Two Metrics on Rooted Unordered Trees with Labels
受精卵的早期发育可以用发育树进行数学描述。为了比较不同物种的发育树，我们需要定义树上的距离。如果分裂后的子细胞不可区分，则发育树由具有可能重复标签的有根树的空间$\mathcal{T}$表示，其中所有顶点都是无序的。如果分裂后的子细胞是部分可区分的，则发育树由可能具有重复标签的有根树的空间$\mathcal{P}$表示，其中顶点可以是有序的或无序的。在$\mathcal{T}$上，我们定义了两个度量：最佳匹配度量和左正则度量，这两个度量比已有的度量方法有一定的优越性。在$\mathcal{P}$上，具有有序或无序顶点的有根标记树空间，没有度量，我们定义了一个半度量，它是最佳匹配度量的变体。为了计算两棵树之间的最佳匹配距离，期望时间复杂度和最坏情况时间复杂度都是$\mathcal{O}(n^2)$，其中$n$是树的大小。为了计算两棵树之间的左正则距离，期望的时间复杂度是$\mathcal{O}(n)$，最坏情况下的时间复杂度是$\mathcal{O}(n\log n)$。对于根标记树（完全/部分）无序顶点，我们定义度量（半度量），具有快速算法计算，并具有优势，比现有的方法。这样的树也出现在发育生物学之外，并且这样的度量可以应用于具有更广泛应用的其他类型的树，特别是在分子生物学中。
2022-05-20 cs.DM math.CO
Controlling quantum state transfer in rooted products
Brigham Young University – Idaho（杨百翰大学爱达荷分校）；Clarkson University（克拉克森大学）
本文证明根积图可传递量子态转移性质，并利用强同谱顶点对和条件数控制，在稀疏图上构造高效高保真度态转移，即使原图无此性质。
2026-09-15 math.CO quant-ph
Algebraic study on rooted products of graphs and multi-clique corona graphs
Okayama University（冈山大学）
本文研究图的根积的代数性质，定义多团冠图并证明其顶点可分解性，同时给出边理想的相关代数不变量公式。
2025-12-08 math.AC math.CO
On the metric dimension and fractional metric dimension for hierarchical product of graphs
一个顶点集$W$ { \em解决}一个图$G$，如果$G$的每个顶点都由它到$W$中的顶点的距离向量唯一确定。$G$的{ \em度量维数}，用$\dim(G)$表示，是$G$的解析集的最小基数。为了研究两个根图$G_2^{u_2}$和$G_1^{u_1}$的层次积$G_2^{u_2}\sqcap G_1^{u_1}$的度量维数，我们首先引入了一个新的参数：根图$G_1^{u_1}$的{ \em根度量维数} $\rdim(G_1^{u_1})$.如果$G_1$不是一条有端点$u_1$的路径，我们证明了$\dim(G_2^{u_2}\sqcap G_1^{u_1})=|V(G_2)|\cdot\rdim(G_1^{u_1})$，其中$|V(G_2)|$是$G_2$的阶.如果$G_1$是一条有一个端点$u_1$的路，我们得到了关于$\dim(G_2^{u_2}\sqcap G_1^{u_1})$的一些紧不等式.最后，我们表明，类似的结果举行的分数度量维。
2012-11-07 math.CO
Proof of a conjecture on the determinant of walk matrix of rooted product with a path
本文针对图与根路径根积的游走矩阵行列式公式，运用 Chebyshev 多项式技术证明了 Mao-Wang 提出的对任意 m≥2 成立的猜想。
2022-08-15 math.CO
Decompositions of the free product of graphs
利用量子概率方法研究了有根图的自由积及其各种分解。证明了有根图的自由积与自由独立性正则相关，从而完成了公理化理论中关于存在与每个非交换独立性正则相关的有根图的积的猜想的证明.利用根图的“正交积”，将有根图的自由积的分支分解为“交错正交积”。这导致了自由积本身的交替分解，其中星形积或梳形积之后是正交积。这些分解对应于最近研究的分解的自由添加剂卷积的概率测度在布尔和正交卷积，或单调和正交卷积。我们还介绍了一种新的类型的“量子分解”的自由积的图，其中的距离划分的一组顶点，而不是一个单一的顶点。我们表明，即使在广泛研究的情况下，这会产生新的和更完整的信息，他们的频谱特性，如谱测度（通常是无限的）一组循环向量的作用下的邻接矩阵。
