How do future expectations affect the financial sector? Expectations modeling, infinite horizon (controlled) random FBSDEs and stochastic viscosity solutions
本文研究了一类无穷时域完全耦合正倒向随机微分方程（FBSDEs），该方程由各种具有随机系数的连续时间未来期望模型所激励.在标准Lipschitz条件和单调性条件下，利用压缩映射原理，建立了适应解的存在性、唯一性、比较性和对参数的依赖性.通过推广著名的四步格式，进一步联系无穷水平拟线性倒向随机偏微分方程（BSPDE），我们得到了平稳随机黏性解的概念.一个随机最大值原理的最优控制问题的FBSDES也提供了作为一个应用程序到这个框架。
2016-09-27 math.PR
On a class of exponential changes of measure for stochastic PDEs
本文针对半线性随机偏微分方程，基于无穷小生成元定义指数测度变换，推导Girsanov型条件，证明过程满足带漂移的新SPDE，并推广扩散桥与引导过程至无限维。
2025-02-27 math.PR
Hölder regularity for stochastic processes with bounded and measurable increments
我们得到了一个渐近的Hölder估计的期望的一个相当一般的一类离散随机过程。这样的期望也可以被描述为动态规划原理的解或离散化偏微分方程的解。结果，这也是广义的函数满足Pucci型不等式的离散极值算子，是一个对应的Krylov-Safonov正则性结果偏微分方程。但是，与PDE设置相比，离散步长$\varepsilon$具有某些关键影响。证明结合了分析和概率的论点。
2022-11-18 math.AP math.PR
Mean-Field Stochastic PDEs: Well-posedness and Quantitative Dimension-Free Propagation of Chaos
School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）；School of Statistics and Data Science, Nankai University（南开大学统计与数据科学学院）
研究涉及伪单调核的平均场随机偏微分方程，通过引入依赖测度的伪单调算子研究其适定性，在p - 一致凸Banach空间建立定量无维混沌传播并获接近最优收敛速率，揭示平均场极限收敛速率与解空间几何的关系，还应用于相关粒子系统。
2026-07-21 math.PR
A Martingale Approach for Fractional Brownian Motions and Related Path Dependent PDEs
本文研究了动态后向问题，以计算条件期望为主要目标，在（前向）状态过程满足Volterra型方程的框架下，以分数阶布朗运动为典型例子.这些过程既不是马尔可夫过程，也不是半鞅，最值得注意的是，它们具有一定的时间不一致性，这使得任何直接应用马尔可夫思想，如流性质，不可能不通过路径依赖框架。我们的主要结果是一个功能伊藤公式，扩展了Dupire \cite{Dupire}的开创性工作，我们更一般的框架。特别地，与在\cite{Dupire}中只需要考虑停止的路径不同，这里我们需要将直到当前时间的观察路径与从未来路径的分布导出的某个平滑的可观察曲线连接起来。这一新的特征是由于本文所涉及的时间不一致性。然后，我们推导出路径依赖的偏微分方程的向后问题。最后给出了在具有粗糙波动率的金融市场中期权定价的一个应用。
2018-10-06 math.PR
G-Expectation Weighted Sobolev Spaces, Backward SDE and Path Dependent PDE
引入了G-期望加权索伯列夫空间的概念，即G-索伯列夫空间，证明了在G-范数下，由G-布朗运动驱动的后向偏微分方程在相应的索伯列夫空间中是路径依赖的偏微分方程.对于经典Wiener概率空间与Wiener测度P对应的线性情形，我们建立了Bescher-Schiff与相应的P-索伯列夫空间中的这类新的拟线性偏微分方程的1-1对应.当G是非线性的时，我们也给出了相应的G-索伯列夫空间中的完全非线性偏微分方程与G-布朗驱动的Bronze之间的1-1对应关系.因此，利用最近关于G-布朗运动驱动下的布朗运动的结果，得到了索伯列夫空间中这类完全非线性路径相关偏微分方程解的存在唯一性.
2014-03-18 math.PR
Path-dependent equations and viscosity solutions in infinite dimension
路径依赖偏微分方程（PPDE）是研究非马尔可夫模型的自然对象。最近，在引入所谓的路径（或泛函或Dupire）演算（见[15]）之后，在有限维底层空间的情况下，各种论文都致力于研究这类方程的适定性，无论是从正则解（见例如[15，9]）还是从黏性解（见例如[16]）的角度。在本文中，我们基于对路径依赖随机偏微分方程驱动模型的研究，给出了当底层空间是可分希尔伯特空间时，PPDE的黏性解的第一个适定性结果.我们还观察到，与有限维的情况下，我们的适定性结果，即使在马尔可夫的情况下，适用于方程不能处理，到目前为止，与已知的理论的黏性解。
2017-03-06 math.PR
Paracontrolled calculus for quasilinear singular PDEs
在这项工作中，我们进一步发展的高阶paracontrolled微积分设置处理的分析部分的研究拟线性奇异偏微分方程。为此目的，一些运营商的连续性结果证明。与Gerencser和Hairer，Otto，Sauer，Smith和Weber，或Furlan和Gubinelli对二维拟线性抛物型Anderson模型方程的研究的正则结构方法不同，我们不使用参数化的模型族或paraproducts来设置场景。相反，我们使用我们在这里介绍的无限维次控制结构。
2019-12-19 math.AP math.PR
Deep Hilbert--Galerkin Methods for Infinite-Dimensional PDEs and Optimal Control
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin（柏林技术大学数学研究所）
本文提出基于深度学习的近似方法，用于分离希尔伯特空间上的非线性二阶偏微分方程，如无限维控制的HJB方程，通过参数化解的希尔伯特-伽辽金神经算子（HGNOs）证明了新的通用逼近定理，解决了相关问题。
