A Constant Factor Approximation for Navigating Through Connected Obstacles in the Plane
给定平面上的两个点s和t以及由闭合曲线定义的一组障碍物，连接s和t的路径所接触的最少障碍物数量是多少？这是在计算几何、图论（在名称Min-Color Path和Minimum Label Path下）、无线传感器网络（Barrier Resilience）和运动规划（Minimum Constraint Removal）中自然出现的基本且充分研究的问题。即使对于非常简单形状的障碍，如单位长度的线段，它仍然是NP难的。在本文中，我们给出了该问题的第一常数因子近似算法，解决了[Chan和Kirkpatrick，TCS，2014]和[Bandyapadhyay等人，CGTA，2020年]。我们还获得了一个常数因子近似的最小颜色奖收集施泰纳森林的目标是连接多个请求对（s1，t1），。. .，（sk，tk），同时最小化任何（si，ti）路径所接触的障碍物的数量加上对于保持断开的每对（si，ti）的固定成本wi。这推广了经典的斯坦纳森林和获奖斯坦纳森林问题的平面图，其中复杂的PTASes是已知的。相比之下，即使在平面图上，最小颜色路径也不可能有PTAS，因为已知该问题是APXhard [Eiben和Kanj，TALG，2020]。此外，我们表明，推广的问题，断开的障碍
2020-11-29 cs.CG cs.DM
Computing skeletons for rectilinearly-convex obstacles in the rectilinear plane
我们引入了障碍骨架的概念，这是一组线段内的多边形障碍$ω$，可用于在地方的$ω$进行交叉测试时，避障网络问题的平面。与原始障碍物的边界中的线段的数量相比，骨架可以具有显著更少的线段，并且因此对骨架（而不是原始障碍物）执行相交测试可以显著减少用于计算避障问题的解决方案的算法所需的CPU时间。最小骨架是具有尽可能少的线段数的骨架。我们提供了一个精确的$O(n^2)$算法计算最小骨架的直线障碍物在直线平面是直线凸。我们表明，在一个最小的骨架的边缘的数量通常是非常小的边缘的数量相比，在原始障碍物的边界，通过随机直凸障碍与多达1000个顶点进行实验。
2020-04-09 cs.CG math.OC
Separating Two Points with Obstacles in the Plane: Improved Upper and Lower Bounds
本文研究平面上用带权障碍物分离两点的点分离问题，通过将其归约为特定的最短路径问题提出了适用于所有计算模型的统一方法，改进了几乎所有情况下的运行时间，并给出了多种情况下的细粒度下界。
2025-07-13 cs.CG
Shortest Paths Among Obstacles in the Plane Revisited
给定平面上两两不相交的多边形障碍物，寻找两点间的避障欧氏最短路径是计算几何中的经典问题，并得到了广泛的研究。先前的最佳算法由Hershberger和Suri给出[FOCS 1993，SIAM J. Comput. 1999]并且该算法在$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间中运行，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。该算法是时间最优的，因为$Ω(n\log n)$是一个下界。二十多年来，空间是否可以减少到$O(n)$一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们解决这个问题的解决方案是在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间，这是最佳的时间和空间，我们实现了这一点，通过修改的Hershberger和Suri的算法。像他们原来的算法一样，我们的新算法可以在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间中为源点$s$构建最短路径映射，这样给定任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径的长度可以在$O(\log n)$时间内计算，并且可以在额外的时间内产生与路径的边数成线性的最短路径。
2021-05-29 cs.CG cs.DS
Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane
给定一个点$s$和一组完全$n$顶点的$h$两两不相交的多边形障碍物，我们提出了一个新的算法，用于在$O(T)$时间和O（n）空间中构造大小为O（n）的$L_1$最短路径图，使得对于任何查询点$t$，$L_1$最短障碍物的长度-可以在$O(\log n)$时间内报告从$s$到$t$的回避路径，并且可以在与路径的边的数量成比例的附加时间内找到实际的最短路径，其中$T$是用于对自由空间进行三角测量的时间。目前已知，对于任意小的常数$ε>0$，$T=O(n+h\log^{1+ε}h)$。如果三角测量可以最优地完成（即，$T=O(n+h\log h)$），则我们的算法是最优的。以前，最好的算法在$O(n\log n)$时间和O（n）空间中计算这样的$L_1$最短路径图。我们的技术可以扩展到其他相关问题，例如，为多边形域中的一组点位置计算$L_1$测地Voronoi图，找到具有固定方向的最短路径，找到近似欧几里德最短路径等。
2012-02-26 cs.CG cs.DS
Computing Shortest Paths among Curved Obstacles in the Plane