2006-09-12 math.CO math.QA
Iterated claws have real-rooted genus polynomials
我们证明了称为迭代爪的图的亏格多项式是实根的。这继续了我们的工作，针对25岁的猜想，每一个图的亏格分布是对数凹的。我们以前已经建立了log-magnitude的图序列的迭代顶点合并或迭代边合并的图，满足一个常见的可观察到的条件，其分区属分布，即使它已被证明，迭代合并并不总是保持实根的迭代图的属多项式。本文的迭代拓扑操作是加一个爪和加一个3-圈，而不是点或边的合并。我们的分析在这里说明了一些优点，采用矩阵表示的转置的一组产品。
2015-01-25 math.CO
Burning rooted graph products
University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文证明了所有梳形图满足燃烧数猜想，并确定了其燃烧数的渐进行为，提出了一个显式的贪心算法来解决该问题。
2026-02-27 cs.DS math.CO math.PR
The agreement distance of rooted phylogenetic networks
本文提出最大一致性图来推广最大一致性森林，在有根系统发育网络上定义一致性距离度量，并证明该度量以常数因子界定SNPR等推广操作诱导的距离。
2019-05-20 cs.DM math.CO q-bio.PE
Rooted spanning forests in wheel graphs: Fibonacci-Lucas formulas and extremal root configurations
Okegawa West Junior High School（尾高西初中）；Faculty of Science and Technology, Oita University（大分大学理工学部）
本文研究轮图中的根生成森林，给出基于Fibonacci和Lucas数的计数公式，并解决根配置的极值问题。
2026-09-25 math.CO
Limit of normalized quadrangulations: The Brownian map
考虑$q_n$是在具有$n$面的点四边形中同等可能地选择的随机点四边形。本文证明了当$n$到$+\infty$时，适当正规化的$q_n$在一定意义下弱收敛到一个连续紧的随机极限对象，我们称之为布朗映射.对于有根四边形的模型和具有随机边长的有根四边形的一些模型，也显示了相同的结果。一个度量空间的根（或指向的）抽象映射，其包含离散有根（或点）四边形，并定义了布朗映射的模型。弱收敛在这些度量空间中成立。
2007-02-28 math.CO math.PR
On the determinant of the $Q$-walk matrix of rooted product with a path
本文研究根积图与路径的Q-游走矩阵行列式，证明了det W_Q(G∘P_m)与det Q(G)、det W_Q(G)之间的精确公式，并给出无符号拉普拉斯版本的对应恒等式，同时提出统一两类行列式等式的猜想。
2023-09-03 math.CO
Double shuffle relations for arborified zeta values
利用有根树的泛性质，将树化zeta值定义为迭代级数和积分。这种方法可以研究它们的收敛域，并将它们与multizeta值相关联。定义并研究了stuffle和shuffle乘积到有根树的推广。进一步证明了树上的树化zeta值是这些新乘积的代数态射。
2019-10-18 math.CO math.NT
Total positivity of some polynomial matrices that enumerate labeled trees and forests, I. Forests of rooted labeled trees
本文研究了枚举有根带标号树森林的生成多项式矩阵，证明了其系数全正性与Hankel全正性，并推广至通用有根森林多项式，利用生产矩阵和指数Riordan数组完成证明。
2022-03-08 math.CA math.CO
Monoid algebras and graph products
Montanuniversität Leoben（莱奥本矿业大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；University of Primorska（沿海大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
