$ϕ$-FEM: an efficient simulation tool using simple meshes for problems in structure mechanics and heat transfer
计算力学中的一个主要问题是考虑几何复杂性。为了克服这一困难并避免昂贵的网格生成，几何非拟合方法，即使用不拟合域边界和/或内部界面的简单计算网格的数值方法，已被广泛开发。在目前的工作中，我们调查的性能称为$ϕ$ -FEM，收敛最佳，并使用经典的有限元空间，使它可以很容易地实现使用通用有限元库的不适合的方法。其主要思想是考虑到几何形状由于一个水平集函数描述的边界或接口。到目前为止，$ϕ$ -FEM方法已经被提出，测试和数学证明，只有在一些最简单的设置：泊松方程与Dirichlet/Neumann/Robin边界条件。我们的目标是证明它的适用性，在计算力学中产生的一些更复杂的控制方程。我们考虑的线性弹性方程伴随着无论是纯Dirichlet边界条件或混合的（Dirichlet和Neumann边界条件共存的部分边界），界面问题（线性弹性材料系数突然改变的内部接口），模型的弹性结构裂纹，最后的热方程。在所有这些设置中，我们推导出一个适当的变体的$ϕ$ -FEM，然后说明它的数值试验制造的解决方案。我们还比较了$ϕ$ -FEM的精度和效率与标准拟合的有限元在类似大小的网格，揭示了大量的收益，可以实现由$ϕ$ -FEM的精度和计算时间。
2021-10-11 cs.NA math.NA
On $p$-robust convergence and optimality of adaptive FEM driven by equilibrated-flux estimators
Inria（法国国家数字与工程科学研究所）；Univ. Lille（里尔大学）；Laboratoire Paul Painlevé（保罗·庞加莱实验室）；Inria Paris（法国国家数字与工程科学研究所巴黎分部）；Institute for Numerical Simulation, University of Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；University of Twente（特文特大学）；Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
本文提出了一种固定多项式次数的 $h$-自适应算法，证明其在满足特定准则时具有 $p$-稳健的最优收敛性。
2026-09-11 cs.NA math.NA
On a mixed FEM and a FOSLS with $H^{-1}$ loads
本研究针对带$H^{-1}$荷载的泊松问题，提出用正则化替换荷载，结合mixed FEM与FOSLS，证明了相关投影算子的性质及改进方法的收敛速率，通过数值算例验证结果。
2026-10-30 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of hp FEM for the Integral Fractional Laplacian in Polygons
本文证明了在二维有界多边形域中，满足齐次Dirichlet边界条件的积分分数阶扩散算子的hp有限元离散化在能量范数下具有指数收敛性，其关键依赖于加权解析正则性与各向异性几何细化网格。
2022-09-23 cs.NA math.NA
Direct guaranteed lower eigenvalue bounds with optimal a priori convergence rates for the bi-Laplacian
超稳定Morley有限元方法（FEM）直接计算双Laplace Dirichlet特征值的具有最优先验收敛速度的保证特征值下界。$2$ D中的小性假设$\min\{λ_h,λ\}h_{\max}^{4}$ $\le 184.9570$（分别为$3$中的$\le 21.2912$ D）关于最大网格大小$h_{\max}$使计算出的第$k$个离散本征值$λ_h\le λ$成为第$k$个狄利克雷本征值$λ$的本征值下界。这适用于多个和集群的特征值，并服务于本地化的双拉普拉斯Dirichlet特征值，特别是粗网格。分析需要插值误差估计的Morley有限元显式常数在任何空间维度$n\ge 2$，这是独立的利益。$3$ D中的收敛性分析遵循Babuška-Osborn理论，并依赖于Morley有限元方法的伴随算子。这是基于Hsieh-Clough-Tocher宏单元的Worsey-Farin $3$ D版本，在将每个四面体进一步分解为$12$子四面体中仔细选择中心点。在$2$ D中的数值实验支持超稳定Morley有限元的最佳收敛速度，并提出了一种具有最佳经验收敛速度的自适应算法。
2022-03-07 cs.NA math.NA
FFT-accelerated computation of the Dirichlet-to-Neumann map for inhomogeneous exterior Helmholtz problems using the method of fundamental solutions
Showa Pharmaceutical University（昭和药科大学）
本文提出一种高效方法，利用基底解法和快速傅里叶变换计算外部亥姆霍兹问题的狄里赫利到奈曼映射，将无限域问题转化为有限域问题并用有限元法求解。
2026-10-14 cs.NA math.NA
The effect of numerical integration in the FEM for elliptic problems with mixed boundary conditions
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