计算几何中的一个基本问题是计算平面上两点之间的避障欧几里德最短路径。这个问题的多边形障碍的情况下，很好地研究。在本文中，我们考虑的问题版本弯曲的障碍，通常建模为样条。一个样条可以看作是用一个凸的曲线边代替多边形的每一条边（多边形是特殊的样条）。假设每个曲线边的复杂度为O（1）。给定平面上的两个点s和t以及一组$h$两两不相交的样条函数，它们的顶点总数为$n$，我们在$O(n+h\log^{1+ε}h+k)$时间内计算一条避开样条函数的最短s到t路径，其中k是对输入样条函数的结构敏感的参数，其上界为$O(h^2)$。特别地，当所有样条曲线都是凸的时，$k$与样条曲线之间的自由空间中的公共切线（称为“自由公共切线”）的数量成比例。我们开发的技术解决问题的一般（非凸）样条域，这也改善了以前的几个结果。特别是，我们的技术产生一个最佳的输出敏感算法的基本可见性问题的计算所有自由的公共切线之间的$h$成对不相交凸样条曲线与总的$n$顶点。我们的算法运行在$O(n+h\log h+k)$时间和$O(n)$空间，其中$k$是所有自由公共切线的数量。即使对于所有样条曲线都是凸多边形的特殊情况，以前最好的算法也需要$O(n+h^2\log n)$时间。
2015-04-24 cs.CG cs.DS
A Hierarchical Heuristic for Clustered Steiner Trees in the Plane with Obstacles
Graduate School of Advanced Science and Engineering（先进科学与工程研究生院）；Hiroshima University（广岛大学）
针对平面障碍环境中多条互不相交的欧几里得 Steiner 树计算问题，提出嵌入捆绑操作的分层启发式方法，并通过凸与非凸障碍实验验证其可行性与性能。
2024-12-02 cs.AI cs.CG cs.NE
Bounded-Degree Spanners in the Presence of Polygonal Obstacles
设$V$是平面中的有限顶点集，$S$是多边形障碍物的有限集合，其中$S$的顶点在$V$中。我们展示了如何构造一个平面$2$ -图的可见性图的$V$关于$S$。由于这个图可以有无界的度，我们通过三个简单的步骤修改它，以便将度绑定到$7$，代价是将生成比稍微增加到6。
2020-12-22 cs.CG
A New Algorithm for Euclidean Shortest Paths in the Plane
给定平面上一组成对不相交的多边形障碍物，寻找两点之间避障碍的欧几里得最短路径是计算几何中的经典问题，已得到广泛研究。此前，Hershberger和Suri [SIAM J. COMPUT. 1999]给出了$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间的算法，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。最近，通过修改Hershberger和Suri的算法，Wang [SODA 2021]将空间减少到$O(n)$，而算法的运行时间仍然是$O(n\log n)$。本文提出了一种新的$O(n+h\log h)$时间和$O(n)$空间的算法，只要给定自由空间的三角剖分，其中$h$是障碍物的个数。该算法改进了以前的工作时，$h=o(n)$，是最佳的时间和空间的$Ω(n+h\log h)$是运行时的下限。我们的算法建立了一个最短路径映射的源点$s$，使任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径长度可以计算在$O(\log n)$的时间和最短的$s$ - $t$路径可以产生在额外的时间线性的路径的边缘的数量。
2021-02-24 cs.CG cs.DS
Convex obstacle numbers of outerplanar graphs and bipartite permutation graphs
图G的不交凸障碍数是最小数h，使得在平面上存在h个成对不交凸多边形（障碍）和n个点的集合（对应于V（G）），使得顶点对uv是边当且仅当对应的线段uv不遇到任何障碍。我们证明了外平面图的不交凸障碍数总是至多为5，二部置换图的不交凸障碍数总是至多为4。前者回答了阿尔珀特、科赫和莱森提出的一个问题。我们用4的下界补充了外平面图的上界。
2011-09-12 cs.CG cs.DM math.CO
Bicriteria Rectilinear Shortest Paths among Rectilinear Obstacles in the Plane
给定平面上$h$两两不相交的直线障碍物的直线区域$\mathcal{P}$，研究了在$\mathcal{P}$中计算两点$s$和$t$之间的双准则直线最短路问题.考虑了三种类型的双准则直线路径：最小连接最短路径、最短最小连接路径和最小代价路径，其中路径的代价是边数和路径长度的非减函数，还考虑了单点和两点路径查询。这些问题的算法以前已经给出。我们的贡献是三方面的。首先，我们发现一个关键错误，在所有以前的算法。其次，我们以一种不那么微不足道的方式纠正错误。第三，我们进一步改进的算法，使他们甚至比以前的（不正确的）算法时，$h$是相对较小的。例如，对于最小链路最短路径，我们得到以下结果。我们的算法在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内计算最小链路最短$s$ - $t$路径。对于单点查询，我们为源点$s$构建了一个在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内大小为$O(n+ h\log h)$的数据结构，使得给定任何查询点$t$，可以在$O(\log n)$时间内确定最小链路最短$s$ - $t$路径。对于两点查询，通过$O(n+h^2\log^2 h)$时间和空间预处理，可以在$O(\log n+\log^2 h)$时间内为任意两个查询点$s$和$t$确定一条最小链接最短$s$-$t$路径;或者，通过$O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sq…