本文研究了图积中唯一第n次根和取消性质的扩展，利用单调代数和广义幂级数环进行证明。
2025-02-13 math.CO
On the determinant of the walk matrix of the rooted product with a path
本文研究图与路径根积的游走矩阵行列式，给出其在根位置满足互素条件时的精确公式，并据此构造一族由广义谱确定的图。
2025-03-15 math.CO
The Narayana transformation
Dalian University of Technology（大连理工大学）
本文定义Narayana多项式并证明其诱导的基变换保持实根性，通过多项式矩形加法卷积证明，并应用于下三角矩阵乘积的行生成函数，恢复经典三角矩阵的实根性。
2026-07-03 math.CO
Compatible associative products and trees
Dublin Institute for Advanced Studies（都柏林高等研究院）
研究自由代数中两个兼容结合积的分级组件维度，并通过平面根树解释这些代数结构。
2008-12-09 math.CO math.RA
Enumeration of connected Catalan objects by type
非交叉集合划分、非嵌套集合划分、戴克路径和有根平面树是四类带有类型概念的加泰罗尼亚对象。存在一个乘积公式，它根据类型枚举这些对象。我们定义了一个概念，这些对象的“连通性”，并证明了一个类似的产品公式，计数连接对象的类型。这个乘积公式的证明是组合的和双射的。我们扩展到一个产品的公式，计算对象与一个固定的类型和数量的连接组件。我们把我们的乘积公式与由停车函数产生的对称函数联系起来。最后，我们提出了另一种证明我们的产品公式传达给我们的基督教Krattenthaler使用生成函数和拉格朗日反演。
2010-05-14 math.CO
Computing the metric dimension of a graph from primary subgraphs
设$G$是一个连通图.给定有序集$W = \{w_1, w_2,\dots w_k\}\subseteq V(G)$和顶点$u\in V(G)$，$u$相对于$W$的表示是有序$k$元组$(d(u,w_1), d(u,w_2),\dots,$ $d(u,w_k))$，其中$d(u,w_i)$表示$u$和$w_i$之间的距离.如果$G$的每两个不同的顶点具有不同的表示，则集合$W$是$G$的度量生成器。最小基数度量生成器称为$G$的\emph{metric basis}，其基数称为G的\emph{metric dimension}。图的度量维数是一个NP难问题。本文给出了割点图的度量维数的封闭公式。主要结果被应用到具体的建设，包括根产品图，冠产品图，块图和链的图。
2015-02-10 math.CO
Computing the local metric dimension of a graph from the local metric dimension of primary subgraphs
对于顶点的有序子集$W = \{w_1, w_2,\dots w_k\}$和连通图$G$中的顶点$u$，$u$关于$W$的表示是有序$k$元组$ r(u|W)=(d(v,w_1), d(v,w_2),\dots,$ $d(v,w_k))$，其中$d(x,y)$表示顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的每两个相邻顶点具有不同的表示，则集合$W$是$G$的局部度量生成器。最小局部度量生成元称为$G$的\emph{local metric basis}，其基数为G的\emph{local metric dimension}。我们表明，计算的局部度量维数的图与割顶点减少到所谓的主子图的局部度量维数的计算。主要结果被应用到具体的建设，包括花束的图，根积图，冠积图，块图和链的图。
2014-02-02 math.CO
An infinite family of minimally nonperfectly divisible graphs with a bisimplicial vertex
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
反驳Hoàng关于极小非完全可分图不能含双单纯顶点的猜想，构造反例图，基于带根图用强制机制，其无完美划分但真诱导子图可分，还对Hu、Xu和Zhuang的规定顶点问题给出否定回答。
