个给定的间隔包含一个素数。虽然这个策略还没有完全实现，但它可以用来建立部分结果，例如能够在时间$O(N^{1/2-c})$上确定$[N,2N]$中给定区间内素数数量的\emph{parity}。
2012-05-26 math.NT
Uses of randomness in computation
随机数发生器在实际算法中有着广泛的应用。示例包括模拟、数论（素性测试和整数因子分解）、容错、路由、密码学、模拟退火优化和完美散列。复杂性理论通常考虑确定性算法的最坏情况行为，但如果假设输入数据是从给定分布中随机抽取的，它也可以考虑平均情况行为。拉宾推广了“概率”算法的思想，在这种算法中，随机性被纳入算法中，而不是在输入数据中假设。Yao指出，概率算法的复杂性和确定性算法的平均情况复杂性之间有着密切的联系。我们给出了随机性在计算中的应用的例子，讨论了拉宾、姚明等人的贡献，并提到了一些悬而未决的问题。这是1994年4月22日在悉尼新南威尔士大学举行的“理论日”特邀演讲的文本。
2010-04-20 cs.DS math.CO math.NT