研究使用p阶多项式形函数的有限元法求解混合Dirichlet和Robin边界条件椭圆问题时，体积和面积积分数值积分精度对收敛性的影响，给出了保持最优H^1和L^2收敛所需的代数精度条件，并通过例子证明L^2误差结果的尖锐性。
2026-06-16 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$-FEM for the Integral Fractional Laplacian on cuboids
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文研究了积分分数拉普拉斯算子在立方体上的$hp$-FEM收敛性，证明了在特定条件下误差界与自由度的六次根呈指数关系，并通过数值实验验证了该结论。
2026-03-13 cs.NA math.NA
Sharp preasymptotic error bounds for the Helmholtz $h$-FEM
本文针对变系数 Helmholtz 方程在多种障碍物和辐射条件下的 $h$-FEM，通过推广椭圆投影论证，首次证明了 $p>1$ 时预渐近区域中的自然误差界。
2024-09-04 cs.NA math.NA
Adaptive FEM for Helmholtz Equation with Large Wave Number
本文给出了大波数Helmholtz方程线性有限元法的后验上、下界。严格证明了标准残差型误差估计严重低估了有限元解的真实误差，网格步长$h$在预渐近制度，这是第一次观察到Babuška，等。一维问题。通过建立有限元解的误差估计与精确解的椭圆投影之间的等价关系，提出了一种自适应算法，并在$k^3h_0^{1+\al}$充分小的条件下证明了该算法的收敛性和拟最优性，其中$h_0$为初始网格步长，$\frac12<\al\le 1$为依赖于区域最大凹角的正则常数.数值试验验证了理论结果，并表明适当选择罚参数的自适应连续内点罚有限元法（CIP-FEM）可以大大减小污染误差，因此CIP-FEM的残差型误差估计即使在前渐近区域也是可靠和有效的.
2021-10-19 cs.NA math.NA
Convergence and optimality of higher-order adaptive finite element methods for eigenvalue clusters
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文研究高阶自适应有限元方法在特征值簇中的收敛性与最优性，证明了标准自适应有限元方法在任意多项式次数下能以最优速率收敛，并表明批量标记参数可独立于目标特征值簇性质选择。
2016-05-26 cs.NA math.NA
Discrete Empirical Interpolation and unfitted mesh FEMs: application in PDE-constrained optimization
在这项工作中，我们调查的性能CutFEM作为一个高保真度的求解器，以及我们构建一个称职的和经济的降阶求解器的PDE约束最优化问题参数化域，生活在一个固定的背景几何形状和网格。它的有效性和可靠性将通过其应用程序的二次最优化问题的数值解与椭圆型方程作为约束条件，检查一个典型的情况下进行评估。降阶策略将通过合适的FE快照的适当正交分解，使用聚合状态和伴随测试空间，而离线-在线解耦的效率将通过最优性系统矩阵和右侧的离散经验插值来确保，从而使每个新的空间配置的降阶模型的快速分辨率成为可能。
2022-04-08 cs.NA math.NA
Optimal adaptivity for non-symmetric FEM/BEM coupling
The University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文提出一个框架，证明非对称Johnson-Nedelec有限元/边界元耦合的通用准正交性，通过与无限矩阵LU分解的新联系，证明标准自适应算法具有最优收敛率。
2017-10-17 cs.NA math.NA
Optimality and resonances in a class of compact finite difference schemes of high order
本文研究了一维齐次Dirichlet问题的高阶紧凑有限差分近似，设计了大类高阶方案并赋予其代数结构，通过Padé近似理论和迪奥菲内近似理论证明了方案的收敛性及一致性阶的收敛速率。
2017-10-09 cs.NA math.NA
FEM-DtN-SIM Method for Computing Resonances of Schrödinger Operators
针对薛定谔算子共振计算在一维以上因非线性和无界域导致结果稀缺的问题，提出整合有限元、DtN映射和谱指标法的FEM-DtN-SIM方法，通过数值例子验证了其可行性。
2025-04-16 cs.NA math.NA
On optimal $L^2$- and surface flux convergence in FEM (extended version)
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文研究了有限元方法在准均匀网格上实现最优 $L^2$- 收敛的条件，指出在某些 $s_0 > 1/2$ 下，边界值问题需满足映射性质，同时分析了无凸域假设下边界法向导数的近似问题。
2015-02-25 cs.NA math.NA
Phi-FEM-FNO: a new approach to train a Neural Operator as a fast PDE solver for variable geometries
本文提出 Phi-FEM-FNO 方法，结合 Phi-FEM 与 Fourier Neural Operator 求解变几何域上的偏微分方程，并在 Poisson-Dirichlet 与非线性弹性方程等测试中验证了其高效性。