2017-06-23 cs.CG cs.DS
Two-point Approximate Shortest Path Queries among Convex Polygonal Obstacles in the Plane
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
针对平面含h个凸多边形障碍物、总顶点数n的多边形域，提出预处理算法生成数据结构，可快速查询两点间满足(1+ε)乘性与13ℓ加性伸展的近似最短路径。
2026-08-11 cs.CG
Visibility Polygons and Visibility Graphs among Dynamic Polygonal Obstacles in the Plane
我们设计了一个算法，用于维护动态多边形域中任何查询点的可见性多边形，即，当多边形域被修改为具有对其障碍物的顶点插入和删除时，我们更新存储查询点的可见多边形的数据结构。在对初始输入多边形域进行预处理以构建一些数据结构之后，我们的算法需要O（k（\lg{|VP_{\cal P'}(q)|}）+（\lg{n'}）^{2}+h）（分别为.时间复杂度为O（k（\lg n '）^2+（\lg| VP_{\cal P'}（q）|）+h））更新存储查询点q的可见性多边形VP_{\cal P'}（q）的数据结构的最坏情况时间，当任何顶点v被插入到（相应地，删除）当前多边形结构域\cal P '的任何障碍。这里，n'是\cal P'中顶点的数目，h是\cal P '中障碍物的数目，VP_{\cal P'}（q）是q在\cal P'中的可见性多边形（|VP_{\cal P'}（q）|是VP_{\cal P'}（q）的顶点数），以及k是由于插入（分别是）导致的VP_{\cal P'}（q）中的组合变化的数目。作为上述算法的一个应用，我们还设计了一个用于维护动态多边形域的可见性图的算法，即，当多边形域被修改为具有对其障碍物的顶点插入和删除时，我们更新存储多边形域的可见性图的数据结构。在对初始输入多边形域进行预处理后，我们的动态算法需要O（k（\lg{n'}）^{2}+h）（分别为.当任何顶点v被插入到（分别…
2020-11-19 cs.CG
Minimum-Link Shortest Paths for Polygons amidst Rectilinear Obstacles
考虑两个轴对齐的直线简单多边形在域中由平面中的轴对齐的直线障碍物组成，使得每个障碍物一个边界框和每个多边形一个边界框不相交。我们提出了一个算法，计算连接两个多边形在$O((N+n)\log (N+n))$时间使用$O(N+n)$空间，其中$n$是在域中的顶点数和$N$是两个多边形的顶点总数的最小链接的直线最短路径。
2021-06-27 cs.CG
Farthest-point Voronoi diagrams in the presence of rectangular obstacles
提出了一种计算平面上存在$n$矩形障碍物时$m$点的测地线$L_1$最远点沃罗诺伊图的算法。使用$O(nm)$空间需要$O(nm+n \log n + m\log m)$构造时间。这是第一个在有障碍物的情况下构造最远点沃罗诺伊图的最优算法。我们可以在相同的构造时间和空间中构造一个数据结构，该数据结构在$O(\log(n+m))$时间内回答最远邻居查询。
2022-03-07 cs.CG
Small (2,s)-colorable graphs without 1-obstacle representations
图G的障碍表示是平面上的一组点以及确定与G同构的可见性图的一组多边形障碍。G的障碍数是指在G的所有障碍表示中障碍的最小数目。Alpert，Koch和Laison给出了一个12点二部图，并证明了它的障碍数为2.我们证明了这个图的一个10-顶点诱导子图的障碍数为2。Alpert等人还构造了顶点集由团和独立集组成的极大图，以证明障碍数是一个无界参数。我们定义了一个顶点集由一个团和一个独立集组成的70-顶点图，并证明了它的障碍数大于1。这是我们即将付印的文章的附属文件。我们的结论表明，一个10-顶点图的顶点集由两个团组成的障碍数大于1，改进其中的结果。
2011-04-24 cs.CG cs.DM math.CO
Point Separation and Obstacle Removal by Finding and Hitting Odd Cycles
假设我们给定一对点$s, t$和一组$S$的$n$几何对象在平面上，称为障碍。我们表明，在多项式时间可以构建一个辅助（多）图$G$与顶点集$S$和每一个边缘标记从$\{0, 1\}$，这样一组$S_d \subseteq S$的障碍物分离$s$从$t$当且仅当$G[S_d]$包含一个循环的标签的总和是奇数。使用这种结构特征的分离集的障碍，我们得到以下算法的结果。在障碍物清除问题中，任务是在平面上找到一条连接s到t的曲线，该曲线与最多q个障碍物相交。我们给出了一个$2.3146^qn^{O(1)}$算法的障碍物去除，显着改善以前最有名的$q^{O(q^3)} n^{O(1)}$算法的Eiben和Lokshtanov（SoCG'20）。我们还获得了一个常数因子近似算法的障碍消除的替代证明，大大简化了Kumar等人的论点。（SODA'21）。在广义点分离问题中，输入由障碍物集S、k个点的点集A和来自A的p个点对$(s_1, t_1),... (s_p, t_p)$组成。任务是找到最小子集$S_r \subseteq S$，使得对于每个$i$，从$s_i$到$t_i$的每条曲线与$S_r$中的至少一个障碍物相交。我们得到了广义点分离问题的$2^{O(p)} n^{O(k)}$ -时间算法。这解决了Cabello和Giannopoulos（SoCG'13）的一个公开问题，他们询问了在$(s_…
2022-03-15 cs.CG