2026-03-19 cs.LG cs.NA math.AP
An overview of Viscosity Solutions of Path-Dependent PDEs
本文综述了最近发展起来的路径依赖型偏微分方程的黏性解概念。我们首先快速回顾了Crandall-Ishii概念的黏性解，以激励我们的定义在路径依赖的情况下的相关性。我们专注于这类方程的适定性理论。特别是，我们提供了一个简单的介绍目前的存在性和唯一性的论点在半线性的情况下。我们还回顾了这一概念的解决方案的稳定性，包括适应的Barles-Souganstonian单调计划近似方法。我们的结果依赖于非线性期望下的最优停止理论。在支配的情况下，我们提供了一个自包含的所有要求的结果。完全非线性的情况更复杂，在[12]中讨论。
2014-08-22 math.AP math.PR
An Introduction to Stochastic PDEs
本文基于系列讲座介绍随机偏微分方程基本理论，以测度论、泛函分析和概率论为基础，重点探讨由加性噪声驱动的半线性抛物型问题，将其视为无限维空间中的随机发展方程以简化随机积分问题。
2023-07-03 math.AP math.PR
Hypoellipticity in Infinite Dimensions
我们考虑加性噪声驱动的半线性抛物随机偏微分方程。本文讨论的问题是转移概率的规律性。如果方程满足Hormander“括号条件”，则解的任何有限维投影关于勒贝格测度具有光滑密度。一个关键因素的论点是一个绑定的“维纳多项式”，发挥了类似诺里斯引理的作用。
2009-10-02 math.AP math.PR
Gibbs measures as unique KMS equilibrium states of nonlinear Hamiltonian PDEs
经典Kubo-Martin-Schwinger（KMS）条件是统计力学的一个基本性质，用来描述无限大经典力学系统的平衡态。它是由G. Gallavotti和E. Verboven作为Dobrushin-Lanford-Ruelle（DLR）方程的替代。在这篇文章中，我们考虑这个概念的框架内的非线性哈密顿偏微分方程，并讨论其相关性。特别地，我们证明了Gibbs测度是这类系统唯一的KMS平衡态。我们的证明是基于Malliavin演算和Gross-索伯列夫空间。我们的工作的主要特点是我们的结果的白噪声，抽象的维纳空间和高斯概率空间的一般情况下，以及基本的例子，如非线性薛定谔，哈特里，和波（克莱因-戈登）方程的偏微分方程的适用性。
2021-02-24 math-ph math.AP math.DS
Neural Q-learning for solving PDEs
University of Oxford（牛津大学）
提出基于强化学习 Q-learning 的无网格 Q-PDE 算法求解椭圆型偏微分方程，利用神经正切核方法证明了其神经网络逼近器在宽网络极限下收敛于无穷维 ODE 轨迹，并最终在 $L^2$ 中收敛到 PDE 解。
2023-06-25 cs.LG cs.NA math.AP
Uniqueness for a class of one-dimensional stochastic PDEs using moment duality
对于Z^d（d >> 6）上的独立最近邻键渗流，我们证明了初始无限集团的两点函数和三点函数在标度极限下收敛于积分超布朗漂移（ISE）的两点函数和三点函数.证明是基于在以前的文件中导出的渗流的新的扩展，并涉及治疗磁场作为一个复变数。我们的结果对于两个点函数的一个特殊情况意味着，在临界点处，原点的簇由n个位点组成的概率由n^{-3/2}的倍数加上n{-3/2-ε}阶的误差项（ε> 0）给出。这是一个强有力的声明，临界指数δ由δ= 2给出。
1999-03-28 math-ph math.MP math.PR
Machine learning approximation algorithms for high-dimensional fully nonlinear partial differential equations and second-order backward stochastic differential equations
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Beijing Institute of Big Data Research（北京大数据研究院）；Princeton University（普林斯顿大学）；Peking University（北京大学）
本文提出了一种基于机器学习的高维非线性二阶偏微分方程的求解方法，通过将非线性偏微分方程与二阶反向随机微分方程联系起来，并利用深度神经网络进行空间近似和随机梯度下降优化，展示了该方法在高维Black-Scholes-Barenblatt方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程和非线性期望问题中的高效性和准确性。
2017-09-18 cs.LG cs.NA cs.NE
Nonlinear Monte Carlo methods with polynomial runtime for high-dimensional iterated nested expectations
迭代嵌套期望的近似计算是应用中经常遇到的难题。例如，嵌套期望出现在后向随机微分方程（BSDEs）解的数值逼近中，出现在半线性抛物偏微分方程（PDE）解的数值逼近中，出现在统计物理学中，出现在最优停止问题（如美式或丹麦期权的近似定价）中，出现在数学金融学中的风险度量估计中，或出现在不确定性下的决策中。在上述应用中出现的嵌套期望通常由大量的嵌套组成。然而，标准的嵌套蒙特卡罗近似迭代嵌套期望的计算工作量呈指数增长的嵌套的数量，它仍然是一个悬而未决的问题，是否有可能近似计算乘法迭代高维嵌套期望在多项式时间。在这篇文章中，我们解决这个问题，提出并研究了一类新的全历史递归多层皮卡德（MLP）迭代嵌套期望近似计划。特别是，我们证明在适当的假设下，这些MLP近似方案可以近似计算多重迭代嵌套的期望与计算工作量增长最多项式的嵌套数量$ K \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \} $，在问题的尺寸$ d \in \mathbb{N} $，并在所需的近似精度$ \varepsilon \in (0, \infty) $的倒数$\frac{1}{\varepsilon}$。
2020-09-29 cs.CC cs.NA math.NA