2026-08-05 math.CO
Minimum length word-representants of graph products
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文研究了图积的最短词代表词问题，通过形态和基于发生次数的函数方法，解决了构造任意词可表示图笛卡尔积词的问题。
2024-02-27 cs.DM math.CO
Coplanarity of rooted spanning-tree vectors
本文运用树拼接技术证明了加权有向图上有根生成树乘积的“删除-压缩”公式，揭示了有根生成树向量的共面性，并据此给出了 Markov 链稳态电流互易线性关系的替代推导。
2024-07-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
(Open) packing number of some graph products
本文研究图乘积的打包数与开打包数，针对字典序和根乘积给出完整解，并为笛卡尔、强及直接乘积提供上下界。
2020-08-11 math.CO
On the spanning trees of the hypercube and other products of graphs
给出了$n$维超立方体生成树个数的一个优美乘积公式的两个组合证明。第一个证明是基于这样的断言，即如果选择超立方体的均匀随机根生成树，并且从父到子定向每个边，则超立方体的平行边得到彼此独立的方向。这种独立性实际上在更一般的背景下成立，并具有有趣的后果。第二个证明使用了一些“杀对合”，以确定乘积公式中的因子。导出了对角边增广的$n$维超立方体的生成树的计数公式，并根据每种类型的边数进行计数。我们还讨论了更一般的公式，得到使用矩阵树的方法，笛卡儿积的完全图的生成树的数量。
2012-07-12 math.CO
Some non-sign-symmetric signed graphs with symmetric spectrum
利用带号图的NEPS和根积构造了无限多个具有对称谱的带号图。我们还提出了一个方法来构造大的共谱符号图。虽然所得到的图族只包含少数的符号图，但它加强了对称谱的符号图比二部图，即对称谱的无符号图更深的观点.
2019-09-15 math.CO
The general position problem and strong resolving graph
连通图$G$的一般位置数${\rm gp}(G)$是最大顶点集$S$的基数，使得没有三个来自$S$的成对不同顶点位于公共测地线上。证明了${\rm gp}(G)\ge ω(G_{\rm SR}$是强可分解图，${\rm gp}(G)\ge ω(G_{\rm SR}$是$G$的团数，其中$G_{\rm SR}$是强可分解图，$ω(G_{\rm SR})$是团数.边界是尖锐的证明了许多建设，包括例如直接产品的完整的图形和不同的家庭的强产品，广义字典产品，根产品图。对于强积，证明了$gp(G\boxtimes H) \ge gp(G)gp(H)$，并对任意连通图$G$和$H$的等式是否成立提出了疑问.证明了对于具有完全因子的强积、完全二部图的强积以及某些强圆柱，这个结果是肯定的。
2019-06-03 math.CO
Distinguishing threshold for some graph operations
图$G$的一个顶点染色是可区别的，如果非单位自同构不保持它，可区别数$D(G)$是这样一个染色所需的最小颜色数，可区别阈值$θ(G)$是使得任意$k$ -染色是可区别的最小颜色数~ $k$.此外，$Φ_k (G)$是最多使用$k$颜色的$G$的区别着色数。本文利用$Φ_k (G)$给出了图的顶点和、根积、冠积、字典积等运算的可区分数和阈值的计算公式。
2022-12-16 math.CO
The Forest Metrics for Graph Vertices
我们提出了一种新的图度量，并研究了它的性质。与连通图中的标准距离不同，它考虑了顶点之间的所有路径。形式上，它被定义为d（i，j）= q_{ii} + q_{jj}-q_{ij}-q_{ji}，其中q_{ij}是{\em相对森林可达性矩阵} Q（ε）=（I + ε L）^{-1}的（i，j）-项，L是（加权）（多）图的拉普拉斯矩阵，ε是正参数。根据矩阵森林定理，图的相对森林可达性矩阵的（i，j）项提供了特定数量的生成根森林，使得i和j属于根在i的同一棵树。非常简单的公式表示修改的建议距离下的基本图形变换。我们给出了一个拓扑的解释d（i，j）的概率不成功的链接i和j的随机链接的模型。该度量的性质与其他一些图度量的性质进行了比较。该度量的应用与诸如"中心划分"的聚类过程有关。在另一个过程中，相对森林可达性和相应的距离用于选择聚类的中心并将聚类分配给每个非中心顶点。提出了两个顶点之间的连接的累积权重的概念。推理涉及到一个互惠原则的加权多重图。建立了电阻距离与森林距离之间的联系。