2025-02-14 cs.NA math.NA
FEM for 1D-problems involving the logarithmic Laplacian: error estimates and numerical implementation
针对含对数拉普拉斯算子的一维Dirichlet问题，开展有限元法数值分析，证明严格误差估计与对数阶收敛性，给出刚度矩阵求解方式并探究离散特征值问题收敛性。
2025-05-19 cs.NA math.AP math.NA
High order ghost-FEM for incompressible Navier-Stokes equations on moving domains
本文提出一种高阶鬼有限元方法，用于模拟移动边界下的不可压缩流体，通过水平集函数预设物体运动，结合IMEX方案和Shifted Boundary Method提高计算精度和稳定性。
2026-03-20 cs.NA math.NA
A variational approach to the analysis of the continuous space-time FEM for the wave equation
University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；IMATI-CNR “E. Magenes”（CNR“E.马盖斯”数学与应用研究所）
本文利用变分方法分析波动方程哈密顿形式的连续时空有限元法，证明无网格和时间步长限制的稳定性，并推导拟最优先验误差估计及可靠后验误差估计。
2025-07-17 cs.NA math.NA
On 2D Newest Vertex Bisection: Optimality of Mesh-Closure and H1-Stability of L2-Projection
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本文证明了二维最新顶点二分法（NVB）的网格闭合步骤是准最优的，且相应的L2投影到最低阶Courant有限元（P1-FEM）总是H1稳定的，无需对初始三角剖分施加额外假设。
2012-10-01 cs.NA math.NA
Simultaneous quasi-optimal convergence in FEM-BEM coupling
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文研究了FEM-BEM耦合中准最优收敛问题，通过积分方程和有限元方法分析，证明了在H^{-1/2}(Γ)范数下，流变量的收敛率为O(h^{k+1/2})。
2015-02-25 cs.NA math.NA
Optimal complexity of goal-oriented adaptive FEM for nonsymmetric linear elliptic PDEs
本文针对非对称线性椭圆型PDE提出GOAISFEM算法，通过嵌套收缩对称化与代数求解实现完全线性收敛与最优复杂度。
2024-07-08 cs.NA math.NA
Error estimates for a semidiscrete finite element method for fractional order parabolic equations
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
针对时间分数阶扩散方程，采用分段线性函数的Galerkin FEM和集中质量Galerkin FEM两种半离散逼近格式，建立了关于解正则性的最优误差估计，包括非光滑初始数据情形。
2012-04-17 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of an Adaptive Nonconforming FEM for Phase-Field Dependent Topology Optimization in Stokes Flow
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；East China Normal University（华东师范大学）；Shanghai Normal University（上海师范大学）
本文提出一种自适应非符合有限元算法，用于相场参数化拓扑优化的数值近似，通过线性符合有限元空间近似相场，非符合线性有限元（Crouzeix-Raviart元素）和分段常数近似速度场和压力场，建立自适应方法的收敛性，依赖于非符合线性有限元在自适应生成网格上的新离散紧致性结果。
2025-05-19 cs.NA math.NA math.OC
Enforcing Neumann Boundary Conditions with Polynomial Extension Operators to Acheive Optimal Convergence Rates on Polytopial Meshes in the Finite Element Method
在\cite{cheung2019optimally}中，作者提出了两种在多面体网格上以最佳精度逼近二阶边值问题的有限元法，而不必利用曲线映射。这是通过明智地选择多项式扩展算子来强制边界条件来完成的。证明了$H^1$误差估计对于Dirichlet和Neumann边值问题的解都是最优的.证明了狄利克雷问题逼近在$L^2$中是最优收敛的.然而，在$L^2$规范的诺依曼近似的最优性被留下作为一个开放的问题。在这项工作中，我们试图关闭这个问题，提出了新的分析，证明了最佳误差估计的诺依曼近似的$W^1_\infty$和$L^2$规范。
2023-01-10 cs.NA math.NA