2011-04-28 cs.NI math.CO math.MG
Spanning Forests and the Golden Ratio
对于图G，设f_{ij}是其中顶点j属于根在i的树的生成根森林的数目。在本文中，我们证明了对于一条路，f_{ij}可以表示为斐波那契数的乘积;对于一个圈，它们是斐波那契数和卢卡斯数的乘积。{ \em双随机图矩阵}是矩阵F=（f_{ij}）/f，其中f是G的生成根森林的总数，n是G的顶点数. F为图的顶点提供了一个邻近度量。根据矩阵森林定理，F^{-1}=I+L，其中L是G的Laplacian矩阵.我们证明，对于路径和所谓的T-毛虫，F的一些对角项（它提供了顶点自连通性的度量）收敛到<$^{-1}或1-<$^{-1}，其中<$^是黄金比例，因为顶点的数量趋于无穷大。因此，在渐近中，对应的顶点可以分别被隐喻地认为是“黄金内向者”和“黄金外向者”。这一比喻通过双随机图矩阵的马尔可夫链解释得到加强，根据该解释，F等于G上具有随机数步的随机游动的总转移阵。
2007-09-09 math.CO math.RA
Total positivity of some polynomial matrices that enumerate labeled trees and forests. II. Rooted labeled trees and partial functional digraphs
本文研究了元素为 $t_{n,k} = \binom{n}{k} n^{n-k}$ 的下三角矩阵的组合模型，证明其全正性及行生成多项式序列的 Hankel 全正性，并利用生产矩阵与指数 Riordan 阵将其推广至无穷多不定元的多项式。
2024-04-23 math.CA math.CO
Conditionally monotone independence and the associated products of graphs
我们减少了条件单调（c-单调）的独立长谷部张量的独立性。为此，我们使用的方法开发的布尔，自由和单调的独立性，张量独立性的减少。应用c-单调随机变量的张量积实现，引入了双根图的c-梳（圈）积，它是有根图梳（圈）积的推广，并证明了它与分布的c-单调加（乘）广义函数卷积有关.
2020-04-02 math.CO math.OA math.PR
Large, lengthy graphs look locally like lines
我们应用幺模随机有根图的理论来研究大的、有限的、有界度的图的度量几何，这些图的直径与它们的体积成正比。我们证明了，对于这样的图的顶点的正比例，存在一个介观尺度上的图看起来像$\mathbb{R}$在这个意义上，重新标度的球是接近的线段在Gromov-Hausdorff度量。
2020-11-08 math.CO math.MG math.PR
On some components of $L(ρ)\otimes L(ρ)$ associated with rooted trees for symmetrizable Kac-Moody algebras
NISER（新印度理工学院）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国立大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu Sorbonne Université（索邦大学儒勒·让数学研究所）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究对称化Kac-Moody代数中张量积$L(\rho)\otimes L(\rho)$的分量，通过Dynkin子图$I$的根顶点选择构造新的$\rho$-占优元素，给出新分量族。
2026-08-19 math.CO math.RT
Matrix Energy as a Measure of Topological Complexity of a Graph
高度互联系统的复杂性源于其连接结构所定义的交织架构。在本文中，我们开发的矩阵能量的底层连接结构的拓扑复杂性和突出的解释，底层系统的连接模式的某些全球功能的措施。建议的复杂性度量满足Weyuker标准作为衡量其有效性作为一个正式的复杂性度量。在图的密度空间中引入了P点的概念。P点作为有限大小图的多个连通性区域之间的边界。
2016-08-16 cs.SI math.CO physics.soc-ph