A piecewise linear FEM for an optimal control problem of fractional operators: error analysis on curved domains
Universidad Técnica Federico Santa María（智利联邦圣马利亚技术大学）
本文提出并分析了针对分数算子线性二次最优控制问题的新离散化技术，采用分段线性函数和张量积函数在拟均匀网格和各向异性网格上进行数值逼近，推导了Hölder和Sobolev正则性估计及误差分析，验证了在曲域上分数扩散的误差估计。
2016-07-07 cs.NA math.NA math.OC
WINO: A Weak-Form Physics Informed Neural Operator for Hyperelasticity on Variable Domains
School of Science, Harbin Institute of Technology, Shenzhen, P. R. China（哈尔滨工业大学深圳校区）；School of Science, Harbin Institute of Technology, Shenzhen, Guangdong（哈尔滨工业大学深圳校区）；Institute of Structural Mechanics, Bauhaus-Universität Weimar（魏玛 Bauhaus 大学结构力学研究所）
提出一种无数据框架WINO，结合神经算子的效率与φ-有限元法的几何灵活性，通过最小化弱形式残差和惩罚项训练，实现高精度且计算时间减少50-80%。
2026-08-31 cs.LG cs.NA math.NA
A nodal ghost method based on variational formulation and regular square grid for elliptic problems on arbitrary domains in two space dimensions
本文提出一种结合有限元与有限差分优点的节点对称幽灵方法，用于求解任意域上的椭圆问题，并通过数值实验验证了收敛率。
2024-11-08 cs.NA math.AP math.NA
Stabilized Weighted Reduced Order Methods for Parametrized Advection-Dominated Optimal Control Problems governed by Partial Differential Equations with Random Inputs
在ROM框架下研究带随机输入的对流占优最优控制问题，结合SUPG技术与加权POD算法解决高Péclet数下的数值不稳定性与不确定性量化，并对比验证了多种求积与稳定化方法的精度及计算效率。
2024-08-26 cs.NA math.NA
Imaging Anisotropic Conductivities from Current Densities
在本文中，我们提出并分析了一种重建算法成像的各向异性电导率张量的二阶椭圆PDE与非零Dirichlet边界条件从内部电流密度。它是基于一个正则化的输出最小二乘制定与标准的$L^2(Ω)^{d,d}$惩罚，然后离散的标准伽辽金有限元法。我们建立的连续性和可微性的前向映射的电导率张量的$L^p(Ω)^{d,d}$-规范，最小的存在性和最优性系统的正则化制定使用H-收敛的概念。此外，我们提供了一个详细的分析的离散化问题，特别是收敛的离散逼近相对于网格步长，使用离散对应的H-收敛。此外，我们开发了一个投影牛顿算法求解一阶最优性系统。我们提出了广泛的二维数值例子来显示所提出的方法的效率。
2022-03-04 cs.NA math.AP math.NA
Adaptive Reduced Basis Methods for Multiscale Problems and Large-scale PDE-constrained Optimization
本文介绍了模型降阶方法的最新进展，主要目的是为参数化多尺度现象构造在线有效的简化代理模型，并加速大规模PDE约束参数最优化方法。特别是，我们提出了几种不同的自适应RB方法，可用于在一个错误感知的信任区域框架，逐步建设的代理模型在认证的外部优化循环。此外，我们阐述了几个不同的增强信赖域缩减基（TR-RB）算法，并将其推广到参数约束。由于降阶模型的后验误差估计，所得到的算法可以被认为是相对于高保真模型认证。此外，我们使用先优化再离散的方法，以便最大限度地利用问题的底层最优性系统。在本论文的第一部分，理论是基于全球RB技术，使用一个精确的有限元离散作为高保真模型。在第二部分中，我们重点研究了局部模型降阶方法，并针对局部正交分解（LOD）多尺度方法，提出了一种新的在线高效降阶模型。该降阶模型内部基于LOD的双尺度公式，特别是独立于LOD的粗和细离散化。本文的最后一部分致力于结合TR-RB方法和局部RB方法的LOD结果。为此，我们提出了一种算法，使用自适应局部化的减少基础的信赖域局部化的基础（TR-LRB）算法的框架中的方法。TR-RB的基本思想被遵循，但所涉及的系统的有限元评估是完全避免的。
2022-11-17 cs.NA math.NA
Fourth- and higher-order finite element methods for the incompressible Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions
本文基于 GePUP 形式构建线方法高阶有限元求解器，结合 IMEX Runge-Kutta、几何多重网格与自适应网格，实现带 Dirichlet 条件 INSE 的高阶时空精确模拟。
2025-06-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
